Как найти центр кривой второго порядка пример

Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой

Определение. Кривой второго порядка называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

в котором хотя бы один из коэффициентов а₁₁, а₁₂, а₂₂ отличен от нуля. Выражение

Если мы перейдем к новой СК Ox¢y¢, то формулы замены координат будут иметь вид

x = ax¢ + by¢ + b₁,

Если мы подставим эти выражения в (8), то снова получим уравнение такого же вида, т.е. содержащее x¢ и y¢ во второй степени. Поэтому наше определение корректно, т.е не зависит от выбора СК. В дальнейшем, СК всегда предполагается декартовой.

Определение. Точка O¢ называется центром кривой второго порядка, если она является ее центром симметрии. Кривая, которая имеет центр, называется центральной.

Предположим, что СК выбрана так, что ее начало находится в центре кривой. Тогда одновременно с точкой M(x, y) кривой будет принадлежать и точка M¢(– x,– y). Подставим ее координаты в (7) и получим

Вычтем из равенства (8) равенство (8¢):

И это должно выполняться для любой точки M(x, y) на кривой. Поэтому а₁ = а₂ = 0, если начало координат находится в центре. Поэтому, если изначально начало координат не находится в центре O¢, то мы совершим параллельный перенос координатных осей в центр, и уравнение кривой в новой СК O¢х¢у¢ примет вид

т.е. линейная часть уравнения исчезнет. При этом, коэффициенты квадратичной части останутся прежними; это будет установлено в процессе доказательства следующей теоремы.

Теорема 5. Координаты (x_o, y_o) центра кривой, заданной уравнением (8), находятся из системы линейных уравнений

а₁₁х_o + а₁₂ у_o + а₁ = 0,

Доказательство. Введем новую декартову СК O¢х¢у¢, которая получается из Oху переносом начала в центр O¢(x_o, y_o) кривой. Тогда формулы замены координат имеют вид:

x = x¢ + х_o,

Подставим эти формулы в (7):

После преобразований получаем

где с¢ = j(x_o, y_o) – значение левой части уравнения (7) в точке O¢. Поскольку в новой СК коэффициенты при x¢ и y¢ должны быть равны нулю, то получаем (10).

Заметим, что уравнение кривой в новой СК можно выписать, не совершая подстановки (11) и преобразований: коэффициенты квадратичной части не изменяются, надо только вычислить с¢.

Обозначим A = – матрица квадратичной части уравнения (8) (она же является матрицей системы линейных уравнений (10)),

d = det A, d_x = – , d_y = – .

1 случай. d ¹ 0. Тогда по правилу Крамера система (10) имеет единственное решение

а кривая имеет единственный центр. Минусы были поставлены выше потому, что а₁ и а₂ находятся в (10) не в правой части, а в левой.

2 случай. d = 0, d_x¹ 0 и d_y¹ 0 (заметим, что в случае d = 0, определители d_x и d_y будут равны или неравны нулю только одновременно). Тогда ранг расширенной матрицы системы (10) будет равен 2, а rank A=1. Значит, согласно теореме Кронекера-Капелли система (10) не имеет решений, а кривая не имеет центра.

3 случай. d = 0, d_x = d_y = 0. Тогда оба уравнения в (10) пропорциональны, а значит, эта система имеет бесконечное количество решений, а кривая – бесконечное количество центров.

Упростим еще величину с¢:

В силу (9) выражения в скобках равны нулю, и мы имеем

Подставляя сюда (*) получаем

а₁₁ а₁₂ а₁

В скобках как раз стоит разложение D по последней строке или последнему столбцу. Равенство (13) позволяет выписать (9) не находя координат центра кривой. Но, если уже центр найден, то легче вычислить с¢ по формулам (12).

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

или можно встретить следующую форму записи:

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка:

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F₁ и F₂ — фокусы.

с — фокальное расстояние,

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x₀;y₀), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

с — фокальное расстояние,

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

x — действительная ось, y — мнимая ось.

а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x₀;y₀), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f₁ — правая директриса, f₂ — левая директриса.

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F — фокус параболы, f — директриса параболы.

Определение
9.1. Центром
линии второго порядка называется центр
симметрии этой линии.

ТЕОРЕМА
9.1. Пусть
относительно аффинной системы координат
задана линия второго порядка общим
уравнением

Для
того чтобы начало координат являлось
ее центром, необходимо и достаточно,
чтобы в уравнении 

 отсутствовали
члены с 

 и 

 в
первой степени, т.е. чтобы 

,
иначе, чтобы уравнение линии имело
вид

Доказательство
достаточности. Если 

,
то уравнение линии имеет вид 

 ,
и если ему удовлетворяют
координаты 

 и 

 точки 

,
то ему удовлетворяют и координаты 

 и 

точки 

,
симметричной точке 

 относительно
начала координат.

Доказательство
необходимости. Пусть
начало координат является центром
линии 

.
Возьмем на линии произвольную точку 

.
Ее координаты удовлетворяют уравнению 

,
а так как начало координат

является
центром симметрии линии, то этому
уравнению удовлетворят и координаты
точки 

,
симметричной точке 

 относительно
начала координат, т.е.

.

Вычитая
из 

 соотношение 

,
находим, что координаты всех точек линии
удовлетворяют уравнению 

.
Следовательно, уравнение линии приводится
к виду 

,
то есть не

содержит членов с 

 и 

 в
первой степени.

ТЕОРЕМА
9.2. Если
относительно аффинной системы координат
задана линия второго порядка общим
уравнением

то
координаты 

 ее
центра определяются из системы
уравнений

причем
в случае несовместности этой системы
линия не имеет центра (т.е. является
параболой).

Доказательство. Произведем
перенос данной системы координат так,
чтобы новым началом стала точка 

.
В новой системе координат уравнение
линии 

 будет
иметь вид (согласно формулам 

).

По
предыдущей теореме точка 

 является
центром данной линии тогда и только
тогда, когда

или
подробнее

Определение
9.2. Любая
кривая второго порядка, имеющая
единственный центр называется
центральной.

Следовательно, кривая
является центральной, если

Замечание
9.1. При
приведении центральных кривых к
каноническому виду целесообразно
пользоваться следующим планом:

1. Найти
центр кривой.

2. Выполнить
параллельный перенос в центр и записать
уравнение кривой в перенесенной системе
координат

3. Повернуть
перенесенную систему координат на
угол 

 и
получить каноническую систему координат.

10 Пересечение кривой второго порядка с прямой. Асимптотические направления относительно кривой второго порядка

Пусть
задана кривая второго порядка общим
уравнением

и
прямая 

 параметрическими
уравнениями

.

Найдем
точки пересечения этой прямой с кривой
второго порядка.

Для этого подставим
значения переменных 

 и 

 из
уравнений 

 в
уравнение 

.
Получаем уравнение с одним неизвестным 

Преобразуем
его к виду

Введем
обозначения:

В
этих обозначениях, полученное уравнение,
запишется более просто, а именно

Находя
корни уравнения 

,
и подставляя их в уравнения 

,
мы получим координаты точек пересечения
кривой второго порядка и прямой 

.
При этом возможны следующие случаи:

1. 

.
Следовательно, 

 –
квадратное уравнение, а поэтому оно
имеет два корня (вещественных или
комплексных),значит, прямая пересекает
КВП в двух точках(вещественных или
комплексно-сопряженных).

2. 

