Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Совсем недавно я рассказывал про простую задачку, в которой требовалось найти центр окружности. используя угольник. В такой постановке проблем не возникает, можете ознакомиться с приведенными мною решениями здесь.
Сегодня задача на порядок сложнее: нужно найти центр произвольной окружности, имея в распоряжении только лишь циркуль! Исторически эта проблема называется “истинная задача Наполеона” (правитель искренне любил математику), хотя, скорее всего, принадлежит его другу – математику Лоренцо Маскерони.
- Ситуация, в целом, для математики обычная. Например, я писал про точку Феймана в числе π, которая на самом деле должна называться точкой Хофштадтера.
Итак, переходим непосредственно к построению. Отметим на данной нам окружности точку А и проведем окружность С1 произвольного радиуса с центром в этой точке:
Уточнение: “произвольный радиус” не такой уж и произвольный. Для успешного решения он должен не превышать диаметра исходной окружности и быть больше половины её радиуса. Короче, на глазок.
Следующий ход: обозначим точки пересечения окружности С1 с исходной как B1 и B2.
В этих точках построим еще две окружности С2 с радиусом R=AB1=AB2:
Так как инструментарий у нас, мягко говоря, ограничен. Нужно еще раз провести дополнительную окружность.
Ставим циркуль в точку С и проводим окружность С3 радиусом CA:
Точки пересечения обозначаем как D и D’.
Кстати, если бы мы не соблюдали условия о радиусе окружности С1 на этом шаге нас бы ждала неприятность: окружность С3 не имела бы точек пересечения с С1.
Ну а теперь последний шаг. Ставим циркуль поочередно в точки D и D’ и проводим две окружности С4 радиусом r=DA=D’A:
Точка О – центр нашей окружности! Ну как Вам построение? Кстати, еще известно то, что найти центр окружности исключительно линейкой невозможно! Я обязательно расскажу Вам об этом в следующих материалах.
Спасибо за внимание! Подписывайтесь на канал и ставьте “Нравится” этой публикации.
Читайте также:
Окружность
Окружность — это геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки.
Точка, от которой одинаково удалены все точки окружности, называется центром окружности. Центр окружности обычно обозначают большой латинской буквой O:
Окружность делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Геометрическая фигура, ограниченная окружностью, — это круг:
Построение окружности циркулем
Для построения окружности используют специальный прибор — циркуль:
Установим циркулю произвольный раствор (расстояние между ножками циркуля) и, поставив его ножку с остриём в какую-нибудь точку плоскости (например, на листе бумаги), станем вращать циркуль вокруг этой точки. Другая его ножка, снабжённая карандашом или грифелем, прикасающимся к плоскости, начертит на плоскости замкнутую линию — окружность:
Радиус, хорда и диаметр
Радиус — это отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром. Радиусом также называется расстояние от точки окружности до её центра:
Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину, то есть они равны между собой. Радиус обозначается буквой R или r.
Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.
Диаметр обозначается буквой D. Диаметр окружности в два раза больше её радиуса:
Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя точками. Любые две точки делят окружность на две дуги:
Чтобы различать дуги, на которые две точки разделяют окружность, на каждую из дуг ставят дополнительную точку:
Для обозначения дуг используется символ :
О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает дугу.
Хорда AB стягивает дуги AFB и AJB.
Сопряжения в инженерной графике на чертежах с примерами
Содержание:
В очертаниях технических форм часто встречаются плавные переходы от од- ной линии к другой. Плавный переход одной линии в другую, выполненный при помощи промежуточной линии, называется сопряжением. Построение сопряжений основано на следующих положениях геометрии.
- Переход окружности в прямую будет плавным только тогда, когда заданная прямая является касательной к окружности (рис. 11а). Радиус окружности, проведенный в точку касания К, перпендикулярен к касательной прямой.
- Переход от одной окружности к другой в точке К только тогда будет плавным, когда окружности имеют в данной точке общую касательную (рис. 11б).
Точка касания К и центры окружностей
- Центром сопряжения О называется точка, равноудаленная от сопрягаемых линий (рис. 12).
- Точкой сопряжения А (В) называется точка касания двух сопрягаемых линий (рис. 12).
- Дуга сопряжения АВ – это дуга окружности, с помощью которой выполняется сопряжение (рис. 12).
- Радиус сопряжения R – это радиус дуги сопряжения (рис. 12).
Для выполнения сопряжений необходимо определить три элемента построения: 1) радиус сопряжения; 2) центр сопряжения; 3) точки сопряжения.
