Как найти центр симметрии графика функции

Как найти центр симметрии графика функции

Warning: include_once(): Failed opening ‘/home/zarab1/matemonline.com/www/wp-content/plugins/yet-another-related-posts-plugin/includes/template_functions.php’ for inclusion (include_path=’.:/usr/local/pear/php56′) in /home/zarab1/matemonline.com/www/wp-content/plugins/yet-another-related-posts-plugin/yarpp.php on line 52

Симметрии графиков функций

Прямая х=а является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $xin D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2a-x).Симметрии графиков функций

Прямая х=а является осью симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)=f(a-х).

Точка (а, b) является центром симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $xin D(f)$ выполняется равенство f(x)+f(2а-х)=b.

Точка (а, b) является центром симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)+f(a-х)=b.

Пример 1: Сколько вертикальных осей симметрии может иметь график периодической функции?

Ответ: Если график функции f с периодом Т имеет ось симметрии х=а, то скорее всего — из геометрических соображений — осью симметрии будет и прямая х=а+Т. Но так как прямая х=с является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $xin D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2с-х), то для прямой х=а+Т надо проверить выполнение равенства f(а+Т)=f(2а-а-Т), или f(a+Т)=f(aТ), a это равенство верно.

Так как периодов у периодической функции бесконечно много, то и осей симметрии бесконечно много, если, конечно, есть хотя бы одна.

Пример 2: График функции у=f(x) имеет вертикальную ось и центр симметрии. Что можно сказать о графике функции у=2f(x)-1?

Ответ: Так как график функции у=f(x) имеет вертикальную ось симметрии, например х=а, то для всякого х имеет место равенство f(a+х)=f(а-х), а тогда очевидно 2f(a+х)-1=2f(а-x)-1, так что функция у=2f(x)-1 имеет ту же ось симметрии. Если же график функции у=f(x) имеет центр симметрии, например, Q=(а, b), то для всякого х имеет место равенство f(а+х)+f(а-х)=2b, и в этом случае (2f(а+х)-1)+(2f(а-х)-1)=2b<-2, так что функция у=2f(x)-1 имеет центр симметрии в точке (а, 2b-2).

Комментарий. При рассуждении можно употреблять термины «растяжение-сжатие» и «сдвиг». Можно также пользоваться утверждением «Прямая х=а является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $xin D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2а-x)».

Материалы по теме:

  • Пример нахождения площади криволинейной трапеции через определённый интеграл.
  • Функции четные и нечетные
  • Находим асимптоты до графика функции.
  • Периодические функции

Загрузка…

Источник

Валерий

Гуру

(3540)


15 лет назад

Надо с верхнего луча опуститьпрямую, перпендикулярный плоскости основания, точка пересечения луча и плоскости должна быть равноудалена от всех сторон, это и будет центр… вроде того

Юрий Семыкин

Искусственный Интеллект

(156663)


15 лет назад

Если Вы не спутали с центром тяжести, то:
Не у всякой функции есть центр симметрии;
Симметрии бывают разные – зеркальная, товорота и трансляции (сдвига) и ещё в каком (сколькимерном) пространстве, там ещё много вариантов гиперплоскостей и т. д.
Для зеркальной симметрии есть ось, Трансляции – направление, поворота – точка. Раз речь о центре симметрии, то наверное имеется ввиду точка, а функция (кривая или область) – на плоскости.
Надо найти точку и угол, такие, что при повороте вокруг точки на заданный угол фигура (кривая) совпадет сама с собой (папример – прямая вокруг любой своей точки при повороте на угол кратный 180грд) . Как найти. Записать преобразование в полярных координатах относительно произвольной точки, подставить в уравнение кривой (функции) – уравнение желательно так же записать в полярных или в форме через кривизну-кручение. Факт, что перейдет сама в себя – уравнения превратятся в тождество после поворота (прибавления к аргументу угла) . А там с уранением надо поупражняться. Это в общем случае. Если уровень элементарный, то наверняка это либо многочлен не выше 3-го порядка, либо синусы-косинусы. Нарисовать график, найти примерно точку и показать, что при повороте на угол (кубическая может перейти в себя при повороте на 180 градусов) действительно переходит. Боюсь, что Вы вопрос неверно задали.
Что такое аборт – спрашивает дочка, придя из садика – мать, как могла, рассказала и спрашивает, а зачем тебе? Да, мы песню учили “а волны и стонут и плачут, и бьются аборт корабля” – боюсь, что здесь аналогичный случай.

Источник

Let’s discover where the center of symmetry could be

Knowing that the map has a vertical asymptote for $x = -1$, the abscissa of the center of symmetry is $-1$. Let’s find the ordinate. We have

$$begin{aligned}f(x) &= frac{x^2 -2}{x+1} = frac{left(x + 1right)^2-2}{x + 1}\
&=frac{left(x + 1right)^2-2x-3}{x + 1}\
&=x-1-frac{1}{x+1}
end{aligned}$$

Therefore $y = x-1$ is another asymptote of the map. The center of symmetric if it exists lie at the intersection of both asymptotes and therefore has for coordinates $C= (-1,-2)$.

