Как найти центр масс равностороннего треугольника

Как найти центр масс равностороннего треугольника

Центр треугольника

Треугольник — наиболее распространенная форма деталей в сферах машиностроения и строительства. Точка пересечения 3-х медиан считается центром треугольника. На эту точку приходится также центр тяжести и центр симметрии предметов треугольной формы. При разработке дизайнерских, инженерных проектов очень важно точно рассчитать центр тяжести элементов металлической или бетонной конструкции.

Существует несколько понятий центра для треугольника.

Инцентр — точка пересечения его биссектрис. Это — центр описанной около треугольника окружности.

Ортоцентр — точка пересечения его высот.

Центр тяжести,центр масс или центроид (обозн. М) — точка пересечения медиан треугольника.

Рассмотрим треугольник. Определим середины его сторон и соединим их с противолежащими углами. Точка пересечения медиан и будет центром тяжести тр-ка. Медиана делится этой точкой в пропорции 2:1 , (считая от вершины тр-ка).

Как найти центр треугольника

Если известны координаты его вершин, найдем сумму трех значений координат «х» и трех значений координат «у». Поделим каждую сумму на 3, получим среднее значение сумм координат «х» и «у», что и будет координатами центра тяжести.

Центром равностороннего треугольника является точка пересечения высот, биссектрис и медиан.

Центр равностороннего треугольника является также центром вписанной и описанной окружности.

Центроид расположен на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности. Центроид делит отрезок 2:1.

Быстро найти центр треугольника G можно с помощью онлайн калькулятора. Для этого:

  • ввести в поле калькулятора координаты вершин треугольника;
  • нажать кнопку Вычислить. Калькулятор вычислит значение центра треугольника G.

Как найти центр масс треугольника?

Где находится центр масс равностороннего треугольника?

Центром равностороннего треугольника является точка пересечения высот, биссектрис и медиан. Центр равностороннего треугольника является также центром вписанной и описанной окружности. Центроид расположен на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности. Центроид делит отрезок 2:1.

Где находится центр масс?

Центр масс – точка пересечения прямых, вдоль которых действуют внешние силы, вызывающие поступательное движение тела. Это более общее понятие, чем понятие центра тяжести. Центр тяжести и центр масс часто совпадают. Центр масс симметричных тел находится в их геометрическом центре.

Где находится центр тяжести однородной пластинки треугольной формы?

1258 Из физики известно, что центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан.

Как найти центр масс четырехугольника?

Центроид (барицентр или центр масс) вершин произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника (двух отрезков, соединяющих середины противолежащих сторон) и (третьего) отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.

Где лежит центр тяжести в прямоугольном треугольнике?

Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике. . Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, как точка X(2).

Где находится центр тяжести у кольца?

Так, центр тяжести однородных диска и шара расположен в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т, д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться вне тела, например, у кольца.

Как экспериментально определить центр масс тела?

Объяснение: Для этого достаточно поочередно подвесить тело за две различные точки на его поверхности и провести через точки подвеса вертикали. Пересечение этих линий — линий действия сил тяжести — и определяет положение центра тяжести тела.

Где находится центр масс Солнечной системы?

Барицентром или центром масс Солнечной системы называется точка, где уравновешиваются массы самого Солнца, всех планет, лун и астероидов. Барицентр удалось определить с помощью пульсаров.

Что такое центр масс простыми словами?

Центр масс является точкой, характеризующей распределение масс в данном теле (или в механической системе). . Если тело движется поступательно под действием нескольких сил, значит, точка приложения равнодействующей этих сил находится в центре масс этого тела.

Где находится центр тяжести тонкой однородной пластинки имеющей форму прямоугольника?

Вероятно, вы знаете, что центр тяжести тонкой однородной пластинки, имеющей форму прямоугольника или форму ромба, находится в точке пересечения диагоналей, а если пластинка треугольная, то в точке пересечения медиан, если круглая, то в центре этого круга.

Как найти координаты центра тяжести в треугольнике?

Как найти координаты центра тяжести треугольника?

  1. Рисуем треугольник ABC.
  2. Ставим точку M – середина BC.
  3. Ставим точку H – середина AC.
  4. Пересечение BH и AM – и есть центр тяжести треугольника ABC.
  5. Найдем его координаты (координаты точки O (xo, yo, zo) )

Как найти центр масс системы?

