Определение.
Середина отрезка – это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек.
В геометрических задачах часто можно столкнуться с необходимостью найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, например в задачах поиска медианы, средней линии, …
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.
Формулы вычисления расстояния между двумя точками:
- Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya) и B(xb, yb) на плоскости:
xc = xa + xb yc = ya + yb 2 2 - Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в пространстве:
xc = xa + xb yc = ya + yb zc = za + zb 2 2 2
Примеры задач на вычисление середины отрезка
Примеры вычисления координат середины отрезка на плоскости
Пример 1.
Найти координаты точки С, середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3) и B(6, 5).
Решение.
xc = | xa + xb | = | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
2 | 2 | 2 |
yc = | ya + yb | = | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
2 | 2 | 2 |
Ответ: С(2.5, 4).
Пример 2.
Найти координаты точки В, если известны координаты точки C(1; 5), середины отрезка AB и точки A(-1, 3).
Решение.
xc =
xa + xb2
=> xb = 2xc – xa = 2·1-(-1)=2+1=3
yc =
ya + yb2
=> yb = 2yc – ya = 2·5-3=10-3=7
Ответ: B(3, 7).
Примеры вычисления координат середины отрезка в пространстве
Пример 3.
Найти координаты точки С середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3, 1) и B(6, 5, -3).
Решение.
xc = | xa + xb | = | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
2 | 2 | 2 |
yc = | ya + yb | = | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
2 | 2 | 2 |
zc = | za + zb | = | 1 + (-3) | = | -2 | = -1 |
2 | 2 | 2 |
Ответ: С(2.5, 4, -1).
Пример 4.
Найти координаты точки В если известны координаты точки C(1, 5, 2), середины отрезка AB и точки A(-1, 3, 10).
Решение.
xc =
xa + xb2
=> xb = 2xc – xa = 2·1-(-1)=2+1=3
yc =
ya + yb2
=> yb = 2yc – ya = 2·5-3=10-3=7
zc =
za + zb2
=> zb = 2zc – za = 2·2-10=4-10=-6
Ответ: B(3, 7, -6).
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Содержание:
Декартовы координаты на плоскости:
Изучая материал этой лекции, вы расширите свои знания о координатной плоскости.
Вы научитесь находить длину отрезка и координаты его середины, зная координаты его концов.
Сформируете представление об уравнении фигуры, выведете уравнения прямой и окружности.
Ознакомитесь с методом координат, позволяющим решать геометрические задачи средствами алгебры.
Расстояние между двумя точками с заданными координатами. Координаты середины отрезка
В 6 классе вы ознакомились с координатной плоскостью, то есть с плоскостью, на которой изображены две перпендикулярные координатные прямые (ось абсцисс и ось ординат) с общим началом отсчета (рис. 8.1). Вы умеете отмечать на ней точки по их координатам и наоборот, находить координаты точки, отмеченной на координатной плоскости.
Договорились координатную плоскость с осью
Координаты точки на плоскости называют декартовыми координатами в честь французского математика Рене Декарта (см. рассказ на с. 103).
Вы знаете, как находить расстояние в между двумя точками, заданными своими координатами на координатной прямой. Для точек (рис. 8.2) имеем:
Научимся находить расстояние между точками заданными на плоскости
Рассмотрим случай, когда отрезок не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.3).
Через точки проведем прямые, перпендикулярные координатным осям. Получим прямоугольный треугольник в котором Отсюда
Тогда формулу расстояния между точками можно записать так:
Докажите самостоятельно, что эта формула остается верной и для случая, когда отрезок перпендикулярен одной из осей координат.
Пусть — точки плоскости Найдем координаты точки — середины отрезка
Рассмотрим случай, когда отрезок не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.4). Будем считать, что (случай, когда рассматривается аналогично). Через точки проведем прямые, перпендикулярные оси абсцисс, которые пересекут эту ось соответственно в точках По теореме Фалеса тогда Поскольку то можем записать: Отсюда Аналогично можно показать что
Формулы для нахождения координат середины отрезка остаются верными и для случая, когда отрезок перпендикулярен одной из осей координат. Докажите это самостоятельно.
Пример №1
Докажите, что треугольник с вершинами в точках является равнобедренным прямоугольным.
Решение:
Используя формулу расстояния между двумя точками, найдем стороны данного треугольника:
Следовательно, то есть треугольник равнобедренный.
Поскольку то треугольник прямоугольный.
Пример №2
Точка — середина отрезка Найдите координаты точки
Решение:
Обозначим — координаты точки — координаты точки — координаты точки
Поскольку то получаем:
Аналогично
Ответ:
Пример №3
Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках является прямоугольником.
