Как найти центр симметрии квадрата

Квадрат имеет четыре оси симметрии второго порядка (т.е. для совпадения нужно повернуть квадрат вокруг этой оси на 1/2 полного оборота), в плоскости, в которой лежит квадрат, и одну ось симметрии четвёртого порядка, перпендикулярную плоскости, в которой лежит квадрат. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим СТЭЛС [309K] 5 месяцев назад  Что такое ось симметрии? Правильно – это прямая (проведенная или воображаемая) которая разделяет фигуру на две одинаковые половины, которые как бы отражаются друг в друге, и в точность друг друга повторяют. Квадрат имеет все четыре стороны равные. Проведя через противоположные углы две прямых, мы имеем две оси. Проведя через цент квадрата две прямых, перпендикулярных противоположным сторонам, через которые они проходят, получаем еще две оси симметрии. Итого получается что у квадрата четыре оси симметрии. Корне­тОбол­енски­й [159K] 12 месяцев назад  Данный вопрос рассматривается, скорее всего, в курсе математики начальной школы. Поэтому и ответ будет интересен ученикам младших классов. У квадрата 4 оси симметрии. На данном рис. показаны все оси симметрии с нумерацией от 1 до 4. Добавлю ещё, что точка пересечения этих осей будет центром симметрии квадрата. kelly­milen­a [225K] более года назад  Рассмотрим квадрат.У данной фигуры искомых осей симметрии будет сразу несколько. Во-первых, это диагональ первая и вторая, , соединяющие несмежные вершины. Также следует считать осью симметрии отрезок, который проходит перпендикулярно через центр квадрата. Также это которая аналогично горизонтальная прямая, через центр данной фигуры проходящая. Это прямые проходят прямо через точку, еде происходит пересечение диагоналей, лежащих параллельно его сторонам. Прямые, которые содержат диагонали квадрата , и проходят через его углы, лежащие напротив друг друга, (противоположные), являются осями симметрии квадрата. Итак,у квадрата получилось 4 оси симметрии. Alex2­837 [113K] 5 месяцев назад  Если не вдаваться в дословную терминологию, то можно сказать, что осью симметрии является прямая линия, которая разделяет геометрическую фигуру на две одинаковые по форме части. Что касается такой геометрической фигуры, как квадрат, то всем известно, что у него все стороны имеют равное значение. Поэтому, осей симметрии у квадрата может быть только четыре. Эти оси проходят от противоположных углов квадрата через центр, а также от середин противоположных сторон квадрата через центр. Других осей симметрии в квадрате, чтобы получить равные по форме части, провести невозможно. Поэтому, правильный ответ – четыре оси симметрии. KillN­UR [9.4K] 5 лет назад  Квадрат – это прямоугольник у которого все стороны равны между собой, все углы прямые, диагонали равны. Поэтому помимо двух осей симметрии, которые есть у прямоугольника (делят противолежащие стороны пополам), добавляются еще две оси – проходящие по диагоналям квадрата Если вращать квадрат по любым из этих 4х осей, то получаемые разными частями квадрата фигуры будут совпадать Чосик [208K] более года назад  Прямоугольники имеют две оси симметрии, которые проходят через точку пересечения его диагоналей. Но если в случае обычного прямоугольника равны лишь противоположные стороны, то в случае с квадратом равны будут все стороны. Это приведет к тому, что число осей симметрии возрастает вдвое. Ведь помимо осей симметрии, что имеет прямоугольник, появляются еще две оси симметрии, свойственные ромбам. Потому ответ – четыре оси симметрии. Dilya­ra K [5K] 5 лет назад  У квадрата все четыре стороны равны между собой, все углы равны 90° (прямые). Из-за этого у квадрата равными оказываются еще и диагонали. Поэтому в отличие от прямоугольника, у которого всего две оси симметрии, у квадрата четыре оси симметрии. Две из них проходят по линиям, которые делят противоположные стороны квадрата пополам. Две другие оси проходят по диагоналям квадрата. владс­андро­вич [766K] более года назад  Квадрат как мы знаем является такой фигурой, у которой все стороны равны, а потому в отличие от прямоугольника, у него осями симметрии будут еще и те, которые идут не только как прямые, но и по диагонали и в общей сложности, их будет в итоге 4. Красн­ое облак­о [248K] 12 месяцев назад  У квадрата (в отличие от прямоугольника) все стороны равны, это важный момент. Получается что у этой геометрической фигуры (квадрат) не две оси симметрии как у прямоугольника, а целых четыре и по диагонали в том числе. Ответ, 4 оси симметрии. Знаете ответ?

