Как найти центр сферы через диаметр

Геометрия, 11 класс

Урок №8. Сфера и шар

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• что такое сфера, какие у неё есть элементы (центр, радиус, диаметр сферы);
• что такое шар и его элементы;
• уравнение сферы;
• формула для нахождения площади поверхности сферы;
• взаимное расположение сферы и плоскости;
• теорема о радиусе сферы, который проведён в точку касания и теорему обратную данной.

Глоссарий по теме:

Определение

Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.

Определение

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Определение

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Определение

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Уравнение сферы

– уравнение сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

Определение

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Определение

Сегмент шара – это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Определение

Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные теоретические факты

По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.

Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R

Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.

Определение

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Определение

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Сферу можно получить ещё одним способом – вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

2. Уравнение сферы

Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Пусть сфера имеет центром точку С (x₀; y₀; z₀) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:

МС=

Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС²=R², то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:

.

Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.

1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.

2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.

3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Рассмотрим случай касания более подробно.

Определение

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Теорема (свойство касательной плоскости).

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема (признак касательной плоскости):

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

4. Основные формулы

Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:

Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:

S=4πR² – площадь сферы.

S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.

– площадь поверхности сектора с высотой h.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.

Решение:

Площадь круга вычисляется по формуле: S_кр=πR².

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: S_сф=4πR². Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.

Ответ: 36

2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.

Решение:

Площадь сферы равна S_сф=4πR². То есть S_сф=100π.

По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r² =100, то есть r=10.

Ответ: 10.

3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15

Решение:

Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.

Найдем ее радиус.

Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:

p=0,5(AB+BC+AC)=21

S=84.

С другой стороны, S=p·r.

Отсюда r=4.

Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Используем соотношение:

h=3.

Ответ: 3.

4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.

Решение:

Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.

По условию задачи R=10.

Используем соотношение:

h=6.

Ответ: 6.

Сфера в геометрии — элементы, формулы, свойства с примерами

Сферой называется поверхность, полученная вращением окружности вокруг какого-либо ее диаметра (рис. 180). Центр этой окружности называется центром сферы.

Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом сферы, отрезок, соединяющий две точки сферы, — хордой сферы, а хорда, которой принадлежит центр сферы, — диаметром сферы (рис. 181).

Из определения сферы следует, что все ее точки равноудалены от центра сферы. Поэтому все радиусы сферы равны друг другу.

Теоремы

Теорема 1.

Сечение сферы плоскостью есть окружность, центр которой совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из центра сферы на секущую плоскость.

Доказательство:

Пусть сфера с центром

Пусть и — произвольные точки линии пересечения сферы с плоскостью . Треугольники и оба прямоугольные, так как отрезок перпендикулярен плоскости , а значит, и отрезкам и лежащим в этой плоскости.

Отрезок является общим катетом, а гипотенузы этих треугольников равны как радиусы сферы. Поэтому треугольники и равны друг другу, а значит, Получили, что любые две точки линии пересечения сферы плоскостью равноудалены от основания перпендикуляра, опущенного из центра сферы на эту плоскость. Значит, эта линия является окружностью с центром .

Следствие. Радиус сечения сферы плоскостью удовлетворяет условию где — радиус сферы.

Сечение имеет наибольший радиус если секущая плоскость проходит через центр сферы, это сечение называют большой окружностью, а ограниченный ею круг — большим кругом.

Плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку, называется касательной плоскостью сферы. Общая точка сферы и касательной плоскости называется точкой касания.

Прямая касательной плоскости сферы, проходящая через точку касания, имеет со сферой единственную общую точку. Такая прямая называется касательной прямой сферы.

Теорема 2.

Касательная плоскость сферы перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство:

Пусть плоскость касается сферы с центром в точке (рис. 183). Пусть — произвольная точка плоскости , отличная от точки . Через точки , , проведем плоскость , она по теореме 1 пересекает сферу по окружности. По отношению к этой окружности прямая является касательной, так как точка — их единственная общая точка. По свойству касательной к окружности радиус перпендикулярен прямой . Таким образом, радиус перпендикулярен любой прямой , проведенной в плоскости а через ее точку . Значит, радиус перпендикулярен плоскости .

Теорема 3.

Если плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной плоскостью сферы.

Доказательство:

Пусть плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу (рис. 184). Пусть — произвольная точка плоскости , отличная от точки . Треугольник прямоугольный с гипотенузой , и она длиннее катета. Поэтому точка расположена вне сферы. Получается, что любая точка плоскости , кроме точки , не принадлежит сфере. Значит, точка — единственная общая точка плоскости и сферы, а поэтому плоскость является касательной плоскостью сферы.

