Как найти центр треугольника через медианы


Download Article


Download Article

The center of gravity, or centroid, is the point at which a triangle’s mass will balance. To help visualize this, imagine you have a triangular tile suspended over the tip of a pencil. The tile will balance if the pencil tip is placed at its center of gravity. Finding the centroid might be necessary in various design and engineering applications, and can be found by using simple geometry.

  1. Image titled Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 1

    1

    Find the midpoint of one side of the triangle. To find the midpoint, measure the side, and divide the length in half. Label the midpoint A.

    • For example, if one side of the triangle is 10 cm long, the midpoint will be at 5 cm, since 10/2=5.
  2. Image titled Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 2

    2

    Find the midpoint of a second side of the triangle. Measure the length of the side, and divide the length in half. Label the midpoint B.[1]

    • For example, if the side of the triangle is 12 cm long, the midpoint will be at 6 cm, since 12/2=6.

    Advertisement

  3. Image titled Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 3

    3

    Draw a line from the midpoint of each side to its opposite vertex. These two lines are the median of each side.[2]

    • A vertex is the point at which two sides of a triangle meet.
  4. Image titled Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 4

    4

    Draw a point where the two medians intersect. This point is the triangle’s center of gravity, also called the centroid, or center of mass.[3]

    • The center of gravity is where the three medians intersect, but since the medians only intersect in one point, you can use a shortcut and find the center of gravity by only finding the intersection of two medians.
  5. Advertisement

  1. Image titled Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 5

    1

    Draw a median of your triangle. Remember, the median is a line drawn from the midpoint of a side to the opposite vertex. You can use any median in the triangle.

  2. Image titled Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 6

    2

    Measure the length of the median. Make sure the measurement is exact.

    • For example, you might have a median that is 3.6 cm long.
  3. Image titled Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 7

    3

    Divide the length of the median into thirds. To do this, divide the length by three. Again, make an exact calculation. If you round, you will not find the center of gravity.

    • For example, if your median is 3.6 cm long, you would divide 3.6 by 3:
      3.6cm/3=1.2cm, so ⅓ of the median is 1.2 cm.
  4. Image titled Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 8

    4

    Mark a point on the median ⅓ from the midpoint. This point is the triangle’s centroid, which will always divide a median into a 2:1 ratio; that is, the centroid is ⅓ the median’s distance from the midpoint, and ⅔ the median’s distance from the vertex.[4]

    • For example, on a median that is 3.6 cm long, the centroid will be 1.2 cm up from the midpoint.
  5. Advertisement

  1. Image titled Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 9

    1

    Determine the coordinates of the three vertices of the triangle. This method only works if you are working with a coordinate plane. The coordinates may already be given, or you may have a triangle drawn on a graph without the coordinates labeled. Remember that coordinates should be listed (x,y).[5]

    • For example, you might be given triangle PQR, and you need to find and label point P (3, 5), point Q (4, 1), and R (1, 0).
  2. Image titled Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 10

    2

    Add the value of the x-coordinates. Remember to add all three coordinates. You will not calculate the correct center of gravity if you only use two coordinates.[6]

    • For example, if your three x-coordinates are 3, 4, and 1, add these three values together: 3+4+1=8.
  3. Image titled Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 11

    3

    Add the value of the y-coordinates. Remember to add all three coordinates.[7]

    • For example, if your three y-coordinates are 5, 1, and 0, add these three values together: 5+1+0=6.
  4. Image titled Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 12

    4

    Find the average of the x- and y-coordinates. These coordinates will correspond to the triangle’s center of gravity, also known as the centroid or center of mass.[8]
    To find the average, divide the sum of the coordinates by 3.

  5. Image titled Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 13

    5

    Plot the center of gravity on the triangle. The center of gravity, or centroid, is the average of the x- and y-coordinates.[9]

    • In the example problem, the center of gravity is the point (8/3,2).
  6. Advertisement

Add New Question

  • Question

    The length of a rectangle is x units and the width is x-5. How do I find an equation for the perimeter and area of the rectangle?

