Как найти центр отрезка на координатной плоскости

Определение.

Середина отрезка – это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек.

Середина отрезка

В геометрических задачах часто можно столкнуться с необходимостью найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, например в задачах поиска медианы, средней линии, …

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

  • Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xaya) и B(xbyb) на плоскости:
    xc xa + xb        yc ya + yb
    2 2

  • Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xayaza) и B(xbybzb) в пространстве:
    xc xa + xb      yc ya + yb      zc za + zb
    2 2 2

Примеры задач на вычисление середины отрезка

Примеры вычисления координат середины отрезка на плоскости

Пример 1.

Найти координаты точки С, середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3) и B(6, 5).

Решение.

xc xa + xb  =  -1 + 6  =  5  = 2.5
2 2 2
yc ya + yb  =  3 + 5  =  8  = 4
2 2 2

Ответ: С(2.5, 4).

Пример 2.

Найти координаты точки В, если известны координаты точки C(1; 5), середины отрезка AB и точки A(-1, 3).

Решение.

xc =

xa + xb2

=> xb = 2xc – xa = 2·1-(-1)=2+1=3

yc =

ya + yb2

=> yb = 2yc – ya = 2·5-3=10-3=7

Ответ: B(3, 7).

Примеры вычисления координат середины отрезка в пространстве

Пример 3.

Найти координаты точки С середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3, 1) и B(6, 5, -3).

Решение.

xc xa + xb  =  -1 + 6  =  5  = 2.5
2 2 2
yc ya + yb  =  3 + 5  =  8  = 4
2 2 2
zc za + zb  =  1 + (-3)  =  -2  = -1
2 2 2

Ответ: С(2.5, 4, -1).

Пример 4.

Найти координаты точки В если известны координаты точки C(1, 5, 2), середины отрезка AB и точки A(-1, 3, 10).

Решение.

xc =

xa + xb2

=> xb = 2xc – xa = 2·1-(-1)=2+1=3

yc =

ya + yb2

=> yb = 2yc – ya = 2·5-3=10-3=7

zc =

za + zb2

=> zb = 2zc – za = 2·2-10=4-10=-6

Ответ: B(3, 7, -6).

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Содержание:

Декартовы координаты на плоскости:

Изучая материал этой лекции, вы расширите свои знания о координатной плоскости.

Вы научитесь находить длину отрезка и координаты его середины, зная координаты его концов.

Сформируете представление об уравнении фигуры, выведете уравнения прямой и окружности.

Ознакомитесь с методом координат, позволяющим решать геометрические задачи средствами алгебры.

Расстояние между двумя точками с заданными координатами. Координаты середины отрезка

В 6 классе вы ознакомились с координатной плоскостью, то есть с плоскостью, на которой изображены две перпендикулярные координатные прямые (ось абсцисс и ось ординат) с общим началом отсчета (рис. 8.1). Вы умеете отмечать на ней точки по их координатам и наоборот, находить координаты точки, отмеченной на координатной плоскости.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Договорились координатную плоскость с осью Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Координаты точки на плоскости Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют декартовыми координатами в честь французского математика Рене Декарта (см. рассказ на с. 103).

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Вы знаете, как находить расстояние в между двумя точками, заданными своими координатами на координатной прямой. Для точек Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 8.2) имеем:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Научимся находить расстояние между точками Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемзаданными на плоскости Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Рассмотрим случай, когда отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.3).

Через точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением проведем прямые, перпендикулярные координатным осям. Получим прямоугольный треугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением в котором Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемДекартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Тогда формулу расстояния между точками Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением можно записать так:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Докажите самостоятельно, что эта формула остается верной и для случая, когда отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением перпендикулярен одной из осей координат.

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — точки плоскости Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Найдем координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — середины отрезка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Рассмотрим случай, когда отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.4). Будем считать, что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (случай, когда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемрассматривается аналогично). Через точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемДекартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением проведем прямые, перпендикулярные оси абсцисс, которые пересекут эту ось соответственно в точках Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением По теореме Фалеса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Поскольку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемто можем записать: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Аналогично можно показать что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Формулы для нахождения координат середины отрезка остаются верными и для случая, когда отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением перпендикулярен одной из осей координат. Докажите это самостоятельно.

Пример №1

Докажите, что треугольник с вершинами в точках Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является равнобедренным прямоугольным.

Решение:

Используя формулу расстояния между двумя точками, найдем стороны данного треугольника:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то есть треугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением равнобедренный.

Поскольку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то треугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением прямоугольный. Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №2

Точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — середина отрезка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Найдите координаты точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решение:

Обозначим Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — координаты точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемДекартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — координаты точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — координаты точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Поскольку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то получаем: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Аналогично Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №3

Докажите, что четырехугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с вершинами в точках Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является прямоугольником.

