Как найти центр треугольника по координатам вершин

В этой статье и разберу как нарисовать центр тяжести треугольника и найти его координаты.

1) Рисуем треугольник ABC
2) Ставим точку M – середина BC
3) Ставим точку H – середина AC
4) Пересечение BH и AM – и есть центр тяжести треугольника ABC
5) Найдем его координаты (координаты точки O

(x_(o), y_(o), z_(o))

)

[x_{0}=frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, y_{0}=frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}, z_{0}=frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}]

Пример: Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами A(2;3;4), B(3;1;2) и C(4;-1;3). Решение.

Просмотры: 42545 |
Статью добавил: slava191 |
Категория: аналитическая_геометрия

Центр тяжести треугольника

Этот онлайн калькулятор находит центроид, или барицентр (центр тяжести) треугольника по координатам его вершин

Центр тяжести (центр масс, барицентр) треугольника для треугольника с равномерно распределённой массой (или в вершинах которого находятся равные массы) находится в центроиде треугольника. Центроидом называется точка пересечения медиан треугольника. Центроид относится к так называемым замечательным точкам треугольника. Например, помимо того, что он является центром тяжести, он также делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины, а три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника.

Чтобы вычислить положение центра тяжести по координатам вершин треугольника, достаточно вычислить среднее арифметическое координат вершин по оси x и по оси y, что и делает калькулятор ниже.

Центры тяжести многоугольников и многогранников

Центром тяжести (или центром масс) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будет сохранять свое положение.

Ниже рассмотрены двумерные и трёхмерные задачи, связанные с поиском различных центров масс — в основном с точки зрения вычислительной геометрии.

В рассмотренных ниже решениях можно выделить два основных факта. Первый — что центр масс системы материальных точек равен среднему их координат, взятых с коэффициентами, пропорциональными их массам. Второй факт — что если мы знаем центры масс двух непересекающихся фигур, то центр масс их объединения будет лежать на отрезке, соединяющем эти два центра, причём он будет делить его в то же отношении, как масса второй фигуры относится к массе первой.

Двумерный случай: многоугольники

На самом деле, говоря о центре масс двумерной фигуры, можно иметь в виду одну из трёх следующих задач:

• Центр масс системы точек — т.е. вся масса сосредоточена только в вершинах многоугольника.
• Центр масс каркаса — т.е. масса многоугольника сосредоточена на его периметре.
• Центр масс сплошной фигуры — т.е. масса многоугольника распределена по всей его площади.

Каждая из этих задач имеет самостоятельное решение, и будет рассмотрена ниже отдельно.

Центр масс системы точек

Это самая простая из трёх задач, и её решение — известная физическая формула центра масс системы материальных точек:

где — массы точек, — их радиус-векторы (задающие их положение относительно начала координат), и — искомый радиус-вектор центра масс.

В частности, если все точки имеют одинаковую массу, то координаты центра масс есть среднее арифметическое координат точек. Для треугольника эта точка называется центроидом и совпадает с точкой пересечения медиан:

Для доказательства этих формул достаточно вспомнить, что равновесие достигается в такой точке , в которой сумма моментов всех сил равна нулю. В данном случае это превращается в условие того, чтобы сумма радиус-векторов всех точек относительно точки , домноженных на массы соответствующих точек, равнялась нулю:

и, выражая отсюда , мы и получаем требуемую формулу.

Центр масс каркаса

Будем считать для простоты, что каркас однороден, т.е. его плотность везде одна и та же.

Но тогда каждую сторону многоугольника можно заменить одной точкой — серединой этого отрезка (т.к. центр масс однородного отрезка есть середина этого отрезка), с массой, равной длине этого отрезка.

Теперь мы получили задачу о системе материальных точек, и применяя к ней решение из предыдущего пункта, мы находим:

где — точка-середина -ой стороны многоугольника, — длина -ой стороны, — периметр, т.е. сумма длин сторон.

