Как найти центр шарика

Уверен, у каждого домашнего мастера был случай, когда ему нужно было сделать разметку какой-нибудь круглой заготовки и найти центр ее основания. Казалось бы, это очень просто сделать, но некоторые мастера долго не могут найти выход в данной ситуации. Сегодня я покажу вам два простых решения, с помощью которых можно быстро и точной найти центр любой окружности.

1. Первый способ подойдет для разметки небольших заготовок. В качестве примера я возьму заглушку от пластиковой трубы диаметром 50 мм.

Для того, чтобы найти центр окружности заглушки, не нужны будут какие-то математические вычисления и сложные манипуляции. Нам понадобятся всего лишь строительный угольник и обычная линейка (или второй угольник), которые есть в любой мастерской.

Складываем вместе угольник и линейку, так чтобы образовался угол в 45 градусов.

Затем, придерживая одной рукой угольник и линейку, прикладываем их к круглой заготовке (заглушке) так, чтобы она вплотную соприкасалась с двумя сторонами угольника.

Теперь берем карандаш и чертим на заглушке первую линию, потом немного ее поворачиваем и делаем вторую метку (достаточно провести две линии, но для уверенности можно поставить три метки).

Все задача решена! Точка пересечения этих двух линий и будет центром данной окружности. Данный способ один из самых быстрых и простых.

2. Второй способ подойдет, если окружность имеет большой диаметр или она расположена на плоскости. Для примера я обвел карандашом крышку от кастрюли. В этом случае тоже все очень просто. Для начала выбираем любую точку на окружности.

Потом от этой точки чертим две линии до пересечения с окружностью так, чтобы у нас получился прямой угол (90 градусов). Для построения данных линий проще всего воспользоваться угольником (если окружность очень большая, линии можно продлить с помощью линейки).

А теперь все очень просто, соединяем точки, в которых пересекаются линии с окружностью и измеряем длину получившегося отрезка. Его середина и будет центром окружности. Уверен, многие помнят это из уроков по геометрии. Середина гипотенузы прямого треугольника вписанного в окружность, является центром этой окружности.

Шар – это тело, состоящее из всех точек пространства, которые находятся на расстоянии, не большем данного от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, который соединяет центр шара с точкой шаровой поверхности, тоже называется радиусом. Проходящий через центр шара отрезок, который соединяет две точки шаровой поверхности, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Шар является телом вращения, так же как конус и цилиндр. Шар получается при вращении полукруга вокруг  его диаметра как оси.

Площадь поверхности шара можно найти по формулам:

S = 4 πr²

S = πd²,

где r – радиус шара, d – диаметр шара.

Объём шара находится по формуле:

V = 4 / 3 πr³,

где r – радиус шара.

Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Исходя из данной теоремы, если шар с центром O и радиусом R пересечён плоскостью α, то в сечении получается круг радиуса r с центром K. Радиус сечения шара плоскостью можно найти по формуле

 

Из формулы видно, что плоскости, равноудалённые от центра, пересекают шар по равным кругам. Радиус сечения тем больше, чем ближе секущая плоскости к центру шара, то есть чем меньше расстояние ОК. Наибольший радиус имеет сечение плоскостью, проходящей через центр шара. Радиус этого круга равен радиусу шара.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью, называется большим кругом, а сечение сферы – большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.

Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Плоскость, которая и проходит через точку А шаровой поверхности и перпендикулярна радиусу, проведённому в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Прямая, которая проходит через точку А шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной.

Теорема. Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причём все они лежат в касательной плоскости шара.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Круг ABC – основание шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, – высота шарового сегмента. Точка M – вершина шарового сегмента.

Площадь поверхности шарового сегмента можно вычислить по формуле:

S = 2πRh,

где R – радиус большого круга, h – высота шарового сегмента.

Объём шарового сегмента можно найти по формуле:

V = πh²(R – 1/3h),

где R – радиус большого круга, h – высота шарового сегмента.

Шаровой сектор получается из шарового сегмента и конуса, следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.

Шаровой сектор – это часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента (на нашем рисунке – это AMCB) и конической поверхностью (на рисунке – это OABC), основанием которой служит основание сегмента (ABC), а вершиной – центр шара O.