Если положения N материальных точек системы задано при помощи их радиус-векторов, то радиус – вектор, определяющий положение центра масс находим как: ¯rc=N∑i=1mi¯riN∑i=1mi(4). Выражение (4) считают определением центра масс системы.

Как найти центр сложной фигуры?

1. Если фигура не имеет округлостей, то разбивай на треугольники. Точка пересечения биссектрис является центром тяжести треугольника. Вычисляешь массу каждого треугольника (если тело однородно, то m/M=s/S, где m и M массы, а s и S площади каждого треугольника и всей фигуры).

Когда центр масс тела совпадает с центром тяжести?

В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

Центр тяжести в физике – формулы и определение с примерами

Центр тяжести (центр масс):

Любое твердое тело можно представить как состоящее из множества материальных точек, на каждую из которых действует сила тяжести.

Центр тяжести – геометрическая точка абсолютно твердого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на данное тело при любом его положении в пространстве.

На каждую точку тела в поле сил тяжести действует сила, а на все тело – равнодействующая этих сил. Точка приложения равнодействующей называется центром тяжести тела.

Центр масс (центр инерции) – точка, характеризующая распределение масс в теле или системе тел. Представляется она как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и на которую действуют все приложенные к системе внешние силы.

При определенных условиях положение центра тяжести тела совпадает с положением центра его масс.

Положение центра масс тела в однородном поле тяжести совпадает с положением его центра тяжести.

При небольших размерах тел возле поверхности Земли поле сил тяжести можно считать однородным, а силы, действующие на каждую точку тела, – параллельными.

Чтобы сила тяжести не вызывала движения, необходимо соблюдать определенные условия.

Положение центра масс тела в однородном поле тяжести | совпадает с положением его центра тяжести.

Если тело закреплено в одной точке, например подвешено или лежит на опоре и пребывает в покое, то центр тяжести и точка опоры лежат на одной вертикали: сила тяжести, действующая на тело, уравновешивается реакцией точки опоры.

Если тело закреплено в одной точке (подвешено или лежит на опоре) и пребывает в покое, то центр тяжести и точка опоры лежат на одной вертикали.

Рассмотрим примеры определения центра тяжести (центра масс) тел правильной несложной геометрической формы.

1. Найдем центр тяжести однородного стержня (рис. 2.48). Разделим стержень на несколько одинаковых небольших объемов (в нашем случае на пять слева и справа от середины стержня). Если добавить две параллельные силы, которые действуют на объемы 1 и 1′, то их равнодействующая будет расположена в точке О – середине стержня.

Аналогично и для пар сил 2-2′, 3-3′ и т. д. На основании этого можно сделать вывод: центр тяжести однородного стержня 99 расположен в точке О — середине стержня.

Центр тяжести однородного стержня расположен в середине стержня.

2. Пользуясь рассмотренным выше приемом, можно установить, что центр тяжести однородного круга совпадает с его центром (рис. 2.49).

Таким образом, в однородных телах, имеющих центр симметрии (прямоугольник или круглая пластинка, шар, цилиндр и т. д.), центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться и вне тела, например у кольца или спичечной коробки, мяча или пустого стакана.

Центр тяжести однородного круга совпадает с его центром.

Центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан.

3. Найдем центр тяжести однородного треугольника (рис. 2.50), представим, что вся площадь треугольника поделена на узкие поло-
сы, параллельные любой из сторон треугольника, например АВ. Центр тяжести каждой такой полосы, как однородного стержня, находится в ее середине. Центр тяжести всего треугольника лежит где-то на медиане CD, которая проходит через середины всех отрезков, параллельных стороне АВ.

Если поделить треугольник на отрезки, параллельные стороне СВ, то с учетом предыдущих вычислений можно сделать вывод: центр тяжести треугольника будет лежать на медиане АЕ. На обеих медианах центр тяжести может лежать лишь в том случае, если он совпадает с точкой их пересечения О.

4. Чтобы найти центр тяжести плоской фигуры, надо ее подвесить за какую-нибудь точку 1; тогда фигура развернется так, что ее центр тяжести окажется на вертикали, которая проходит через точку подвеса (рис. 2.51).

Отметив направление этой вертикали, подвесим фигуру за другую точку 2. И в этом случае фигура развернется так, чтобы центр тяжести находился на вертикали, проходящей через новую точку подвеса. Отметим направление и этой вертикали.