Теоремы 2 и 3 выражают соответственно свойство и признак касательной плоскости сферы.

Теорема 4.

Две сферы пересекаются по окружности, плоскость которой перпендикулярна прямой, проходящей через центры сфер.

Доказательство:

Пусть имеются две пересекающиеся сферы с центрами и , и — какая-либо их общая точка (рис. 185). Через точку проведем плоскость , перпендикулярную прямой . Пусть эта плоскость пересекает прямую в точке . В соответствии с теоремой 1 плоскость пересекает одну и другую сферы по окружности с центром . Получили, что окружность с центром является общей окружностью данных сфер.

Других общих точек данные окружности не имеют. Допустим, что это не так. Пусть — какая-либо общая точка сфер, не принадлежащая окружности с центром . Через точки , и проведем плоскость, которая пересечет сферы по окружностям с центрами и . Эти окружности пересекаются в двух точках, которые принадлежат окружности с центром , и вместе с этим им обеим принадлежит точка .

Но это противоречит утверждению о том, что две окружности имеют не более двух общих точек.

Прежде чем доказывать утверждение о поверхности сферы, обобщим утверждения о боковых поверхностях конуса, усеченного конуса и цилиндра.

Теорема 5.

Боковая поверхность конуса, усеченного конуса, цилиндра равна боковой поверхности цилиндра с той же высотой и радиусом основания, равным длине перпендикуляра, соединяющего середину образующей с точкой на оси этого тела.

Доказательство:

Пусть есть конус с вершиной , основанием которого является круг с центром . Пусть — осевое сечение конуса (рис. 186). В плоскости к образующей из ее середины возведем перпендикуляр, который пересечет ось в некоторой точке . Прямоугольные треугольники и подобны, так как у них угол при вершине общий. Поэтому или или

Отсюда

С учетом этого для боковой поверхности конуса будем иметь:

Пусть есть усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции со средней линией вокруг боковой стороны которая перпендикулярна основаниям и , отрезок — проекция на основание (рис. 187).

В плоскости к образующей усеченного конуса из ее середины возведем перпендикуляр, который пересечет ось в некоторой точке . Прямоугольные треугольники и подобны, так как их стороны попарно перпендикулярны. Поэтому

Отсюда

С учетом этого для боковой поверхности усеченного конуса будем иметь:

Для цилиндра утверждение очевидно (рис. 188).

Теорема 6.

Поверхность сферы равна учетверенной площади большого круга:

Доказательство:

Пусть есть сфера, образованная вращением полуокружности вокруг своего диаметра (рис. 189). Впишем в эту дугу ломаную с равными звеньями и из точек опустим перпендикуляры на диаметр . Пусть — середины звеньев ломаной. Тогда — серединные перпендикуляры к этим звеньям. При вращении вокруг звенья ломаной будут описывать или конусы, или усеченные конусы, или цилиндр. Поэтому, в соответствии с теоремой 5, для образовавшейся поверхности получим

Учтем, что отрезки все равны друг другу:

Пусть радиус сферы равен . Тогда . Будем неограниченно увеличивать количество звеньев ломаной. Тогда отрезок будет стремиться к радиусу сферы, а выражение — к выражению т. е. к выражению Этот предел и принимается в качестве площади поверхности сферы.

Учитывая, что выражает площадь большого круга, получим, что поверхность сферы равна учетверенной площади большого круга.

Уравнение сферы

Определение: Сферой радиуса R называется множество всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки (центра) равно R.

Выведем уравнение сферы. Пусть — центр сферы радиуса — произвольная точка, лежащая на этой сфере (рис. 204). Тогда СМ = R. По формуле расстояния между двумя точками имеем

Приравнивая это выражение R, получим уравнение сферы

Если центр сферы совпадает с началом координат, то х₀ = 0, у₀ = 0, = 0 и уравнение сферы принимает вид

Пример:

Определить координаты центра и радиус сферы

Решение:

Объединяя члены, содержащие одноименные текущие координаты, и дополняя их до полных квадратов, будем иметь

Следовательно, центр сферы находится в точке и радиус ее

Заметим, что совокупность

уравнений сферы и плоскости определяет окружность, по которой пересекаются плоскость и сфера (если это множество не пусто). В частности, если , то совокупность этих уравнений изображает окружность большого круга.

Уравнение окружности можно также писать в параметрическом виде.

Пример:

Написать параметрические уравнения меридиана сферы

проходящего через полюсы и , если плоскость меридиана образует угол а с координатной плоскостью Охг (рис. 205).