Объем шарового сектора находится по формуле:

V = 2/3 πR²H.

Шаровый слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными плоскостями (на рисунке плоскостями ABC и DEF), пересекающими сферическую поверхность. Кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (зоной). Круги  ABC и DEF – основания шарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Урок «Сфера. Уравнение сферы»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Продолжаем изучение сферы.

На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.

Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка — центр сферы.

Заданное расстояние — радиус сферы.

Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.

Зададим прямоугольную систему координат Оxyz и некоторую поверхность F.

Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.

1.Рассмотрим сферу радиуса R и с центром С(x0; y0; z0).

2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С( x0 ; y0 ; z0) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть

4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.

5. Таким образом, в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром

С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид:

Применим полученные знания при решении задач.

Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1).

1.Запишем уравнение сферы с центром

А (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R:

2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в данное уравнение:

Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид:

3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:

Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид:

Сфера задана уравнением:

1) Найти координаты центра и радиус сферы;

2) Найти значение m, при котором точки

А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере.

1. Уравнение данной сферы имеет вид:

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 или x2+ y2+2y + z2-4z=4

Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения:

x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4

Уравнение примет вид:

x2+( y+1)2+( z-2)2-5=4 или

Таким образом, центр сферы имеет координаты:

О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3

2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид:

Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:

Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:

Таким образом, мы получили 4 значения m:

Несложно проверить, что при m=-4 и m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.

Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 с центром в точке

О (0;-1;2) и радиусом R=3.

—> —>

Инфоурок

07.11.2014

Геометрия

Видеоурок

51611

1003

АвторДата добавленияРазделПодразделПросмотровНомер материала

© 2022 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.

Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы

Формула. Объём шара:

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
3	6

S = 4 π R 2 = π D 2

Уравнение сферы

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

( x — x ₀) 2 + ( y — y ₀) 2 + ( z — z ₀) 2 = R 2

Основные свойства сферы и шара

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

d m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m r такого круга можно найти по формуле:

где R — радиус сферы (шара), m — расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Формула. Объём сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

S = π R(2 h + √ 2 h R — h 2 )

Формула. Объём сектора V с высотой O₁H (h) через радиус шара OH (R):

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №8. Сфера и шар

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• что такое сфера, какие у неё есть элементы (центр, радиус, диаметр сферы);
• что такое шар и его элементы;
• уравнение сферы;
• формула для нахождения площади поверхности сферы;
• взаимное расположение сферы и плоскости;
• теорема о радиусе сферы, который проведён в точку касания и теорему обратную данной.

Глоссарий по теме:

Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

– уравнение сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные теоретические факты

По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.

Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R

Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Сферу можно получить ещё одним способом — вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

2. Уравнение сферы

Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Пусть сфера имеет центром точку С (x₀; y₀; z₀) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:

МС=

Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС 2 =R 2 , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:

.

Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.

1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.

2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.

3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Рассмотрим случай касания более подробно.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Теорема (свойство касательной плоскости).

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема (признак касательной плоскости):

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

4. Основные формулы

Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:

Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:

S=4πR 2 – площадь сферы.

S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.

– площадь поверхности сектора с высотой h.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь круга вычисляется по формуле: S_кр=πR 2 .

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: S_сф=4πR 2 . Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.

2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.

Площадь сферы равна S_сф=4πR 2 . То есть S_сф=100π.

По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r 2 =100, то есть r=10.

3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15

Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.

Найдем ее радиус.

Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:

С другой стороны, S=p·r.

Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.

4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.

Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.

Около любого куба можно описать шар.

Общие точки шара и куба — восемь вершин куба.

Центр шара (O) находится в точке пересечения диагоналей куба.
В любой куб можно вписать шар.
Общие точки шара и куба — центры шести граней куба (точки касания шара и куба).

Чертится сечение плоскостью, которая параллельна грани куба и проходит через центр шара.

Радиус шара — половина стороны куба.