Решение:

Пусть точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — середина диагонали Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — середина диагонали Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Таким образом, точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением совпадают, то есть диагонали четырехугольника Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением имеют общую середину. Отсюда следует, что четырехугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — параллелограмм.

Найдем диагонали параллелограмма:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, диагонали параллелограмма Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением равны. Отсюда следует, что этот параллелограмм является прямоугольником. Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Уравнение фигуры. Уравнение окружности

Из курса алгебры 7 класса вы знаете, какую фигуру называют графиком уравнения. В этом пункте вы ознакомитесь с понятием уравнения фигуры.

Координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением каждой точки параболы, изображенной на рисунке 9.1, являются решением уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением И наоборот, каждое решение уравнения с двумя переменными Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является координатами точки, лежащей на этой параболе. В этом случае говорят, что уравнение параболы, изображенной на рисунке 9.1, имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Определение. Уравнением фигуры Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением заданной на плоскости Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют уравнение с двумя переменными Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением обладающее следующими свойствами:

  1. если точка принадлежит фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то ее координаты являются решением данного уравнения;
  2. любое решение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Например, уравнение прямой, изображенной на рисунке 9.2, имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением а уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 9.3, имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Принято говорить, что, например, уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением задают прямую и гиперболу соответственно.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Если данное уравнение является уравнением фигуры Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то эту фигуру можно рассматривать как геометрическое место точек (ГМТ), координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Пользуясь этими соображениями, выведем уравнение окружности радиуса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с центром в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — произвольная точка данной окружности (рис. 9.4). Тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Используя формулу расстояния между точками, получим:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Отсюда

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Мы показали, что координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением произвольной точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением данной окружности являются решением уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Теперь покажем, что любое решение уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является координатами точки, принадлежащей данной окружности.

Пусть пара чисел Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — произвольное решение уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Это равенство показывает, что точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением удалена от центра окружности Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением на расстояние, равное радиусу окружности, а следовательно, точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежит данной окружности.

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 9.1. Уравнение окружности радиуса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с центром в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением имеет вид

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Верно и такое утверждение: любое уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является уравнением окружности радиуса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с центром в точке с координатами Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Если центром окружности является начало координат (рис. 9.5), то Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением В этом случае уравнение окружности имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №4

Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решение:

Поскольку центр окружности является серединой диаметра, то можем найти координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением центра Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением окружности:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Радиус окружности Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением равен отрезку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №5

Докажите, что уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением задает окружность. Найдите координаты центра и радиус этой окружности.

Решение:

Представим данное уравнение в виде Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и радиусом Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №6

Докажите, что треугольник с вершинами в точках Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является прямоугольным, и составьте уравнение окружности, описанной около треугольника Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решение:

Найдем квадраты сторон данного треугольника:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Поскольку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то данный треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Центром описанной окружности является середина гипотенузы Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением радиус окружности Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемСледовательно, искомое уравнение имеет вид

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Уравнение прямой

В предыдущем пункте, рассматривая окружность как ГМТ, равноудаленных от данной точки, мы вывели ее уравнение. Для того чтобы вывести уравнение прямой, рассмотрим ее как ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — данная прямая. Выберем две точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением так, чтобы прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением была серединным перпендикуляром отрезка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 10.1).

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — произвольная точка прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда по свойству серединного перпендикуляра отрезка выполняется равенство Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то есть

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Мы показали, что координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением произвольной точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением являются решением уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Теперь покажем, что любое решение уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является координатами точки, принадлежащей данной прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — произвольное решение уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Это равенство означает, что точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением равноудалена от точек Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением следовательно, точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежит серединному перпендикуляру отрезка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то есть прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Итак, мы доказали, что уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является уравнением данной прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Однако из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение прямой выглядит гораздо проще, а именно: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно. Покажем, что уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением можно преобразовать к такому виду. Возведем обе части уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением в квадрат. Имеем:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Обозначив Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получим уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Поскольку точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением различны, то хотя бы одна из разностей Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равна нулю. Следовательно, числа Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно.

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 10.1. Уравнение прямой имеет вид?

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно.

Верно и такое утверждение: любое уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.

Если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то графиком уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является вся плоскость Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемЕсли Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то уравнение не имеет решений.

Из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют линейным уравнением с двумя переменными. Уравнение прямой является частным видом линейного уравнения. Схема, изображенная на рисунке 10.2, иллюстрирует сказанное.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

на уроках алгебры в 7 классе мы приняли без доказательства тот факт, что графиком линейной функции Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является прямая. Сейчас мы можем это доказать.