Центр тяжести плоской фигуры расположен в точке О пересечения вертикалей, проведенных через две любые точки подвеса.

Когда нужно определить центр сил тяжести сложных фигур, необходимо исходить из того, что сила тяжести равна сумме сил тяжести частей тела и всегда приложена к центру этих сил.

Центр тяжести тела и центр масс тела

Когда мы рассматривали опыты с подвешенными телами, находящимися в равновесии, точка приложения сил натяжения была нам известна. А где приложена сила тяжести? В какой точке? Из этих опытов следует только то, что точка приложения силы тяжести при равновесии лежит на линии действия силы натяжения подвеса. Но это позволяет решить задачу о нахождении точки приложения силы тяжести экспериментальным путем. Если подвешивать плоское тело в разных точках (рис. 151), то линии действия сил натяжения пересекутся в одной точке С. Эта точка и будет точкой приложения силы тяжести. Она называется центром тяжести. Подобным образом можно определить положение центра тяжести не только плоского тела, но и любого другого.


Рис. 151

Очевидно, что положение центра тяжести тел правильной формы можно указать, не выполняя описанный опыт. Так, например, центр тяжести однородного шара находится в его геометрическом центре, поскольку любой диаметр является осью симметрии шара. Центр тяжести круглого диска также находится в его геометрическом центре, как и центр тяжести обруча или кольца, и т. д. Последний пример показывает, что центр тяжести тела может находиться вне тела.

Положение центра тяжести тела можно и вычислить. Предварительно рассмотрим следующий опыт. Пусть тело состоит из двух шаров массами m1 и m2, насаженных на стержень (рис. 152, а). Если масса стержня значительно меньше масс шаров, то ею можно пренебречь. На каждый из шаров действуют силы тяжести, приложенные в их центре тяжести. Для того чтобы система находилась в равновесии, призму надо расположить так, чтобы линия действия силы реакции призмы проходила через центр тяжести этой системы — точку С. В этом случае суммарный момент сил относительно точки C равен нулю, т. е. выполняется условие:


Следовательно, центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном отношению их масс. Соотношение (1) можно получить и иначе. Поскольку момент сил тяжести равен нулю, то он должен быть равен нулю и относительно любой горизонтальной оси, проходящей, например, через точку О. Иначе тело вращалось бы вокруг этой оси. Обозначим расстояние между точками C и О через а. Тогда алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно точки О примет вид:


Рис. 152

Поскольку F=(m1 + m2)g, то после несложных преобразований получим соотношение (1). Такой подход позволяет находить положение центра тяжести аналитически.

Направим ось Ox вдоль стержня (рис. 152, б). Выберем начало отсчета в произвольной точке О. тогда координаты точек приложения сил соответственно будут х1, хс и х2. Запишем условие моментов относительно точки О:

При выводе этой формулы было использовано значение силы F = (m1 + m2) g. Таким образом, центр тяжести этой системы тел отстоит от точки О на расстоянии хс, определенном формулой (2).

Напомним, что выражение (2) является следствием правила моментов при равновесии тела, но в правой части отсутствует ускорение свободного падения. В него входят только координаты центра тяжести тел и их массы, поэтому точка, координата которой определяется формулой (2), называется центром масс тела. Следует отметить, что центр масс и центр тяжести совпадают, если тело находится в однородном гравитационном поле.

Понятие центра масс является более общим, чем понятие центра тяжести. Центр масс является характеристикой тела или системы тел, важной не только для задач, где речь идет о силе тяжести, но и для решения других физических проблем.

Если произвольное тело можно разбить на n элементов, массы которых m1, m2. mn, и если известны координаты центров масс этих элементов x1, x2. xn относительно выбранной системы координат, то координата центра масс тела вычисляется по формуле:

Естественно, что такие же соотношения можно записать и для ус и zc. Для примера вычислим положение центра масс столярного угольника. Он состоит из деревянного бруска 1 и деревянной линейки 2, соединенных под прямым углом (рис. 153). Положим, что масса бруска 1 в два раза больше массы линейки (m1 = 2m2). Так как линейка и брусок — однородные параллелепипеды, то центры масс находятся в их геометрических центрах. Очевидно, что центр масс угольника находится где-то на линии, соединяющей центры масс бруска (C1) и линейки (C2).