Для треугольника можно показать следующее утверждение: эта точка является точкой пересечения биссектрис треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника. (чтобы показать это, надо воспользоваться приведённой выше формулой, и затем заметить, что биссектрисы делят стороны получившегося треугольника в тех же соотношениях, что и центры масс этих сторон).

Центр масс сплошной фигуры

Мы считаем, что масса распределена по фигуре однородно, т.е. плотность в каждой точке фигуры равна одному и тому же числу.

Случай треугольника

Утверждается, что для треугольника ответом будет всё тот же центроид, т.е. точка, образованная средним арифметическим координат вершин:

Случай треугольника: доказательство

Приведём здесь элементарное доказательство, не использующее теорию интегралов.

Первым подобное, чисто геометрическое, доказательство привёл Архимед, но оно было весьма сложным, с большим числом геометрических построений. Приведённое здесь доказательство взято из статьи Apostol, Mnatsakanian “Finding Centroids the Easy Way”.

Доказательство сводится к тому, чтобы показать, что центр масс треугольника лежит на одной из медиан; повторяя этот процесс ещё дважды, мы тем самым покажем, что центр масс лежит в точке пересечения медиан, которая и есть центроид.

Разобьём данный треугольник на четыре, соединив середины сторон, как показано на рисунке:

Четыре получившихся треугольника подобны треугольнику с коэффициентом .

Треугольники №1 и №2 вместе образуют параллелограмм, центр масс которого лежит в точке пересечения его диагоналей (поскольку это фигура, симметричная относительно обеих диагоналей, а, значит, её центр масс обязан лежать на каждой из двух диагоналей). Точка находится посередине общей стороны треугольников №1 и №2, а также лежит на медиане треугольника :

Пусть теперь вектор — вектор, проведённый из вершины к центру масс треугольника №1, и пусть вектор — вектор, проведённый из к точке (которая, напомним, является серединой стороны, на которой она лежит):

Наша цель — показать, что вектора и коллинеарны.

Обозначим через и точки, являющиеся центрами масс треугольников №3 и №4. Тогда, очевидно, центром масс совокупности этих двух треугольников будет точка , являющаяся серединой отрезка . Более того, вектор от точки к точке совпадает с вектором .

Искомый центр масс треугольника лежит посередине отрезка, соединяющего точки и (поскольку мы разбили треугольник на две части равных площадей: №1-№2 и №3-№4):

Таким образом, вектор от вершины к центроиду равен . С другой стороны, т.к. треугольник №1 подобен треугольнику с коэффициентом , то этот же вектор равен . Отсюда получаем уравнение:

Таким образом, мы доказали, что вектора и коллинеарны, что и означает, что искомый центроид лежит на медиане, исходящей из вершины .

Более того, попутно мы доказали, что центроид делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

Случай многоугольника

Перейдём теперь к общему случаю — т.е. к случаю мноугоугольника. Для него такие рассуждения уже неприменимы, поэтому сведём задачу к треугольной: а именно, разобьём многоугольник на треугольники (т.е. триангулируем его), найдём центр масс каждого треугольника, а затем найдём центр масс получившихся центров масс треугольников.

Окончательная формула получается следующей:

где — центроид -го треугольника в триангуляции заданного многоугольника, — площадь -го треугольника триангуляции, — площадь всего многоугольника.

Триангуляция выпуклого многоугольника — тривиальная задача: для этого, например, можно взять треугольники , где .

Случай многоугольника: альтернативный способ

С другой стороны, применение приведённой формулы не очень удобно для невыпуклых многоугольников, поскольку произвести их триангуляцию — сама по себе непростая задача. Но для таких многоугольников можно придумать более простой подход. А именно, проведём аналогию с тем, как можно искать площадь произвольного многоугольника: выбирается произвольная точка , а затем суммируются знаковые площади треугольников, образованных этой точкой и точками многоугольника: . Аналогичный приём можно применить и для поиска центра масс: только теперь мы будем суммировать центры масс треугольников , взятых с коэффициентами, пропорциональными их площадям, т.е. итоговая формула для центра масс такова:

где — произвольная точка, — точки многоугольника, — центроид треугольника , — знаковая площадь этого треугольника, — знаковая площадь всего многоугольника (т.е. ).