Сопряжение двух пересекающихся прямых линий
Пусть даны две пересекающиеся прямые m, n и радиус сопряжения R (рис. 12). Необходимо построить сопряжение данных прямых дугой окружности радиусом R.
Выполним следующие построения:
- Построим множество точек центров сопряжения, удаленных от прямой n на расстояние радиуса R сопряжения. Таким множеством является прямая параллельная данной прямой n и отстоящая от неё на расстояние R.
- Построим множество точек центров сопряжения, удаленных от прямой m на расстояние радиуса сопряжения. Таким множеством является прямая параллельная m и отстоящая от последней на расстояние R.
- В пересечении построенных прямых найдем центр сопряжения О.
- Определим точку А сопряжения на прямой n. Для этого опустим из центра О перпендикуляр на прямую n . Для определения точки сопряжения В на прямой m необходимо опустить соответственно перпендикуляр из центра О на прямую m.
Проведем дугу сопряжения AB. Теперь будут определены все элементы сопряжения: радиус, центр и точки сопряжения.
Сопряжения прямой с окружностью
Сопряжение прямой с окружностью может быть внешним или внутренним. Рассмотрим построение внешнего сопряжения прямой с окружностью.
Пример 1. Пусть задана окружность радиусом R с центром в точке и прямая m. Требуется построить сопряжение окружности с прямой дугой окружности заданного радиуса R (рис. 13).
Для решения задачи выполним следующие построения:
- Построим множество точек центров сопряжения, удаленных от сопрягаемой прямой на расстояние R. Это множество задает прямая параллельная m и отстоящая от неё на расстояние R.
- Множество точек центров сопряжения, удаленных от окружности n на рас- стояние R, есть окружность проведенная радиусом
- Центр сопряжения О находим как точку пересечения линий
- Точку сопряжения А находим как основание перпендикуляра, проведенного из точки О на прямую m. Чтобы построить точку сопряжения В, необходимо про- вести линию центров т.е. соединить центры сопряженных дуг. В пересечении линии центров с заданной окружностью определим точку В.
- Проведем дугу сопряжения АВ.
Пример 2. При построении внутреннего сопряжения (рис. 14) последовательность построений остается та же, что и в примере 1. Однако центр сопряжения определяется с помощью вспомогательной дуги окружности, проведенной из центра , радиусом
Сопряжение двух окружностей
Сопряжение двух окружностей может быть внешним, внутренним и смешанным. Пусть задан радиус сопряжения R, а центры сопряжения и точки сопряжения следует найти.
Пример 1. Построим сопряжение с внешним касанием двух данных окружностей m и n с радиусами дугой заданного радиуса R (рис. 15а).
- Для нахождения центра сопряжения О проведем окружность удаленную от данной окружности m на расстояние R . Так как сопряжение с внешним касанием, то радиус окружности равен
- Радиусом проведем окружность , удаленную от данной окружности n на расстояние R.
- Найдем центр сопряжения О как точку пересечения окружностей .
- Найдем точку сопряжения А как пересечение линии центров с дугой m.
- Аналогично найдем точку В как пересечение линии центров с дугой n .
- Проведем дугу сопряжения АВ.
Пример 2. Построим сопряжение с внутренним касанием двух данных окружностей m и n с радиусами дугой радиусом R (рис. 15б).
- Для нахождения центра сопряжения О проведем окружность на расстоянии от данной окружности m.
- Проведем окружность на расстоянии от данной окружности n.
- Центр сопряжения О найдем как точку пересечения окружностей
- Точку сопряжения А найдем как точку пересечения линии центров с заданной окружностью m.
- Точку сопряжения В найдем как точку пересечения линии центров c заданной окружностью n.
- Проведем дугу сопряжения AВ с центром в точке O.
Пример 3. На рис. 16 приведен пример построения сопряжения с внешне- внутренним касанием.
Построение касательных
Пример 1. Дана окружность с центром в точке и точка вне её. Через данную точку провести касательную к данной окружности (рис. 17).
Для решения задачи выполним следующие построения.
- Соединим точку с центром окружности
- Находим середину С отрезка
- Из точки С, как из центра, проведем вспомогательную окружность радиусом
- В точке пересечения вспомогательной окружности с заданной получим точку касания А. Соединим точку с точкой А.
Пример 2. Построим общую касательную АВ к двум заданным окружностям радиусов (рис. 18).
- Находим середину С отрезка
- Из точки С, как из центра, радиусом проведем вспомогательную окружность.
- Из центра большей окружности проведем вторую вспомогательную окружность радиусом
- Пересечение двух вспомогательных окружностей определяет точку К, через которую проходит радиус идущий в точку касания В. 5. Для построения второй точки касания А проведем
- Соединим точки А и В отрезком прямой линии.
Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Нанесение размеров на чертежах
- Резьба на чертеже
- Соединения разъемные и неразъемные в инженерной графике
- Виды конструкторских документов
- Виды в инженерной графике
- Разрезы в инженерной графике
- Сечения в инженерной графике
- Выносные элементы в инженерной графике
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Как определить радиус дуги или сегмента круга и найти центр
Иногда, при выполнении особо заковыристых работ по отделке приходится решать не совсем простые задачи. Например, имеется часть окружности, говоря по научному – дуга и для этой дуги нужно определить радиус и найти центр окружности.
Сделать это можно двумя методами. Первый метод основан на расчетах, а второй – прикладной. Сначала рассмотрим первый метод, его достоинства и недостатки, а затем второй.
Первый метод определения радиуса дуги или сегмента круга
Изначально это выглядит так:
Рисунок 463.1. а) имеющаяся дуга, б) определение длины хорды сегмента и высоты.
Таким образом, когда имеется дуга, мы можем соединить ее концы и получим хорду длиной L. Посредине хорды мы можем провести линию, перпендикулярную хорде и таким образом получим высоту сегмента H. Теперь, зная длину хорды и высоту сегмента, мы можем сначала определить центральный угол α, т.е. угол между радиусами, проведенными из начала и конца сегмента (на рисунке 463.1 не показаны), а затем и радиус окружности.
Решение подобной задачи достаточно подробно рассматривалось в статье “Расчет арочной перемычки”, поэтому здесь лишь приведу основные формулы:
Как видим, с точки зрения математики никаких проблем с определением радиуса окружности нет. Данный метод позволяет определить значение радиуса дуги с любой возможной точностью. Это главное достоинство данного метода.
А теперь поговорим о недостатках.
Проблема данного метода даже не в том, что требуется помнить формулы из школьного курса геометрии, успешно забытые много лет назад – для того, чтобы напомнить формулы – есть интернет. А вот калькулятор с функцией arctg, arcsin и проч. есть далеко не у каждого пользователя. И хотя эту проблему также успешно позволяет решить интернет, но при этом не следует забывать, что мы решаем достаточно прикладную задачу. Т.е. далеко не всегда нужно определить радиус окружности с точностью до 0.0001 мм, точность 1 мм может быть вполне приемлема.
Кроме того, для того, чтобы найти центр окружности, нужно продлить высоту сегмента и отложить на этой прямой расстояние, равное радиусу. Так как на практике мы имеем дело с не идеальными измерительными приборами, к этому следует прибавить возможную погрешность при разметке, то получается, что чем меньше высота сегмента по отношению к длине хорды, тем больше может набежать погрешность при определении центра дуги.
Опять же не следует забывать о том, что мы рассматриваем не идеальный случай, т.е. это мы так сходу назвали кривую дугой. В действительности это может быть кривая, описываемая достаточно сложной математической зависимостью. А потому найденный таким образом радиус и центр окружности могут и не совпадать с фактическим центром.
В связи с этим я хочу предложить еще один способ определения радиуса окружности, которым сам часто пользуюсь, потому что этим способом определить радиус окружности намного быстрее и проще, хотя точность при этом значительно меньше.
Второй метод определения радиуса дуги (метод последовательных приближений)
Итак продолжим рассмотрение имеющейся ситуации.
Так как нам все равно необходимо найти центр окружности, то для начала мы из точек, соответствующих началу и концу дуги, проведем как минимум две дуги произвольного радиуса. Через пересечение этих дуг будет проходить прямая, на которой и находится центр искомой окружности.
Теперь нужно соединить пересечение дуг с серединой хорды. Впрочем, если мы из указанных точек проведем не по одной дуге, а по две, то данная прямая будет проходить через пересечение этих дуг и тогда искать середину хорды вовсе не обязательно.
Ну а дальше все просто: измеряем расстояние от пересечения дуг до начала (или конца) рассматриваемой дуги, а затем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента.
Если расстояние от пересечения дуг до начала или конца рассматриваемой дуги больше, чем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента, то значит центр рассматриваемой дуги находится ниже на прямой, проведенной через пересечение дуг и середину хорды. Если меньше – то искомый центр дуги выше на прямой.
Исходя из этого на прямой принимается следующая точка, предположительно соответствующая центру дуги, и от нее производятся те же измерения. Затем принимается следующая точка и измерения повторяются. С каждой новой точкой разница измерений будет все меньше.
Вот собственно и все. Не смотря на столь пространное и мудреное описание, для определения радиуса дуги таким способом с точностью до 1 мм достаточно 1-2 минут.