    Donagan

    For the perimeter, add the four sides together and simplify. For the area, multiply the length by the width.

  • Question

    Is the center of gravity of triangular cardboard outside or on the body?

    Donagan

    The center of gravity is always inside the triangle.

  • Question

    How can I determine the center of gravity of an Isoceles triangle without knowing the mass?

    Community Answer

    The horizontal coordinate will be half of the base, and the vertical will be one third of the height.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

Video

  • It does not matter which side you select, the center of gravity will be at the same point. If you perform this process on all three sides, the lines will cross at a single point.

Thanks for submitting a tip for review!

Advertisement

References

About This Article

Article SummaryX

To calculate the center of gravity of a triangle, start by drawing a line from the midpoint of any 1 of the sides to the opposite vertex to create a median. Next, measure the median and divide it into thirds. For example, if the median is 3.6 cm long, mark the spots that are 1.2 cm and 2.4 cm along the median, starting from the midpoint. The spot that’s 1.2 inches from the midpoint is the centroid, or the center of gravity of the triangle. To learn more, like how to find the center of gravity of a triangle using intersecting medians, scroll down.

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 274,249 times.

Did this article help you?


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Центр тяжести треугольника (центроид) – это точка центра масс. Представьте себе треугольную линейку, положенную на кончик карандаша. Линейка будет балансировать, если кончик карандаша будет находиться в ее центре тяжести. Расположение центроида, которое легко находится с помощью геометрии, необходимо знать при работе над дизайнерским или инженерным проектом.

  1. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 1

    1

    Найдите середину одной стороны треугольника. Для этого измерьте сторону и разделите ее длину пополам. Середину отметьте точкой A.

    • Например, если сторона треугольника равна 10 см, то середина находится на расстоянии 5 см (10/2=5) от вершины треугольника.
  2. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 2

    2

    Найдите середину второй стороны треугольника. Для этого измерьте сторону и разделите ее длину пополам. Середину отметьте точкой В.

    • Например, если вторая сторона треугольника равна 12 см, то середина находится на расстоянии 6 см (12/2=6) от вершины треугольника.
  3. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 3

    3

    Соедините середины сторон с противолежащими вершинами. Вы получите две медианы.[1]

    • Вершина – это точка, в которой сходятся две стороны треугольника.
  4. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 4

    4

    Отметьте точку пересечения двух медиан. Эта точка является центром тяжести треугольника.[2]
    [3]

    • Центр тяжести находится на пересечении трех медиан, но так как медианы всегда пересекаются в одной точке, можно работать только с двумя медианами.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 5

    1

    Проведите медиану. Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Можно работать с любой медианой.

  2. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 6

    2

    Измерьте длину медианы. Сделайте это аккуратно и точно.

    • Например, медиана равна 3,6 см.
  3. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 7

    3

    Найдите третью часть (треть) медианы. Для этого разделите длину медианы на три. Сделайте это аккуратно и точно. Округлив полученное значение, вы не найдете центроид.

    • В нашем примере медиана равна 3,6 см. Поэтому разделите 3,6 на 3:
      3,6/3=1,2. Таким образом, треть медианы равна 1,2 см.
  4. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 8

    4

    Треть медианы отметьте точкой. Эта точка является центроидом, потому что он всегда делит медиану треугольника в отношении 2:1. То есть центр тяжести находится на расстоянии, которое равно ⅓ длины медианы, от середины стороны, или на расстоянии, которое равно ⅔ длины медианы, от вершины треугольника.[4]

    • Например, если медиана равна 3,6 см, то центроид находится на расстоянии 1,2 см от середины стороны.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 9

    1

    Определите координаты трех вершин треугольника. Координаты могут быть даны; в противном случае будет дан треугольник, построенный на координатной плоскости. Координаты представляются в виде (x,y).

    • Например, дан треугольник PQR, вершины которого имеют следующие координаты: P (3,5), Q (4,1), R (1,0).
  2. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 10

    2

    Сложите значения координат «х». Не забудьте сложить все три значения. Вы не найдете центр тяжести, если будете работать только с двумя значениями.

