Найдем массу свинца, равную по объему полости.
Т.к. центр массы шара без полости находится в его центре, то для нахождения центра масс шара без полости воспользуемся формулой для определения центра масс. Центр шара имеет координату ноль.
Большой шар состоит из двух тел: тела, центр масс которого нужно найти, и малого шара радиусом (3/4) R, касающегося поверхности большого шара.
Необходимо представить тело и малый шар как материальные точки с массами m1 и m2 и поместить их в центры масс тела и малого шара с координатами x1 и x2. Тогда координаты центра масс большого шара определяются уравнением:
x = (x1m1 + x2m2) / m,
где m — масса большого шара.
Отсюда легко выразить искомую координату:
x1 = (xm − x2m2) / m1.
Если за ноль взять центр масс большого шара, то:
x2 = R − (3/4) R = R / 4,
x = 0.
m2 = ρV2 = ρ (4/3) π (3/4)3 R3;
m1 = ρV1 = ρ (V − V2).
В итоге x1 = −(27/148) R.
Центр тяжести системы тел
В этой статье рассмотрены две задачи, которые немного похожи друг на друга. В обеих надо найти центр тяжести системы, а система состоит из частей. И иногда очень удобно «вернуть на место» ту часть, которой изначально не было, понять, как она влияла, пока ее не изъяли.
Задача 1.
В свинцовом шаре сделана сферическая полость, поверхность которой касается шара и проходит через его центр. Масса сплошного шара равна 
, радиус шара . Найдите положение центра тяжести получившегося тела.
Задача эта совсем несложная, но мыслить надо «от обратного». Представим себе, что полость есть, и она пустая. Тогда центр тяжести шара, очевидно, сместится от центра шара – точки О – вправо по линии АВ. Теперь представим, что мы заполнили пустоту, и полости нет. То есть она намечена, но снова заполнена. Тогда момент, создаваемый материалом в полости, и момент, создаваемый остальной частью шара, уравновесят друг друга, вследствие чего центр масс всего шара и оказывается в точке О.
К задаче 1
Тогда относительно точки записываем правило моментов:
Выясним, какую по массе часть шара вырезали. Для этого определим объем вырезанной части:
И найдем, какую часть эта величина составляет от объема большого шара:
То есть масса вырезанной части равна массы шара, тогда:
Ответ:
Задача 2.
В цилиндрический стакан наливают воду. При каком положении уровня воды в стакане центр тяжести стакана с водой занимает наинизшее положение?
Давайте разбираться. Пусть есть стакан, предположим, что его центр тяжести расположен так:
К задаче 2. Центр тяжести стакана без воды или с малым количеством воды
Это значит, что верхняя часть стакана весит столько же, сколько нижняя.
Начинаем потихоньку добавлять воду в стакан. Сначала уровень воды в стакане мал – то есть мы увеличиваем вес нижней части стакана. Если нижняя часть становится «влиятельнее», следовательно, центр тяжести системы смещается вниз. Он будет расположен где-то между центром тяжести воды и центром тяжести пустого стакана. Возможное место расположения центра тяжести системы показано рыжей линией.
Теперь нальем воды ровно по уровень центра тяжести пустого стакана. Пока наблюдаем ту же картину: центр тяжести системы расположен где-то между центром тяжести воды и центром тяжести пустого стакана, потому что пока мы утяжеляли только нижнюю часть стакана. И утяжелили ее до предела: если наливать воду дальше, то вес этой воды уже будет увеличивать вес верхней половины стакана.
К задаче 2. Смещение центра тяжести вверх
Снова прибавим воды. Ага, теперь утяжеляется уже верхняя часть, следовательно, центр тяжести смещается выше.
Наконец, видно, что дальнейшее прибавление количества воды будет «сдвигать» центр тяжести все выше и выше. Но по-прежнему центр тяжести системы расположен между центром тяжести воды и стакана.
Ответ: центр тяжести стакана с водой занимает одно из возможных наинизших положений, пока уровень воды не сравняется с центром тяжести пустого стакана.
Дано:
R = 39см,
r = 13см;
Найти: X – ?
Исходя из симметрии центр масс шара с полостью находится на оси, которая соединяет центры шара и полости, на расстоянии Х от центра шара. Если полость полностью заполнить массой из того же вещества, из которого сделан большой шар, то масса m маленького шара будет (R/r)^3 = (39см/13см)^3 = 3^3 = 27 раз меньше массы M большого шара без полости.
Общий центр масс для шара с полостью и маленького шара будет находится в центре большого шара. Центр масс малого шара находится на расстоянии R – r = 39см – 13см = 26см от центра большого шара.
Можем составить уравнение для нахождения центра масс двух тел; Расстояния будем считать с центра большого шара:
(M – m) * X – m * (R – r) = (M + m) * 0;
Здесь
(M – m) – масса шара с полостью;
Второй член взят со знаком минус, так как расстояния Х и (R – r) находятся в противоположных сторонах от точки отсчета;
Получаем:
(M – m) * X = m * (R – r);
(27 * m – m) * X = m * (R – r);
26 * X = 26см
X = 1см.
Ещё можно решить, если подойти в некотором роде с конца.
Положим, что у нас есть этот шар с полостью и ещё шар такого же материала и размером с эту полость. И находится там где полость.
Если мы хотим найти центр масс системы этих шаров, то сложим радиус-векторы из центров масс (положения на с умом выбранной оси в данном случае) , помноженные на их массы и поделим на суммарную массу. А где будет центр масс системы? Ведь это просто большой шар, значит в его центре. Положение центра масс малого шара уже в его центре, который легко вычислить. Значит осталось выразить из этого полжоение центра масс полого шара.
Соответственно получили способ решения. Чтобы найти центр масс полого шара, надо найти центр масс системы полного шара и объекта на месте полости, только.. . отрицательной массы. Просто удобная абстракция.
Ещё на это можно посмотреть как на такое действие – в месте полости прибавили и вычли шар. Та же самая абстракция.
>^.^<