Трёхмерный случай: многогранники

Аналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:

• Центр масс системы точек — вершин многогранника.
• Центр масс каркаса — рёбер многогранника.
• Центр масс поверхности — т.е. масса распределена по площади поверхности многогранника.
• Центр масс сплошного многогранника — т.е. масса распределена по всему многограннику.

Центр масс системы точек

Как и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат:

который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек.

Центр масс каркаса многогранника

Аналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек.

Центр масс поверхности многогранника

Каждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить.

Центр масс сплошного многогранника

Случай тетраэдра

Как и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра.

Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани).

Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра.

Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом. Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра:

(это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении )

Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин.

Случай произвольного многогранника

Перейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника.

Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.

Центр треугольника

Центр треугольника является центром симметрии одной из наиболее распространенных в машиностроении и строительстве формы деталей. Важным практическим применением вычисления данного параметра является потребность знать, в каком месте будет находиться центр тяжести того или иного элемента бетонной или металлической конструкции.

Центр треугольника, центр тяжести, центр симметрии находятся в одной точке. Именно на нее, точку пересечения трех медиан, приходится вес всей однородной детали треугольной формы. При выявлении значения центра треугольника G с помощью онлайнового калькулятора необходимо задать координаты его вершин:
o (x1, y1);
o (x2, y2);
o (x3, y3).

Важным направлением ряда инженерных расчетов является определение статических моментов в отношении тех или иных сложных по форме деталей. Следует иметь в виду, что любую фигуру можно представить совокупностью простых фигур, к которым относятся треугольник, прямоугольник и пр.

Статический момент сложной детали может быть определен как сумма статических моментов входящих в нее элементов. Отсюда вытекает важность умения быстро находить значения центра треугольника (центра тяжести), прямоугольника и пр.

[spoiler title=”источники:”]

http://e-maxx.ru/algo/gravity_center

http://allcalc.ru/node/846

[/spoiler]

A simple polygon having three sides and three vertices are called a triangle. The intersection point of the three altitudes of a triangle is called the “orthocenter of a triangle,” and it is generally represented by the letter “H.” An altitude of a triangle is a line segment drawn from each vertex to the opposite side that is perpendicular to its opposite side. As a triangle has three vertices and three sides, it has three altitudes, and the point of intersection of these three sides is called the orthocenter. 

For every triangle, the position of the orthocenter varies; i.e; for an equilateral triangle, the orthocenter, circumcenter, incenter, and centroid are the same, but in the case of the other triangles,, the position will be different. 

• In the case of an acute-angled triangle, the orthocenter lies inside the triangle.
• In the case of an obtuse-angled triangle, the orthocenter lies outside the triangle.
• In the case of a right-angled triangle, the orthocenter lies on the vertex of the right angle.

Determining the orthocenter of a triangle

Let’s consider a triangle ABC to determine the orthocenter of a triangle. AD, BE, and CF are the perpendiculars drawn from the vertices A (x₁, y₁), B (x₂, y₂), and C (x₃, y₃) to their respective opposite sides BC, AC, and AB and “H” is the point of their intersection.

Step 1: Calculate the slopes of the sides of the triangle ABC using the slope formula;

m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

Let the slope of the AB be m_AB.

m_AB = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

Let the slope of the BC be m_BC

So, m_BC = (y₃ – y₂)/(x₃ – x₂)

Step 2: Using the slopes of the sides of a triangle, find the slopes of altitudes.

We know that the altitude is perpendicular to the side. 