    • Например, если координаты «х» равны 3, 4 и 1, сложите эти значения: 3+4+1=8.
  3. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 11

    3

    Сложите значения координат «у». Не забудьте сложить все три значения.

    • Например, если координаты «у» равны 5, 1 и 0, сложите эти значения: 5+1+0=6.
  4. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 12

    4

    Найдите средние значения сумм координат «х» и «у». Полученные значения будут соответствовать центру тяжести треугольника.[5]
    Чтобы найти среднее значение, разделите каждую сумму на 3.

  5. Изображение с названием Calculate the Center of Gravity of a Triangle Step 13

    5

    Нанесите точку центра тяжести на треугольник. Центр тяжести находится в точке, координаты которой равны средним значениям сумм координат «х» и «у».

    • В нашем примере центр тяжести – это точка с координатами (8/3,2).

    Реклама

Советы

  • Не имеет значения, с какой стороной треугольника вы работаете – центр тяжести будет находится в одной и той же точке. Если построить медианы для всех трех сторон, они пересекутся в одной точке.

Реклама

Похожие статьи

Об этой статье

Эту страницу просматривали 145 291 раз.

Была ли эта статья полезной?

Центроид треугольника
Медианы и центроид треугольника
Медианы и центроид треугольника
Барицентрические координаты 1 : 1 : 1
Трилинейные координаты {displaystyle {frac {1}{a}}:{frac {1}{b}}:{frac {1}{c}}}
Код ЭЦТ X(2)
Связанные точки
Изогонально сопряженная точка Лемуана
Изотомически сопряженная она же
Дополнительная[es] она же
Антидополнительная[es] она же

Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике[1].

Центроид традиционно обозначается латинской буквой M. Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, как точка X(2).

Свойства[править | править код]

  • Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
  • Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой внутри массой также находится в центроиде.
  • Если M — центроид треугольника ABC то для любой точки O верно равенство
    {displaystyle {overrightarrow {OM}}={frac {1}{3}}({overrightarrow {OA}}+{overrightarrow {OB}}+{overrightarrow {OC}})}.
  • Центроид является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника принимает наименьшее значение (теорема Лейбница).
  • Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
  • Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырёхугольника (равной площади).
  • При изогональном сопряжении центроид переходит в точку Лемуана (в точку пересечения трех симедиан треугольника).
  • Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в центроиде треугольника.
  • Пусть ABC — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника ABC, называется окружностью Парри треугольника ABC.
  • Три чевианы, проведённые через произвольную точку O внутри треугольника, делят своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. Произведение длин трёх из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально, если точка O совпадает с центроидом[2].
  • Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:
AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).[3]
{displaystyle {frac {q_{a}}{q_{b}}}={frac {b}{a}},quad {frac {q_{b}}{q_{c}}}={frac {c}{b}},quad {frac {q_{a}}{q_{c}}}={frac {c}{a}}}
и
{displaystyle q_{a}cdot a=q_{b}cdot b=q_{c}cdot c={frac {2}{3}}S},
где S — площадь треугольника.

История[править | править код]

Факт того, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.

Вариации и обобщения. Центроиды в четырёхугольнике[править | править код]

  • Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.

Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины

  • Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центроиды этих четырёх треугольников лежат на одной окружности[5].
  • У выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, «центроид площади» или центр масс его площади Ga, вершинный центроид или центр масс четырёх его вершин Gv и точка пересечения его диагоналей P коллинеарны. Расстояния между этими точками удовлетворяют формуле[6]
PG_{a}={tfrac  {4}{3}}PG_{v}.