.
Тогда уравнение 

 примет
вид 

.

a). Если 

,
то прямая пересекает кривую в единственной
действительной точке.

b). Если 

,
то прямая не имеет с кривой ни одной
общей точки(ни действительной, ни
мнимой).

c). Если 

,
тогда любое значение 

 является
решением уравнения 

,
а потому 

 лежит
на кривой второго порядка.

Определение
10.1. Множество
всех прямых, из которых любые две
параллельны, называется направлением.

Отметим,
что направление можно определить любым
направляющим вектором каждой из этих
прямых. Заметим, что коэффициент в
уравнении 

 зависит
только от направления прямой 

 и
не зависит от координат точки 

 ,
лежащей на прямой.

Определение
10.2. Направление,
определяемое ненулевым вектором 

 ,
называется асимптотическим направлением
относительно кривой второго порядка,
если любая прямая, параллельная
вектору 

 ,
либо имеет с кривой не более одной общей
точки, либо содержится в кривой.

Из
предыдущего следует: направление,
определяемое ненулевым вектором 

,
является асимптотическим направлением
относительно кривой второго порядка 

,
тогда и только тогда, когда

Пользуясь
этой формулой, легко найти асимптотические
направления относительно кривой второго
порядка.

Если 

 ,
то из 

 следует,
что 

 (
так как 

 —
ненулевой вектор), поэтому из 

,
обозначая через 

 получаем

Отсюда
находим

Если
же 

,
то уравнение 

 примет
вид 

.
Этому уравнению удовлетворяют координаты
векторов

Выясним
теперь, сколько существует различных
асимптотических направлений относительно
кривой второго порядка.

Рассмотрим
три случая.

1. 

 и,
значит, 

.
Из формулы 

 мы
заключаем, что относительно кривой
второго порядка не существует
асимптотических направлений.

2. 

.
В этом случае существует два различных
асимптотических направления.

В самом
деле, если 

 ,
то этот вывод следует из формулы 

,
а если 

 ,
то из 

.
(Заметим, что в последнем случае 

,
поэтому векторы из 

 не
коллинеарны.)

3.

.
Очевидно, что в этом случае имеем
единственное асимптотическое направление,
определяемое вектором 

.
Действительно, если 

,
то это вытекает из 

,
а если 

,
то из 

.
(Заметим, что в последнем случае 

,
поэтому векторы из 

 коллинеарны.)

Ранее
было показано, что 

 не
зависит от выбора системы координат. В
соответствии с таблицей значений
инвариантов и количеством асимптотических
направлений принято разделять кривые
второго порядка на три
класса:

эллиптические 

, гиперболические 

 и параболические 

.

Определение
10.3. Асимптотой
кривой второго порядка называется
прямая асимптотического направления,
которая либо лежит на кривой, либо не
имеет с ней общих точек.

ТЕОРЕМА
10.1. Асимптота
к кривой гиперболического типа задается
уравнением

где 

 удовлетворяют 

.

Доказательство. Запишем
уравнение 

 в
виде

или
в эквивалентной форме

Отметим
сначала, что это уравнение является
уравнением первой степени. Действительно,
предположим, что

Откуда
следует, что 

,
так как 

.
А это противоречит тому, что вектор,
удовлетворяющий 

,
ненулевой. Теперь необходимо проверить,
что прямая 

 имеет
асимптотическое направление, т.е. надо
убедится

в том, что вектор 

 имеет
асимптотическое направление. Действительно,
так как 

 —
вектор асимптотического направления,
то он удовлетворяют равенству

,

которое
равносильно

Таким
образом, вектор 

 коллинеарен
вектору асимптотического направления,
а значит, имеет асимптотическое
направление. Итак, прямая, заданная
уравнением 

 имеет
асимптотическое направление.

Кроме
того, если точка лежит на этой прямой,
то ее координаты 

 удовлетворяют
уравнению 

:

.

Рассмотрим
выражение

Что
и требовалось доказать.

Замечание
10.1. Если
в общем уравнении кривой второго порядка
гиперболического типа 

,
то уравнения

асимптот можно искать
в виде

где 

 определяются
по формуле 

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру – значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) – решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с<а. Если это условие не выполнено, то рассматриваемое множество точек либо отрезок прямой, заключенной между фокусами, либо не содержит ни одной точки.

Из определения эллипса вытекает следующий метод его построения: если концы нерастяжимой нити длины 2а закрепить в точках и натянуть нить острием карандаша, то при движении острия будет вычерчиваться эллипс с фокусами и с суммой расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов, равной 2 а (Рис. 7.1).

Составим уравнение эллипса. Для этой цели расположим декартову прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось Ох походила через фокусы положительное направление оси – от , начало координат выберем в середине отрезка . Тогда координаты точек будут соответственно (-с,0) и (с,0).

Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса, тогда:

Подставляя сюда значения имеем:

(7.1)

Уравнение (1) и есть уравнение эллипса. Преобразуя, упростим

его:

Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим:

Возведем еще раз обе части в квадрат и приведем подобные члены. Получаем или

(7.2)

Положительную величину обозначим через. Тогда уравнение (7.2) примет вид:

(7.3)

Оно называется каноническим уравнение эллипса.

Координаты точек эллипса ограничены неравенствами. Значит, эллипс ограниченная фигура, не выходящая за пределы прямоугольника со сторонами 2а и 2b •

Заметим, что в уравнение (7.3) входят лишь четные степени х и у. Поэтому, если точка M(х,у) принадлежит эллипсу, то и точки также ему принадлежат. А это означает, что эллипс – линия симметричная относительно координатных осей Ох и Оу.

Поэтому для исследования формы эллипса достаточно рассмотреть его в первой координатной четверти, а в остальных четвертях его строение определяется по симметрии. Для первой четверти, из уравнения (7.3) имеем:

(7.4)

При возрастании x от 0 до а, у монотонно убывает от а до 0. График функции изображен на Рис. 7.4.

Рис. 7.4

Достроив остальные четверти эллипса по симметрии, получим весь эллипс (Рис. 7.5).

Рис. 7.5. Оси симметрии эллипса (оси Ох и Оу) называются просто его осями, а центр симметрии – точка О – центром эллипса. Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Отрезки , а также их длины а и Ь называются полуосями эллипса. В случае, когда фокусы эллипса находятся на оси Ох (как в нашем случае), из равенства следует, что a>b. В этом случае а называется большой полуосью, a b – малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а – правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая – правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а <с.

Выбрав декартову систему координат, как в случае эллипса, и используя определение гиперболы, составляем ее уравнение: (7.6) где ху – координаты произвольной точки гиперболы,

Уравнение (7.6) называется каноническим уравнением гиперболы.

Из уравнения (7.6) видно, что . Это означает, что вся гипербола располагается вне полосы, ограниченной прямыми х = -а и х = а.

Так как в уравнение входят только четные степени x и у, то гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей и начала координат. Поэтому достаточно построить эту кривую в первой четверти: в остальных четвертях гипербола строится по симметрии. Из уравнения (7.6) для первой четверти, имеем:

График этой функции от точки A(а,0) уходит неограниченно вправо и вверх (Рис. 7.7), и как угодно близко подходит к прямой:

Поэтому говорят, что гипербола асимптоматически приближается к прямой (7.7), и эту прямую называют асимптотой гиперболы. Из симметрии гиперболы следует, что у нее две асимптоты

Построим гиперболу. Сначала строим, так называемый, основной прямоугольник гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, а стороны равны 2а и 2Ь параллельны осям координат. Прямые, на которых расположены диагонали этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. Сделаем рисунок гиперболы (Рис. 7.8).

Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Центр симметрии гиперболы называется ее центром, оси симметрии называются осями гиперболы. Точки , пересечения гиперболы с осью Ох называются вершинами гиперболы. Величины а и Ь называются полуосями гиперболы. Если а=Ь, то гипербола называется равносторонней.

Эксцентриситетом гиперболы называется число. Для любой гиперболы . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше, тем больше вытягивается гипербола вдоль оси Ох. На рисунке 7.9 изображены гиперболы с различными значениями £.

Фокальными радиусами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами. Их длины и задаются формулами:

Для правой – ветви ,

Для левой – ветви

Прямые называются директрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением

Парабола

Параболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Для вывода канонического уравнения параболы ось Ох проводят через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу; начало координат берут в середине отрезка между фокусом F и точкой D пересечения оси Ох с директрисой . Если обозначить через р расстояние фокуса от директрисы, то и уравнение директрисы будет иметь вид

В выбранной системе координат уравнение параболы имеет вид:

(7.8)

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Из уравнения (7.8) видно, что л: может принимать только неотрицательные значения. Значит, на рисунке вся парабола располагается справа от оси Оу. Так как уравнение (7.8) содержит у только в четной степени, то парабола симметрична относительно оси Ох и поэтому достаточно рассмотреть ее форму в первой четверти. В этой четверти .

При неограниченном возрастании x неограниченно растет и у. Парабола, выходя из начала координат, уходит неограниченно вправо и вверх, четвертой четверти парабола строится по симметрии. Сделаем рисунок параболы (Рис. 7.10).

Ось симметрии параболы называется ее осью. Точка пересечения с ее осью называется вершиной параболы.

Исследование на плоскости уравнения второй степени

Рассмотрим уравнение:

(7.9)

где среди коэффициентов А, В, С есть отличные от нуля, т.е. (7.9) – уравнение второй степени относительно х и у.

Возьмем на плоскости две прямоугольные системы координат: Оху, которую будем называть старой, и новую, полученную из Оху поворотом ее вокруг начала координат на угол

Старые координаты х, у выражаются через новые координаты по формулам:

(7.10)

Подставив выражения для х и у в уравнение (8), получим: (7.11)

Это уравнение в системе координат задает ту же линию, что и уравнение (7. 9) в системе Оху.

Если в уравнении (7.9) , то за счет выбора угла а в (7.10) можно добиться того, что В’ = 0. Для этого угол а надо взять таким, чтобы . Поэтому будем считать В’= 0, тогда уравнение (7.11) примет вид:

(7.12)

Преобразуя это уравнение и применяя параллельный перенос координатных осей, придем к уравнению:

(7.13)

В зависимости от знаков коэффициентов уравнения (7.13) рассмотрим следующие случаи:

Рассматривая далее методично все случаи, придем к выводу: уравнение вида (7.9) задает одну из следующих фигур: эллипс, гиперболу, параболу, пару пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, прямую, точку или пустое множество.

Кривые второго порядка в высшей математике

Выяснение взаимосвязей между различными показателями экономического характера часто приводит к форме этих связей в виде гиперболы и параболы. В этой лекции приведём краткие сведения обо всех кривых второго порядка.

Окружность

Определение 9.1. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки – центра окружности.

Если точка – центр (рис.9.1), N(x,y) – произвольная точка окружности и R – её радиус, то согласно определения можно записать

или

Найдём условия, при которых общее уравнение второй степени с двумя переменными

определяет окружность. Раскрыв скобки в (9.1.1), получим

Сравнивая (9.1.2) и (9.1.3), находим условия А = С, В = О,

, при выполнении которых общее уравнение (9.1.2) определяет окружность.

Эллипс

Определение 9.2. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть на плоскости хОу (рис. 9.2) дан эллипс с фокусами и. Пусть начало координат лежит на середине отрезка . Выведем уравнение эллипса.

Если точка А – произвольная точка эллипса с координатами (х, у), то

(9.2.1)

где – постоянная сумма. Так как

расположены симметрично относительно начала координат, то они имеют координаты (с,0) и (-с,0) соответственно. Воспользовавшись формулой для вычисления расстояния между двумя точками, находим . Подставив значения

и в (9.2.1), получаем уравнение

Обе части этого уравнения возведем в квад-Упростив и обозначив

получим. Разделим обе части уравнения на правую часть

Уравнение (9.2.2) называется каноническим уравнением эллипса, где а – большая полуось, b – малая полуось.

Это уравнение второго порядка, следовательно, эллипс есть линия второго порядка. Для определения формы эллипса служит его эксцентриситет , т.е. отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большей полуоси. Так как са, то эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы. Поскольку

, то подставив значение в равенство, получим

Следовательно, эксцентриситет определяется отношение осей эллипса; а отношение осей определяется эксцентриситетом. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше , тем меньше, следовательно, отношение . Это значит, что эллипс вытянут вдоль оси Ох. В случае Ь=а и получаем окружность.

Две прямые, перпендикулярные к большей оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса. Уравнения директрис

Пример:

Исследовать, какая линия определяется уравнением

Решение:

Сгруппируем члены, содержащие одну и туже переменную, получим

Из второй скобки вынесем коэффициент при , после чего предыдущее уравнение примет вид

В каждой из скобок выделим полный квадрат

или

Произведём замену: . Исследуемое уравнение принимает вид: .

Разделив обе части этого уравнения на , получим канонический вид данного уравнения:

Заданное уравнение определяет эллипс с полуосями , центр которого находится в точке

Выбираем на плоскости произвольным образом прямоугольную систему координат хОу. С помощью параллельного переноса переносим оси координат в новое начало в точку . В новой системе координат строим основной прямоугольник со сторонами , стороны которого параллельны новым осям координат, а центр находится в точке . Вписываем в него эллипс.

Гипербола

Определение 9.3.1. Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами и отличная от нуля (указанная разность берется по абсолютному значению).

Пусть М- произвольная точка гиперболы с фокусами (рис. 9.4). Отрезки называются фокальными радиусами точки М и обозначаются По определению гиперболы . Так как и т.к. расположены симметрично относительно начала координат, то, применяя формулу для вычисления расстояния между двумя точками, находим . Заменяя в равенстве найденными выражениями, получаем:

.

Возведя в квадрат обе части этого уравнения и обозначая , получим: или, разделив все члены уравнения на правую часть, приводим его к виду:

Уравнение (9.3.1)- это каноническое уравнение гиперболы, линии второго порядка.

Прямоугольник со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником. Его диагонали совпадают с асимптотами гиперболы . Поэтому, если требуется построить гиперболу с полуосями а и b, то следует, прежде всего, построить ее основной прямоугольник, затем асимптоты.

Уравнение вида определяет гиперболу, вершины которой расположены на оси Оу (Рис. 9.5).

Форму гиперболы характеризует её эксцентриситет , т.е. отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между её вершинами. Поскольку , то подставив в формулу получимоткуда. Следовательно, эксцентриситет oредсляется отношением , а отношение – эксцентриситетом. Следовательно, эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение , а это значит, что основной прямоугольник вытянут в направлении оси, соединяющей вершины.

Прямые, заданные уравнениями называются директрисами гиперболы.