Let’s prove that $C$ is indeed a center of symmetry

For this, we need to notice that

$$-4-f(-2-x) = f(x).$$

Which I leave to the reader.

In general, for $(a,b)$ to be a center of symmetry you need to prove that $2b−f(2a−x)=f(x)$.

Источник

 

Определить центр симметрии графика функции

Сообщение20.11.2010, 16:21 


19/06/10
68

Как по уравнению функции определить центр симметрии ее графика?

Профиль  

caxap 

Re: Определить центр симметрии графика функции

Сообщение20.11.2010, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015

А что такое центр симметрии?

Профиль  

spraux 

Re: Определить центр симметрии графика функции

Сообщение20.11.2010, 16:47 


19/06/10
68

Точка называется центром симметрии графика функции, если для каждой точки графика, симметричная ей относительно дан. ной точки также принадлежит графику. Но как это применить?

Профиль  

ИСН 

Re: Определить центр симметрии графика функции

Сообщение20.11.2010, 16:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13415
с Территории

Ну, какая точка симметрична точке (x,y)?

Профиль  

gris 

Re: Определить центр симметрии графика функции

Сообщение20.11.2010, 16:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14195

Наверное, если существует преобразование параллельного переноса $g(x)=f(x+a)+b$, которое преобразовывает функцию в такую, для которой центральносимметричность графика устанавливается легко и просто.

Профиль  

moscwicz 

Re: Определить центр симметрии графика функции

Сообщение20.11.2010, 18:29 


02/10/10
376

а еще бывают нечетные функции

Профиль  

spraux 

Re: Определить центр симметрии графика функции

Сообщение21.11.2010, 08:24 


19/06/10
68

Ну, какая точка симметрична точке (x,y)?

Центр симметрии будет серединой отрезка между точкой и симметричной ей.

Профиль  

caxap 

Re: Определить центр симметрии графика функции

Сообщение21.11.2010, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015

Центр симметрии будет серединой отрезка между точкой и симметричной ей.

ИСН

у вас другое спрашивал

Профиль  

spraux 

Re: Определить центр симметрии графика функции

Сообщение21.11.2010, 12:41 


19/06/10
68

Центр симметрии будет серединой отрезка между точкой и симметричной ей.

ИСН

у вас другое спрашивал

Не могу ответить…

Профиль  

Cash 

Re: Определить центр симметрии графика функции

Сообщение21.11.2010, 13:17 
Заслуженный участник


12/09/10
1540

Скажите – как называют функцию, график которой симметричен относительно т. (0,0)? (подсказка – в треде уже звучало)
Каким свойством обладает данная функция?
Далее смотрите замечание gris о параллельном переносе

Профиль  

caxap 

Re: Определить центр симметрии графика функции

Сообщение21.11.2010, 13:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015

Не могу ответить…

Предположим, имеется центр симметрии $(x_0,y_0)$. Это значит, что если точка $(x,y)$ лежит на графике ($y=f(x)$), то и точка …(тут элементарные соображения, если вы уж начали про середину отрезка, то как её найти, если известны концы? теперь переверните задачу, и найдите конец, если известная середина и другой конец)

… тоже принадлежит графику. Это должно выполняться для всех $x$ из области определения функции (в частности для некоторых произвольных значений $x$).

Профиль  

spraux 

Re: Определить центр симметрии графика функции

Сообщение22.11.2010, 11:00 


19/06/10
68

Не понятно, как к конкретному случаю применить. Например, найти центр симметрии для графика функции $y=frac{ax+b}{cx+d}}$.
Поясните, пожалуйста, этот пример или дайте ссылку. Искал через поисковики и в учебнике 10-11 по алгебре…

Профиль  

ewert 

Re: Определить центр симметрии графика функции

Сообщение22.11.2010, 11:09 
Заслуженный участник


11/05/08
32162

Найдите точку пересечения асимптот.

Профиль  

spraux 

Re: Определить центр симметрии графика функции

Сообщение22.11.2010, 11:14 


19/06/10
68

А существует ли общий подход к нахождению цс графика по уравнению функции, его задающей?

Профиль  

Cash 

Re: Определить центр симметрии графика функции

Сообщение22.11.2010, 12:09 
Заслуженный участник


12/09/10
1540

Есть ли центр симметрии у функции $y=frac{k}{x}}$? Если есть, то где?
Можно ли привести произвольную функцию вида $y=frac{ax+b}{cx+d}}$ к виду $y=y_0+frac{k}{x - x_0}}$ ?
Можно ли последнюю заменой переменных (параллельным переносом) привести к виду $y=frac{k}{x}}$?