См. также[править | править код]

  • Барицентр
  • Центр тяжести
  • Центр масс
  • Ортоцентр
  • Инцентр
  • Замечательные точки треугольника
  • Геометрия треугольника

Примечания[править | править код]

  1. Е. Смирнова. Планиметрия: виды задач и методы их решений. Элективный курс для учащихся 9—11 классов. — Litres, 2017-09-05. — С. 165. — 417 с.
  2. Зетель, 1962, с. 12.
  3. Altshiller-Court (1925, pp. 70–71)
  4. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007
  5. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), 2.3 Cyclic quads, Mathematical Olympiad Treasures, Springer, с. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
  6. Bradley, Christopher (2011), Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral, <http://people.bath.ac.uk/masgcs/Article141.pdf>

Литература[править | править код]

  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 80-81. — ISBN 5-94057-170-0.
  • Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
  • Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М: Учпедгиз, 1962. 153 с.
  • Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble

Центр треугольника

Треугольник — наиболее распространенная форма деталей в сферах машиностроения и строительства. Точка пересечения 3-х медиан считается центром треугольника. На эту точку приходится также центр тяжести и центр симметрии предметов треугольной формы. При разработке дизайнерских, инженерных проектов очень важно точно рассчитать центр тяжести элементов металлической или бетонной конструкции.

Существует несколько понятий центра для треугольника.

Инцентр — точка пересечения его биссектрис. Это — центр описанной около треугольника окружности.

Ортоцентр — точка пересечения его высот.

Центр тяжести,центр масс или центроид (обозн. М) — точка пересечения медиан треугольника.

Рассмотрим треугольник. Определим середины его сторон и соединим их с противолежащими углами. Точка пересечения медиан и будет центром тяжести тр-ка. Медиана делится этой точкой в пропорции 2:1 , (считая от вершины тр-ка).

Как найти центр треугольника

Если известны координаты его вершин, найдем сумму трех значений координат «х» и трех значений координат «у». Поделим каждую сумму на 3, получим среднее значение сумм координат «х» и «у», что и будет координатами центра тяжести.

Центром равностороннего треугольника является точка пересечения высот, биссектрис и медиан.

Центр равностороннего треугольника является также центром вписанной и описанной окружности.

Центроид расположен на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности. Центроид делит отрезок 2:1.

Быстро найти центр треугольника G можно с помощью онлайн калькулятора. Для этого:

  • ввести в поле калькулятора координаты вершин треугольника;
  • нажать кнопку Вычислить. Калькулятор вычислит значение центра треугольника G.

Центр тяжести треугольника

Этот онлайн калькулятор находит центроид, или барицентр (центр тяжести) треугольника по координатам его вершин

Центр тяжести (центр масс, барицентр) треугольника для треугольника с равномерно распределённой массой (или в вершинах которого находятся равные массы) находится в центроиде треугольника. Центроидом называется точка пересечения медиан треугольника. Центроид относится к так называемым замечательным точкам треугольника. Например, помимо того, что он является центром тяжести, он также делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины, а три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника.

Чтобы вычислить положение центра тяжести по координатам вершин треугольника, достаточно вычислить среднее арифметическое координат вершин по оси x и по оси y, что и делает калькулятор ниже.

Центры тяжести многоугольников и многогранников

Центром тяжести (или центром масс) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будет сохранять свое положение.

Ниже рассмотрены двумерные и трёхмерные задачи, связанные с поиском различных центров масс — в основном с точки зрения вычислительной геометрии.

В рассмотренных ниже решениях можно выделить два основных факта. Первый — что центр масс системы материальных точек равен среднему их координат, взятых с коэффициентами, пропорциональными их массам. Второй факт — что если мы знаем центры масс двух непересекающихся фигур, то центр масс их объединения будет лежать на отрезке, соединяющем эти два центра, причём он будет делить его в то же отношении, как масса второй фигуры относится к массе первой.

Двумерный случай: многоугольники

На самом деле, говоря о центре масс двумерной фигуры, можно иметь в виду одну из трёх следующих задач:

  • Центр масс системы точек — т.е. вся масса сосредоточена только в вершинах многоугольника.
  • Центр масс каркаса — т.е. масса многоугольника сосредоточена на его периметре.
  • Центр масс сплошной фигуры — т.е. масса многоугольника распределена по всей его площади.

Каждая из этих задач имеет самостоятельное решение, и будет рассмотрена ниже отдельно.