Решение:

За параметр текущей точки меридиана примем угол — широту этой точки, где — проекция точки М на координатную плоскость Оху . Так как , то из рис. 205 имеем

где

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Уравнение сферы

Определение. Сферой называется множество всех точек, расположенных на расстоянии от заданной точки . Точка называется центром сферы, — радиусом сферы.

Если точка — произвольная точка сферы, то по формуле расстояния между двумя точками имеем:

Это уравнение сферы с центром в точке и радиусом .

Если центр сферы находится в начале координат, то уравнение сферы радиуса имеет вид:

Как видно из рисунка, пересечение этой сферы с координатной плоскостью является ее большой окружностью.

Задача пример №47

Запишите уравнение сферы, радиус которой равен , а центр расположен в точке .

Решение:

Задача пример №48

Представьте фигуру, которая получается при пересечении сферы с плоскостью .

Решение:

радиус сферы . Учитывая в уравнении сферы, что получим : ;

Пересечение плоскости и данной сферы является окружность с центром в точке (0; 0; 12) и радиусом .

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется плоскостью, касательной к сфере.

Например, плоскость касается сферы в точке (0;0;13). Плоскость, касательная к сфере, в точке касания перпендикулярна радиусу сферы.

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Математика: полный курс решений задач в виде лекций

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Координаты на сфере

Положение точки на сфере удобнее всего задавать так, как это делается в географии. На данной сфере радиуса R выберем какие-нибудь две диаметрально противоположные точки, одну из них N назовем условно се­верным полюсом, другую S — южным. Какой-нибудь из «меридианов» (кратчайший путь по сфере из S в N) назовем начальным меридиа­ном; проходящую через центр О сферы и пер­пендикулярную оси SN плоскость назовем экваториальной, а пересечение ее со сферой — экватором, на экваторе изберем направление, скажем против часовой стрелки, если смот­реть из N. Положение любой точки М на сфере определяется двумя координатами, одна из них, назовем ее долготой,—угол φ между плоскостью начального меридиана и плоскостью, проходя­щей через М и ось SN (угол должен отсчиты­ваться в направлении, соответствующем вы­бранному на экваторе). Широтой точки М бу­дем называть угол θ между радиусом ОМ и плоскостью экватора ( θ считается положитель­ным для точек северного полушария и отри­цательным для южного). Будем писать: М < φ ; θ >, ставя на первое место долготу, на второе — широту.

Пример. Проверьте правильность коор­динатного обозначения точек на рис. 21.

Все точки с одинаковой долготой φ ₀ запол­няют меридиан, уравнение которого поэтому φ = φ ₀. Все точки с одинаковой широтой θ ₀ заполняют параллель θ = θ ₀. Уравнение, связывающее текущие координаты φ и θ , опреде­ляет, как и в плоской геометрии, кривую; не­равенство, соответствующее этому уравнению, определяет одну или несколько областей, на которые эта кривая разделяет сферу. Так, не­равенство θ < 0 определяет южную полусферу, θ >0—северную; θ =0 есть уравнение экватора. Если сферу отнести к декартовым коорди­натам в пространстве, приняв центр О сферы за начало, ось SN — за ось z, ось х направив через точку <0; 0>, ось у — через<90°; 0>, то декарто­вы координаты х, y, z любой точки М сферы легко выразить через долготу и широту этой точки. Для этого выразим сначала координаты ее проекции М₁на плоскость Оху, где обычным образом расположим полярную систему коор­динат. Из рис. 21 видно, что для М₁(х; у; 0) полярный радиус r=Rcos θ , а полярный угол φ совпадает с долготой точки М. Кроме того,

z=Rsin θ . Приняв во внимание формулы (11), получим:

По этим формулам вычисляют декартовы коор­динаты точки М (х; у; z), если известны ее координаты φ и θ на сфере.

На эти же формулы можно взглянуть и с другой точки зрения. Будем считать со и 6 пе­ременными, придавая им всевозможные значе­ния в естественных пределах 0 ≤ φ <360°, -90° ≤ θ≤ +90°; тогда точка М< φ ; θ > будет пе­ремещаться по сфере, занимая всевозможные положения. Это напоминает параметрические уравнения линии, в которых декартовы коор­динаты х, y, z выражены через один перемен­ный параметр t. Разница лишь в том, что те­перь х, у, z выражены через два параметра, поэтому получается не линия (одномерное обра­зование), а поверхность (образование дву­мерное). Подобные уравнения называют пара­метрическими уравнениями поверхности; пере­менные параметры чаще всего здесь обозначают буквами и и v. Итак, уравнения сферы запи­шем в виде:

Если из этих уравнений исключить параметры и, v (для этого проще всего возвести (13) в квадрат и сложить; к сожалению, исключе­ние переменных не всегда так просто), полу­чим обычное ее уравнение x 2 + y 2 +z 2 =R 2 .