Теоретически это выглядит примерно так:
Рисунок 463.2. Определение центра дуги методом последовательных приближений.
А на практике примерно так:
Фотография 463.1. Разметка заготовки сложной формы с разными радиусами.
Тут только добавлю, что иногда приходится находить и чертить несколько радиусов, потому на фотографии так много всего и намешано.
На этом пока все.
Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье “Записаться на прием к доктору”
Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783
Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV
Для Украины – номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630
Категории:
- Расчет конструкций . Основы прикладной геометрии
Оценка пользователей:
8.5 (голосов: 2)
Переходов на сайт:
31889
Комментарии:
R = H/(1 – cos(a/2))
Радиус прямо пропорционален H.
Как так?
Я достаточно подробно ответил на ваш вопрос в статье “Расчет арочной перемычки”, где вы задали подобный вопрос.
Если угол не нужен для дальнейших расчетов, радиус находится проще – без тригонометрических функций и даже можно без калькулятора – на бумажке. R = L^2/(8*H) + H/2
Сначала термины:
Отрезок, соединяющий концы дуги называется хордой (a), а высота сегмента (перпендикуляр из середины хорды) — стрелкой (h).
Теорема Пифагора: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть R^2=(R-h)^2+(a/2)^2.
А что касается нахождения центра, то перпендикуляры к серединам хорд пересекаются в центре!
Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье “Записаться на прием к доктору” (ссылка в шапке сайта).
[spoiler title=”источники:”]
http://www.evkova.org/sopryazheniya-v-inzhenernoj-grafike
http://doctorlom.com/item463.html
[/spoiler]
Окружность
- Построение окружности циркулем
- Радиус, хорда и диаметр
- Дуга
Окружность — это геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки.
Точка, от которой одинаково удалены все точки окружности, называется центром окружности. Центр окружности обычно обозначают большой латинской буквой O:
Окружность делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Геометрическая фигура, ограниченная окружностью, — это круг:
Построение окружности циркулем
Для построения окружности используют специальный прибор — циркуль:
Установим циркулю произвольный раствор (расстояние между ножками циркуля) и, поставив его ножку с остриём в какую-нибудь точку плоскости (например, на листе бумаги), станем вращать циркуль вокруг этой точки. Другая его ножка, снабжённая карандашом или грифелем, прикасающимся к плоскости, начертит на плоскости замкнутую линию — окружность:
Радиус, хорда и диаметр
Радиус — это отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром. Радиусом также называется расстояние от точки окружности до её центра:
Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину, то есть они равны между собой. Радиус обозначается буквой R или r.
Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.
Диаметр обозначается буквой D. Диаметр окружности в два раза больше её радиуса:
D = 2r.
Дуга
Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя точками. Любые две точки делят окружность на две дуги:
Чтобы различать дуги, на которые две точки разделяют окружность, на каждую из дуг ставят дополнительную точку:
Для обозначения дуг используется символ :
О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает дугу.
Хорда AB стягивает дуги AFB и AJB.
Для определения центра данной окружности с помощью одного циркуля, когда начерчена только сама окружность, можно использовать метод построения обратных точек (рис. 1).
Из произвольно взятой на окружности точки А проводим дугу произвольным радиусом d, пересекающую данную окружность в точках В и С. Из этих точек как центров описываем дуги (В, d) и (С, d), пересекающиеся, кроме точки А, еще в точке D. Тогда неизвестный центр О есть точка, обратная точке D относительно окружности с центром А. Из точки D описываем дугу радиусом DА, пересекающую дугу (А, d) в точках Е и F. В заключительном построении проведем две дуги (Е, d) и (F, d), пересекающиеся в искомой точке О.
Второй метод построения центра начерченной окружности изображен на рис. 2.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Найдя центр круга или окружности, вы сможете решать различные геометрические задачи, например, на вычисление длины окружности или площади круга. Найти центр круга можно разными способами. Вы можете провести пересекающиеся отрезки; вы можете начертить пересекающиеся окружности; вы можете воспользоваться линейками.
-
1
Начертите окружность. Сделайте это при помощи циркуля. Радиус (диаметр) круга может быть любым. Если окружность вам дана, новую окружность чертить не нужно.
- Циркуль – это инструмент, предназначенный для черчения окружностей и их измерения. Циркуль можно купить в канцелярском магазине или в магазине для школьников.[1]
- Циркуль – это инструмент, предназначенный для черчения окружностей и их измерения. Циркуль можно купить в канцелярском магазине или в магазине для школьников.[1]
-
2
Проведите хорду. Хорда – это отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие на окружности, и не проходящий через центр окружности.[2]
Обозначьте эту хорду как АВ.- Проводите прямые и отрезки при помощи карандаша, чтобы иметь возможность стереть их после нахождения центра окружности. Не давите на карандаш, чтобы вам было легче стереть нарисованные линии.