Центр масс системы точек

Это самая простая из трёх задач, и её решение — известная физическая формула центра масс системы материальных точек:

где — массы точек, — их радиус-векторы (задающие их положение относительно начала координат), и — искомый радиус-вектор центра масс.

В частности, если все точки имеют одинаковую массу, то координаты центра масс есть среднее арифметическое координат точек. Для треугольника эта точка называется центроидом и совпадает с точкой пересечения медиан:

Для доказательства этих формул достаточно вспомнить, что равновесие достигается в такой точке , в которой сумма моментов всех сил равна нулю. В данном случае это превращается в условие того, чтобы сумма радиус-векторов всех точек относительно точки , домноженных на массы соответствующих точек, равнялась нулю:

и, выражая отсюда , мы и получаем требуемую формулу.

Центр масс каркаса

Будем считать для простоты, что каркас однороден, т.е. его плотность везде одна и та же.

Но тогда каждую сторону многоугольника можно заменить одной точкой — серединой этого отрезка (т.к. центр масс однородного отрезка есть середина этого отрезка), с массой, равной длине этого отрезка.

Теперь мы получили задачу о системе материальных точек, и применяя к ней решение из предыдущего пункта, мы находим:

где — точка-середина -ой стороны многоугольника, — длина -ой стороны, — периметр, т.е. сумма длин сторон.

Для треугольника можно показать следующее утверждение: эта точка является точкой пересечения биссектрис треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника. (чтобы показать это, надо воспользоваться приведённой выше формулой, и затем заметить, что биссектрисы делят стороны получившегося треугольника в тех же соотношениях, что и центры масс этих сторон).

Центр масс сплошной фигуры

Мы считаем, что масса распределена по фигуре однородно, т.е. плотность в каждой точке фигуры равна одному и тому же числу.

Случай треугольника

Утверждается, что для треугольника ответом будет всё тот же центроид, т.е. точка, образованная средним арифметическим координат вершин:

Случай треугольника: доказательство

Приведём здесь элементарное доказательство, не использующее теорию интегралов.

Первым подобное, чисто геометрическое, доказательство привёл Архимед, но оно было весьма сложным, с большим числом геометрических построений. Приведённое здесь доказательство взято из статьи Apostol, Mnatsakanian “Finding Centroids the Easy Way”.

Доказательство сводится к тому, чтобы показать, что центр масс треугольника лежит на одной из медиан; повторяя этот процесс ещё дважды, мы тем самым покажем, что центр масс лежит в точке пересечения медиан, которая и есть центроид.

Разобьём данный треугольник на четыре, соединив середины сторон, как показано на рисунке:

Четыре получившихся треугольника подобны треугольнику с коэффициентом .

Треугольники №1 и №2 вместе образуют параллелограмм, центр масс которого лежит в точке пересечения его диагоналей (поскольку это фигура, симметричная относительно обеих диагоналей, а, значит, её центр масс обязан лежать на каждой из двух диагоналей). Точка находится посередине общей стороны треугольников №1 и №2, а также лежит на медиане треугольника :

Пусть теперь вектор — вектор, проведённый из вершины к центру масс треугольника №1, и пусть вектор — вектор, проведённый из к точке (которая, напомним, является серединой стороны, на которой она лежит):

Наша цель — показать, что вектора и коллинеарны.

Обозначим через и точки, являющиеся центрами масс треугольников №3 и №4. Тогда, очевидно, центром масс совокупности этих двух треугольников будет точка , являющаяся серединой отрезка . Более того, вектор от точки к точке совпадает с вектором .

Искомый центр масс треугольника лежит посередине отрезка, соединяющего точки и (поскольку мы разбили треугольник на две части равных площадей: №1-№2 и №3-№4):

Таким образом, вектор от вершины к центроиду равен . С другой стороны, т.к. треугольник №1 подобен треугольнику с коэффициентом , то этот же вектор равен . Отсюда получаем уравнение:

Таким образом, мы доказали, что вектора и коллинеарны, что и означает, что искомый центроид лежит на медиане, исходящей из вершины .