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Многогранники
5. Сфера и шар

Советуем посмотреть:

Предмет стереометрии

Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

Многогранник

Призма

Параллелепипед

Объём тела

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Пирамида

Цилиндр

Конус

Многогранники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1224,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1226,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1228,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1229,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1230,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1231,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 24,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 26,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1252,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1253,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

План урока:

Понятие сферы и шара

Уравнение сферы

Пересечение сферы плоскостью

Касательная плоскость к сфере

Пересечение двух сфер

Площадь сферы

Вписанные и описанные сферы

Понятие сферы и шара

Люди постоянно сталкиваются с предметами, имеющими форму шара. В большинстве спортивных игр (баскетболе, большом и настольном теннисе, футболе) используются мячи, которые по форме как раз являются шарами. Такую же форму имеют многие фрукты – яблоки, апельсины, мандарины. Более того, известно, что Земля, другие планеты и звезды, большинство крупных спутников также представляют собой шары.

Важно отличать шар от сферы. Сферой называют только поверхность шара. Сам же шар является объемной фигурой, к нему относят всю часть пространства, ограниченную сферой.

Дадим строгие определения сферы и шара:

Отрезок, соединяющий точку на сфере с ее центром, именуется радиусом сферы. Он же называется и радиусом шара, заключенного внутри этой сферы.

Проходящий через центр сферы отрезок, чьи концы принадлежат сфере, именуется диаметром сферы. Сама сфера считается частью шара, также как и окружность считается частью круга.Показывают шар или сферу на рисунке так:

Из определения сферы явно вытекает тот факт, что все ее радиусы одинаковы. Это в свою очередь означает, что центр сферы – это середина диаметра, и диаметр вдвое длиннее радиуса.

Заметим, что сфера является телом вращения. Она получается при повороте полуокружности вокруг ее диаметра:

Уравнение сферы

В планиметрии мы уже изучали уравнения линии. Так назывались ур-ния с двумя переменными, каждое решение которых соответствовало точке на координатной плос-ти, принадлежавшей заданной линии. Если же точка не принадлежала линии, то ее координаты решением соответствующего ур-ния не являлись. В частности, нам удалось получить уравнения прямой и окружности.

Аналогично в стереометрии вводится понятие уравнения поверхности. Так как в пространстве используются уже три координаты (х, у и z), то ур-ния поверхности содержат три переменных. Координаты всякой точки, принадлежащей поверхности, будут являться решениями ур-ния этой поверхности. И наоборот, координаты точки, не принадлежащей поверхности, будут обращать ур-ние поверхности в неверное равенство.

Выведем ур-ние сферы. Пусть ее центр располагается в точке С с координатами (х₀, у₀, z₀), а радиус обозначен как R. Возьмем произвольную точку А на сфере. По определению сферы расстояние между А и С должно составлять R:

Мы уже знаем формулу для расчета расстояния между А и С:

Точки, координаты которых удовлетворяют этому неравенству, находятся от центра сферы на расстоянии меньше ее радиуса. Это значит, что они находятся внутри сферы, то есть принадлежат шару, чьей поверхностью является рассматриваемая сфера. Если же координаты точки удовлетворяют неравенству

то можно утверждать, что точка находится вне пределов сферы, то есть она не принадлежит ни сфере, ни шару.

Задание. Напишите уравнение сферы, центр которой располагается в точке (2; – 4; 7) и чей радиус равен 3.

Решение. Здесь мы просто подставляем координаты центра сферы и ее радиус в ур-ние сферы:

Задание. Есть сфера с радиусом 9, чей центр располагается в точке О(2; 3; 4). Определите, какие из следующих точек будут принадлежать этой сфере: А(1; 7; – 4), В(0; 6; 10), С(– 2; – 1; 11), D(5; 6; 8).

Решение. Сначала составляем уравнение сферы, описанной в условии:

Равенство неверное, значит, В не располагается на сфере (более того, раз 49 < 81, то можно утверждать, что точка располагается внутри сферы). Далее проверяем точку С(– 2; – 1; 11):

Задание. Докажите, что ур-ние

является ур-нием сферы, после чего определите радиус этой сферы.