Тема “Разные задачи на многогранники, цилиндр,
конус и шар” является одной из самых сложных в
курсе геометрии 11 класса. Перед тем, как решать
геометрические задачи, обычно изучают
соответствующие разделы теории, на которые
ссылаются при решении задач. В учебнике
С.Атанасяна и др. по данной теме (стр. 138) можно
найти только определения многогранника,
описанного около сферы, многогранника,
вписанного в сферу, сферы, вписанной в
многогранник, и сферы, описанной около
многогранника. В методических рекомендациях к
этому учебнику (см. книгу “Изучение геометрии в
10–11-х классах” С.М.Саакяна и В.Ф.Бутузова, стр.159)
сказано, какие комбинации тел рассматриваются
при решении задач № 629–646, и обращается внимание
на то, что “при решении той или иной задачи
прежде всего нужно добиться того, чтобы учащиеся
хорошо представляли взаимное расположение
указанных в условии тел”. Далее приводится
решение задач №638(а) и №640.

Учитывая все выше сказанное, и то, что наиболее
трудными для учащихся являются задачи на
комбинацию шара с другими телами, необходимо
систематизировать соответствующие
теоретические положения и сообщить их учащимся.

Определения.

1. Шар называется вписанным в многогранник, а
многогранник описанным около шара, если
поверхность шара касается всех граней
многогранника.

2. Шар называется описанным около
многогранника, а многогранник вписанным в шар,
если поверхность шара проходит через все вершины
многогранника.

3. Шар называется вписанным в цилиндр, усеченный
конус (конус), а цилиндр, усеченный конус (конус) –
описанным около шара, если поверхность шара
касается оснований (основания) и всех образующих
цилиндра, усеченного конуса (конуса).

(Из этого определения следует, что в любое
осевое сечение этих тел может быть вписана
окружность большого круга шара).

4. Шар называется описанным около цилиндра,
усеченного конуса (конуса), если окружности
оснований (окружность основания и вершина)
принадлежат поверхности шара.

(Из этого определения следует, что около
любого осевого сечения этих тел может быть
описана окружность большего круга шара).

Общие замечания о положении центра
шара.

1. Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в
точке пересечения биссекторных плоскостей всех
двугранных углов многогранника. Он расположен
только внутри многогранника.

2. Центр шара, описанного около многогранника,
лежит в точке пересечения плоскостей,
перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и
проходящих через их середины. Он может быть
расположен внутри, на поверхности и вне
многогранника.

Комбинация шара с призмой.

1. Шар, вписанный в прямую призму.

Теорема 1. Шар можно вписать в прямую
призму в том и только в том случае, если в
основание призмы можно вписать окружность, а
высота призмы равна диаметру этой окружности.

Следствие 1. Центр шара, вписанного в прямую
призму, лежит в середине высоты призмы,
проходящей через центр окружности, вписанной в
основание.

Следствие 2. Шар, в частности, можно вписать
в прямые: треугольную, правильную,
четырехугольную (у которой суммы
противоположных сторон основания равны между
собой) при условии Н = 2r, где Н – высота призмы, r –
радиус круга, вписанного в основание.

2. Шар, описанный около призмы.

Теорема 2. Шар можно описать около
призмы в том и только в том случае, если призма
прямая и около ее основания можно описать
окружность.

Следствие 1. Центр шара, описанного около
прямой призмы, лежит на середине высоты призмы,
проведенной через центр круга, описанного около
основания.

Следствие 2. Шар, в частности, можно описать:
около прямой треугольной призмы, около
правильной призмы, около прямоугольного
параллелепипеда, около прямой четырехугольной
призмы, у которой сумма противоположных углов
основания равна 180 градусов.

Из учебника Л.С.Атанасяна на комбинацию шара с
призмой можно предложить задачи № 632, 633, 634, 637(а),
639(а,б).

Комбинация шара с пирамидой.

1. Шар, описанный около пирамиды.

Теорема 3. Около пирамиды можно описать
шар в том и только в том случае, если около ее
основания можно описать окружность.

Следствие 1. Центр шара, описанного около
пирамиды лежит в точке пересечения прямой,
перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей
через центр окружности, описанной около этого
основания, и плоскости, перпендикулярной любому
боковому ребру, проведенной через сере дину
этого ребра.

Следствие 2. Если боковые ребра пирамиды
равны между собой (или равно наклонены к
плоскости основания), то около такой пирамиды
можно описать шар.Центр этого шара в этом случае
лежит в точке пересечения высоты пирамиды (или ее
продолжения) с осью симметрии бокового ребра,
лежащей в плоскости бокового ребра и высоты.