Более того, попутно мы доказали, что центроид делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

Случай многоугольника

Перейдём теперь к общему случаю — т.е. к случаю мноугоугольника. Для него такие рассуждения уже неприменимы, поэтому сведём задачу к треугольной: а именно, разобьём многоугольник на треугольники (т.е. триангулируем его), найдём центр масс каждого треугольника, а затем найдём центр масс получившихся центров масс треугольников.

Окончательная формула получается следующей:

где — центроид -го треугольника в триангуляции заданного многоугольника, — площадь -го треугольника триангуляции, — площадь всего многоугольника.

Триангуляция выпуклого многоугольника — тривиальная задача: для этого, например, можно взять треугольники , где .

Случай многоугольника: альтернативный способ

С другой стороны, применение приведённой формулы не очень удобно для невыпуклых многоугольников, поскольку произвести их триангуляцию — сама по себе непростая задача. Но для таких многоугольников можно придумать более простой подход. А именно, проведём аналогию с тем, как можно искать площадь произвольного многоугольника: выбирается произвольная точка , а затем суммируются знаковые площади треугольников, образованных этой точкой и точками многоугольника: . Аналогичный приём можно применить и для поиска центра масс: только теперь мы будем суммировать центры масс треугольников , взятых с коэффициентами, пропорциональными их площадям, т.е. итоговая формула для центра масс такова:

где — произвольная точка, — точки многоугольника, — центроид треугольника , — знаковая площадь этого треугольника, — знаковая площадь всего многоугольника (т.е. ).

Трёхмерный случай: многогранники

Аналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:

  • Центр масс системы точек — вершин многогранника.
  • Центр масс каркаса — рёбер многогранника.
  • Центр масс поверхности — т.е. масса распределена по площади поверхности многогранника.
  • Центр масс сплошного многогранника — т.е. масса распределена по всему многограннику.

Центр масс системы точек

Как и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат:

который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек.

Центр масс каркаса многогранника

Аналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек.

Центр масс поверхности многогранника

Каждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить.

Центр масс сплошного многогранника

Случай тетраэдра

Как и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра.

Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани).

Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра.

Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом. Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра:

(это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении )

Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин.

Случай произвольного многогранника

Перейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника.

Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.

[spoiler title=”источники:”]

http://planetcalc.ru/9363/

http://e-maxx.ru/algo/gravity_center

[/spoiler]

 ИНТЕГРИРОВАННЫЙ УРОК по математике и физике УЧИТЕЛЕЙ КАРМАМЕЙСКой ООШ Канашского района ЧР ВАСИЛЬЕВОЙ Светланы Вениаминовны и ФИЛИППОВОЙ Ирины Васильевны.

ИНТЕГРИРОВАННЫЙ УРОК по математике и физике УЧИТЕЛЕЙ КАРМАМЕЙСКой ООШ Канашского района ЧР ВАСИЛЬЕВОЙ Светланы Вениаминовны и ФИЛИППОВОЙ Ирины Васильевны.

Памятник Петру I в Петербурге

Памятник Петру I в Петербурге

Американский художник Майкл Грэб специализируется на создании скульптур из камней. В его руках камни, булыжники и речная галька проделывают удивительные трюки. Может показаться, что здесь не обошлось без использования клея, веревки или проволоки. Но нет, Майкл работает открыто – башенки из камней держатся буквально на честном слове.

Американский художник Майкл Грэб специализируется на создании скульптур из камней. В его руках камни, булыжники и речная галька проделывают удивительные трюки. Может показаться, что здесь не обошлось без использования клея, веревки или проволоки. Но нет, Майкл работает открыто – башенки из камней держатся буквально на честном слове.

Центр масс тела Центр масс  — это геометрическая точка, положение которой характеризует распределение  масс  в теле. Механическая система всегда находится в  равновесии  относительно оси вращения, проходящей через ее центр масс.