Решение:
Пусть точка — середина диагонали Тогда
Следовательно,
Пусть точка — середина диагонали Тогда
Следовательно,
Таким образом, точки совпадают, то есть диагонали четырехугольника имеют общую середину. Отсюда следует, что четырехугольник — параллелограмм.
Найдем диагонали параллелограмма:
Следовательно, диагонали параллелограмма равны. Отсюда следует, что этот параллелограмм является прямоугольником.
Уравнение фигуры. Уравнение окружности
Из курса алгебры 7 класса вы знаете, какую фигуру называют графиком уравнения. В этом пункте вы ознакомитесь с понятием уравнения фигуры.
Координаты каждой точки параболы, изображенной на рисунке 9.1, являются решением уравнения И наоборот, каждое решение уравнения с двумя переменными является координатами точки, лежащей на этой параболе. В этом случае говорят, что уравнение параболы, изображенной на рисунке 9.1, имеет вид
Определение. Уравнением фигуры заданной на плоскости называют уравнение с двумя переменными обладающее следующими свойствами:
- если точка принадлежит фигуре то ее координаты являются решением данного уравнения;
- любое решение данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре
Например, уравнение прямой, изображенной на рисунке 9.2, имеет вид а уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 9.3, имеет вид Принято говорить, что, например, уравнения задают прямую и гиперболу соответственно.
Если данное уравнение является уравнением фигуры то эту фигуру можно рассматривать как геометрическое место точек (ГМТ), координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Пользуясь этими соображениями, выведем уравнение окружности радиуса с центром в точке
Пусть — произвольная точка данной окружности (рис. 9.4). Тогда Используя формулу расстояния между точками, получим:
Отсюда
Мы показали, что координаты произвольной точки данной окружности являются решением уравнения Теперь покажем, что любое решение уравнения является координатами точки, принадлежащей данной окружности.
Пусть пара чисел — произвольное решение уравнения
Тогда Отсюда
Это равенство показывает, что точка удалена от центра окружности на расстояние, равное радиусу окружности, а следовательно, точка принадлежит данной окружности.
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 9.1. Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид
Верно и такое утверждение: любое уравнение вида где некоторые числа, причем является уравнением окружности радиуса с центром в точке с координатами
Если центром окружности является начало координат (рис. 9.5), то В этом случае уравнение окружности имеет вид
Пример №4
Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок если
Решение:
Поскольку центр окружности является серединой диаметра, то можем найти координаты центра окружности:
Следовательно,
Радиус окружности равен отрезку Тогда
Следовательно, искомое уравнение имеет вид
Ответ:
Пример №5
Докажите, что уравнение задает окружность. Найдите координаты центра и радиус этой окружности.
Решение:
Представим данное уравнение в виде
Следовательно, данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке и радиусом
Ответ:
Пример №6
Докажите, что треугольник с вершинами в точках является прямоугольным, и составьте уравнение окружности, описанной около треугольника
Решение:
Найдем квадраты сторон данного треугольника:
Поскольку то данный треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине Центром описанной окружности является середина гипотенузы — точка радиус окружности Следовательно, искомое уравнение имеет вид
Ответ:
Уравнение прямой
В предыдущем пункте, рассматривая окружность как ГМТ, равноудаленных от данной точки, мы вывели ее уравнение. Для того чтобы вывести уравнение прямой, рассмотрим ее как ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.
Пусть — данная прямая. Выберем две точки и так, чтобы прямая была серединным перпендикуляром отрезка (рис. 10.1).
Пусть — произвольная точка прямой Тогда по свойству серединного перпендикуляра отрезка выполняется равенство то есть
Мы показали, что координаты произвольной точки прямой являются решением уравнения
Теперь покажем, что любое решение уравнения является координатами точки, принадлежащей данной прямой
Пусть — произвольное решение уравнения Тогда Это равенство означает, что точка равноудалена от точек следовательно, точка принадлежит серединному перпендикуляру отрезка то есть прямой
Итак, мы доказали, что уравнение является уравнением данной прямой
Однако из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение прямой выглядит гораздо проще, а именно: где и — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно. Покажем, что уравнение можно преобразовать к такому виду. Возведем обе части уравнения в квадрат. Имеем:
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим:
Обозначив получим уравнение
Поскольку точки различны, то хотя бы одна из разностей не равна нулю. Следовательно, числа и не равны нулю одновременно.
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 10.1. Уравнение прямой имеет вид?
где — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно.
Верно и такое утверждение: любое уравнение вида где — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.
Если то графиком уравнения является вся плоскость Если то уравнение не имеет решений.