Ответив на эти вопросы – получите общий метод для дробно-линейных функций.
А про общий метод для любой функции – забудьте. Сделать можно (можете и сами – если осмыслите все советы, поданные здесь).
Но он, как и большинство “общих” методов, будет обладать одним недостатком: трудоемкость его выполнения практически исключит возможность его практического применения.
Да и смысла особого нет. Уж слишком узок класс функций, имеющих эту “цс”.

Профиль  

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник
Автор Сообщение

Заголовок сообщения: Условия симметрии функции относительно точки

СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 14:58 
Не в сети
Начинающий


Зарегистрирован:
29 ноя 2015, 10:57
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Добрый день, форумчане. Не подскажите ли условие симметричности функции относительно точки (не обязательно т-ки начала координат). Например как найти точку симметрии, функции y=[math]frac{ ax+b }{ cx+d }[/math]? Заранее спасибо.
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

G4ME0VER62

Заголовок сообщения: Re: Условия симметрии функции относительно точки

СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 16:00 

Andy писал(а):

Не знаю, верно ли написано в вашем источнике, но при переносе этого примера в Maple ответ получается ошибочным, не могли бы Вы помочь разобраться мне в этом?
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

G4ME0VER62

Заголовок сообщения: Re: Условия симметрии функции относительно точки

СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 16:01 

Student Studentovich писал(а):

G4ME0VER62
[math]-y_0 + f(x – x_0)[/math] должно быть нечетной функцией. Но в Вашем случае можно явно указать ответ.
Приведите к виду[math]f(x)=m+frac{k}{x+s}[/math]

А на синтаксисе Maple это можно каким-нибудь образом реализовать, не подскажите?
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

Andy

Заголовок сообщения: Re: Условия симметрии функции относительно точки

СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 16:10 

G4ME0VER62

G4ME0VER62 писал(а):

Не знаю, верно ли написано в вашем источнике, но при переносе этого примера в Maple ответ получается ошибочным,

Там два примера, но они Вам не нужны. Вам нужно это утверждение:

Точка [math](a,~b)[/math] является центром симметрии графика функции [math]f(x)[/math] в том и только в том случае, когда для любого [math]x[/math] из её области определения выполняется равенство [math]f(a+x)+f(a-x)=b.[/math]

Я не пользуюсь математическими пакетами, поэтому помочь Вам с переносом в Maple не могу.

Или Вы хотите, что я вычислил для Вас координаты точки симметрии графика функции [math]y=frac{ax+b}{cx+d}[/math]?
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

G4ME0VER62

Заголовок сообщения: Re: Условия симметрии функции относительно точки

СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 16:25 

Andy писал(а):

G4ME0VER62

G4ME0VER62 писал(а):

Не знаю, верно ли написано в вашем источнике, но при переносе этого примера в Maple ответ получается ошибочным,

Там два примера, но они Вам не нужны. Вам нужно это утверждение:

Точка [math](a, b)[/math] является центром симметрии графика функции [math]y=f(x)[/math] тогда и только тогда, когда для любого [math]xin D(f)[/math] выполняется равенство [math]f(x)+f(2a-x)=b.[/math]

Я не пользуюсь математическими пакетами, поэтому помочь Вам с переносом в Maple не могу.

Или Вы хотите, что я вычислил для Вас координаты точки симметрии графика функции [math]y=frac{ax+b}{cx+d}[/math]?

В общем-то я ничего не хочу, просто, если опираться на ваш источник, то ответ получается неверный. (-[math]frac{ d }{ c }[/math],[math]frac{ a }{ c }[/math])
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

G4ME0VER62

Заголовок сообщения: Re: Условия симметрии функции относительно точки

СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 16:35 

Andy писал(а):

G4ME0VER62
Я поменял цитату, пока Вы писали своё сообщение. Проверьте, пожалуйста. Правда, я не понимаю, что Вы набираете в Maple. К тому же, буквы [math]a[/math] и [math]b[/math] в тексте цитаты и в выражении для функции могут запутать дело. :)

Пробовал я все эти два случая, переменные учёл и задал их разными буквами, ответ не тот.
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

Andy

Заголовок сообщения: Re: Условия симметрии функции относительно точки

СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 16:49 

G4ME0VER62
Правильный ответ для координат центра симметрии графика функции [math]y=frac{ax+b}{cx+d}[/math] это [math]left( -frac{d}{c},~frac{a}{c} right).[/math] Значит, должно быть

[math]frac{a left( -frac{d}{c}+x right)+b}{c left( -frac{d}{c}+x right)+d} + frac{a left( -frac{d}{c}-x right)+b}{c left( -frac{d}{c}-x right)+d}=frac{a}{c}.[/math]

Вы проверяли это равенство?
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 
Источник

Добавить комментарий