Как найти центр симметрии в треугольнике

Имеет ли треугольник центр симметрии

Классический пример фигуры, имеющей центр симметрии, является окружность. Любая ее точка находится на одинаковом расстоянии от центра. Существуют ли виды треугольников, к которым также можно применить это понятие?

Симметрия бывает двух видов: центральная и осевая. При центральной симметрии любая прямая, проведенная через центр фигуры, делит ее на две абсолютно одинаковые части, которые полностью симметричны. Простыми словами, они являются зеркальным отражением друг друга. У окружности таких прямых можно провести бесконечное множество, в любом случае они поделят ее на две симметричные части.

Большинство же геометрических фигур не имеют таких характеристик. В них можно провести только ось симметрии и то далеко не у всех. Ось – это также прямая, которая делит фигуру на симметричные части. Но для оси симметрии существует лишь определенное местоположение и если его слегка изменить, то симметрия нарушится.

Логично, что каждый квадрат имеет ось симметрии, ведь у него все стороны равны и каждый угол равен девяноста градусам. Треугольники же бывают разные. Треугольники, у которых все стороны разные, не может иметь ни ось, ни центр симметрии. А вот в равнобедренных треугольниках провести ось симметрии можно. Вспомним, что равнобедренным считается треугольник с двумя равными сторонами и соответственно двумя равными углами, прилегающими к третьей стороне – основанию. Для равнобедренного треугольника осью будет являться прямая, проходящая из вершины треугольника к основанию. В данном случае эта прямая будет одновременно и медианой, и биссектрисой, так как она разделит угол пополам и дойдет ровно до середины третьей стороны. Если по этой прямой сложить треугольник, то получившиеся фигуры полностью скопируют друг друга. Однако в равнобедренном треугольнике ось симметрии может быть только одна. Если через ее центр провести другую прямую, то она не разделит его на две симметричные части.

Уникальным является равносторонний треугольник. Это особый вид треугольников, который также является равнобедренным. Правда, у него каждая сторона может считаться основанием, так как все его стороны равны, а каждый угол составляет шестьдесят градусов. Следовательно, у равностороннего треугольника существуют целых три оси симметрии. Эти прямые сходятся в одной точке в центре треугольника. Но даже такая особенность не превращает равносторонний треугольник в фигуру с центральной симметрией. Центра симметрии нет даже у равностороннего треугольника, так как через указанную точку лишь три прямые делят фигуру на равные части. Если провести прямую в другом направлении, то треугольник обладать симметрией уже не будет. Значит, эти фигуры обладают только осевой симметрией.

ВИДЕОУРОК

Симметрия – слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие
определённого порядка, закономерности в расположении частей.

Люди с давних времён
использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре,
художестве, строительстве.

Симметрия широко распространена и в природе, где
не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и
цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических
тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.

Симметрия
в геометрии – свойство геометрических фигур.

Рассмотрим две симметрии на плоскости относительно точки и прямой.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Ось симметрии.

Две
точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по
разные стороны и на одинаковом расстоянии от неё, называются симметричными
относительно этой плоскости (или прямой). Фигура (плоская или пространственная)
симметрична относительно прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости
симметрии), если её точки попарно обладают указанным свойством.

Фигура симметрична
относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая – ось симметрии фигуры, а фигура обладает
осевой симметрией.

Фигура, обладающая
осевой симметрией – это неразвёрнутый угол, который имеет одну ось симметрии –
прямую на которой расположена биссектриса угла.

Осевая симметрия – это симметрия относительно проведённой
прямой (оси).

Две точки  А 
и  В 
симметричны относительно прямой  а (оси симметрии), если эта прямая проходит через середину отрезка
АВ  и перпендикулярна
к нему.

Проведем прямую 
ЕF  через
середины  Е  и  F  сторон  АВ  и  СD  прямоугольника  АВСD.

Эта прямая делит прямоугольник пополам. Если прямоугольник перегнуть по этой
прямой, то обе две половины совпадут. Говорят, что прямоугольник симметричный относительно
прямой  ЕF, а прямую  ЕF  называют осью симметрии прямоугольника. У
прямоугольника  АВСD  есть другая ось симметрии – прямая  NК.

Вообще, фигуру называют симметричной относительно прямой  l, если эта прямая делит фигуру на две части, которые совпадают при перегибании
по этой прямой. Прямую  l  называют осью симметрии этой фигуры.

Две
точки  А  и  В, которые совпадают при перегибании плоскости по
прямой  l, называют симметричными относительно этой
прямой. Если точки  А  и  В  симметричные относительно прямой  l, то:

1) отрезок  АВ 
перпендикулярен прямой  l.

2) прямая  l  делит этот отрезок пополам.

Окружность имеет бесконечное количество осей симметрии. Любая прямая, которая
проходит через центр окружности, будет его осью симметрии.

Ось симметрии имеют изображения многих фигур (предметов), которые часто
встречаются в природе и технике.