Перепишем уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Мы получили уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением для случая, когда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Поскольку в этом уравнении Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то мы получили уравнение прямой.

А любую ли прямую на плоскости можно задать уравнением вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемОтвет на этот вопрос отрицательный.

Дело в том, что прямая, перпендикулярная оси абсцисс, не может являться графиком функции, а следовательно, не может быть задана уравнением вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Вместе с тем, если в уравнении прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принять Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то его можно переписать так: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Мы получили частный вид уравнения прямой, все точки которой имеют одинаковые абсциссы. Следовательно, эта прямая перпендикулярна оси абсцисс. Ее называют вертикальной.

Если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то уравнение прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением можно записать так:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Обозначив Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получим уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то уравнение прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением задает вертикальную прямую; если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то это уравнение задает невертикальную прямую.

Уравнение невертикальной прямой удобно записывать в виде Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Данная таблица подытоживает материал, рассмотренный в этом пункте.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №7

Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решение:

1) Поскольку данные точки имеют равные абсциссы, то прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является вертикальной. Ее уравнение имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

2) Поскольку данные точки имеют разные абсциссы, то прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не является вертикальной. Тогда можно воспользоваться уравнением прямой в виде Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Подставив координаты точек Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением в уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получаем систему уравнений:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решив эту систему уравнений, находим, что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №8

Найдите периметр и площадь треугольника, ограниченного прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и осями координат.

Решение:

Найдем точки пересечения данной прямой с осями координат.

С осью абсцисс: при Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получаем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

С осью ординат: при Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получаем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, данная прямая и оси координат ограничивают прямоугольный треугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 10.3) с вершинами Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Найдем стороны треугольника: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда искомые периметр и площадь соответственно равны Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Угловой коэффициент прямой

Рассмотрим уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Оно задает невертикальную прямую, проходящую через начало координат.

Покажем, что прямые Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны.

Точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежат прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением а точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежат прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 11.1). Легко убедиться (сделайте это самостоятельно), что середины диагоналей Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением четырехугольника Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением совпадают. Следовательно, четырехугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — параллелограмм. Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Теперь мы можем сделать такой вывод: если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то прямые Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны (1).

Пусть прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением пересекает единичную полуокружность в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 11.2). Угол Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют углом между данной прямой и положительным направлением оси абсцисс.

Если прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением совпадает с осью абсцисс, то угол между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс считают равным Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Если прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением образует с положительным направлением оси абсцисс угол Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то считают, что и прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельная прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением также образует угол Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с положительным направлением оси абсцисс (рис. 11.3).

Рассмотрим прямую Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением уравнение которой имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением(рис. 11.2). Если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Поскольку точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежит прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Таким образом, для прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получаем, что

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — угол, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс. Поэтому коэффициент Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют угловым коэффициентом этой прямой.

Если невертикальные прямые параллельны, то они образуют равные углы с положительным направлением оси абсцисс. Тогда тангенсы этих углов равны, следовательно, равны и их угловые коэффициенты. Таким образом,

если прямые Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны, то Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (2).

Выводы (1) и (2) объединим в одну теорему.

Теорема 11.1. Прямые Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны тогда и только тогда, когда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №9

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и параллельна прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решение:

Пусть уравнение искомой прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Поскольку эта прямая и прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны, то их угловые коэффициенты равны, то есть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, искомое уравнение имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Учитывая, что данная прямая проходит через точку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получаем: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Искомое уравнение имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Метод координат

Мы часто говорим: прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением парабола Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением окружность Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением тем самым отождествляя фигуру с ее уравнением. Такой подход позволяет сводить задачу о поиске свойств фигуры к задаче об исследовании ее уравнения. В этом и состоит суть метода координат.

Проиллюстрируем сказанное на таком примере.

Из наглядных соображений очевидно, что прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Однако это утверждение не является аксиомой, поэтому его надо доказывать.

Эта задача сводится к исследованию количества решений системы уравнений

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

где числа Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением одновременно не равны нулю и Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решая эту систему методом подстановки, мы получим квадратное уравнение, которое может иметь два решения, одно решение или вообще не иметь решений. Следовательно, для данной системы существует три возможных случая:

  1. система имеет два решения — прямая и окружность пересекаются в двух точках;
  2. система имеет одно решение — прямая касается окружности;
  3. система не имеет решений — прямая и окружность не имеют общих точек.

С каждым из этих случаев вы встречались, решая задачи 10.17-10.19.