Из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение вида называют линейным уравнением с двумя переменными. Уравнение прямой является частным видом линейного уравнения. Схема, изображенная на рисунке 10.2, иллюстрирует сказанное.
на уроках алгебры в 7 классе мы приняли без доказательства тот факт, что графиком линейной функции является прямая. Сейчас мы можем это доказать.
Перепишем уравнение Мы получили уравнение вида для случая, когда Поскольку в этом уравнении то мы получили уравнение прямой.
А любую ли прямую на плоскости можно задать уравнением вида Ответ на этот вопрос отрицательный.
Дело в том, что прямая, перпендикулярная оси абсцисс, не может являться графиком функции, а следовательно, не может быть задана уравнением вида
Вместе с тем, если в уравнении прямой принять то его можно переписать так: Мы получили частный вид уравнения прямой, все точки которой имеют одинаковые абсциссы. Следовательно, эта прямая перпендикулярна оси абсцисс. Ее называют вертикальной.
Если то уравнение прямой можно записать так:
Обозначив получим уравнение
Следовательно, если то уравнение прямой задает вертикальную прямую; если то это уравнение задает невертикальную прямую.
Уравнение невертикальной прямой удобно записывать в виде
Данная таблица подытоживает материал, рассмотренный в этом пункте.
Пример №7
Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:
Решение:
1) Поскольку данные точки имеют равные абсциссы, то прямая является вертикальной. Ее уравнение имеет вид
2) Поскольку данные точки имеют разные абсциссы, то прямая не является вертикальной. Тогда можно воспользоваться уравнением прямой в виде
Подставив координаты точек в уравнение получаем систему уравнений:
Решив эту систему уравнений, находим, что
Ответ:
Пример №8
Найдите периметр и площадь треугольника, ограниченного прямой и осями координат.
Решение:
Найдем точки пересечения данной прямой с осями координат.
С осью абсцисс: при получаем
С осью ординат: при получаем
Следовательно, данная прямая и оси координат ограничивают прямоугольный треугольник (рис. 10.3) с вершинами Найдем стороны треугольника:
Тогда искомые периметр и площадь соответственно равны
Ответ:
Угловой коэффициент прямой
Рассмотрим уравнение Оно задает невертикальную прямую, проходящую через начало координат.
Покажем, что прямые где параллельны.
Точки принадлежат прямой а точки и принадлежат прямой (рис. 11.1). Легко убедиться (сделайте это самостоятельно), что середины диагоналей четырехугольника совпадают. Следовательно, четырехугольник — параллелограмм. Отсюда
Теперь мы можем сделать такой вывод: если то прямые параллельны (1).
Пусть прямая пересекает единичную полуокружность в точке (рис. 11.2). Угол называют углом между данной прямой и положительным направлением оси абсцисс.
Если прямая совпадает с осью абсцисс, то угол между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс считают равным
Если прямая образует с положительным направлением оси абсцисс угол то считают, что и прямая параллельная прямой также образует угол с положительным направлением оси абсцисс (рис. 11.3).
Рассмотрим прямую уравнение которой имеет вид (рис. 11.2). Если Поскольку точка принадлежит прямой Отсюда Таким образом, для прямой получаем, что
где — угол, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс. Поэтому коэффициент называют угловым коэффициентом этой прямой.
Если невертикальные прямые параллельны, то они образуют равные углы с положительным направлением оси абсцисс. Тогда тангенсы этих углов равны, следовательно, равны и их угловые коэффициенты. Таким образом,
если прямые параллельны, то (2).
Выводы (1) и (2) объединим в одну теорему.
Теорема 11.1. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда
Пример №9
Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку и параллельна прямой
Решение:
Пусть уравнение искомой прямой Поскольку эта прямая и прямая параллельны, то их угловые коэффициенты равны, то есть
Следовательно, искомое уравнение имеет вид Учитывая, что данная прямая проходит через точку получаем: Отсюда
Искомое уравнение имеет вид
Ответ:
Метод координат
Мы часто говорим: прямая парабола окружность тем самым отождествляя фигуру с ее уравнением. Такой подход позволяет сводить задачу о поиске свойств фигуры к задаче об исследовании ее уравнения. В этом и состоит суть метода координат.
Проиллюстрируем сказанное на таком примере.
Из наглядных соображений очевидно, что прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Однако это утверждение не является аксиомой, поэтому его надо доказывать.