Осевая и центральная симметрия

О чем эта статья:

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
5. Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Симметрия квадрата

Какова симметрия квадрата? Сколько у квадрата осей симметрии? Есть ли у квадрата центр симметрии?

Квадрат имеет четыре оси симметрии.

Осями симметрии квадрата являются прямые, содержащие его диагонали, и прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.

Две оси симметрии прямоугольника — прямые, проходящие через точку пересечения его диагоналей параллельно сторонам.

Две оси симметрии ромба — прямые, содержащие диагонали ромба.

Квадрат является и ромбом, и прямоугольником, а значит, все четыре прямые являются осями симметрии квадрата.

Квадрат является центрально-симметричной фигурой.

Центр симметрии квадрата — точка пересечения его диагоналей.

Параллелограмм — центрально-симметричная фигура, с центром симметрии в точке пересечения диагоналей.

Так как квадрат является параллелограммом, он также является центрально-симметричной фигурой. Центром симметрии квадрата является точка пересечения его диагоналей.

Сколько осей симметрии имеют : квадрат, прямая, окружность, равносторонний треугольник, отрезок?

Геометрия | 5 – 9 классы

Сколько осей симметрии имеют : квадрат, прямая, окружность, равносторонний треугольник, отрезок?

Решение в скане.

Сколько осей симметрии имеет квадрат?

Сколько осей симметрии имеет квадрат?

Имеют ли центр симметрии : 1?

Имеют ли центр симметрии : 1.

Любой ли правильный многоугольник имеет центр симметрии (Просто ответить Да или нет).

Сколько осей симметрии имеет а) отрезок ; б) прямая ; в) луч?

Сколько осей симметрии имеет а) отрезок ; б) прямая ; в) луч?

Пожалуйста?

Вопрос ЖИЗНИ И СМЕРТИ!

Найти ось симметрии равностороннего треугольника.

Указать число осей симметрии.

Сколько осей симметрии имеют две заданные точки?

Сколько осей симметрии имеют две заданные точки.

Сколько осей симметрии имеет дуга окружности?

Сколько осей симметрии имеет дуга окружности.

Скольк осей симметрии : 1)у квадрта 2)у полуокружности 3) у ромба 4)у равностороннего треугольника?

Скольк осей симметрии : 1)у квадрта 2)у полуокружности 3) у ромба 4)у равностороннего треугольника?

Как доказать, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются осями симметрии?

Как доказать, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются осями симметрии?

Какая геометрическая фигура не имеет оси симметрии параллелограмм прямоугольник круг отрезок?

Какая геометрическая фигура не имеет оси симметрии параллелограмм прямоугольник круг отрезок.

Имеют ли центр симметрии : а)отрезок ; б) луч ; в) парапересекающихся прямых ; г) квадрат?

Имеют ли центр симметрии : а)отрезок ; б) луч ; в) парапересекающихся прямых ; г) квадрат?

Помогите пожалуйста срочно надо до завтра!

На этой странице находится ответ на вопрос Сколько осей симметрии имеют : квадрат, прямая, окружность, равносторонний треугольник, отрезок?, из категории Геометрия, соответствующий программе для 5 – 9 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Геометрия. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.

Противоположные углы равны, тогда В = D = 75 сумма соседних углов равна 180, тогда А = 180 – D = 180 – 75 = 105 противоположные углы равны, тогда А = С = 105.

D = B = 75 A = C = 180 – 75 = 105 – как односторонние.

Дано : Доказательство : АВСд – р / б трапеция 1) РассмотримΔАВО1иΔАВО , эти треуг. Равны по АВ = СД двум сторонам и углу между ними : ∠А = ∠Д АВ = СД – по условию ОО1⊥ВС, АО1 = О1Д – по условию⇒ ОО1 – ось симметрии ОО1⊥АД ∠А = ∠Д – по условию АО1 = ..

Ответ : 45 м². Решение прилагаю.

А) ВС <(0 – ( – 2)) ; 5 – ( – 10)>ВС <2 ; 15>б)АВ = ✓(( – 2 – 7)² + ( – 10 – ( – 4))²) = ✓(81 + 36) = ✓117 = 3✓13 в) М(х ; у) – середина отрезка АС. Х = ½(7 + 0) = 3, 5 у = ½( – 4 + 5) = 0, 5 М(3, 5 ; 0, 5) г) Р∆АВС = АВ + АС + ВС ВС = ✓(2² + 15²)..