Метод координат особенно эффективен в тех случаях, когда требуется найти фигуру, все точки которой обладают некоторым свойством, то есть найти геометрическое место точек.

Отметим на плоскости две точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Вы хорошо знаете, какой фигурой является геометрическое место точек Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением таких, что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Это серединный перпендикуляр отрезка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Интересно выяснить, какую фигуру образуют все точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением для которых Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Решим эту задачу для Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Плоскость, на которой отмечены точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением «превратим» в координатную. Сделаем это так: в качестве начала координат выберем точку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением в качестве единичного отрезка — отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением ось абсцисс проведем так, чтобы точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением имела координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 11.6).

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — произвольная точка искомой фигуры Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, если точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежит фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то ее координаты являются решением уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторое решение уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда легко показать, что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением А это означает, что точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением такова, что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Следовательно, точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежит фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Таким образом, уравнением фигуры Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то есть фигура Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — это окружность с центром в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и радиусом Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Мы решили задачу для частного случая, когда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Можно показать, что искомой фигурой для любого положительного Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением будет окружность. Эту окружность называют окружностью АполлонияДекартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Как строили мост между геометрией и алгеброй

Идея координат зародилась очень давно. Ведь еще в старину люди изучали Землю, наблюдали звезды, а по результатам своих исследований составляли карты, схемы.

Во II в. до н. э. древнегреческий ученый Гиппарх впервые использовал идею координат для определения места расположения объектов на поверхности Земли.

Только в XIV в. французский ученый Николя Орем (ок. 1323-1382) впервые применил в математике идею Гиппарха: он разбил плоскость на клетки (как разбита страница вашей тетради) и стал задавать положение точек широтой и долготой.

Однако огромные возможности применения этой идеи были раскрыты лишь в XVII в. в работах выдающихся французских математиков Пьера Ферма и Рене Декарта. В своих трудах эти ученые показали, как благодаря системе координат можно переходить от точек к числам, от линий к уравнениям, от геометрии к алгебре.

Несмотря на то что П. Ферма опубликовал свою роботу на год раньше Р. Декарта, систему координат, которой мы сегодня пользуемся, называют декартовой. Р. Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» предложил новую удобную буквенную символику, которой с незначительными изменениями мы пользуемся и сегодня. Вслед за Декартом мы обозначаем переменные последними буквами латинского алфавита Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением а коэффициенты — первыми: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемДекартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Привычные нам обозначения степеней Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и т. д. также ввел Р. Декарт.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Справочный материал

Расстояние между двумя точками

Расстояние между точками Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением можно найти по формуле Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Координаты середины отрезка

Координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением середины отрезка с концами Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением можно найти по формулам:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Уравнение фигуры

Уравнением фигуры Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением заданной на плоскости Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют уравнение с двумя переменными Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением обладающее следующими свойствами:

1) если точка принадлежит фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то ее координаты являются решением данного уравнения;

2) любое решение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Уравнение окружности

Уравнение окружности радиуса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с центром в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Любое уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является уравнением окружности радиуса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с центром в точке с координатами Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Уравнение прямой

Уравнение прямой имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно. Любое уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.

Если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то уравнение прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением задает вертикальную прямую; если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то это уравнение задает невертикальную прямую.

Угловой коэффициент прямой

Коэффициент Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением в уравнении прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют угловым коэффициентом прямой, и он равен тангенсу угла, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс.

Необходимое и достаточное условие параллельности невертикальных прямых

Прямые Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны тогда и только тогда, когда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

  • Декартовы координаты в пространстве
  • Геометрические преобразования в геометрии
  • Планиметрия – формулы, определение и вычисление
  • Стереометрия – формулы, определение и вычисление
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
  • Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
  • Ортогональное проецирование

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Определение 1

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок AB.

Если отрезок AB продолжить в обе стороны от точек A и B, мы получим прямую AB. Тогда отрезок AB – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B. Отрезок AB объединяет точки A и B, являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K, лежащую между точками A и B, можно сказать, что точка K лежит на отрезке AB.

Определение 2

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка AB обозначим следующим образом: AB.

Определение 3

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка AB обозначить точкой C, то верным будет равенство: AC=CB

И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C) при заданных координатах концов отрезка (A и B), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Середина отрезка на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая Ox и несовпадающие точки на ней: A и B. Этим точкам соответствуют действительные числа xA и xB. Точка C – середина отрезка AB: необходимо определить координату xC.