Эта задача сводится к исследованию количества решений системы уравнений
где числа одновременно не равны нулю и
Решая эту систему методом подстановки, мы получим квадратное уравнение, которое может иметь два решения, одно решение или вообще не иметь решений. Следовательно, для данной системы существует три возможных случая:
- система имеет два решения — прямая и окружность пересекаются в двух точках;
- система имеет одно решение — прямая касается окружности;
- система не имеет решений — прямая и окружность не имеют общих точек.
С каждым из этих случаев вы встречались, решая задачи 10.17-10.19.
Метод координат особенно эффективен в тех случаях, когда требуется найти фигуру, все точки которой обладают некоторым свойством, то есть найти геометрическое место точек.
Отметим на плоскости две точки Вы хорошо знаете, какой фигурой является геометрическое место точек таких, что
Это серединный перпендикуляр отрезка Интересно выяснить, какую фигуру образуют все точки для которых Решим эту задачу для
Плоскость, на которой отмечены точки «превратим» в координатную. Сделаем это так: в качестве начала координат выберем точку в качестве единичного отрезка — отрезок ось абсцисс проведем так, чтобы точка имела координаты (рис. 11.6).
Пусть — произвольная точка искомой фигуры Тогда Отсюда
Следовательно, если точка принадлежит фигуре то ее координаты являются решением уравнения
Пусть — некоторое решение уравнения Тогда легко показать, что А это означает, что точка такова, что Тогда Следовательно, точка принадлежит фигуре
Таким образом, уравнением фигуры является уравнение то есть фигура — это окружность с центром в точке и радиусом
Мы решили задачу для частного случая, когда Можно показать, что искомой фигурой для любого положительного будет окружность. Эту окружность называют окружностью Аполлония
Как строили мост между геометрией и алгеброй
Идея координат зародилась очень давно. Ведь еще в старину люди изучали Землю, наблюдали звезды, а по результатам своих исследований составляли карты, схемы.
Во II в. до н. э. древнегреческий ученый Гиппарх впервые использовал идею координат для определения места расположения объектов на поверхности Земли.
Только в XIV в. французский ученый Николя Орем (ок. 1323-1382) впервые применил в математике идею Гиппарха: он разбил плоскость на клетки (как разбита страница вашей тетради) и стал задавать положение точек широтой и долготой.
Однако огромные возможности применения этой идеи были раскрыты лишь в XVII в. в работах выдающихся французских математиков Пьера Ферма и Рене Декарта. В своих трудах эти ученые показали, как благодаря системе координат можно переходить от точек к числам, от линий к уравнениям, от геометрии к алгебре.
Несмотря на то что П. Ферма опубликовал свою роботу на год раньше Р. Декарта, систему координат, которой мы сегодня пользуемся, называют декартовой. Р. Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» предложил новую удобную буквенную символику, которой с незначительными изменениями мы пользуемся и сегодня. Вслед за Декартом мы обозначаем переменные последними буквами латинского алфавита а коэффициенты — первыми: Привычные нам обозначения степеней и т. д. также ввел Р. Декарт.
Справочный материал
Расстояние между двумя точками
Расстояние между точками можно найти по формуле
Координаты середины отрезка
Координаты середины отрезка с концами можно найти по формулам:
Уравнение фигуры
Уравнением фигуры заданной на плоскости называют уравнение с двумя переменными обладающее следующими свойствами:
1) если точка принадлежит фигуре то ее координаты являются решением данного уравнения;
2) любое решение данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре
Уравнение окружности
Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид
Любое уравнение вида где — некоторые числа, причем является уравнением окружности радиуса с центром в точке с координатами
Уравнение прямой
Уравнение прямой имеет вид — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно. Любое уравнение вида — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.
Если то уравнение прямой задает вертикальную прямую; если то это уравнение задает невертикальную прямую.
Угловой коэффициент прямой
Коэффициент в уравнении прямой называют угловым коэффициентом прямой, и он равен тангенсу угла, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс.
Необходимое и достаточное условие параллельности невертикальных прямых
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда
- Декартовы координаты в пространстве
- Геометрические преобразования в геометрии
- Планиметрия – формулы, определение и вычисление
- Стереометрия – формулы, определение и вычисление
- Перпендикулярность прямой и плоскости
- Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
- Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
- Ортогональное проецирование
В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.
Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок AB.
Если отрезок AB продолжить в обе стороны от точек A и B, мы получим прямую AB. Тогда отрезок AB – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B. Отрезок AB объединяет точки A и B, являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K, лежащую между точками A и B, можно сказать, что точка K лежит на отрезке AB.
Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка AB обозначим следующим образом: AB.
Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка AB обозначить точкой C, то верным будет равенство: AC=CB
И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C) при заданных координатах концов отрезка (A и B), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.