Пример:

Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых от данной точки А(4, 0) и от данной прямой х=1 равно 2.

Решение:

В системе координат хОу построим точку А(4, 0) и прямую х = 1. Пусть М(х, у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую х = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то её абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, B(1, у) (рис. 9.6).По условию задачи .Подставив значения расстояний, которые находим по формуле расстояния между двумя точками, получим:

Возводя в квадрат левую и правую части равенства и последовательно преобразовывая, находим уравнение:

Полученное уравнение определяет гиперболу, у которой действительная полуось -а = 2, а мнимая .

Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы выполняется равенство . Следовательно, .А – фокусы гиперболы. Как видно, заданная точка

А(4, 0) является правым фокусом гиперболы.

Эксцентриситет полученной гиперболы равен

Подставив значения а и b в уравнения асимптот и

у =—получим уравнения асимптот гиперболы:и .

Для построения гиперболы строим основной прямоугольник с полуосями , затеем асимптоты и а далее строим и саму гиперболу (рис.9.6).

• Заказать решение задач по высшей математике

Парабола

Определение 9.4.1. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых, расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой,(директриса не проходит через фокус).

Обозначим фокус параболы – F, расстояние от фокуса до директрисы – р(р > 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А – произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р – положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F – фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС<0.

Кривая второго порядка принадлежит параболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0 и только один из коэффициентов А и С не равен нулю: АС=0 и

Рассмотрим канонические (простейшие) уравнения эллипса, гиперболы и параболы.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Геометрическое свойство точек эллипса выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину, о которой идет речь в определении эллипса, обозначим через 2а: 2а>2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число – мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b – соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а – его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат – его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

– каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а<2с. Точка М(х,у) принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением гиперболы.

Число а называют действительной полуосью гиперболы, число

– мнимой полуосью гиперболы, 2а и 2b – соответственно действительной и мнимой осями гиперболы. Точки называют вершинами гиперболы, – ее фокусами (рис. 13).

Координатные оси являются осями симметрии гиперболы, а начало координат – ее центром симметрии. Центр симметрии гиперболы называется центром гиперболы.

Точки гиперболы по мере удаления от начала координат неограниченно (асимптотически) приближаются к прямым у=±kх (где ), которые называются асимптотами гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине действительной оси:

Эксцентриситет гиперболы изменяется от единицы до бесконечности и характеризует форму гиперболы. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем ее ветви более сжаты к оси Ох.

Замечание. Каноническое уравнение определяет сопряженную гиперболу с действительной полуосью b, вершинами в точках и фокусами на оси Оу.

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат, если ее действительная полуось равна трем, а эксцентриситет -четырем третьим.

Решение:

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

По условию задачи нам известно: а=3, Найдем мнимую полуось.

Следовательно, уравнение искомой гиперболы:

Задача решена.

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом параболы, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расстояние между фокусом и директрисой обозначим р. Для того чтобы точка М(х,у) принадлежала параболе, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты удовлетворяли уравнению которое называется каноническим уравнением параболы.

Точка O(0,0) называется вершиной параболы, число р – параметром параболы, – директрисой пир,болы, а – ее фокусом. Прямая у=0 является осью симметрии параболы, ветви которой направлены вправо. Центра симметрии у параболы нет (рис. 14).

Если поменять ролями оси Ох и Оу, то каноническое уравнение параболы примет вид (уравнение параболы с вертикальной осью, уравнением директрисы фокусом ветви направлены вверх).

Замечание. Канонические уравнения параболы можно рассматривать и в случае, когда ветви направлены влево или вниз:

Пример:

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и отсекающей на биссектрисе первого координатного угла отрезок длиной

Решение:

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и ветвями, направленными вверх, имеет вид:

Уравнение биссектрисы первого координатного угла у=х. Найдем точки пересечения параболы с биссектрисой. Для этого решим систему уравнений

Следовательно, точка М(2р,2р) будет принадлежать параболе. С другой стороны, парабола отсекает на биссектрисе отрезок длиной который является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами 2р.

По теореме Пифагора

Тогда искомое уравнение параболы

Уравнение директрисы параболы: у=-1, координаты ее фокуса F(0,1).

Задача решена.

Линии второго порядка – определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Линии второго порядка

Окружность

Выведем уравнение окружности (рис. 30) с центром С

Отсюда, вспоминая формулу расстояния между двумя точками, имеем

Так как обе части равенства (2) положительны, то, возводя в квадрат, получим равносильное уравнение

Итак, координаты любой точки М (х, у) данной окружности удовлетворяют уравнению (3). Справедливо также обратное утверждение.

Таким образом, уравнение (3) представляет собой уравнение окружности радиуса R с центром в точке С. Это уравнение назвают нормальным уравнением окружности.

В частности, полагая х0 = 0 и у0 = 0, получим уравнение окружности с центром в начале координат

Уравнение окружности (3) после несложных преобразований можно привести к виду

где

Таким образом, окружность является кривой второго порядка.

Сравнивая уравнение (5) с общим уравнением кривой второго порядка

(6)

мы видим, что в (5) В = 0 и, кроме того, А — 1, С = 1, т. е. А = С. Обратно, положим в (6) В = 0 и

Деля уравнение (7) почленно на и полагая

мы приходим к уравнению вида (5).

Уравнение (7) называется общим уравнением окружности. Заметим, однако, что не всякое уравнение (7) является уравнением действительной окружности. Легко показать, что (7) определяет действительную кривую (окружность) лишь при где выражаются равенствами (8).

Таким образом, действительная кривая второго порядка является окружностью тогда и только тогда, когда: 1) коэффициенты при квадратных текущих координат равны между собой и 2) отсутствует член, содержащий произведение текущих координат.

Центральные кривые второго порядка

Рассмотрим уравнение второго порядка

без члена с произведением координат х и у (В = О)1. Дополняя члены, содержащие x и у соответственно, до полных квадратов, будем иметь

В нашем кратком курсе при рассмотрении общих уравнений кривых второго порядка мы ограничимся лишь этим случаем.

Отсюда, полагая

Точка О'(х0, у0) представляет собой центр симметрии кривой (5) (центр кривой). Действительно, если точка Мх(х19 У) лежит на кривой (5), то симметричная ей относительно О’ точка М2(х2, у2) где – очевидно, также лежит на кривой (5) (рис. 31).

Параллельные осям координат Ох и Оу прямые у = у₀ и х = х₀ являются осями симметрии кривой (5) (оси кривой). Действительно, если точка лежит на кривой (5), то симметричная ей относительно прямой у = у0 точка также лежит на этой кривой. Аналогичным свойством обладает прямая х = х0.

В дальнейшем, для простоты исследования, будем предполагать, что центр кривой находится в начале координат, т. е. х₀ = О, = 0. Тогда уравнение кривой примет вид

Определение: Кривая второго порядка (6) называется эллипсом (точнее, принадлежит эллиптическому шипу)у если коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки, т. е.

Для определенности будем полагать, что А > 0 и С > 0 (так как в противном случае знаки членов уравнения (6) можно изменить на обратные).

Возможны три случая: . В первом случае, , имеем действительный эллипс

где числа

называются полуосями эллипса. Обычно полагают 0 О, тогда С 0), а знак минус — левой ветви (х 1 — равномерное растяжение окружности.