Середина отрезка на координатной прямой

Поскольку точка C является серединой отрезка АВ, верным будет являться равенство: |АС| = |СВ|. Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

|АС| = |СВ|⇔xC-xA=xB-xC

Тогда возможно два равенства: xC-xA=xB-xC и xC-xA=-(xB-xC)

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : xC=xA+xB2 (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: xA=xB , что невозможно, т.к. в исходных данных – несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка AB с концами A(xA) и B(xB):

xA+xB2

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Середина отрезка на плоскости

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости Оxy, две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами AxA, yA и  BxB, yB . Точка C – середина отрезка AB. Необходимо определить координаты xC и yC для точки C.

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей.Ax, Ay ; Bx, By и Cx ,Cy – проекции точек A, B и C на оси координат (прямые Ох и Оy).

Середина отрезка на плоскости

Согласно построению прямые AAx, BBx, CCx параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства АС = СВ следуют равенства: АxСx = СxВx и АyСy = СyВy, и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка Сx – середина отрезка АxВx, а Сy – середина отрезка АyВy. И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

xC=xA+xB2 и yC=yA+yB2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Середина отрезка на плоскости Середина отрезка на плоскости

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка AB на плоскости с координатами концов A (xA,yA) и B (xB, yB) определяются как:

(xA+xB2, yA+yB2)

Середина отрезка в пространстве

Исходные данные: система координат Оxyz и две произвольные точки с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B (xB, yB, zB). Необходимо определить координаты точки C, являющейся серединой отрезка AB.

Ax, Ay, Az ; Bx, By,Bz и Cx, Cy, Cz – проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Середина отрезка в пространстве

Согласно теореме Фалеса верны равенства: AxCx=CxBx, AyCy=CyBy,AzCz=CzBz

Следовательно, точки Cx, Cy,Cz являются серединами отрезков AxBx, AyBy, AzBz соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

xC=xA+xB2, yc=yA+yB2, zc=zA+ZB2

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат Oxy, точки с заданными координатами A(xA,yA) и B(xB, xB) . Точка C – середина отрезка AB.

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: OC→=12·OA→+OB→ . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов OA→ и OB→ , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: OA→=(xA, yA), OB→=(xB,yB) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах  и получим: 

OC→=12·OA→+OB→=xA+xB2, yA+yB2

Следовательно, точка C имеет координаты:

xA+xB2, yA+yB2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C(xA+xB2, yA+yB2, zA+zB2)

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Пример 1

Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А (-7,3) и В (2,4). Необходимо найти координаты середины отрезка АВ.

Решение 

Обозначим середину отрезка AB точкой C. Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B.

xC=xA+xB2=-7+22=-52yC=yA+yB2=3+42=72

Ответ: координаты середины отрезка АВ -52, 72.

Пример 2

Исходные данные: известны координаты треугольника АВС: А (-1,0), В (3,2), С (9,-8). Необходимо найти длину медианы АМ.

Решение

  1. По условию задачи AM – медиана, а значит M является точкой середины отрезка BC. В первую очередь найдем координаты середины отрезка BC, т.е. точки M:

xM=xB+xC2=3+92=6yM=yB+yC2=2+(-8)2=-3

  1. Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы АМ:

AM=(6-(-1))2+(-3-0)2=58

Ответ: 58

Пример 3

Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Заданы координаты точки C1(1, 1, 0), а также определена точка M, являющаяся серединой диагонали BD1 и имеющая координаты M (4, 2, -4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.

Решение

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка АС1. Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: xM=xA+xC12 ⇒xA=2·xM-xC1=2·4-1+7yM=yA+yC12⇒yA=2·yM-yC1=2·2-1=3zM=zA+zC12⇒zA=2·zM-zC1=2·(-4)-0=-8

Ответ: координаты точки А (7,3,-8).

Средняя точка отрезка с вершинами (x1, 

y1) и (

x2, 

y2)

Середина отрезка — точка на заданном отрезке, находящаяся на равном расстоянии от обоих концов данного отрезка. Является центром масс как всего отрезка, так и его конечных точек.

Координаты[править | править код]

Средняя точка отрезка в n-мерном пространстве, концами которого являются точки A=(a_{1},a_{2},dots ,a_{n}) и B=(b_{1},b_{2},dots ,b_{n}), задаётся формулой:

{displaystyle {frac {A+B}{2}}}.

Таким образом, i-я координата средней точки ({displaystyle i=1,2,dots ,n}) равна:

{displaystyle {frac {a_{i}+b_{i}}{2}}}.

Построение[править | править код]

Построение с помощью циркуля и линейки

Если заданы две точки, нахождение середины образованного ими отрезка может быть осуществлено с помощью циркуля и линейки. Для нахождения середины отрезка на плоскости можно сначала построить две дуги равного (и достаточно большого) радиуса с центрами в концах отрезка, а затем через точки пересечения этих дуг провести прямую. Точка, где полученная прямая пересекает отрезок, является его серединой.