Середина отрезка на координатной прямой
Исходные данные: координатная прямая Ox и несовпадающие точки на ней: A и B. Этим точкам соответствуют действительные числа xA и xB. Точка C – середина отрезка AB: необходимо определить координату xC.
Поскольку точка C является серединой отрезка АВ, верным будет являться равенство: |АС| = |СВ|. Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.
|АС| = |СВ|⇔xC-xA=xB-xC
Тогда возможно два равенства: xC-xA=xB-xC и xC-xA=-(xB-xC)
Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : xC=xA+xB2 (полусумма координат концов отрезка).
Из второго равенста получим: xA=xB , что невозможно, т.к. в исходных данных – несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка AB с концами A(xA) и B(xB):
xA+xB2
Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.
Середина отрезка на плоскости
Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости Оxy, две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами AxA, yA и BxB, yB . Точка C – середина отрезка AB. Необходимо определить координаты xC и yC для точки C.
Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей.Ax, Ay ; Bx, By и Cx ,Cy – проекции точек A, B и C на оси координат (прямые Ох и Оy).
Согласно построению прямые AAx, BBx, CCx параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства АС = СВ следуют равенства: АxСx = СxВx и АyСy = СyВy, и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка Сx – середина отрезка АxВx, а Сy – середина отрезка АyВy. И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:
xC=xA+xB2 и yC=yA+yB2
Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:
Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка AB на плоскости с координатами концов A (xA,yA) и B (xB, yB) определяются как:
(xA+xB2, yA+yB2)
Середина отрезка в пространстве
Исходные данные: система координат Оxyz и две произвольные точки с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B (xB, yB, zB). Необходимо определить координаты точки C, являющейся серединой отрезка AB.
Ax, Ay, Az ; Bx, By,Bz и Cx, Cy, Cz – проекции всех заданных точек на оси системы координат.
Согласно теореме Фалеса верны равенства: AxCx=CxBx, AyCy=CyBy,AzCz=CzBz
Следовательно, точки Cx, Cy,Cz являются серединами отрезков AxBx, AyBy, AzBz соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:
xC=xA+xB2, yc=yA+yB2, zc=zA+ZB2
Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.
Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов
Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.
Исходные данные: прямоугольная декартова система координат Oxy, точки с заданными координатами A(xA,yA) и B(xB, xB) . Точка C – середина отрезка AB.
Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: OC→=12·OA→+OB→ . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов OA→ и OB→ , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: OA→=(xA, yA), OB→=(xB,yB) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:
OC→=12·OA→+OB→=xA+xB2, yA+yB2
Следовательно, точка C имеет координаты:
xA+xB2, yA+yB2
По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:
C(xA+xB2, yA+yB2, zA+zB2)
Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка
Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.
Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А (-7,3) и В (2,4). Необходимо найти координаты середины отрезка АВ.
Решение
Обозначим середину отрезка AB точкой C. Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B.
xC=xA+xB2=-7+22=-52yC=yA+yB2=3+42=72
Ответ: координаты середины отрезка АВ -52, 72.
Исходные данные: известны координаты треугольника АВС: А (-1,0), В (3,2), С (9,-8). Необходимо найти длину медианы АМ.
Решение
- По условию задачи AM – медиана, а значит M является точкой середины отрезка BC. В первую очередь найдем координаты середины отрезка BC, т.е. точки M:
xM=xB+xC2=3+92=6yM=yB+yC2=2+(-8)2=-3
- Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы АМ:
AM=(6-(-1))2+(-3-0)2=58
Ответ: 58
Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Заданы координаты точки C1(1, 1, 0), а также определена точка M, являющаяся серединой диагонали BD1 и имеющая координаты M (4, 2, -4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.
Решение
Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка АС1. Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: xM=xA+xC12 ⇒xA=2·xM-xC1=2·4-1+7yM=yA+yC12⇒yA=2·yM-yC1=2·2-1=3zM=zA+zC12⇒zA=2·zM-zC1=2·(-4)-0=-8
Ответ: координаты точки А (7,3,-8).
Средняя точка отрезка с вершинами (x1,
y1) и (
x2,
y2)
Середина отрезка — точка на заданном отрезке, находящаяся на равном расстоянии от обоих концов данного отрезка. Является центром масс как всего отрезка, так и его конечных точек.
Координаты[править | править код]
Средняя точка отрезка в -мерном пространстве, концами которого являются точки и , задаётся формулой:
- .
Таким образом, -я координата средней точки () равна:
- .