Предположим, что при нашей деформации точка окружности М(Х, У) переходит в некоторую точку М(х, у) преобразованной кривой (рис. 35). Так как точки М и М’ лежат на одной и той же вертикали, то имеем

Отсюда при получим

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим , или

где т. е. преобразованная точка М’ расположена на эллипсе с полуосями а и Ь.

Обратно, если точка М’ принадлежит эллипсу (4), то соответствующая ей в силу (2) точка М(Х, У) лежит на окружности (1).

Таким образом, результат равномерной деформации окружности вдоль одного из ее диаметров представляет собой эллипс.

Асимптоты гиперболы

Рассмотрим гиперболу (см. рис. 33)

Решая уравнение (1) относительно у, получаем

Если х неограниченно возрастает, то и, следовательно, в некотором смысле, имеет место приближенное равенство

Покажем, что ветви гиперболы (1) сколь угодно близко подходят к прямым (см. рис. 33)

носящим название асимптот гиперболы. Действительно, например, при х > О возьмем в формулах (2) и (4) знаки плюс. Рассмотрим соответствующие точки М (х, у) гиперболы (2) и N (х, У) прямой (4), имеющие одну и ту же абсциссу х. Тогда

при

Аналогично рассматриваются еще три случая: знаки минус в (2) и в (4) при ; в (2) знак плюс, в (4) минус при и, наконец, в (2) минус, в (4) плюс при . Заметим, что сопряженная гипербола

как нетрудно проверить, имеет общие асимптоты с гиперболой (1).

Для равнобочной гиперболы (а = Ь)

ее асимптоты у = ±х взаимно перпендикулярны.

График обратной пропорциональности

Рассмотрим кривую (рис. 36)

Выбирая за новые оси координат Ох’ и Оу’ биссектрисы координатных углов и учитывая, что угол поворота будем иметь

Отсюда на основании (1) получаем

Таким образом, графиком обратной пропорциональности (1) является равнобочная гипербола.

Нецентральные кривые второго порядка

Кривая второго порядка называется нецентральной, если она или не имеет центра симметрии, или же имеет бесконечно много центров симметрии (т. е. не имеет единственного центра). Рассмотрим кривую второго порядка

где . Для определенности будем считать, что

Кроме того, предположим, что , в противном случае мы бы имели пару параллельных прямых.

Дополняя в уравнении (1) члены с у до полного квадрата, будем иметь получим

Кривая (4) называется параболой (рис. 37); точка О’ (х0, у0) носит название вершины параболы у а число р называется параметром параболы. Легко убедиться, что прямая у = Уо является осью симметрии параболы (ось параболы); центра симметрии парабола (4) не имеет.

Если вершина параболы находится в начале координат, а ее осью является ось Ох, то мы получаем так называемое каноническое уравнение параболы причем параметр р здесь обычно считается положительным (этого можно добиться, выбирая надлежащее направление оси Ох; рис. 38, а).

Заметим, что если поменять ролями оси Ох и Оу, то каноническое уравнение параболы примет вид

Это уравнение параболы с вертикальной осью (рис. 38, б).

Фокальное свойство параболы

Рассмотрим параболу (рис. 38, а)

Точка называется ее фокусом, а прямая директрисой.

Для точки М(х, у) ее фокальный радиус г = MF равен

Далее, расстояние от этой точки до директрисы равно

Таким образом, парабола представляет собой множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы). Это характеристическое свойство параболы.

Пример:

Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы

Решение:

Сравнивая это уравнение с уравнением (6), получим 2р = 1; отсюда р = 1/2. Следовательно, фокус параболы имеет координаты (0, 1/4), а уравнение директрисы есть у = -1/4.

График квадратного трехчлена

Рассмотрим квадратный трехчлен

Дополняя выражение, стоящее в скобках, до полного квадрата, получим

то из формулы (3) получим

Делая параллельный перенос системы координат

окончательно будем иметь

Уравнение (6) , формула (6) представляет собой каноническое уравнение параболы с вертикальной осью, вершина которой находится в точке и параметр . Таким образом, график квадратного трехчлена является параболой с вершиной в точке , ось которой параллельна оси Оу (парабола со смещенной вертикальной осью; рис. 39).

Заметим, что абсциссы точек пересечения параболы (1) с осью Ох являются корнями квадратного уравнения

На этом свойстве основан графический способ решения квадратного уравнения (7).

Пример:

Привести уравнение к каноническому виду и построить соответствующую параболу.

Решение:

Перенося свободный член в левую часть уравнения и дополняя правую часть до полного квадрата, будем иметь у – 3 + 4 = = х2- 4х + 4, или

Полагая х-2=х’,у + 1 = у’, получим

Таким образом, заданное уравнение есть уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии параллельной оси Оу (рис. 40).

Рекомендую подробно изучить предметы:

Математика Алгебра Линейная алгебра Векторная алгебра Высшая математика Дискретная математика Математический анализ Математическая логика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Полярные координаты
• Непрерывность функции
• Уравнения поверхности и линии в пространстве
• Общее уравнение плоскости
• Интегрирование тригонометрических функций
• Интегрирование тригонометрических выражений
• Интегрирование иррациональных функций
• Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Линия второго порядка, заданная общим уравнением

Пересечение линии второго порядка и прямой.

Рассмотрим линию второго порядка, заданную общим уравнением
$$
Ax^<2>+2Bxy+Cy^<2>+2Dx+2Ey+F=0label
$$
в декартовой системе координат, и исследуем пересечение этой линии с произвольной прямой
$$
x=x_<0>+alpha t, y=y_<0>+beta t.label
$$
Значения параметра (t), соответствующие точкам пересечения, должны удовлетворять уравнению, получаемому подстановкой eqref в eqref:
$$
A(x_<0>+alpha t)^<2>+2B(x_<0>+alpha t)(y_<0>+beta t)+C(y_<0>+beta t)^ <2>+\+ 2D(x_<0>+alpha t)+2E(y_<0>+beta t)+F=0.label
$$
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы получим уравнение
$$
Pt^<2>+2Qt+R=0,label
$$
в котором
$$
P=Aalpha^<2>+2Balphabeta+Cbeta^<2>,label
$$
$$
Q=(Ax_<0>+By_<0>+D)alpha+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)beta,label
$$
или, при другой группировке слагаемых,
$$
Q=(Aalpha+Bbeta)x_<0>+(Balpha+Cbeta)y_<0>+Dalpha+Ebeta.label
$$
Свободный член — это значение многочлена при (t=0), то есть
$$
R=Ax_<0>^<2>+2Bx_<0>y_<0>+Cy_<0>^<2>+2Dx_<0>+2Ey_<0>+F=0.label
$$

Вообще говоря, уравнение eqref квадратное, имеет не больше двух корней, и прямая пересекает линию или в двух точках, или в одной точке (кратные корни), или не пересекает ее (комплексные корни). Но возможны “исключительные” прямые, для которых (P=0), то есть
$$
Aalpha^<2>+2Balphabeta+Cbeta^<2>=0,label
$$
и, следовательно, уравнение eqref является линейным. В этом случае оно имеет один корень при (Q neq 0), а при (Q=0) либо выполнено тождественно (если и (R=0)), либо не имеет решений. Следовательно, “исключительные” прямые или пересекают линию в единственной точке, или лежат на ней целиком, или не имеют с ней общих точек.