Следствие 3. Шар, в частности, можно описать:
около треугольной пирамиды, около правильной
пирамиды, около четырехугольной пирамиды, у
которой сумма противоположных углов равна 180
градусов.

2. Шар, вписанный в пирамиду.

Теорема 4. Если боковые грани пирамиды
одинаково наклонены к основанию, то в такую
пирамиду можно вписать шар.

Следствие 1. Центр шара, вписанного в
пирамиду, у которой боковые грани одинаково
наклонены к основанию, лежит в точке пересечения
высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла
любого двугранного угла при основании пирамиды,
стороной которого служит высота боковой грани,
проведенная из вершины пирамиды.

Следствие 2. В правильную пирамиду можно
вписать шар.

Из учебника Л.С.Атанасяна на комбинацию шара с
пирамидой можно предложить задачи № 635, 637(б), 638,
639(в),640, 641.

Комбинация шара с усеченной
пирамидой.

1. Шар, описанный около правильной усеченной
пирамиды.

Теорема 5. Около любой правильной
усеченной пирамиды можно описать шар. (Это
условие является достаточным, но не является
необходимым)

2. Шар, вписанный в правильную усеченную
пирамиду.

Теорема 6. В правильную усеченную
пирамиду можно вписать шар в том и только в том
случае, если апофема пирамиды равна сумме апофем
оснований.

На комбинацию шара с усеченной пирамидой в
учебнике Л.С.Атанасяна есть всего лишь одна
задача (№ 636).

Комбинация шара с круглыми телами.

Теорема 7. Около цилиндра, усеченного
конуса (прямых круговых), конуса можно описать
шар.

Теорема 8. В цилиндр (прямой круговой)
можно вписать шар в том и только в том случае,
если цилиндр равносторонний.

Теорема 9. В любой конус (прямой
круговой) можно вписать шар.

Теорема 10. В усеченный конус (прямой
круговой) можно вписать шар в том и только в том
случае, если его образующая равна сумме радиусов
оснований.

Из учебника Л.С.Атанасяна на комбинацию шара с
круглыми телами можно предложить задачи № 642, 643,
644, 645, 646.

Для более успешного изучения материала данной
темы необходимо включать в ход уроков устные
задачи:

1. Ребро куба равно а. Найти радиусы шаров:
вписанного в куб и описанного около него. (r = a/2, R =
a3).

2. Можно ли описать сферу (шар) около: а) куба; б)
прямоугольного параллелепипеда; в) наклонного
параллелепипеда, в основании которого лежит
прямоугольник; г) прямого параллелепипеда; д)
наклонного параллелепипеда? (а) да; б) да; в) нет;
г) нет; д) нет)

3. Справедливо ли утверждение, что около любой
треугольной пирамиды можно описать сферу? (Да)

4. Можно ли описать сферу около любой
четырехугольной пирамиды? (Нет, не около любой
четырёхугольной пирамиды)

5. Какими свойствами должна обладать пирамида,
чтобы около нее можно было описать сферу? (В её
основании должен лежать многоугольник, около
которого можно описать окружность)

6. В сферу вписана пирамида, боковое ребро
которой перпендикулярно основанию. Как найти
центр сферы? (Центр сферы – точка пересечения
двух геометрических мест точек в пространстве.
Первое – перпендикуляр, проведённый к плоскости
основания пирамиды, через центр окружности,
описанной около него. Второе – плоскость
перпендикулярная данному боковому ребру и
проведённая через его середину)

7. При каких условиях можно описать сферу около
призмы, в основании которой – трапеция? (Во-первых,
призма должна быть прямой, и, во-вторых, трапеция
должна быть равнобедренной, чтобы около неё
можно было описать окружность)

8. Каким условиям должна удовлетворять призма,
чтобы около нее можно было описать сферу?
(Призма должна быть прямой, и её основанием
должен являться многоугольник, около которого
можно описать окружность)

9. Около треугольной призмы описана сфера, центр
которой лежит вне призмы. Какой треугольник
является основанием призмы? (Тупоугольный
треугольник)

10. Можно ли описать сферу около наклонной
призмы? (Нет, нельзя)