Построение с помощью одного циркуля

С использованием теоремы Мора — Маскерони возможно также нахождение середины отрезка с помощью одного только циркуля: на первом шаге для отрезка {displaystyle (AB)} строится точка C, симметричная точке A относительно точки B; на втором шаге строится инверсия точки C относительно окружности радиуса |AB| с центром в точке A; полученная точка является серединой отрезка {displaystyle (AB)}[1][2][3].

Можно также построить середину отрезка с помощью только линейки при условии, что на плоскости имеется окружность с отмеченным центром[4].

Геометрические свойства[править | править код]

Babochka.png

Середина любого диаметра окружности является центром окружности. Перпендикуляр к любой хорде, проходящий через её середину, проходит через центр окружности.
Теорема о бабочке утверждает, что если M является серединой хорды PQ и через середину проходят две другие хорды AB и CD, то AD и BC пересекают хорду PQ в точках X и Y соответственно таким образом, что M является серединой отрезка XY.

Центр эллипса является серединой отрезка, соединяющего два фокуса эллипса.

Середина отрезка, соединяющего вершины гиперболы, является центром гиперболы.

Перпендикуляры к серединам сторон треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка является центром описанной окружности. Центр девяти точек треугольника — середина отрезка, соединяющего центра описанной окружности с ортоцентром данного треугольника. Вершины серединного треугольника данного треугольника лежат в серединах сторон треугольника.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности является серединой гипотенузы. В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса угла при вершине совпадают с прямой Эйлера и осью симметрии, и эта прямая проходит через середину основания.

Две бимедианы выпуклого четырёхугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Две бимедианы и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке, которая является серединой этих трёх отрезков[5]. Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный в окружность четырёхугольник является ортодиагональным (то есть, имеющий перпендикулярные диагонали), то перпендикуляры к сторонам из точки пересечения диагоналей всегда проходят через середину противоположной стороны. Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, а если четырёхугольник к тому же является самонепересекающимся, то площадь параллелограмма равна половине площади четырёхугольника. Прямая Ньютона — линия, соединяющая середины двух диагоналей выпуклого четырёхугольника, не являющегося параллелограммом. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, пересекаются в точке, лежащей на прямой Ньютона.

Правильный многоугольник имеет вписанную окружность, которая касается всех сторон многоугольника в серединах его сторон. В правильном многоугольнике с чётным числом сторон середины диагоналей, соединяющих противоположные центры, являются центром многоугольника. Серединный многоугольник — многоугольник, вершины которого — середины рёбер исходного многоугольника. Растянутый многоугольник серединных точек вписанного многоугольника P является другим вписанным многоугольником, вписанным в ту же окружность, и его вершины являются серединами дуг между вершинами P[6]. Повторение операции создания многоугольника растянутых средних точек приводит к последовательности многоугольников, форма которых сходится к правильному многоугольнику[6][7].

Обобщения[править | править код]

Середина отрезка является аффинным инвариантом, поэтому координатные формулы[⇨] применимы к любой аффинной системе координат.

Середину отрезка невозможно определить в проективной геометрии: любая внутренняя точка отрезка может быть проективно отображена в любую другую точку внутри (того же или любого другого) проективного отрезка. Закрепление одной такой точки в качестве середины определяет аффинную структуру на проективной прямой, содержащей этот отрезок. Четвёртая точка гармонической четвёрки для такой «средней точки» и двух конечных точек является бесконечно удалённой точкой[8].

Понятие середины отрезка можно ввести на геодезических в римановом многообразии, но в отличие от аффинного случая, середина отрезка может быть не единственной.

Примечания[править | править код]

  1. Костовский, 1984, с. 20.
  2. Курант, Роббинс, 2001, с. 172—179.
  3. Wolfram mathworld (29 сентября 2010). Дата обращения: 20 июля 2015. Архивировано из оригинала 25 ноября 2016 года.
  4. Адлер, 1940, с. 67—72.
  5. Altshiller-Court, 2007.
  6. 1 2 Ding, Jiu, Zhang, 2003, с. 255—270.
  7. Gomez-Martin, Taslakian, Toussaint, 2008.
  8. Coxeter, 1949, с. 119.