В равенство eqref не входят координаты начальной точки прямой. Кроме того, оно остается справедливым, если умножить (alpha) и (beta) на общий ненулевой множитель.

Направление, определяемое вектором, компоненты которого удовлетворяют уравнению eqref, называется асимптотическим направлением линии второго порядка.

Тип линии.

Выясним, сколько асимптотических направлений может иметь линия второго порядка. Обозначив
$$
delta=begin
A& B\
B& C
end,nonumber
$$
сформулируем следующее утверждение.

Линия второго порядка имеет два асимптотических направления, если (delta 0).

Рассмотрим несколько случаев.

1. Пусть (A=C=0). Тогда (B neq 0) и (delta=-B^ <2>0).
2. Случай (A neq 0) исследуется аналогично случаю 2, только нужно рассматривать не угловой коэффициент, а отношение (alpha/beta).

Поскольку разобранные выше случаи исчерпывают все возможности, предложение доказано.

От противного нетрудно проверить, что и обратно число асимптотических направлений определяет знак (delta).

Мы определили асимптотические направления при помощи аналитического условия eqref. Поэтому в принципе при изменении системы координат асимптотическое направление могло бы перестать быть асимптотическим, или, наоборот, обыкновенное направление стать асимптотическим. Из геометрического смысла асимптотических направлений видно, что в действительности асимптотические направления не зависят от выбора системы координат.

Используя канонические уравнения, легко проверить, что эллипс не имеет асимптотических направлений, парабола имеет одно, а гипербола — два асимптотических направления (рис. 9.1). Поэтому линии второго порядка называются линиями гиперболического, параболического или эллиптического типа, смотря по тому, имеют они два, одно или не имеют ни одного асимптотического направления.

Для линий гиперболического типа (delta 0).

Рис. 9.1. Асимптотическое направление.

Диаметр линии второго порядка.

Назовем хордой любой отрезок, концы которого лежат на линии, а остальные точки на ней не лежат. Таким образом, хорда не может иметь асимптотического направления.

Предположим, что рассматриваемая линия второго порядка имеет по крайней мере одну хорду. Этому условию удовлетворяют эллипсы, гиперболы, пары пересекающихся прямых, параболы и пары параллельных прямых.

Фиксируем какое-нибудь неасимптотическое направление и исследуем множество середин хорд, имеющих это направление. Если начальная точка (M_<0>(x_<0>, y_<0>)) секущей eqref находится в середине хорды, то корни уравнения eqref равны по абсолютной величине и отличаются знаком (рис. 9.2). Это будет так в том и только том случае, когда (Q=0). Используя eqref, мы получаем, что середины хорд направления ((alpha, beta)^<2>) лежат на прямой
$$
(Aalpha+Bbeta)x+(Balpha+Cbeta)y+Dalpha+Ebeta=0.label
$$

Рис. 9.2. Хорды.

Прямая eqref называется диаметром линии второго порядка, сопряженным направлению ((alpha, beta)).

Стоит обратить внимание на то, что диаметром называется вся прямая. Это не означает, что середины хорд заполняют ее целиком. Так может быть, но возможно также, что множество середин хорд есть, например, отрезок или луч.

Конечно, остается сомнение, действительно ли уравнение eqref определяет прямую: не окажутся ли в нем коэффициенты при переменных оба равными нулю? Допустим, что это так, то есть
$$
Aalpha+Bbeta=0, Balpha+Cbeta=0.nonumber
$$

Умножим первое из этих равенств на (alpha), второе — на (beta) и сложим. Мы получим равенство eqref, которое по предположению не имеет места. Следовательно, уравнение eqref определяет прямую.

Центр линии второго порядка.

Обозначим левую часть уравнения eqref через (boldsymbol<Phi>(x, y)) и введем еще одно понятие.

По-видимому, это определение зависит от выбора системы координат, так как в нем участвует не линия, а многочлен, стоящий в левой части ее уравнения. Допустим, что координаты (x_<0>, y_<0>) точки (O) в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению eqref. Будут ли ее координаты ((tilde_<0>, tilde_<0>)) в другой системе координат удовлетворять равенству того же вида для многочлена (tilde<boldsymbol<Phi>>(tilde, tilde)), задающего ту же линию в новой системе координат? Легко видеть, что это так, потому что многочлен (tilde<boldsymbol<Phi>>) так и выбирается, чтобы для координат любой точки выполнялось равенство (tilde<boldsymbol<Phi>>(tilde, tilde)=boldsymbol<Phi>(x, y)). Нам остается только выписать это равенство для точек, получаемых из (O) сдвигом на векторы (boldsymbol) и (-boldsymbol).

Ниже мы докажем, что в том случае, когда линия содержит хоть одну точку, центры линии и только они являются ее центрами симметрии. Однако понятие центра несколько более общее: линии, являющиеся пустыми множествами, имеют вполне определенные центры, хотя говорить об их центрах симметрии смысла нет. Например, каждая точка прямой (y=0) является центром линии с уравнением (y^<2>+1=0).

Получим систему уравнений для координат центра. С этой целью напишем подробнее равенство eqref. Его левая часть равна
$$
A(x_<0>+alpha)^<2>+2B(x_<0>+alpha)(y_<0>+beta) +\+ C(y_<0>+beta)^<2>+2D(x_<0>+alpha)+2E(y_<0>+beta)+F.nonumber
$$
Правая часть отличается от левой только знаками у (alpha) и (beta). Поэтому при вычитании (boldsymbol<Phi>(x_<0>-alpha, y_<0>-beta)) из (boldsymbol<Phi>(x_<0>+alpha, y_<0>+beta)) уничтожаются все члены, кроме тех, в которые (alpha) и (beta) входят в первой степени, а члены с первыми степенями удвоятся. После упрощений мы получаем
$$
(Ax_<0>+By_<0>+D)alpha+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)beta=0.label
$$

Но равенство eqref, а вместе с ним и равносильное равенство eqref имеет место при любых (alpha) и (beta), в частности, при (alpha=1), (beta=0) и при (alpha=0), (beta=1). Отсюда следует, что координаты ((x_<0>, y_<0>)) центра должны удовлетворять системе уравнений
$$
left<begin
Ax_<0>+By_<0>+D=0,\
Bx_<0>+Cy_<0>+E=0.
endright.label
$$

Легко видеть, что и обратно, если справедливы равенства eqref, то, умножая их на произвольные числа (alpha) и (beta) и складывая, мы получим eqref, а тем самым и eqref.

Исследуем, обязательно ли существуют центры у линии второго порядка, а если они существуют, то сколько их и как они расположены. Система уравнений eqref имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
$$
delta=begin
A& B\
B& C
end neq 0.label
$$
Таким образом, условие (delta neq 0) необходимо и достаточно для того, чтобы линия второго порядка имела единственный центр.

Линии второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными.

Полученное условие показывает, что центральными являются линии эллиптического и гиперболического типов.

Условие (delta=0) характеризует нецентральные линии. Это — линии параболического типа. При условии (delta=0) система eqref либо не имеет решения, либо равносильна одному из составляющих ее уравнений (ранее мы уже доказывали этот факт). Это значит, что нецентральная линия либо не имеет центра (парабола), либо ее центры заполняют прямую линию (пары параллельных прямых, вещественных и мнимых, и пары совпавших прямых).

Если линия второго порядка не является пустым множеством и имеет центр (O(x_<0>, y_<0>)), то он — ее центр симметрии.