ВМ = МС, так как АМ – медиана, АМ = МК по условию. В четырехугольнике АВКС диагонали АК и ВС точкой пересечения М делятся пополам, значит это параллелограмм по признаку.

Соедини точки В и С, а потом точку А соедини с отрезком ВС и осчитай клоточки от А до ВС.

6, посчитай от точки А до середины ВС сколько клеток и все, ну вроде, 6.

1) Пусть ΔАВС – прямоугольный, ∠С = 90°, АС = 3, ВС = 2. 2) По т. Пифагора находим АВ = √(АС² + ВС²) = √(3² + 2²) = √(9 + 4) = √13. 3) sinA = BC / AB = 2 / √13 ; cosA = AC / AB = 3 / √13 ; tgA = BC / AC = 2 / 3 ; ctgA = AC / BC = 3 / 2. 4) sinB =..

[spoiler title=”источники:”]

http://geometria.my-dict.ru/q/2242925_skolko-osej-simmetrii-imeut-kvadrat-pramaa/

[/spoiler]

Квадрат
Квадрат со стороной и диагональю
Рёбра	4
Символ Шлефли	{4}
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D4)
Площадь	a2
Внутренний угол	90°
Свойства
Выпуклый многоугольник, Изогональная фигура, изотоксальная фигура
Медиафайлы на Викискладе

Квадра́т (от лат. quadratus, четырёхугольный^[1]) — правильный четырёхугольник, то есть плоский четырёхугольник, у которого все углы и все стороны равны. Каждый угол квадрата — прямой ^[2].

Варианты определения[править | править код]

Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами^[3][4].

• Четырёхугольник, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны, причём точка пересечения делит их пополам.
• Четырёхугольник, являющийся одновременно прямоугольником и ромбом.
• Прямоугольник, у которого длины двух смежных сторон равны.
• Прямоугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом.
• Ромб, у которого диагонали равны.
• Ромб, у которого два соседних угла равны.
• Ромб, один из углов которого — прямой (прочие углы, как легко доказать, тогда также прямые).
• Параллелограмм, у которого длины двух смежных сторон равны, а угол между ними — прямой.
• Параллелограмм, у которого диагонали равны, а угол между ними — прямой.
• Дельтоид, все углы которого прямые.

Свойства[править | править код]

Основной источник: ^[4]

Далее в этом разделе обозначает длину стороны квадрата,  — длину диагонали,  — радиус описанной окружности,  — радиус вписанной окружности.

Стороны и диагонали[править | править код]

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали

Периметр квадрата равен:

.

Вписанная и описанная окружности[править | править код]

Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:

Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:

Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.

Площадь[править | править код]

• 

• 

  Соединив середины сторон квадрата, получаем квадрат вдвое меньшей площади

Площадь квадрата равна

.

Из формулы связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.

Квадрат имеет два замечательных свойства^[5].

1. Из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.
2. Из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.

Уравнение квадрата[править | править код]

В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде^[6]:

где  — радиус описанной окружности, равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна его диагональ равна а площадь квадрата равна

Уравнение квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть представлено в одной из следующих форм:

1. (легко получается применением поворота на 45° к предыдущему уравнению)
2. 
3. (в полярных координатах^[7])

Математические проблемы[править | править код]

С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения.

• Квадратура круга — древняя проблема построения циркулем и линейкой квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. В 1882 году Фердинанд Линдеман доказал, что это невозможно.

• Квадрирование квадрата — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов, без «дырок», причём длины сторон квадратов должны отличаться друг от друга (в идеале должны быть все различны). Найден ряд решений этой задачи.
• Долгое время математики пытались доказать, что непрерывное отображение отрезка прямой в квадрат невозможно, пока Джузеппе Пеано не построил свой контрпример.
• Гипотеза Тёплица: на всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, образующие вершины квадрата. Не доказана и не опровергнута.
• Разбиение квадрата сеткой одинаковых более мелких квадратов также приводит к множеству проблем, используемых, в частности, в теории латинских и греко-латинских квадратов, магических квадратов, в игре судоку.

Симметрия[править | править код]

Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:

• одну ось симметрии четвёртого порядка — ось, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр;
• четыре оси симметрии второго порядка (то есть относительно них квадрат отражается сам в себя), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.

Применение[править | править код]

В математике[править | править код]

Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади, а также в определении площади произвольных плоских фигур. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми.

Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.

В математической физике символ квадрата может означать «оператор Д’Аламбера» (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:

Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно)^[8].