Product of slopes of two perpendicular slopes lines = m₁ × m₂ = -1 

So, the slope of the altitude = -1/slope of the side = -1/m

Now, the slopes of the respective altitudes CF and AD are,

m_CF = -1/m_AB

m_AD = -1/m_BC

Step 4: With the help of the point-slope form equation, find the equations of the altitudes using the slopes and the coordinates of the opposite vertices.

The equation of CF is (y – y₃) = m_CF(x – x₃)

The equation of AD is (y – y₁) = m_AD(x – x₁)

Step 4: Solve the equations of any two altitudes and the values of x and y obtained by solving both equations are the coordinates of the orthocenter of the triangle.

Sample Problems

Problem 1: Determine the coordinates of the orthocenter of a triangle whose vertices are A (3, 1), B (-5, 2), and C (0, 4).

Solution:

Given,

The vertices of a triangle are A (x₁, y₁) = (3,1), B (x₂, y₂) = (-5,2) and C (x₃, y₃) = (0,4)

Now, the slope of the side AB = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

⇒ m_AB = (2 – 1)/(-5 -3) = -(1/8)

The slope of the line perpendicular to AB i.e., slope of CF = -(1/slope of AB) = 8

So, the equation of the line CF with point C (0,4) and slope = 8 is y – y₃ = m(x – x₃) [point-slope form]

⇒ y – 4 = 8 (x – 0) 

⇒ y – 4 = 8x

⇒ 8x – y = -4 ⇢ (1)

Slope of the side BC = (y₃ – y₂)/(x₃ – x₂)

⇒ m_BC = (4 – 2)/(0 – (-5)) = 2/5

Now, the slope of the line perpendicular to BC i.e., the slope of AD = -(1/slope of BC) = -(5/2)

So, the equation of the line AD with point A (3,1) and slope = -(5/2) is y – y₁ = m(x – x₁) [point slope form]

⇒ y – 1 = -(5/2) (x – 3)

⇒ 2(y – 1) = -5(x – 3)

⇒ 2y – 2 = -5x + 15

⇒ 5x + 2y = 17 ⇢ (2)

Now, multiply the equation (1) with “2” on both sides and add both equations (1) and (2).

16x – 2y = -8

5x + 2y = 17

21x = 9 ⇒ x = 3/7

Now, substitute the value of x = 3/7 in equation (1)

⇒ 8(3/7) – y = -4

⇒ y = 24/7 + 4 = 52/7

Hence, the coordinates of the orthocenter (H) are (3/7, 52/7).

Problem 2:  Determine the coordinates of the orthocenter of a triangle whose vertices are A (5, -3), B (7, 0), and C (4, 9).

Solution:

Given,

The vertices of a triangle are A (x₁, y₁) = (5, -3), B (x₂, y₂) = (7, 0) and C (x_3, y₃) = (4, 9).

Now, the slope of the side AB = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

⇒ m_AB = (0 – (-3))/(7 – 5) = 3/2

The slope of the line perpendicular to AB i.e., slope of CF =  -(1/slope of AB) = -(2/3)

So, the equation of the line CF with point C (4, 9) and slope = -(2/3)  is y – y₃ = m(x – x₃) [point-slope form]

⇒ y – 9 = -(2/3) (x – 4)

⇒ 3(y – 9) = -2(x – 4)

⇒ 3y – 27 = -2x + 8

⇒ 2x + 3y = 35 ⇢ (1)

Slope of the side BC = (y₃ – y₂)/(x₃ – x₂)

⇒ m_BC = (9 – 0)/(4 – 7) = -(9/3) = -3

Now, the slope of the line perpendicular to BC i.e., the slope of AD = -(1/slope of BC) = 1/3

So, the equation of the line AD with point A (5, -3) and slope = 1/3 is y – y₁ = m(x – x₁) [point slope form]

⇒ y – (-3) = (1/3) (x – 5)

⇒ 3(y + 3) = x – 5

⇒ 3y + 9 = x – 5

⇒ x – 3y = 14 ⇢ (2)

Now, add equations (1) and (2)

2x + 3y = 35

x – 3y = 14

3x = 49  ⇒ x =49/3

Now, substitute the value of x = 49/3 in equation (2)

⇒ 49/3 – 3y = 14 ⇒ 3y = -1

⇒ y =7/9

Hence, the coordinates of the orthocenter (H) are (49/3, 7/9).