В самом деле, рассмотрим произвольную точку линии (M(x, y)) и докажем, что симметричная ей относительно (O) точка (M_<1>(x_<1>, y_<1>)) также лежит на линии. Точка (M_<1>) определяется равенством (overrightarrow>=-overrightarrow). Если ((alpha, beta)) — координаты вектора (overrightarrow), то (x=x_<0>+alpha), (y=y_<0>+beta), а (x_<1>=x_<0>-alpha), (y_<1>=y_<0>-beta). Теперь ясно, что в силу eqref из (boldsymbol<Phi>(x, y)=0) следует (boldsymbol<Phi>(x_<1>, y_<1>)=0). Утверждение доказано.

Если линия содержит хотя бы одну точку и имеет центр симметрии (O(x_<0>, y_<0>)), то (O) является центром.

Рассмотрим пересечение линии с прямой, проходящей через (O), приняв эту точку за начальную точку прямой. Имеются две возможности:

1. Точка (O) лежит на линии. Пусть прямая имеет неасимптотическое направление. Тогда (O) — единственная точка пересечения, так как иначе с учетом симметрии точек пересечения было бы не меньше трех. Следовательно, уравнение eqref имеет кратный корень (t=0), откуда вытекает (Q=0). Итак, координаты точки (O) удовлетворяют равенству (12) при любых (alpha) и (beta), соответствующих неасимптотическим направлениям. Выберем два различных неасимптотических направления ((alpha, beta)) и ((alpha’, beta’)) и рассмотрим равенства
   $$
   begin
   & (Ax_<0>+By_<0>+D)alpha+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)beta=0,\
   & (Ax_<0>+By_<0>+D)alpha’+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)beta’=0.
   endnonumber
   $$
   как систему уравнений с коэффициентами (alpha), (beta), (alpha’), (beta’), причем ((alphabeta’-alpha’beta neq 0)). Мы получаем равенства eqref, как и требовалось.
2. Точка (O) не лежит на линии. Если прямая пересекает линию в точке (M), которой соответствует значение параметра (t_ <1>neq 0), то существует симметричная точка пересечения со значением параметра (-t_<1>). Тогда (Pt_<1>^<2>+2Qt_<1>+R=0) и (Pt_<1>^<2>-2Qt_<1>+R=0), откуда следует (Q=0).

Таким образом, если линия имеет точки пересечения с двумя различными прямыми, проходящими через (O), то, как и выше, мы можем получить равенства eqref для координат (O). Докажем, что такие прямые обязательно найдутся. Действительно, в противном случае все точки линии лежат на одной прямой. Согласно теореме о существующих типах линий второго порядка линии только двух классов обладают этим свойством: пары совпавших прямых и пары мнимых пересекающихся прямых. Но и для того, и для другого класса все центры симметрии принадлежат линии, что противоречит сделанному предположению. Утверждение доказано.

Сопряженные направления.

Направление ((alpha’, beta’)), определяемое диаметром, сопряженным направлению ((alpha, beta)), называется сопряженным направлению ((alpha, beta)). Компоненты ((alpha’, beta’)), направляющего вектора диаметра eqref согласно доказанному ранее утверждению 6 удовлетворяют условию
$$
(Aalpha+Bbeta)alpha’+(Balpha+Cbeta)beta’=0label
$$
или
$$
Aalphaalpha’+B(alpha’beta+alphabeta’)+Cbetabeta’=0label
$$
В последнее выражение пары чисел ((alpha, beta)) и ((alpha’, beta’)) входят симметричным образом. Поэтому имеет место следующее утверждение.

Если направление ((alpha’, beta’)), сопряженное с ((alpha, beta)), не является асимптотическим, то сопряженным для ((alpha’, beta’)) будет направление ((alpha, beta)) (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Сопряженные направления.

Возникает вопрос, при каких условиях направление, сопряженное какому-нибудь направлению ((alpha, beta)) может оказаться асимптотическим. Это легко выяснить. Из равенства eqref следует, что в качестве (alpha’) и (beta’) можно выбрать соответственно — (-(Balpha+Cbeta)) и ((Aalpha+Bbeta)). Подставим это в уравнение eqref для асимптотических направлений:
$$
A(Balpha+Cbeta)^<2>-2B(Balpha+Cbeta)(Aalpha+Bbeta)+C(Aalpha+Bbeta)^<2>=0.nonumber
$$
После преобразований получаем ((AC-B^<2>) times (Aalpha^<2>+2Balphabeta+Cbeta^<2>)=0). Поскольку исходное направление не асимптотическое, это произведение может обратиться в нуль только за счет первого сомножителя. Мы получаем новое утверждение.

Если линия не центральная ((delta=0)), то для любого направления ((alpha, beta)) сопряженное направление — асимптотическое (рис. 9.4). Если линия центральная ((delta neq 0)), то направление, сопряженное любому направлению, не асимптотическое.

Рис. 9.4. Сопряженные направления у параболы.

Главные направления.

Если диаметр перпендикулярен хордам, которым он сопряжен, то он является осью симметрии рассматриваемой линии.

Направление ((alpha, beta)) и направление ((alpha’, beta’)) сопряженного ему диаметра называются главными направлениями, если они перпендикулярны.

Если система координат декартова прямоугольная, то для главного направления компоненты ((alpha, beta)) должны быть пропорциональны коэффициентам уравнения eqref, то есть должно существовать такое число (lambda), что
$$
Aalpha+Bbeta=lambdaalpha, Balpha+Cbeta=lambdabeta.label
$$
Исключая (lambda), мы получаем уравнение для (alpha) и (beta):
$$
(A-C)alphabeta+B(beta^<2>-alpha^<2>)=0.label
$$

Если положить (alpha=cos varphi), (beta=sin varphi), то уравнение eqref превратится в уравнение (2B cos 2varphi = (A-C)sin 2varphi), которое, как мы видели, обязательно имеет решение относительно (varphi). Поэтому имеет место следующее утверждение.

Каждая линия второго порядка имеет хотя бы одну пару главных направлений.

Более подробное исследование уравнения eqref показывает, что либо эта пара единственная, либо каждая пара перпендикулярных направлений является главной. Последний случай имеет место, когда (A=C), (B=0). При этом уравнение линии приводится к одному из канонических видов: (x^<2>+y^<2>=a^<2>), (x^<2>+y^<2>=-a^<2>) или (x^<2>+y^<2>=0). В двух последних случаях линия не имеет хорд, и результат лишен геометрического смысла.

Касательная к линии второго порядка.

Как известно, касательной к какой-либо линии называется предельное положение секущей, когда хорда стягивается в точку. Выведем уравнение касательной к линии второго порядка, заданной уравнением eqref. Дадим предварительно следующее определение.

Особой точкой линии второго порядка называется ее центр, который лежит на линии.

Особыми точками являются: точка пересечения пары пересекающихся прямых, единственная точка пары мнимых пересекающихся прямых и каждая точка пары совпавших прямых. В особой точке касательная не определена. Если точка лежит на прямой, входящей в состав линии, то касательная в этой точке совпадает с прямой. Исключив эти случаи, мы фактически ограничиваемся рассмотрением касательных к эллипсам, гиперболам и параболам.

Рассмотрим точку (M_<0>(x_<0, y_<0>>)), лежащую на линии (L), и прямую с начальной точкой (M_<0>), заданную уравнением eqref. С нашей точки зрения, приведенное выше определение касательной означает, что уравнение eqref, определяющее точки пересечения (L) и прямой, имеет два совпадающих корня.