Литература[править | править код]

  • А. Н. Костовский. Геометрические построения одним циркулем. — М.: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — (Популярные лекции по математике).
  • Август Адлер. Теория геометрических построений. — Ленинград: Государственное учебно-педагогическое издательство Наркомпроса РСФСР, Ленинградское отделение, 1940.
  • Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?. — 3-е. — МЦНМО, 2001. — ISBN 5–900916–45–6.
  • Jiu Ding, L. Richard Hitt, Xin-Min Zhang. Markov chains and dynamic geometry of polygons // Linear Algebra and its Applications. — 2003. — Т. 367. — doi:10.1016/S0024-3795(02)00634-1.
  • Francisco Gomez-Martin, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint. 18th Fall Workshop on Computational Geometry. — 2008.
  • H. S. M. Coxeter. The Real Projective Plane. — New York, Toronto, London: McGraw-Hill, 1949.
  • Х. С. М. Коксетер. Действительная проективная плоскость. — М.: Физматлит, 1959.
  • Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Mineola, New York: Dover Publ., 2007. — ISBN 0-486-45805-9.

Ссылки[править | править код]

  • Animation — showing the characteristics of the midpoint of a line segment
  • What is Midpoint Formula

Содержание материала

  1. Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения
  2. Видео
  3. Правила нахождения координат середины отрезка, формулы
  4. Середина отрезка на координатной прямой
  5. Середина отрезка на плоскости
  6. Середина отрезка в пространстве
  7. Координаты середины отрезка
  8. Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов
  9. Середина отрезка на плоскости
  10. Как построить середину отрезка с помощью циркуля и линейки?

Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .

Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B

И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C ) при заданных координатах концов отрезка ( A и B ), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Правила нахождения координат середины отрезка, формулы

Середина отрезка на координатной прямой

Предположим, что несовпадающие точки A и B лежат на координатной прямая Ох. Известно, что A и B соответствуют действительные числа xA и xB, а точка С делит AB пополам. Определите координату xC, соответствующую С. 

Так как C — это середина AB, то справедливо следующее равенство:

(left|ACright|=left|CBright|)

Вычислим расстояние между A и C, а также между C и B. Для этого определим модуль разницы их координат. На математическом языке это будет иметь вид:

(left|ACright|=left|CBright|Leftrightarrowleft|x_C-x_Aright|=left|x_B-x_Cright|)

Опустим знак модуля и получим справедливость двух выражений:

(x_C-x_A=x_B-x_C)

(x_C-x_A=-left(x_B-x_Cright))

Исходя из первого равенства, получим формулу нахождения xC, согласно которой координата точки С равна половине суммы координат A и B:

(x_C=frac{x_A+x_B}2)

Следствием второго равенства будет следующее утверждение: 

(x_A=x_B)

Это противоречит заданным условиям, следовательно, формула определения координат середины отрезка выглядит так:

(x_C=frac{x_A+x_B}2)

Середина отрезка на плоскости

В декартовой системе координат Oxy расположены две точки A(xA,yA) и B(xB,yB), которые не совпадают между собой. Точка C является центром AB. Необходимо произвести вычисление координат xC и yC, соответствующих С.

Пусть произвольные точки А и В лежат на одной координатной прямой, а также не принадлежат прямым, располагающимся перпендикулярно к оси абсцисс или ординат. Опустим от заданных точек A, B, C перпендикуляры на ось x на ось y. Полученные точки пересечения с осями координат Ax, Ay; Bx, By; Cx, C— это проекции исходных точек.

По построению прямые AAx, BBx, CCотносительно друг друга находятся параллельно. Прямые AAy, BBy, CCy не пересекаются, то есть являются параллельными. Согласно равенству AB=BC, далее применим теорему Фалеса и получим:

(A_xC_x=C_xB_x)

(A_yC_y=C_yB_y)

Это значит, что Cи Cявляются серединами отрезков AxBx и AyBy соответственно. Теперь воспользуемся формулой определения координат середины отрезка на координатной прямой и получим:

(x_C=frac{x_A+x_B}2)

(y_C=frac{y_A+y_B}2)

Данные формулы подходят для вычисления координат середины отрезка в случае его расположения на осях абсцисс и ординат, а также при перпендикулярности одной из них. Следовательно, координаты центра отрезка AB, находящегося в плоскости и ограниченного точками A(xA,yA) и B(xB,yB), вычисляются следующим образом:

(left(frac{x_A+x_B}2,frac{y_A+y_B}2right))

Середина отрезка в пространстве

Допустим, что в трехмерной системе координат Oxyz любые две точки с соответствующими им координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB). C(xC, yC, zC) — это центр АВ. Задание заключается в том, чтобы определить xC, yC, zC.

Проведем от исходных точек перпендикуляры к прямым Ox, Oy и Oz. Образовавшиеся точки пересечения с координатными осями — Ax, Ay, Az; Bx, By, Bz;Cx, Cy, C— проекции точек A, B, C на них.