Построение[править | править код]
Построение с помощью циркуля и линейки
Если заданы две точки, нахождение середины образованного ими отрезка может быть осуществлено с помощью циркуля и линейки. Для нахождения середины отрезка на плоскости можно сначала построить две дуги равного (и достаточно большого) радиуса с центрами в концах отрезка, а затем через точки пересечения этих дуг провести прямую. Точка, где полученная прямая пересекает отрезок, является его серединой.
Построение с помощью одного циркуля
С использованием теоремы Мора — Маскерони возможно также нахождение середины отрезка с помощью одного только циркуля: на первом шаге для отрезка строится точка , симметричная точке относительно точки ; на втором шаге строится инверсия точки относительно окружности радиуса с центром в точке ; полученная точка является серединой отрезка [1][2][3].
Можно также построить середину отрезка с помощью только линейки при условии, что на плоскости имеется окружность с отмеченным центром[4].
Геометрические свойства[править | править код]
Середина любого диаметра окружности является центром окружности. Перпендикуляр к любой хорде, проходящий через её середину, проходит через центр окружности.
Теорема о бабочке утверждает, что если является серединой хорды и через середину проходят две другие хорды и , то и пересекают хорду в точках и соответственно таким образом, что является серединой отрезка .
Центр эллипса является серединой отрезка, соединяющего два фокуса эллипса.
Середина отрезка, соединяющего вершины гиперболы, является центром гиперболы.
Перпендикуляры к серединам сторон треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка является центром описанной окружности. Центр девяти точек треугольника — середина отрезка, соединяющего центра описанной окружности с ортоцентром данного треугольника. Вершины серединного треугольника данного треугольника лежат в серединах сторон треугольника.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности является серединой гипотенузы. В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса угла при вершине совпадают с прямой Эйлера и осью симметрии, и эта прямая проходит через середину основания.
Две бимедианы выпуклого четырёхугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Две бимедианы и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке, которая является серединой этих трёх отрезков[5]. Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный в окружность четырёхугольник является ортодиагональным (то есть, имеющий перпендикулярные диагонали), то перпендикуляры к сторонам из точки пересечения диагоналей всегда проходят через середину противоположной стороны. Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, а если четырёхугольник к тому же является самонепересекающимся, то площадь параллелограмма равна половине площади четырёхугольника. Прямая Ньютона — линия, соединяющая середины двух диагоналей выпуклого четырёхугольника, не являющегося параллелограммом. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, пересекаются в точке, лежащей на прямой Ньютона.
Правильный многоугольник имеет вписанную окружность, которая касается всех сторон многоугольника в серединах его сторон. В правильном многоугольнике с чётным числом сторон середины диагоналей, соединяющих противоположные центры, являются центром многоугольника. Серединный многоугольник — многоугольник, вершины которого — середины рёбер исходного многоугольника. Растянутый многоугольник серединных точек вписанного многоугольника P является другим вписанным многоугольником, вписанным в ту же окружность, и его вершины являются серединами дуг между вершинами P[6]. Повторение операции создания многоугольника растянутых средних точек приводит к последовательности многоугольников, форма которых сходится к правильному многоугольнику[6][7].
Обобщения[править | править код]
Середина отрезка является аффинным инвариантом, поэтому координатные формулы[⇨] применимы к любой аффинной системе координат.
Середину отрезка невозможно определить в проективной геометрии: любая внутренняя точка отрезка может быть проективно отображена в любую другую точку внутри (того же или любого другого) проективного отрезка. Закрепление одной такой точки в качестве середины определяет аффинную структуру на проективной прямой, содержащей этот отрезок. Четвёртая точка гармонической четвёрки для такой «средней точки» и двух конечных точек является бесконечно удалённой точкой[8].
Понятие середины отрезка можно ввести на геодезических в римановом многообразии, но в отличие от аффинного случая, середина отрезка может быть не единственной.
Примечания[править | править код]
- ↑ Костовский, 1984, с. 20.
- ↑ Курант, Роббинс, 2001, с. 172—179.
- ↑ Wolfram mathworld (29 сентября 2010). Дата обращения: 20 июля 2015. Архивировано из оригинала 25 ноября 2016 года.
- ↑ Адлер, 1940, с. 67—72.
- ↑ Altshiller-Court, 2007.
- ↑ 1 2 Ding, Jiu, Zhang, 2003, с. 255—270.
- ↑ Gomez-Martin, Taslakian, Toussaint, 2008.
- ↑ Coxeter, 1949, с. 119.
Литература[править | править код]
- А. Н. Костовский. Геометрические построения одним циркулем. — М.: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — (Популярные лекции по математике).
- Август Адлер. Теория геометрических построений. — Ленинград: Государственное учебно-педагогическое издательство Наркомпроса РСФСР, Ленинградское отделение, 1940.
- Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?. — 3-е. — МЦНМО, 2001. — ISBN 5–900916–45–6.
- Jiu Ding, L. Richard Hitt, Xin-Min Zhang. Markov chains and dynamic geometry of polygons // Linear Algebra and its Applications. — 2003. — Т. 367. — doi:10.1016/S0024-3795(02)00634-1.
- Francisco Gomez-Martin, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint. 18th Fall Workshop on Computational Geometry. — 2008.
- H. S. M. Coxeter. The Real Projective Plane. — New York, Toronto, London: McGraw-Hill, 1949.
- Х. С. М. Коксетер. Действительная проективная плоскость. — М.: Физматлит, 1959.
- Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Mineola, New York: Dover Publ., 2007. — ISBN 0-486-45805-9.
Ссылки[править | править код]
- Animation — showing the characteristics of the midpoint of a line segment
- What is Midpoint Formula
Содержание материала
- Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения
- Видео
- Правила нахождения координат середины отрезка, формулы
- Середина отрезка на координатной прямой
- Середина отрезка на плоскости
- Середина отрезка в пространстве
- Координаты середины отрезка
- Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов
- Середина отрезка на плоскости
- Как построить середину отрезка с помощью циркуля и линейки?
Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения
В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.
Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .
Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .
Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .
Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B
И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C ) при заданных координатах концов отрезка ( A и B ), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.
Правила нахождения координат середины отрезка, формулы
Середина отрезка на координатной прямой
Предположим, что несовпадающие точки A и B лежат на координатной прямая Ох. Известно, что A и B соответствуют действительные числа xA и xB, а точка С делит AB пополам. Определите координату xC, соответствующую С.
Так как C — это середина AB, то справедливо следующее равенство:
(left|ACright|=left|CBright|)
Вычислим расстояние между A и C, а также между C и B. Для этого определим модуль разницы их координат. На математическом языке это будет иметь вид:
(left|ACright|=left|CBright|Leftrightarrowleft|x_C-x_Aright|=left|x_B-x_Cright|)
Опустим знак модуля и получим справедливость двух выражений:
(x_C-x_A=x_B-x_C)
(x_C-x_A=-left(x_B-x_Cright))
Исходя из первого равенства, получим формулу нахождения xC, согласно которой координата точки С равна половине суммы координат A и B:
(x_C=frac{x_A+x_B}2)
Следствием второго равенства будет следующее утверждение:
(x_A=x_B)
Это противоречит заданным условиям, следовательно, формула определения координат середины отрезка выглядит так:
(x_C=frac{x_A+x_B}2)
Середина отрезка на плоскости
В декартовой системе координат Oxy расположены две точки A(xA,yA) и B(xB,yB), которые не совпадают между собой. Точка C является центром AB. Необходимо произвести вычисление координат xC и yC, соответствующих С.
Пусть произвольные точки А и В лежат на одной координатной прямой, а также не принадлежат прямым, располагающимся перпендикулярно к оси абсцисс или ординат. Опустим от заданных точек A, B, C перпендикуляры на ось x на ось y. Полученные точки пересечения с осями координат Ax, Ay; Bx, By; Cx, Cy — это проекции исходных точек.
По построению прямые AAx, BBx, CCx относительно друг друга находятся параллельно. Прямые AAy, BBy, CCy не пересекаются, то есть являются параллельными. Согласно равенству AB=BC, далее применим теорему Фалеса и получим:
(A_xC_x=C_xB_x)
(A_yC_y=C_yB_y)
Это значит, что Cx и Cy являются серединами отрезков AxBx и AyBy соответственно. Теперь воспользуемся формулой определения координат середины отрезка на координатной прямой и получим:
(x_C=frac{x_A+x_B}2)
(y_C=frac{y_A+y_B}2)
Данные формулы подходят для вычисления координат середины отрезка в случае его расположения на осях абсцисс и ординат, а также при перпендикулярности одной из них. Следовательно, координаты центра отрезка AB, находящегося в плоскости и ограниченного точками A(xA,yA) и B(xB,yB), вычисляются следующим образом:
(left(frac{x_A+x_B}2,frac{y_A+y_B}2right))
Середина отрезка в пространстве
Допустим, что в трехмерной системе координат Oxyz любые две точки с соответствующими им координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB). C(xC, yC, zC) — это центр АВ. Задание заключается в том, чтобы определить xC, yC, zC.
Проведем от исходных точек перпендикуляры к прямым Ox, Oy и Oz. Образовавшиеся точки пересечения с координатными осями — Ax, Ay, Az; Bx, By, Bz;Cx, Cy, Cz — проекции точек A, B, C на них.