Выберем наиболее оптимальным образом систему координат, как показано на рисунке. Тогда координаты центра масс бруска: х1 = 0, y1 =, а координаты центра масс линейки: , y2 = 0 .
По формуле (3): .

Таким образом, центр масс угольника находится вне тела.

Главные выводы:

  1. Центр тяжести — точка, в которой приложена сила тяжести.
  2. Центр масс симметричных однородных тел находится в их геометрическом центре.
  3. Координаты центра масс тела можно вычислить по формуле (3).
Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Физика
  2. Атомная физика
  3. Ядерная физика
  4. Квантовая физика
  5. Молекулярная физика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Импульс тела в физике
  • Замкнутая система в физике
  • Реактивное движение в физике
  • Освоение космоса – история, этапы и достижения с фотографиями
  • Международная система единиц СИ
  • Математика – язык физики
  • Законы Ньютона в физике
  • Гравитационные силы в физике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

[spoiler title=”источники:”]

http://topobzor10.ru/kak-naiti-tsentr-mass-treugolnika

http://www.evkova.org/tsentr-tyazhesti-v-fizike

[/spoiler]

Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Центр тяжести треугольника (центроид) – это точка центра масс. Представьте себе треугольную линейку, положенную на кончик карандаша. Линейка будет балансировать, если кончик карандаша будет находиться в ее центре тяжести. Расположение центроида, которое легко находится с помощью геометрии, необходимо знать при работе над дизайнерским или инженерным проектом.

  1. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 1

    1

    Найдите середину одной стороны треугольника. Для этого измерьте сторону и разделите ее длину пополам. Середину отметьте точкой A.

    • Например, если сторона треугольника равна 10 см, то середина находится на расстоянии 5 см (10/2=5) от вершины треугольника.

  2. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 2

    2

    Найдите середину второй стороны треугольника. Для этого измерьте сторону и разделите ее длину пополам. Середину отметьте точкой В.

    • Например, если вторая сторона треугольника равна 12 см, то середина находится на расстоянии 6 см (12/2=6) от вершины треугольника.

  3. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 3

    3

    Соедините середины сторон с противолежащими вершинами. Вы получите две медианы.[1]

    • Вершина – это точка, в которой сходятся две стороны треугольника.

  4. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 4

    4

    Отметьте точку пересечения двух медиан. Эта точка является центром тяжести треугольника.[2]
    [3]

    • Центр тяжести находится на пересечении трех медиан, но так как медианы всегда пересекаются в одной точке, можно работать только с двумя медианами.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 5

    1

    Проведите медиану. Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Можно работать с любой медианой.

  2. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 6

    2

    Измерьте длину медианы. Сделайте это аккуратно и точно.

    • Например, медиана равна 3,6 см.

  3. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 7

    3

    Найдите третью часть (треть) медианы. Для этого разделите длину медианы на три. Сделайте это аккуратно и точно. Округлив полученное значение, вы не найдете центроид.

    • В нашем примере медиана равна 3,6 см. Поэтому разделите 3,6 на 3:
      3,6/3=1,2. Таким образом, треть медианы равна 1,2 см.

  4. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 8

    4

    Треть медианы отметьте точкой. Эта точка является центроидом, потому что он всегда делит медиану треугольника в отношении 2:1. То есть центр тяжести находится на расстоянии, которое равно ⅓ длины медианы, от середины стороны, или на расстоянии, которое равно ⅔ длины медианы, от вершины треугольника.[4]

    • Например, если медиана равна 3,6 см, то центроид находится на расстоянии 1,2 см от середины стороны.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 9

    1

    Определите координаты трех вершин треугольника. Координаты могут быть даны; в противном случае будет дан треугольник, построенный на координатной плоскости. Координаты представляются в виде (x,y).

    • Например, дан треугольник PQR, вершины которого имеют следующие координаты: P (3,5), Q (4,1), R (1,0).

  2. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 10

    2

    Сложите значения координат «х». Не забудьте сложить все три значения. Вы не найдете центр тяжести, если будете работать только с двумя значениями.

    • Например, если координаты «х» равны 3, 4 и 1, сложите эти значения: 3+4+1=8.

  3. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 11

    3

    Сложите значения координат «у». Не забудьте сложить все три значения.

    • Например, если координаты «у» равны 5, 1 и 0, сложите эти значения: 5+1+0=6.