-
3
Проведите вторую хорду. Она должна быть параллельна и равна первой хорде АВ. Обозначьте эту хорду как CD.[3]
-
4
Соедините точки А и С. Эта третья хорда АС должна проходить через центр окружности, но для его нахождения вам понадобится провести четвертую хорду.
-
5
Соедините точки B и D. Это четвертая хорда BD, которая должна пересекаться с третьей хордой AC.
-
6
Найдите центр окружности. Если вы правильно провели все отрезки (хорды), то центр окружности – это точка пересечения хорд AC и BD.[4]
Отметьте центр окружности ручкой или карандашом. Если вам нужно отметить только центр окружности, сотрите четыре хорды, которые вы провели ранее.Реклама
-
1
Между двумя точками окружности проведите хорду. Воспользуйтесь линейкой, чтобы соединить две точки на окружности. Точки можно выбрать произвольно. Обозначьте точки как А и В.
-
2
При помощи циркуля начертите две пересекающиеся окружности. Окружности должны быть одного радиуса. Центром первой окружности сделайте точку А, а второй окружности – точку В. Чертите окружности так, чтобы они пересекались наподобие диаграммы Венна.
- Чертите окружности карандашом, а не ручкой, чтобы иметь возможность стереть их.
-
3
Проведите вертикальную прямую через точки пересечения начерченных окружностей. Окружности будут пересекаться в двух точках, которые расположены одна над другой. Проведите прямую при помощи линейки; убедитесь, что обе точки лежат на этой прямой. Точки, в которых эта прямая пересекает исходную окружность, обозначьте как С и D. Отрезок СD является диаметром исходной окружности.
-
4
Сотрите две начерченные вами окружности. Это необходимо для того, чтобы очистить пространство для последующих действий. Теперь на вашем листе останется исходная окружность и два перпендикулярных друг другу отрезка. Не стирайте центры стертых окружностей (эти центры расположены в точках А и В). Далее вы начертите две новые окружности.
-
5
Начертите две новые окружности. Для этого воспользуйтесь циркулем. Центром первой окружности будет точка С, а второй окружности – точка D. Эти окружности также должны пересекаться наподобие диаграммы Венна. Помните, что точки С и D – это точки пересечения вертикальной прямой с исходной окружностью.
-
6
Проведите прямую через две точки, в которых пересекаются начерченные вами окружности. Эта прямая будет расположена горизонтально. Полученный отрезок представляет собой второй диаметр исходной окружности и должен быть перпендикулярен первому диаметру.
-
7
Найдите центр окружности. Точка пересечения двух диаметров является центром исходной окружности. Отметьте эту точку. Если нужно, сотрите начерченные вами окружности и диаметры.
Реклама
-
1
К данной окружности проведите две касательные. Касательные можно провести к двум произвольным точкам окружности. Но вы облегчите себе работу, если проведете касательные под прямым или острым углом друг к другу.[5]
-
2
Теперь проведите еще две касательные, которые будут параллельны касательным, которые вы провели в предыдущем шаге. Таким образом, проведенные четыре касательные образуют подобие параллелограмма или прямоугольника.
-
3
Проведите диагонали параллелограмма. Точка пересечения этих диагоналей является центром окружности.
-
4
Проверьте правильность нахождения центра окружности при помощи циркуля. Центр окружности расположен строго в точке пересечения диагоналей, только если вы не допустили ошибку при проведении параллельных касательных или диагоналей. Сотрите параллелограмм и его диагонали.
Реклама
Советы
- Вместо чистого листа или листа в линейку работайте на листе в клетку. Так вам будет проще проводить перпендикулярные прямые.
- Центр окружности можно вычислить математически через дополнение до полного квадрата.[6]
Это работает в том случае, если вам дано уравнение окружности, а не сама окружность.
Реклама
Предупреждения
- Поверочная линейка немного отличается от обычной линейки. В отличие от обычной линейки на поверочной линейке нет шкалы. Вы можете превратить поверочную линейку в обычную, если нанесете на нее измерительную шкалу.
- Чтобы найти «истинный» центр окружности, используйте циркуль и поверочную линейку.
Реклама
Что вам понадобится
- Карандаш
- Бумага
- Линейка
- Циркуль
Об этой статье
Эту страницу просматривали 231 074 раза.