Решение. Здесь необходимо выполнить некоторые преобразования ур-ния, чтобы оно стало похожим на ур-ние сферы. Для этого используем формулы квадратов суммы и разности:

Пересечение сферы плоскостью

Рассмотрим ситуацию, когда секущая плоскость α пересекает сферу. Нас в первую очередь интересует форма получающегося сечения. Опустим из точки О, центра сферы, перпендикуляр ОН на секущую плос-ть (пока мы рассматриваем случай, когда секущая плос-ть проходит не через О):

Буквами А и В обозначим любые две точки сечения, которые принадлежат одновременно и сфере, и плос-ти α. Теперь сравним ∆ОНА и ∆ОНВ. Они прямоугольные, ведь ОН – перпендикуляр к α. При этом у них есть общий катет ОН и одинаковые гипотенузы ОА и ОВ (это радиусы одной сферы).Тогда эти ∆ОНА и ∆ОНВ одинаковы, и поэтому

AH = BH

Мы выбрали точки А и В произвольно, и они оказались равноудаленными от Н. Значит, А и В находятся на одной окруж-ти с центром Н. Легко показать и обратное – любая точка этой окруж-ти будет лежать и на сфере (попробуйте сделать этот сами). Значит, сечение имеет форму окруж-ти, причем ее центр – это основание перпендикуляра, проведенного из О на α.

Обозначим длину перпендикуляра ОН буквой h, радиус сферы буквой R и радиус сечения буквой r. Тогда, используя теорему Пифагора, мы можем составить формулу для расчета радиуса r сечения:

Видно, что чем длиннее перпендикуляр h(он представляет собой расстояние от О до α), тем меньше радиус сечения. Тогда ясно, что наибольший радиус будет у того сечения, которое проходит через центр О. Действительно, если сечение проходит через О, то все его точки по определению сферы будут удалены на расстояние R от О. Но уже по другому определению такое множество точек – окруж-ть с центром в О и радиусом R. Плос-ть, проходящая через центр сферы, именуется диаметральной плоскостью, а само сечение именуют большой окружностью сферы. Радиус большой окруж-ти совпадает с радиусом самой сферы.

Задание. Сфера с радиусом 41 пересечена плос-тью, которая находится на расстоянии 9 от центра этой сферы. Найдите площадь сечения.

Решение. Опустим из центра сферы О перпендикуляр ОН на секущую плос-ть, тогда по условию ОН = 9. Пусть А – точка на сечении, тогда ОА = 41. ∆ОНА – прямоугольный, поэтому мы можем найти радиус АН:

Теперь площадь сечения можно рассчитать по известной формуле площади круга:

Ответ: 1600π.

Задание. Докажите, что если через три точки сферы провести окруж-ть, то все точки этой окруж-ти будут также принадлежать сфере.

Решение. Пусть на сфере есть точки А, В, С. Проведем через них окруж-ть L. Надо доказать, что произвольная точка D, принадлежащая этой окруж-ти, также будет находиться на сфере.

Через точки А, В и С можно провести единственную плос-ть АВС. Она будет секущей для сферы, ведь она имеет с ней как минимум три общих точки – А, В и С. Формой этого сечения будет некоторая окруж-ть L₁. L₁ обязательно будет проходить через А, В и С. Но через любые три точки можно провести не более одной окружности, поэтому L и L₁ совпадают. Значит, D, принадлежащая по условию L, будет также принадлежать и L₁. Но L₁– это сечение, все его точки, в том числе и D, принадлежат сфере, ч. т. д.

Есть смысл запомнить доказанное утверждение:

Задание. На сфере радиусом 13 отмечены точки А, В и С так, что АВ = 6, ВС = 8 и АС = 10. Каково расстояние между центром сферы и плос-тью АВС?

Решение. Сначала заметим, что ∆АВС является прямоугольным, ведь его стороны удовлетворяют теореме Пифагора:

Напомним одного из свойств прямоугольного треугольника – центр окруж-ти, описанной около него, совпадает с серединой его гипотенузы. То есть если через точки А, В и С провести окруж-ть, то ее центр Н будет серединой АВ, и поэтому

Теперь заметим, что эта описанная окруж-ть должна быть сечением сферы. Это значит, что ОН – перпендикуляр к плос-ти АВС, ведь центр сечения должен лежать на перпендикуляре к плос-ти, проведенном из О. Тогда ∆ОНС – прямоугольный, и ОН – искомое нами расстояние. ОС – радиус сферы. Рассчитаем по теореме Пифагора ОН:

Касательная плоскость к сфере

Плос-ть, имеющая со сферой строго одну общую точку, именуется касательной плоскостью к сфере.

Действительно, если плос-ть касается окруж-ти, то точка касания А должна располагаться на расстоянии R от центра сферы О, где R– радиус сферы. Все остальные точки касательной плос-ти находятся вне пределов сферы, то есть должны находиться от О на расстоянии, превышающем R. Это значит, что отрезок ОА должен быть кратчайшим отрезком, соединяющим О и касательную плос-ть. Но мы знаем, что кратчайший отрезок между плос-тью и точкой – это как раз перпендикуляр, опущенный из точки на плос-ть.