  4. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 12

    4

    Найдите средние значения сумм координат «х» и «у». Полученные значения будут соответствовать центру тяжести треугольника.[5]
     Чтобы найти среднее значение, разделите каждую сумму на 3.

  5. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 13

    5

    Нанесите точку центра тяжести на треугольник. Центр тяжести находится в точке, координаты которой равны средним значениям сумм координат «х» и «у».

    • В нашем примере центр тяжести – это точка с координатами (8/3,2).

    Реклама

Советы

  • Не имеет значения, с какой стороной треугольника вы работаете – центр тяжести будет находится в одной и той же точке. Если построить медианы для всех трех сторон, они пересекутся в одной точке.

Реклама

Похожие статьи

Об этой статье

Эту страницу просматривали 145 001 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

$begingroup$

I have a pentagon lamina with all the sides length 8cm to find the centre of mass of the pentagon do you do:

$$frac{4+8+ frac{1}{3}*something?}{8^2+16sqrt3}$$

A uniform lamina ABCDE consists of a square ACDE and an equilateral triangle ABC. Find the distance of the centre of mass from AC.

asked Jun 17, 2013 at 20:22

maxmitch's user avatar

maxmitchmaxmitch

6416 silver badges16 bronze badges

$endgroup$

4

$begingroup$

Specifying the sides is not enough. You probably mean that also the angles are all equal, so we are dealing with the regular pentagon of side $8$.

The centre of mass will be at the centre of the circle that the regular pentagon is inscribed in.

To describe the location of the centre, imagine that $AB$ is one of the edges, and let $O$ be the centre of the circle. Let $M$ be the midpoint of $AB$. To get to $O$, we draw the perpendicular bisector of $AB$, and go up a distance $d$ from $M$, where $d=4tan(54^circ)$.

Remark: One can get an explicit expression for the required $tan(54^circ)$ in terms of square roots if that is desired. It turns out that
$$tan(54^circ)=frac{1}{sqrt{5-2sqrt{5}}}.$$

answered Jun 17, 2013 at 20:35

André Nicolas's user avatar

André NicolasAndré Nicolas

499k47 gold badges537 silver badges969 bronze badges

$endgroup$

2

$begingroup$

Ler $A$ be the center of mass of the triangle, $B$ of the square, $C$ of the lamina. Then (we are calculating a barycentre), $$C = frac{text{Area(triangle)}A + text{Area(square)}B}{text{Area(lamina)}}$$.

$$B = (4,4)$$ $$C = (4, 8+4 tan(pi/6)) = (4, 8 + 4/sqrt{3})$$
$$Area(square) = 64$$
$$text{Area(triangle)} = 8 times 4tan(pi/3) = 16sqrt{3}$$

If we put $C=(x,y)$, $x=4$ and $$y = frac{64times4 + 16sqrt{3} times (8 + 4/sqrt{3})}{16sqrt{3} + 64}$$

answered Jun 17, 2013 at 22:47

justt's user avatar

justtjustt

4,32310 silver badges12 bronze badges

$endgroup$

You must log in to answer this question.

Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged

.

Источник

Центр тяжести тела, теория и онлайн калькуляторы

Центр тяжести тела

Как известно, сила тяжести тела равна векторной сумме сил тяжести, которые действуют на все материальные точки, на которые можно разбить рассматриваемое тело. Точку, к которой приложена результирующая сила тяжести, называют центром тяжести. Если известно положение центра тяжести, то можно считать, что на тело действует только одна сила тяжести, приложенная к центру тяжести.

Следует учитывать, что силы тяжести, действующие на отдельные элементы тела, направлены к центру Земли и не являются строго параллельными. Но так как размеры большинства тел на Земле много меньше ее радиуса, поэтому эти силы считают параллельными.

Определение центра тяжести тела

Определение

Центром тяжести называют точку, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на материальные точки, на которые разбито рассматриваемое тело, при любом положении тела в пространстве.

Центр тяжести – это точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести равен нулю при любом положении тела.

От положения центра тяжести зависит устойчивость всех конструкций.

Как найти центр тяжести?

Для нахождения центра тяжести тела сложной формы необходимо мысленно разбить тело на части простой формы и определить место нахождения центров тяжести для них. У тел простой формы центр тяжести определяют, используя их симметрию. Так, центр тяжести однородных диска и шара расположен в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т, д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться вне тела, например, у кольца.