Так как начальная точка принадлежит (L), в уравнении eqref (R=0), и один из его корней равен нулю. Корни совпадают, если и второй корень равен нулю, для чего необходимо, чтобы (Q=0). Если при этом окажется, что и (P=0), то прямая принадлежит линии второго порядка. Этот случай мы исключили, и потому уравнение имеет кратный корень (t=0) в том и только том случае, когда (Q=0). Мы рассматриваем равенство (Q=0) как условие, определяющее направляющий вектор касательной:
$$
(Ax_<0>+By_<0>+D)alpha+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)beta=0.label
$$

Так как (M_<0>) не особая точка, обе скобки здесь одновременно в нуль не обращаются, и условие eqref определяет (alpha) и (beta) с точностью до общего множителя. Точка (M(x, y)) лежит на касательной тогда и только тогда, когда вектор (overrightarrowM>) коллинеарен (boldsymbol(alpha, beta)), то есть его координаты (x-x_<0>) и (y-y_<0>) удовлетворяют тому же условию, что и ((alpha, beta)):
$$
(Ax_<0>+By_<0>+D)(x-x_<0>)+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)(y-y_<0>)=0.label
$$

Это и есть уравнение касательной к линии (L) в точке (M_<0>), лежащей на линии. Уравнение eqref можно записать и иначе, если заметить, что координаты (M_<0>) удовлетворяют уравнению eqref и, следовательно,
$$
(Ax_<0>+By_<0>+D)x_<0>+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)y_<0>+Dx_<0>+Ey_<0>+F=0.nonumber
$$
Прибавляя это равенство к eqref и группируя слагаемые, получим окончательное уравнение
$$
Axx_<0>+B(xy_<0>+x_<0>y)+Cyy_<0>+D(x+x_<0>)+E(y+y_<0>)+F=0.label
$$

Особые точки.

Напомним, что особая точка линии второго порядка — это ее центр, лежащий на линии. Исследуем, при каких условиях линия второго порядка имеет особую точку. Для координат ((x_<0>, y_<0>)) особой точки должны быть справедливы равенства
$$
begin
& Ax_<0>+By_<0>+D=0, Bx_<0>+Cy_<0>+E=0,\
& Ax_<0>^<2>+2Bx_<0>y_<0>+Cy_<0>^<2>+2Dx_<0>+2Ey_<0>+F=0.
endnonumber
$$
Умножим первое из них на (x_<0>), второе на (y_<0>) и вычтем из третьего. Мы получим эквивалентную систему уравнений
$$
left<begin
Ax_<0>+By_<0>+D=0,\
Bx_<0>+Cy_<0>+E=0,\
Dx_<0>+Ey_<0>+F=0.
endright.label
$$
Выберем какой-нибудь базис в пространстве и рассмотрим вспомогательные векторы (boldsymbol

(A, B, D)), (boldsymbol(B, C, E)) и (boldsymbol(D, E, F)). Равенства eqref представляют собой координатную запись векторного равенства
$$
x_<0>boldsymbol

+y_<0>boldsymbol=-boldsymbol.label
$$
Отсюда следует, что при наличии особой точки векторы (boldsymbol

), (boldsymbol) и (boldsymbol) компланарны, и потому
$$
triangle=begin
A& B& D\
B& C& E\
D& E& F
end=0.label
$$

Если линия центральная, то векторы (boldsymbol

) и (boldsymbol) не коллинеарны, и условие компланарности eqref равносильно существованию разложения eqref, то есть существованию решения системы eqref. Мы получили ещё одно утверждение.

Центральная линия имеет особую точку тогда и только тогда, когда (triangle=0).

Итак, сочетание (delta 0), (triangle=0) — пары мнимых пересекающихся прямых.

Рассмотрим нецентральные линии. Для них существует центр, хотя бы не являющийся особой точкой, тогда и только тогда, когда (triangle=0). В этом (и только этом) случае векторы (boldsymbol

) и (boldsymbol) коллинеарны. Действительно, так как (delta=0), по предложению 9 § 2 гл. II, если система уравнений eqref имеет решение, она равносильна одному из составляющих ее уравнений: либо коэффициенты и свободный член одного из уравнений равны нулю, либо коэффициенты и свободные члены обоих уравнений пропорциональны. Тогда (triangle=0) независимо от (boldsymbol).

Обратно, пусть для нецентральной линии (triangle=0). Докажем, что (boldsymbol

) и (boldsymbol) коллинеарны, что равносильно совместности уравнений центра. Действительно, в противном случае (boldsymbol) по ним раскладывается, и согласно eqref существует особая точка. Она — центр, (boldsymbol

) и (boldsymbol) коллинеарны, и мы получаем противоречие.

Для нецентральных линий условие (triangle=0) равносильно существованию центра.

Итак, сочетание (delta=triangle=0) характеризует пары параллельных прямых (вещественных, мнимых или совпавших).

Из последних двух утверждений следует, что равенство (triangle=0) является инвариантным: оно не может измениться при переходе к другой системе координат.

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Линии второго порядка

1. Основные понятия.

6. Общее уравнение линий второго порядка.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

.

Коэффициенты уравнения – действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка.

ОКРУЖНОСТЬ

Простейшей кривой второго порядка является окружность.

Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке называется множество всех точек плоскости, удовлетворяющих условию .

Каноническое уравнение окружности .

Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса .

у

с – половина расстояния между фокусами; a – большая полуось; b – малая полуось.

и называются фокальными радиусами. ,

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

Определение.Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является эксцентриситет – величина, определяемая отношением: .

Замечание. Для эллипса .

Определение.Прямые называются директрисами эллипса.

Теорема. Если ­­– расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусы директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: .

Замечание. Если a = b, то c = 0, а значит, фокусы сливаются, и эллипс превращается в окружность.

Если же , то уравнение определяет эллипс, большая ось которого лежит на оси Оу, а малая ось – на оси Ох. Фокусы такого эллипса находятся в точках F₁ (0;с); F₂(0;-с), где b 2 = a 2 + c 2 .

Пример. Составьте уравнение эллипса, если его фокусы F₁(0; 0), F₂(1; 1), а большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: .

Расстояние между фокусами: 2c = , таким образом,

a 2 – b 2 = c 2 = .

По условию большая ось равна 2, то есть 2а = 2, откуда получаем, что

а = 1, b = .

Тогда искомое уравнение эллипса имеет вид: .

Гипербола

Определение. Гиперболойназывается линия, для всех точек которой модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы .

y

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси гиперболы связаны соотношением:

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Прямоугольник со сторонами 2а и2b называется основным прямоугольником гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Замечание.Для гиперболы эксцентриситет .

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/ε от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Определение. Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны ( ).

Ее каноническое уравнение .

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояние между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается : .

Кривая, определяемая уравнением , также есть гипербола, действительная ось которой расположена на оси , а мнимая ось – на оси .

Гиперболы и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Пример. Составьте уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса, заданного уравнением

Найдем фокусное расстояние для эллипса:

Тогда искомое уравнение гиперболы .

Парабола

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы y 2 = 2px .

у

[spoiler title=”источники:”]

http://univerlib.com/analytic_geometry/second_order_lines_and_surfaces/second_order_line/

http://poisk-ru.ru/s7872t3.html

[/spoiler]