Справедливо и обратное утверждение:

Доказательство. Если радиус ОА – перпендикуляр к плос-ти α, то он является кратчайшим расстоянием между плос-тью и центром О. Тогда все остальные точки плос-ти располагаются на большем расстоянии от О, чем точка А. Это значит, что они не располагаются на сфере. Значит, у сферы и плос-ти α одна общая точка А, а потому α по определению – касательная плос-ть.

По аналогии с касательной плос-тью существует понятие касательной прямой к сфере.

Касательная к сфере обладает почти теми же свойствами, что и касательная к окруж-ти.

Доказательство. Пусть m– касательная прямая к сфере с центром О. обозначим точку касания как А. Далее через прямую m и центр О проведем плос-ть α. Нам надо показать, что ОА⊥m:

Плос-ть α будет диаметральной плос-тью. Сечение будет иметь форму окруж-ти с центром О и радиусом ОА. Прямая m будет касательной к этой окруж-ти, ведь она имеет с ней общую точку А, а второй общей точки m и окруж-ть иметь не могут, ведь такая бы точка была бы также общей для m и сферы, а m по определению имеет лишь одну общую точку со сферой. Напомним, что касательная к окруж-ти перпендикулярна радиусу, то есть m⊥ОА, ч. т. д.

Будет верным и обратное утверждение:

Для доказательства используем ту же картинку. Известно, что m⊥ОА, надо показать, что m– касательная к сфере. Проведем через пересекающиеся прямые m и ОА плос-ть α. Она снова окажется диаметральной плоскостью, и снова сечением будут окруж-ть с радиусом ОА. По признаку касательной, который мы изучали в планиметрии, m– касательная к этой окруж-ти, ведь m⊥ОА. То есть в плос-ти α есть лишь одна общая точка m и сферы. В других плос-тях у них не может быть общих точек, так как m полностью принадлежит α. В итоге у m и сферы только одна общая точка, а потому m– касательная к сфере, ч. т. д.

Рассмотрим ещё одно утверждение:

Сначала разберемся с понятием отрезков касательных. Пусть из точки А, лежащей вне сферы, к ней проведены две касательные, а точки касания обозначены буквами В и С. Тогда АВ и АС как раз и будут отрезками касательных:

Докажем, что эти отрезки одинаковы. Для этого к точкам касания проведем радиусы ОВ и ОС. Теперь сравним ∆АВО и ∆АСО. Они прямоугольные, ведь ОВ⊥АВ по свойству касательной, и ОС⊥АС. Гипотенуза АО у этих треугольников общая, а катеты ОВ и ОС – это одинаковые радиусы. Получается, что ∆АВО и ∆АСО равны, а потому отрезки АВ и АС одинаковы.

Задание. Дан шар радиусом 10 см, к которому проведена касательная плос-ть α. Через точку касания проведена секущая плос-ть β, образующая с α угол в 30°. Вычислите площадь сечения шара плос-тью β.

Решение. Обозначим точку касания как А. Опустим из центра сферы о перпендикуляр ОН на плос-ть β. Тогда отрезок АН будет радиусом сечения. Так как угол между плос-тями α и β составляет 30° (на рисунке он показан как ∠НАС), то

Ответ: 25π см².

Задание. Некоторое тело представляет собой шар, внутри которого есть полость, также имеющая форму шара, причем центры этих шаров совпадают. Докажите, что площадь сечения этого тела, проходящего через центр шаров, совпадает с площадью сечения, являющегося касательной к внутреннему шару.

Решение. Обозначим радиус большей сферы как R, а радиус меньшей (внутренней сферы) как r. Площадь центрального сечения в виде кольца (показано синим цветом) представляет собой разницу между площадью большого круга с радиусом R и малого с радиусом r:

Задание. Сфера радиусом 5 см касается каждой стороны треугольника со сторонами 13, 14 и 15 см. Каково расстояние между центром этой сферы и плос-тью треугольника?

Решение. Обозначим вершины треугольника точками А, В и С. Пусть

AB = 13

AC = 14

BC = 15

Заметим, что плос-ть АВС – секущая, а само сечение имеет форму окруж-ти. Эта окруж-ть будет касаться сторон ∆АВС, то есть она является вписанной окруж-тью. Как вычислить ее радиус НK?