11. При каком условии центр сферы, описанной
около прямой треугольной призмы, будет находится
на одной из боковых граней призмы? (В основании
лежит прямоугольный треугольник)

12. Основание пирамиды – равнобедренная
трапеция .Ортогональная проекция вершины
пирамиды на плоскость основания – точка,
расположенная вне трапеции. Можно ли около такой
трапеции описать сферу? (Да, можно. То что
ортогональная проекция вершины пирамиды
расположена вне её основания, не имеет значения.
Важно, что в основании пирамиды лежит
равнобедренная трапеция – многоугольник, около
которого можно описать окружность)

13. Около правильной пирамиды описана сфера. Как
расположен ее центр относительно элементов
пирамиды? (Центр сферы находится на
перпендикуляре, проведенном к плоскости
основания через его центр)

14. При каком условии центр сферы, описанной
около прямой треугольной призмы, лежит: а) внутри
призмы; б) вне призмы? (В основании призмы: а)
остроугольный треугольник; б) тупоугольный
треугольник)

15. Около прямоугольного параллелепипеда, ребра
которого равны 1 дм, 2 дм и 2 дм, описана сфера.
Вычислите радиус сферы. (1,5 дм)

16. В какой усеченный конус можно вписать сферу? (В
усечённый конус, в осевое сечение которого можно
вписать окружность. Осевым сечением конуса
является равнобедренная трапеция, сумма её
оснований должна равняться сумме её боковых
сторон. Другими словами, у конуса сумма радиусов
оснований должна равняться образующей)

17. В усеченный конус вписана сфера. Под каким
углом образующая конуса видна из центра сферы? (90
градусов)

18. Каким свойством должна обладать прямая
призма, чтобы в нее можно было вписать сферу? (Во-первых,
в основании прямой призмы должен лежать
многоугольник, в который можно вписать
окружность, и, во-вторых, высота призмы должна
равняться диаметру вписанной в основание
окружности)

19. Приведите пример пирамиды, в которую нельзя
вписать сферу? (Например, четырёхугольная
пирамида, в основании которой лежит
прямоугольник или параллелограмм)

20. В основании прямой призмы лежит ромб. Можно
ли в эту призму вписать сферу? (Нет, нельзя, так
как около ромба в общем случае нельзя описать
окружность)

21. При каком условии в прямую треугольную
призму можно вписать сферу? (Если высота призмы
в два раза больше радиуса окружности, вписанной в
основание)

22. При каком условии в правильную
четырехугольную усеченную пирамиду можно
вписать сферу? (Если сечением данной пирамиды
плоскостью, проходящей через середину стороны
основания перпендикулярно ей, является
равнобедренная трапеция, в которую можно вписать
окружность)

23. В треугольную усеченную пирамиду вписана
сфера. Какая точка пирамиды является центром
сферы? (Центр вписанной в данную пирамиду сферы
находится на пересечении трёх биссектральных
плоскостей углов, образованных боковыми гранями
пирамиды с основанием)

24. Можно ли описать сферу около цилиндра
(прямого кругового)? (Да, можно)

25. Можно ли описать сферу около конуса,
усеченного конуса (прямых круговых)? (Да, можно,
в обоих случаях)

26. Во всякий ли цилиндр можно вписать сферу?
Какими свойствами должен обладать цилиндр, чтобы
в него можно было вписать сферу? (Нет, не во
всякий: осевое сечение цилиндра должно быть
квадратом)

27. Во всякий ли конус можно вписать сферу? Как
определить положение центра сферы, вписанной в
конус? (Да, во всякий. Центр вписанной сферы
находится на пересечении высоты конуса и
биссектрисы угла наклона образующей к плоскости
основания)

Автор считает, что из трех уроков, которые
отводятся по планированию на тему “Разные
задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар”,
два урока целесообразно отвести на решение задач
на комбинацию шара с другими телами. Теоремы,
приведенные выше, из-за недостаточного
количества времени на уроках доказывать не
рекомендуется. Можно предложить учащимся,
которые владеют достаточными для этого навыками,
доказать их, указав (по усморению учителя) ход или
план доказательства.

Автор надеется, что материал этой статьи
поможет молодым коллегам при подготовке к урокам
по данной теме.