Определив, где расположены центры тяжести отдельных частей тела, переходят к поиску места расположения центра тяжести тела в целом. Тело представляют в виде системы материальных точек. При этом каждая точка имеет массу своей части тела и располагается в ее центре тяжести.

Координаты центра тяжести тела

В трехмерном пространстве координаты центра тяжести для твердого тела нахояд как:

[left{ begin{array}{c}
x_c=frac{sumlimits_i{Delta m_ix_i}}{m};; \
y_c=frac{sumlimits_i{Delta m_iy_i}}{m};; \
z_c=frac{sumlimits_i{Delta m_iz_i}}{m} end{array}
right.left(1right),]

где $m$ – масса тела.$;;x_i$ – координата на оси X элементарной массы $Delta m_i$; $y_i$ – координата на оси Y элементарной массы $Delta m_i$; ; $z_i$ – координата на оси Z элементарной массы $Delta m_i$.

В векторной форме записи система уравнений (1) представляется как:

[{overline{r}}_c=frac{1}{m}sumlimits_i{m_i{overline{r}}_ileft(2right),}]

${overline{r}}_c$ – радиус – вектор, определяющий положение центра тяжести; ${overline{r}}_i$ – радиус-векторы, которые определяют положения элементарных масс.

Центр тяжести, центр масс и центр инерции тела

Считают, что центр тяжести тела совпадают с центром масс тела, если его размеры малы в сравнении с расстоянием до центра Земли. При этом формулы, которые определяют положение цента тяжести и центра масс тела совпадают с выражениями (1) и (2). В основной массе задач центр тяжести принимают совпадающим с центром масс тела.

Сила инерции в неинерциальных системах отсчета, движущихся поступательно, приложена к центру тяжести тела.

Но центробежная сила инерции (в общем случае) не приложена к центру тяжести, поскольку в неинерциальной системе отсчета на элементы тела действуют разные центробежные силы инерции (даже если массы элементов равны), так как расстояния до оси вращения разные.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание: Каковы координаты центра тяжести системы из трех точечных масс, расположенных в вершинах и одной в центре равностороннего треугольника, со стороной равной $a (м)$ (рис.1)?

Центр тяжести тела, пример 1

Решение: Определение для координат $x_c и y_c$ центра тяжести в нашем случае запишем в виде:

[x_c=frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+m_4x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}(1.1);;]

[y_c=frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3+m_4y_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}(1.2).]

Из рис.1 мы видим, что соответствующие абсциссы точек равны:

[left{ begin{array}{c}
m_1=2m, x_1=0;; \
{rm }m_2=3m, x_2=frac{a}{2};; \
m_3=m, x_3=frac{a}{2};; \
m_4=4m, x_4=a. end{array}
right.left(1.3right).]

Тогда абсцисса центра тяжести получается равной:

[x_c=frac{2mcdot 0+3mcdot frac{a}{2}+mcdot frac{a}{2}+4mcdot a}{2m+3m+m+4m}=frac{6ma}{10m}=0,6a (м);]

Найдем ординаты точек.

[ begin{array}{c}
m_1=2m, y_1=0;; \
{rm }m_2=3m, y_2=frac{asqrt{3}}{2};; \
m_3=m, y_3=frac{asqrt{3}}{6};; \
m_4=4m, y_4=0. end{array}
left(1.4right).]

Для того чтобы найти ординату $y_2$ найдем, высоту в равностороннем треугольнике:

[h=sqrt{a^2-frac{a^2}{4}}=frac{asqrt{3}}{2}=y_2left(1.5right).]

Ординату $y_3$ найдем, учитывая, что медианы в равностороннем треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1 от вершины, имеем:

[y_3=hcdot frac{1}{3}=frac{asqrt{3}}{6} left(1.6right).]

Вычислим ординату центра тяжести:

[y_c=frac{2mcdot 0+3mcdot frac{asqrt{3}}{2}+mcdot frac{asqrt{3}}{6}+4mcdot 0}{2m+3m+m+4m}=frac{10mfrac{asqrt{3}}{6}}{10m}=frac{asqrt{3} }{6}(м).]

Ответ: $x_c=0,6a {rm }{rm м}$; $y_c=frac{asqrt{3} }{6}$ м

   

Пример 2

Задание: Каковы координаты центра тяжести системы из четырех элементарных масс, расположенных в вершинах куба со стороной равной $a$ (рис.2)?