Графы:
K₄ полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.

Орнаменты и паркеты[править | править код]

• Мозаики, включающие квадраты

• 

• 

• 

Мозаики, орнаменты и паркеты, содержащие квадраты, широко распространены.

Другие применения[править | править код]

Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат.

Квадратный флаг Лима поделён на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани, означает, что корабль находится на карантине.

Графика[править | править код]

Символы со сходным начертанием: ロ · ⼝ · ⼞

Ряд символов имеют форму квадрата.

• Символы Юникода U+25A0 — U+25CF
• U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE
• ロ (Японский иероглиф «Ро» (катакана))
• 口 (Китайский иероглиф «рот»)
• 囗 (Китайский иероглиф «ограда»)

В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции Box или square.

В HTML, чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:

• <span style=”border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;”>text</span>; результат: text.

Вариации и обобщения[править | править код]

Многомерное пространство[править | править код]

Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб.

Неевклидова геометрия[править | править код]

В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.

См. также[править | править код]

• Алгоритм «движущиеся квадраты»
• Квадрат Полибия
• Квадратная матрица
• Квадратриса
• Первая теорема Тебо
• Площадь произвольного четырёхугольника

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Каплун А. И. Математика, Учебно-практический справочник. — Ростов н/Д.: ООО “Феникс”, 2014. — 240 с. — ISBN 978-5-222-20926-3.

Ссылки[править | править код]

• Квадрат, геометрическая фигура // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Опыты с зеркалами, которые мы проводили на прошлом занятии,
позволили нам прикоснуться к удивительному миру симметрии.

В переводе с греческого слово «симметрия» означает
«соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».

Посмотрите на кленовый лист, бабочку, снежинку. Их объединяет то,
что они симметричны. Если мы на каждом из рисунков начертим прямую вот таким
образом…

А затем поставим зеркальце вдоль этой прямой на каждом рисунке, то
отражённая в зеркале половинка фигуры дополнит её до целой (такой же, как
исходная фигура).

Поэтому такая симметрия называется зеркальной (или осевой,
если речь идёт о плоскости). Прямая, вдоль которой поставлено зеркало,
называется осью симметрии.

Если симметричную фигуру сложить пополам вдоль оси симметрии, то
её части совпадут.

С симметрией мы постоянно встречаемся в повседневной жизни. Люди
используют симметрию в орнаментах, предметах быта, технике. Издавна человек
использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых
замков, современным зданиям она придаёт гармоничность, законченность. Симметрия
также встречается в природе. Она создаёт ощущение порядка, гармонии, красоты.

Давайте сделаем кляксу. Для этого на лист бумаги капнем чернил.
Сложим лист вдвое, а затем разогнём. Линия сгиба листа является осью симметрии
кляксы.

Получается, что клякса имеет одну (вертикальную) ось симметрии.

А вот у снежинки 6 линий сгиба и все они являются осями симметрии.

У геометрических фигур может быть одна или несколько осей
симметрии, а может и не быть совсем.

Так, прямоугольник обладает двумя осями симметрии, каждая
из которых проходит через середины двух его противоположных сторон. То есть,
вырезав прямоугольник из бумаги и перегнув его по любой из двух осей симметрии,
половинки фигуры совпадут.

Ромб также обладает двумя осями
симметрии. Это прямые, которые содержат его диагонали.

Квадрат имеет четыре оси симметрии.
Две проходят через середины его противоположных сторон. И ещё две – это прямые,
которые содержат его диагонали.

Круг. Его осью симметрии является
любая прямая, которая проходит через его центр, то есть содержит диаметр круга.
А значит, круг имеет бесконечно много осей симметрии

Теперь посмотрите на следующую фигуру. Это произвольный
параллелограмм. У него нет ни одной оси симметрии.

У произвольного треугольника тоже нет осей симметрии.

У равнобедренного треугольника есть одна ось симметрии.

У равностороннего (то есть у правильного) треугольника
– три оси симметрии.

Теперь посмотрите на шестиугольник. У него три оси симметрии,
которые проходят через противоположные вершины, и ещё три оси, которые проходят
через середины противоположных сторон. То есть всего шесть осей симметрии.

Таким образом, мы можем сказать, что круг – «самая
симметричная» фигура из рассмотренных, так как он имеет бесконечно много
осей симметрии.

Сейчас давайте посмотрим на следующие фигуры и выясним, какая из
них лишняя.

Итак, первая фигура напоминает замочную скважину. Она имеет одну
ось симметрии.