Воспользуемся теоремой Фалеса:

(left|A_xC_xright|=left|C_xB_xright|)

(left|A_yC_yright|=left|C_yB_yright|)

(left|A_zC_zright|=left|C_zB_zright|)

Исходя из полученных равенств следует, что Cx, Cy, C— делят AxBx, AyBy, AzBz пополам, то есть являются серединами перечисленных отрезков. Значит, для определения координат центра AB с концами A(xA,yA,zA) и B(xB,yB,zB) используем формулу:

(left(frac{x_A+x_B}2,frac{y_A+y_B}2,;frac{z_A+z_B}2right))

Видео

Координаты середины отрезка

Пусть в пространстве есть отрезок АВ, и координаты его концов известны. Точка М – середина этого отрезка. Как вычислить ее координаты? Рассмотрим взаимосвязь векторов АМ, МВ и АВ:

Раз М – середина АВ, то вектора АМ и МВ имеют равные длины, и при этом они находятся на одной прямой. Значит, эти вектора равны и потому у них одинаковые коорд-ты:

Аналогично можно получить аналогичные формулы для коорд-т у и z:

Рассмотрим несколько задач на координаты точек.

Задание. Найдите коорд-ты середины отрезка, соединяющего точки А(3; 7; 12) и В(1; 5; – 4).

Решение. Просто используем только что выведенные формулы. Середину также обозначаем буквой М:

Задание. Известно, что K середина отрезка CD. Даны координаты точек С и K: С(12; 9; – 3) и K(15; 7; 3). Найдите коорд-ты D.

Решение. Сначала запишем формулу для коорд-ты х:

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат Oxy, точки с заданными координатами A(xA,yA) и B(xB, xB) . Точка C – середина отрезка AB.

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: OC→=12·OA→+OB→ . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов OA→ и OB→ , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: OA→=(xA, yA), OB→=(xB,yB) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах  и получим: 

OC→=12·OA→+OB→=xA+xB2, yA+yB2

Следовательно, точка C имеет координаты:

xA+xB2, yA+yB2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C(xA+xB2, yA+yB2, zA+zB2)

Середина отрезка на плоскости

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости Оxy, две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами AxA, yA и  BxB, yB . Точка C – середина отрезка AB. Необходимо определить координаты xC и yC для точки C.

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей.Ax, Ay ; Bx, By и Cx ,Cy — проекции точек A, B и C на оси координат (прямые Ох и Оy).

Согласно построению прямые AAx, BBx, CCx параллель

Согласно построению прямые AAx, BBx, CCx параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства АС = СВ следуют равенства: АxСx = СxВx и АyСy = СyВy, и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка Сx – середина отрезка АxВx, а Сy – середина отрезка АyВy. И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

xC=xA+xB2 и yC=yA+yB2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины Резюмируя все выше сказанное, координаты середины

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка AB на плоскости с координатами концов A (xA,yA) и B (xB, yB) определяются как:

(xA+xB2, yA+yB2)

Как построить середину отрезка с помощью циркуля и линейки?

Еще можно построить середину отрезка с помощью циркуля, линейки. Сделать это намного проще, чем в предыдущем варианте. Вам не понадобится рисовать множество окружностей разного диаметра, а достаточно построить лишь две одинаковые, а после провести перпендикуляр через точки пересечения с линиями окружности. Еще этот перпендикуляр называют серединным, что означает прямую, которую проводят под углом 90 градусов к отрезку.

Далее будет представлен мастер-класс на эту тему в подробностях и наглядно:

  • Нарисуйте нужный отрезок на листке в клеточку, так вам удобнее будет разобраться в данной теме.
  • Возьмите циркуль и нарисуйте две окружности с радиусом большим, чем середина отрезка или радиусом с длину отрезка – нет особой надобности рисовать слишком большие окружности, особенно, если отрезок большой длины.

Две окружности

Две окружности
  • На рисунке выше видно, что окружности образуют две точки пересечения (вверху и внизу). Теперь понадобится линейка. Соедините эти две точки серединным перпендикуляром. Точка пересечения линии и отрезка и будет серединой.

Серединный перпендикуляр CD

Серединный перпендикуляр CD

Итак, среднюю точку отрезка нашли, теперь еще и не помешает доказать, что именно CD – срединный перпендикуляр, и он делит отрезок пополам. Это сделать просто. Ведь две окружности, что образуют линию, имеют одинаковый радиус, диаметр. А у окружностей все точки на линии одинаково удалены от ее центра. Значит точки C и D также находятся на одинаковых расстояниях от точек A и B. Прямая которая соединяет точки D и C может быть лишь одна в плоскости. И точка пересечения на отрезке находится на одном и том же расстоянии. Все это и требовалось прояснить.

Теги

Добавить комментарий