Центр тяжести тела, пример 2

Решение: Координату $x_c$ центра тяжести найдем как:

[x_c=frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+m_4x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=frac{mcdot a+2mcdot 0+3mcdot 0+4mcdot 0}{m+2m+3m+4m}=frac{am}{10m}=0,1 aleft(мright).]

Ординату центра тяжести вычислим как:

[y_c=frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3+m_4y_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=frac{mcdot 0+2mcdot 0+3mcdot a+4mcdot 0}{m+2m+3m+4m}=frac{acdot 3m}{10m}=0,3a left(мright).]

Для координаты $z_c$ получаем:

[z_c=frac{m_1z_1+m_2z_2+m_3z_3+m_4z_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=frac{mcdot 0+2mcdot a+3mcdot 0+4mcdot 0}{m+2m+3m+4m}=frac{acdot 2m}{10m}=0,2a left(мright).]

Ответ: ($x_{c, }y_c, z_c$)=($ 0,1 a$, $0,3a$, $0,2a$)(м)

   

Читать дальше: циклическая частота колебаний.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник
Центроид треугольника
Медианы и центроид треугольника
Медианы и центроид треугольника
Барицентрические координаты 1 : 1 : 1
Трилинейные координаты {displaystyle {frac {1}{a}}:{frac {1}{b}}:{frac {1}{c}}}
Код ЭЦТ X(2)
Связанные точки
Изогонально сопряженная точка Лемуана
Изотомически сопряженная она же
Дополнительная[es] она же
Антидополнительная[es] она же

Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике[1].

Центроид традиционно обозначается латинской буквой M. Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, как точка X(2).

Свойства[править | править код]

  • Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
  • Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой внутри массой также находится в центроиде.
  • Если M — центроид треугольника ABC то для любой точки O верно равенство
    {displaystyle {overrightarrow {OM}}={frac {1}{3}}({overrightarrow {OA}}+{overrightarrow {OB}}+{overrightarrow {OC}})}.
  • Центроид является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника принимает наименьшее значение (теорема Лейбница).
  • Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
  • Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырёхугольника (равной площади).
  • При изогональном сопряжении центроид переходит в точку Лемуана (в точку пересечения трех симедиан треугольника).
  • Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в центроиде треугольника.
  • Пусть ABC — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника ABC, называется окружностью Парри треугольника ABC.
  • Три чевианы, проведённые через произвольную точку O внутри треугольника, делят своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. Произведение длин трёх из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально, если точка O совпадает с центроидом[2].
  • Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:
AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).[3]
{displaystyle {frac {q_{a}}{q_{b}}}={frac {b}{a}},quad {frac {q_{b}}{q_{c}}}={frac {c}{b}},quad {frac {q_{a}}{q_{c}}}={frac {c}{a}}}
и
{displaystyle q_{a}cdot a=q_{b}cdot b=q_{c}cdot c={frac {2}{3}}S},
где S — площадь треугольника.

История[править | править код]

Факт того, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.

Вариации и обобщения. Центроиды в четырёхугольнике[править | править код]

  • Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.

Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины

  • Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центроиды этих четырёх треугольников лежат на одной окружности[5].
  • У выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, «центроид площади» или центр масс его площади Ga, вершинный центроид или центр масс четырёх его вершин Gv и точка пересечения его диагоналей P коллинеарны. Расстояния между этими точками удовлетворяют формуле[6]
PG_{a}={tfrac {4}{3}}PG_{v}.

См. также[править | править код]

  • Барицентр
  • Центр тяжести
  • Центр масс
  • Ортоцентр
  • Инцентр
  • Замечательные точки треугольника
  • Геометрия треугольника

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Е. Смирнова. Планиметрия: виды задач и методы их решений. Элективный курс для учащихся 9—11 классов. — Litres, 2017-09-05. — С. 165. — 417 с.
  2. ↑ Зетель, 1962, с. 12.
  3. ↑ Altshiller-Court (1925, pp. 70–71)
  4. ↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007
  5. ↑ Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), 2.3 Cyclic quads, Mathematical Olympiad Treasures, Springer, с. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
  6. ↑ Bradley, Christopher (2011), Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral, <http://people.bath.ac.uk/masgcs/Article141.pdf>

Литература[править | править код]

  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 80-81. — ISBN 5-94057-170-0.
  • Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
  • Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М: Учпедгиз, 1962. 153 с.
  • Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble
Источник

Добавить комментарий