Вторая фигура тоже имеет одну ось симметрии.

У третьей фигуры (в виде буквы Т) одна ось симметрии.

У четвёртой тоже одна. А вот пятая фигура не имеет ни одной оси
симметрии. И поэтому она лишняя.

Теперь давайте посмотрим на следующие пять фигур. Что у них
общего?

Первая фигура – круг. Выше мы выяснили, что у круга бесконечно
много осей симметрии. Вторая фигура (в виде стрелки) имеет только одну ось
симметрии. Третья фигура – эллипс. У эллипса две оси симметрии. Четвёртая
фигура имеет одну ось симметрии. Пятая фигура тоже имеет одну ось симметрии. Каждая
фигура имеет хотя бы одну ось симметрии.

На предыдущем занятии мы с вами проводили опыт с двумя плоскими
зеркалами. С помощью составленного из двух зеркал калейдоскопа мы получали
симметричные фигуры.

Давайте изобразим в виде прямых два зеркала под углом  друг к
другу. Затем нарисуем в одном из углов некоторую линию и, не пользуясь
настоящими зеркалами, дорисуем её до симметричной фигуры, которая получилась бы
при отражении в зеркалах. Полученная фигура имеет две оси симметрии. Понятно,
что угол ними равен .

Посмотрите на рассмотренные выше фигуры, которые имеют две оси
симметрии. Угол между осями равен .

Если, например, мы поставим зеркала под углом  друг к
другу, то линия отразится 5 раз, а полученная фигура будет иметь 3 оси
симметрии.

Давайте научимся точно строить отражение фигуры в зеркале.
Представим, что прямая l – зеркало (или ось симметрии). Изобразим некоторую ломаную  и построим
её отражение в зеркале.

Итак, из вершин ,  и  опускаем перпендикуляры на прямую l. Затем продолжаем их «за
зеркало» на такое же расстояние (равное длине соответствующего отрезка).
Получаем точки ,  и . Соединяем
эти точки. Ломаная  является
отражение ломаной .

Можно сказать, что ломаная  симметрична
ломаной  относительно
прямой l.

Построим с вами треугольник, симметричный треугольнику  относительно
прямой l.

Из вершин  и  опустим
перпендикуляры на прямую l. Затем продолжим их за прямую l на такое же расстояние
(равное длине соответствующего отрезка). Получим точки  и .

При этом точка  осталась на
месте. Она лежит на оси симметрии. Она симметрична сама себе.  и  симметричны
относительно прямой l.

А сейчас посмотрите на рисунок.

Давайте выясним, симметрична ли точка  точке  относительно
прямой l. Для этого мы соединим точки  и . Затем с
помощью угольника проверим, перпендикулярна ли прямая l отрезку . Перпендикулярна.

Потом с помощью линейки проверим, делит ли прямая l отрезок  и пополам. Делит.

Значит, точки  и  симметричны
относительно прямой l.

Кроме симметрии относительно прямой существует ещё симметрия
относительно точки, так называемая центральная симметрия. Она
характеризуется наличием центра симметрии – точки О, которая обладает
определённым свойством. Можно сказать, что точка О является центром
симметрии, если при повороте вокруг точки О на  фигура
переходит сама в себя.

Понятие центральной симметрии распространяется и на трёхмерное
пространство.

Проверить, является ли фигура центрально-симметричной или нет,
можно с помощью обычной иголки и кальки. Наложим на нашу фигуру кальку. Затем,
проколов фигуру в предполагаемом центре и обведя её контур, надо повернуть фигуру
на  вокруг
иголки. Если фигура «вошла» в свой контур, то она центрально-симметричная.

Сейчас посмотрите на плоские фигуры, которые имеют и центр
симметрии, и оси симметрии.

Это круг. Выше мы сказали, что он имеет бесконечно много
осей симметрии, каждая из которых содержит его диаметр. А вот центром симметрии
круга является его центр.

Квадрат имеет четыре оси симметрии.
Центром симметрии квадрата является точка пересечения его диагоналей.

У шестиугольника шесть осей симметрии. Центром его
симметрии является точка пересечения его диагоналей.

Выше мы сказали, что произвольный параллелограмм не имеет
ни одной оси симметрии. Но он имеет центр симметрии – это точка пересечения его
диагоналей.

А вот, например, равнобедренный треугольник имеет ось
симметрии, но не имеет центра симметрии. То же самое можно сказать и про
пятиугольник, у которого есть оси симметрии, но центра симметрии нет.