Напомним одну из формул для расчета площади треугольника:

Площадь ∆АВС можно найти по формуле Герона. Предварительно найдем полупериметр ∆АВС:

Пересечение двух сфер

Пусть есть две пересекающиеся сферы с центрами в точках О₁ и О₂ с радиусами R₁ и R₂ соответственно. Какую форму будет иметь линия L, по которой они пересекаются?

Эта линия является множеством точек, которые принадлежат как первой, так и второй сфере. Обозначим две произвольные точки этой линии буквами А и В:

Проведем радиусы О₁А, О₁В, О₂А и О₂В. Теперь сравним ∆АО₁О₂ и ∆ВО₁О₂. Сторона О₁О₂ у них общая, а другие стороны попарно равны как радиусы сфер:

Получается, что ∆АО₁О₂ и ∆ВО₁О₂ равны. Теперь из точек А и В опустим высоты на прямую О₁О₂. Из равенства ∆АО₁О₂ и ∆ВО₁О₂ вытекает два факта:

• эти высоты упадут в одну точку Н;
• эти высоты будут одинаковы, то есть АН = НВ.

Другими словами, А и В равноудалены от Н. Получается, что точки А и В находятся на окруж-ти, центр которой – точка Н. Заметим, что О₁О₂ – перпендикуляр к плоскости окружности, ведь О₁О₂⊥АН и О₁О₂⊥ВН.

Точки А и В были выбраны произвольно, поэтому можно утверждать, что любые точки линии L будут находиться на одной окруж-ти. Докажем и обратное утверждение – любая точка, лежащая на этой окруж-ти, будет принадлежать линии L. Возьмем на окруж-ти какую-нибудь точку С и построим радиус НС:

Теперь сравним ∆О₁НС и ∆О₁НА. Они прямоугольные, ведь О₁Н – перпендикуляр к плос-ти окружности. Катет О₁Н у них общий, а катеты АН и НС одинаковы как радиусы окруж-ти. Значит, ∆О₁НС и ∆О₁НА равны, и потому

Это равенство означает, что С принадлежит сфере с центром в О₁. Аналогично рассмотрев ∆О₂НС и ∆О₂НА, можно показать, что С также принадлежит и второй сфере. Тогда С принадлежит пересечению этих сфер.

Итак, всякая точка линии L лежит на окруж-ти с центром Н, и наоборот, каждая точка этой окруж-ти лежит на линии L. Это означает, что L как раз и является этой окружностью.

Отметим ещё один факт: по неравенству треугольника отрезок О₁О₂ должен быть меньше суммы отрезков О₁А и О₂А, то есть суммы радиусов сфер.

Задание. Сферы имеют радиусы 25 см и 29 см, а расстояние между их центрами составляет 36 см. Вычислите радиус окруж-ти, по которой они пересекаются.

Решение. Пусть А – одна их точек сечения. Искомый радиус обозначим как АН. В итоге получим такую картинку:

Площадь сферы

Сферическая поверхность, как и всякая другая ограниченная поверхность, имеет какую-то площадь. Напомним, что для вычисления площадей цилиндрической и конической поверхности мы строили их плоские развертки и находили площади уже этих разверток, используя формулы из планиметрии. Оказывается, что для сферы построить такую развертку невозможно. Мы не будем доказывать строго этот факт, но он известен из географии – любая карта Земли, которая как раз и должна быть разверткой сферической поверхности нашей планеты, является неточной и сильно искажает форму и размеры континентов. Если бы существовал способ построить точную развертку, то и географические карты не имели бы таких искажений.

Однако вычислить площадь сферы всё же можно по известной формуле:

Сейчас мы не будем доказывать эту формулу. Отметим лишь, что для ее получения необходимо использовать интегралы.

Задание. Какова площадь сферы с радиусом 5 см?

Решение. Просто используем формулу:

Ответ: 100π см².

Вписанные и описанные сферы

Если каждая точка многогранника лежит на поверхности сферы, то говорят, что многогранник вписан в сферу. Тогда сферу именуют описанной, а многогранник – вписанным.

Если же сфера касается каждой грани многогранника, то уже наоборот, сфера вписана в многогранник. Тогда уже сфера будет вписанной фигурой, а многогранник – описанной.

Заметим, что не в каждый многогранник может быть вписанным или описанным. Например, в куб вписать сферу можно, а в прямоугольный параллелепипед, измерения которого отличаются, уже вписать сферу не получится.

Надо отметить, что в сферу можно вписать не только в многогранник, но и другие геометрические фигуры, в частности конус и цилиндр. Здесь нужно уточнить (без доказательства), что если касание плос-ти и сферы происходит только в одной точке, то цилиндрическая и коническая поверхности касаются сферы уже по окруж-ти.