Воспользуемся теоремой Фалеса:
(left|A_xC_xright|=left|C_xB_xright|)
(left|A_yC_yright|=left|C_yB_yright|)
(left|A_zC_zright|=left|C_zB_zright|)
Исходя из полученных равенств следует, что Cx, Cy, Cz — делят AxBx, AyBy, AzBz пополам, то есть являются серединами перечисленных отрезков. Значит, для определения координат центра AB с концами A(xA,yA,zA) и B(xB,yB,zB) используем формулу:
(left(frac{x_A+x_B}2,frac{y_A+y_B}2,;frac{z_A+z_B}2right))
Видео
Координаты середины отрезка
Пусть в пространстве есть отрезок АВ, и координаты его концов известны. Точка М – середина этого отрезка. Как вычислить ее координаты? Рассмотрим взаимосвязь векторов АМ, МВ и АВ:
Раз М – середина АВ, то вектора АМ и МВ имеют равные длины, и при этом они находятся на одной прямой. Значит, эти вектора равны и потому у них одинаковые коорд-ты:
Аналогично можно получить аналогичные формулы для коорд-т у и z:
Рассмотрим несколько задач на координаты точек.
Задание. Найдите коорд-ты середины отрезка, соединяющего точки А(3; 7; 12) и В(1; 5; – 4).
Решение. Просто используем только что выведенные формулы. Середину также обозначаем буквой М:
Задание. Известно, что K середина отрезка CD. Даны координаты точек С и K: С(12; 9; – 3) и K(15; 7; 3). Найдите коорд-ты D.
Решение. Сначала запишем формулу для коорд-ты х:
Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов
Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.
Исходные данные: прямоугольная декартова система координат Oxy, точки с заданными координатами A(xA,yA) и B(xB, xB) . Точка C – середина отрезка AB.
Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: OC→=12·OA→+OB→ . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов OA→ и OB→ , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: OA→=(xA, yA), OB→=(xB,yB) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:
OC→=12·OA→+OB→=xA+xB2, yA+yB2
Следовательно, точка C имеет координаты:
xA+xB2, yA+yB2
По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:
C(xA+xB2, yA+yB2, zA+zB2)
Середина отрезка на плоскости
Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости Оxy, две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами AxA, yA и BxB, yB . Точка C – середина отрезка AB. Необходимо определить координаты xC и yC для точки C.
Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей.Ax, Ay ; Bx, By и Cx ,Cy — проекции точек A, B и C на оси координат (прямые Ох и Оy).
Согласно построению прямые AAx, BBx, CCx параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства АС = СВ следуют равенства: АxСx = СxВx и АyСy = СyВy, и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка Сx – середина отрезка АxВx, а Сy – середина отрезка АyВy. И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:
xC=xA+xB2 и yC=yA+yB2
Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:
Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка AB на плоскости с координатами концов A (xA,yA) и B (xB, yB) определяются как:
(xA+xB2, yA+yB2)
Как построить середину отрезка с помощью циркуля и линейки?
Еще можно построить середину отрезка с помощью циркуля, линейки. Сделать это намного проще, чем в предыдущем варианте. Вам не понадобится рисовать множество окружностей разного диаметра, а достаточно построить лишь две одинаковые, а после провести перпендикуляр через точки пересечения с линиями окружности. Еще этот перпендикуляр называют серединным, что означает прямую, которую проводят под углом 90 градусов к отрезку.
Далее будет представлен мастер-класс на эту тему в подробностях и наглядно:
- Нарисуйте нужный отрезок на листке в клеточку, так вам удобнее будет разобраться в данной теме.
- Возьмите циркуль и нарисуйте две окружности с радиусом большим, чем середина отрезка или радиусом с длину отрезка – нет особой надобности рисовать слишком большие окружности, особенно, если отрезок большой длины.
- На рисунке выше видно, что окружности образуют две точки пересечения (вверху и внизу). Теперь понадобится линейка. Соедините эти две точки серединным перпендикуляром. Точка пересечения линии и отрезка и будет серединой.
Итак, среднюю точку отрезка нашли, теперь еще и не помешает доказать, что именно CD – срединный перпендикуляр, и он делит отрезок пополам. Это сделать просто. Ведь две окружности, что образуют линию, имеют одинаковый радиус, диаметр. А у окружностей все точки на линии одинаково удалены от ее центра. Значит точки C и D также находятся на одинаковых расстояниях от точек A и B. Прямая которая соединяет точки D и C может быть лишь одна в плоскости. И точка пересечения на отрезке находится на одном и том же расстоянии. Все это и требовалось прояснить.