Каждая точка прямой  а  симметрична самой себе.

ПРИМЕР:

АО
= ОВ, АВ ⊥
а.

Точка  А 
симметрична сама себе.

Фигура симметрична относительно прямой – если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно прямой также принадлежит этой фигуре.

Прямая – ось симметрии фигуры, а
фигура обладает осевой симметрией.

Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Иногда у фигур несколько осей симметрии.

Фигуры, обладающие осевой симметрией.

ПРИМЕР:

Неразвёрнутый угол имеет одну ось симметрии –
прямую, на которой расположена биссектриса угла.

Равнобедренный
треугольник имеет одну ось симметрии.

Равносторонний
треугольник имеет три оси симметрии.

Квадрат имеет четыре оси
симметрии.

Прямоугольник имеет две
оси симметрии

Ромб имеет две оси
симметрии

Окружность имеет
бесконечно много осей симметрии – любая прямая, проходящая через центр,
является осью симметрии.

Примером фигур, у которых нет ни одной оси симметрии, являются
параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.

ПРИМЕР:

Построим треугольник  А₁В₁С₁, симметричный треугольнику  АВС 
относительно красной прямой линии (ось симметрии).

Для этого проведём из вершины
треугольника  АВС  прямые,
перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.

Измерим расстояние от вершин треугольника
до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же
расстояния.

Соединим получившиеся точки отрезками и
получим треугольник  А₁В₁С₁, симметричный данному треугольнику  АВС.

ЗАДАЧА:

Дан отрезок  АВ.
Построить его симметрию относительно прямой 
l,
не пересекающий данный отрезок.

РЕШЕНИЕ:

Изобразим схематически условие задачи.

Так как осевая симметрия
является движением, то отрезок  АВ 
отобразится на равный ему отрезок 
А’В’.

Для его построения сделаем
следующее: проведём через точки  А  и  В  прямые  m  и  n  перпендикулярно
прямой  l.
Пусть 

m ∩ l = Х, n ∩ l = Y.

Далее проведём отрезки 

А’Х
= АХ  и 
В’Y = ВY.

ЗАДАЧА:

Построить симметричный
треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его стороны.

РЕШЕНИЕ:

Пусть нам дан треугольник  АВС. Будем строить его
симметрию относительно стороны  ВС.

Сторона  ВС  при осевой симметрии перейдёт в саму себя (следует из
определения). Точка  А  перейдёт в точку  А₁  следующим образом:

АА₁ ⊥ ВС, АН = НА₁.

Треугольник  АВС  перейдёт в треугольник  А₁ВС.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Симметрию относительно точки называют центральной
симметрией.

Две точки  А  и  В 
симметричны относительно точки  О, если  О – середина отрезка  АВ. Точка  О  называется центром симметрии.

Точка  О  симметрична самой
себе.

Фигура
симметрична относительно точки (центр симметрии), если её точки попарно лежат
на прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны и на равных
расстояниях от него.

Фигура симметрична относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно данной точки также принадлежит этой фигуре. Данная точка – центр симметрии фигуры, а фигура обладает центральной симметрией.

Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

Фигуры, обладающие центром симметрии.

ПРИМЕР:

Окружность, центр окружности
является её центром симметрии.

Параллелограмм, его центром
симметрии является точка пересечения диагоналей.

Прямая имеет бесконечно много
центров симметрии, так как любая точка прямой является её центром симметрии.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

ПРИМЕР:

Построим треугольник  А₁В₁С₁, симметричный треугольнику  АВС 
относительно центра (точки)  О.

Для этого соединим точки  А,В,С  с центром  О  и продолжим эти отрезки.

Измерим отрезки  АО,
ВО, СО  и отложим с
другой стороны от точки  О  равные им отрезки 

АО
= ОА₁, ВО = ОВ₁, СО = ОС₁.

Соединим получившиеся точки
отрезками и получим треугольник  

А₁В₁С₁, симметричный данному треугольнику  АВС.

ЗАДАЧА:

Дан отрезок  АВ.
Построить его симметрию относительно точки 
С, лежащей на прямой  l.

РЕШЕНИЕ:

Изобразим схематически условие задачи.

Так как центральная симметрия
является движением, то отрезок  АВ 
отобразится на равный ему отрезок 
А”В”.

Для его построения сделаем
следующее: проведём прямые  АС  и  ВС. Далее проведём отрезки  

х‘ =
х,

у‘ =
–у.

3) При повороте на  90°  вокруг начала координат ось  Ох 
переходит в ось  Оу  так, что положительное направление переходит
в положительное, а ось  Оу  отображается на ось  Ох  так, что
положительное направление переходит в отрицательное. Поэтому  Р(х, у)  отображается на
точку  Р’

с координатами:

х‘ =
–у,

у‘ =
х.

4) При центральной симметрии

каждая из осей координат
отображается на себя, но так, что положительное направление оси переходит в
отрицательное и наоборот: отрицательное в положительное. Поэтому

Объединим результаты в таблицу