Задание. Правильная пирамида вписана в сферу. Докажите, высота этой пирамиды проходит через центр сферы.

Решение. Опустим из центра сферы О перпендикуляр ОН на основание пирамиды. Далее возьмем произвольную вершину Х основания пирамиды, и соединим ее с Н отрезком ХН. По теореме Пифагора можно вычислить длину ХН (радиус сферы ОХ обозначим, буквой R):

Получилось, что расстояние ХН не зависит от самой точки Х. То есть все вершины основания равноудалены от точки, то есть Н – центр описанной около основания окруж-ти. Это означает, что перпендикуляр ОН одновременно является высотой правильной пирамиды, ч. т. д.

Задание. Вычислите радиус описанной сферы, в которую вписан правильный тетраэдр со стороной а.

Решение. Правильный тетраэдр можно считать правильной треугольной пирамидой, поэтому (согласно предыдущей задаче) из центра сферы О можно опустить перпендикуляр на основание АВС, который упадет в точку Н – центр основания. Так как тетраэдр правильный, то ∆АВС – равносторонний, то есть Н – эта точка пересечения и медиан, и высот. Опустим из А высоту АК, она пройдет через Н. Так как АК – ещё и медиана, то

Далее найдем длину АН. Вспомним, что АН – медиана, а точка пересечения медиан Н делит их в отношении 2:1. Это значит, что

Буквой R здесь обозначен радиус описанной сферы. Осталось применить теорему Пифагора к ∆АНD:

Задание. Докажите что вокруг любого тетраэдра можно описать сферу.

Решение. Обозначим вершины произвольного тетраэдра буквами А, В, С и D. Далее на грани АВС отметим точку К – центр окруж-ти, описанной около ∆АВС. Аналогично на грани АВD отметим Н – центр окруж-ти, описанной около ∆АВD:

Напомним, что центры описанных окружностей располагаются в той точке, где пересекаются серединные перпендикуляры. Это значит, что если мы из К и Н опустим перпендикуляры на ребро АВ, то эти перпендикуляры будут серединными, то есть они попадут в одну точку М, являющуюся серединой ребра АВ.

Мы получили плос-ть НМК. Заметим, что НМК⊥АВ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как АВ⊥МН и АВ⊥МК. Но тогда АВС⊥МНК уже по признаку перпендикулярности плоскостей, ведь АВС проходит через АВ, являющийся перпендикуляром к НМК. По той же причине и АВD⊥НМК.

Далее проведем через К перпендикуляр m к АВС. Он должен будет принадлежать НМК, ведь НМК⊥АВD. Аналогично и через Н проведем перпендикуляр n к АВD, который также будет принадлежать НМК.

В плос-ти НМК есть две прямые, mи n. Они либо параллельны, либо пересекаются. Но перпендикуляры к двум плос-тям могут быть параллельны только в случае, если сами эти плос-ти параллельны (или совпадают). Но АВС и АВD непараллельны и не совпадают, поэтому m и n непаралелльны, то есть они пересекаются в какой-то точке О.

Покажем, что точка О равноудалена от всех вершин тетраэдра. Сравним ∆АОК и ∆СОК. Они прямоугольные, ведь ОК – перпендикуляр к АВС. ОК – общий катет, а катеты АК и СК одинаковы как радиусы описанной окруж-ти. Значит, ∆АОК и ∆СОК равны, ОА = ОС. Аналогично рассмотрев ∆АОК и ∆ВОК, приходим к выводу, что ОА = ОВ. Далее рассматриваем ∆ОНD и ∆ОНА и получаем, что ОА = ОD. Эти три равенства все вместе означают, что О равноудалена от точек А, В, С и D. А это значит, что на сфере с центром О и радиусом ОА будут лежать все вершины тетраэдра, то есть такая сфера окажется описанной, ч. т. д.

Примечание. Несложно доказать, что описанная сфера будет единственной. Действительно, если бы около тетраэдра можно было описать две различных сферы, то они пересекались бы в точках А, В, С и D. Сферы пересекаются по окруж-ти, то есть А, В, С и D должны лежать на одной окруж-ти, но это невозможно, ведь они не располагаются в одной плос-ти. Значит, двух описанных сфер существовать не может.

Доказанное в задаче утверждение можно сформулировать несколько иначе:

Сегодня мы изучили сферу – одну из важнейших геометрических фигур. Именно сферическую форму имеют звезды и планеты. Жидкость, оказавшаяся в невесомости, также принимает форму шара. Важно запомнить, что сечение сферы имеет форму окруж-ти, и касательные к сфере обладают почти такими ми же свойствами, как и касательные к окруж-ти в планиметрии.