Центр масс тела

Центр масс  — это геометрическая точка, положение которой характеризует распределение  масс  в теле.

Механическая система всегда находится в  равновесии  относительно оси вращения, проходящей через ее центр масс.

Родоначальником метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в. до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс.

  • Родоначальником метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в. до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс.

Тема урока : М ЕДИАНА И ЦЕНТР МАСС- ДРУЗЬЯ   Цель урока: О пытным путём найти положение центра масс треугольника, познакомить с геометрическими задачами равновеликости частей треугольника в точке пересечения медиан

Тема урока : М ЕДИАНА И ЦЕНТР МАСС- ДРУЗЬЯ Цель урока: О пытным путём найти положение центра масс треугольника, познакомить с геометрическими задачами равновеликости частей треугольника в точке пересечения медиан

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не изменится.  Задача 1. Сторона треугольника 4 см, высота, проведенная к ней 5 см. Найти площадь треугольника. Найти площади треугольников.

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не изменится. 

Задача 1. Сторона треугольника 4 см, высота, проведенная к ней 5 см. Найти площадь треугольника.

Найти площади треугольников.

 Медиана

Медиана

ЗАДАЧА Задача 3. Площадь треугольника АВМ равна 17 см 2. Найдите  площадь треугольника АВС.

ЗАДАЧА

Задача 3. Площадь треугольника АВМ равна 17 см 2. Найдите площадь треугольника АВС.

Задача 6. Найдите площадь треугольника FNE, Если площадь синего треугольника 6см 2. Какую часть составляет площадь треугольника ANE от площади треугольника FNE? Равновеликие фигуры

Задача 6. Найдите площадь треугольника FNE, Если площадь синего треугольника 6см 2. Какую часть составляет площадь треугольника ANE от площади треугольника FNE?

Равновеликие фигуры

 Медиана треугольника и площади Три треугольника, полученные соединением точки пересечения медиан с вершинами треугольника равновелики.

Медиана треугольника и площади

Три треугольника, полученные соединением точки пересечения медиан с вершинами треугольника равновелики.

Задача 8. Площадь треугольника 30 cм 2 . Найдите площадь S 1 + S 2

Задача 8.

Площадь треугольника 30 cм 2 . Найдите площадь S 1 + S 2

Медиана треугольника и площади Медианы в точке пересечения делят треугольник на шесть равновеликие части.

Медиана треугольника и площади

  • Медианы в точке пересечения делят треугольник на шесть равновеликие части.

Медиана треугольника и площади  Задача 10. Площадь треугольника АВС равна 42 cм 2 . Найдите отношение площади четырехугольника ОС 1 ВА 1. к площади треугольника ВСВ 1 . Задача 9. Площадь треугольника АВС равна 30 cм 2 . Найдите площади треугольников АВО, АОВ 1 , четырехугольника ОА 1 СВ 1 .

Медиана треугольника и площади

Задача 10. Площадь треугольника АВС равна 42 cм 2 . Найдите отношение площади четырехугольника ОС 1 ВА 1. к площади треугольника ВСВ 1 .

  • Задача 9. Площадь треугольника АВС равна 30 cм 2 . Найдите площади треугольников АВО, АОВ 1 , четырехугольника ОА 1 СВ 1 .

Задача 11(26).Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая,  пересекающая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника АВК  к площади четырехугольника КРСМ.

Задача 11(26).Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая,

пересекающая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника АВК

к площади четырехугольника КРСМ.

УСТРОЙСТВО КЛУМБ                                     УСТРОЙСТВО КЛУМБ

УСТРОЙСТВО КЛУМБ УСТРОЙСТВО КЛУМБ

Деление земли на пропорциональные участки

Деление земли на пропорциональные участки

СПАСИБО ЗА УРОК! Если ты хорошее сделаешь с трудом,  Труд мнется,  А хорошее останется.  М.В.Ломоносов

СПАСИБО ЗА УРОК!

Если ты хорошее сделаешь с трудом,

Труд мнется,

А хорошее останется.

М.В.Ломоносов

Добавить комментарий