Problem 3: Find the orthocenter of a triangle whose vertices are A (2, -7), B (6, 3), and C (-8, 0).

Solution:

Given,

The vertices of a triangle are A (x₁, y₁) = (5, -3), B (x₂, y₂) = (7, 0) and C (x₃, y₃) = (4, 9)

Now, the slope of the side AB = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

⇒ m_AB = (3 – (-7))/(6 – 2) = 10/4 = 5/2

The slope of the line perpendicular to AB i.e., slope of CF = -(1/slope of AB) = -(2/5)

So, the equation of the line CF with point C (-8, 0) and slope = -(2/5)  is y – y₃ = m(x – x₃) [point-slope form]

⇒ y – 0 = -(2/5) (x – (-8))

⇒ 5y = -2(x + 8)

⇒ 5y = -2x -16

⇒ 2x + 5y = -16 ⇢ (1)

Slope of the side AC = (y₃ – y₁)/(x₃ – x₁)

⇒ m_AC = (0 – (-7))/(-8 – 2) = -(7/10)

Now, the slope of the line perpendicular to AC i.e., the slope of BE = -(1/slope of AC) = 10/7

So, the equation of the line BE with point B (6, 3) and slope = 10/7 is y – y₂ = m(x – x₂) [point slope form]

⇒ y – 3 = (10/7) (x – 6)

⇒ 7(y – 3) = 10(x – 6)

⇒ 7y – 21 = 10x – 60

⇒ 10x – 7y = 39 ⇢ (2)

Multiply equation (1) with “5” on both sides and subtract both equations.

10x + 25y = -80

10x – 7y = 39

(-)   (+)     (-)

——————

32y = -119 ⇒ y = – 119/32

Now, substitute the value of y = -119/32 in equation (1)

2x + 5(-119/32) = -16

⇒ 2x – 595/32 = -16 ⇒ 2x = 595/32 – 16

⇒ 2x = 83/32 ⇒ x = 83/64

Hence, the coordinates of the orthocenter (H) are (83/64, -119/32).

Problem 4: Find the orthocenter of a triangle whose vertices are A (6, 2), B (1, 1), and C (-4, 7).

Given,

The vertices of a triangle are A (x₁, y₁) = (6, 2), B (x₂, y₂) = (1, 1) and C (x₃, y₃) = (-4, 7).

Now, the slope of the side AC = (y₃ – y₁)/(x₃– x₁)

⇒ m_AC = (7 – 2)/(-4 – 6) = -(5/10) = -1/2

The slope of the line perpendicular to AC i.e., slope of BE = -(1/slope of AC) = 2

So, the equation of the line BE with point B (1,1) and slope = 2  is y – y₂ = m(x – x₂) [point-slope form]

⇒ y – 1 = 2(x – 1)

⇒ y – 1 = 2x – 2

⇒ 2x – y = 1 ⇢ (1)

Slope of the side BC = (y₃ – y₂)/(x₃ – x₂)

⇒ m_BC =(7 – 1)/(-4 – 1) = -(6/5)

Now, the slope of the line perpendicular to BC i.e., the slope of AD = -(1/slope of BC) = 5/6

So, the equation of the line BE with point A (6, 2) and slope = 10/7 is y – y₁ = m(x – x₁) [point slope form]

⇒ y – 2 = (5/6) (x – 6)

⇒ 6(y – 2) = 5(x – 6)

⇒ 6y – 12 = 5x – 30

⇒ 5x – 6y = 18 ⇢ (2)

Now, multiply equation (1) with “6” on both sides and subtract both equations.

12x – 6y = 6

5x – 6y = 18

(-) (+)     (-)

—————— 

7x = -12 ⇒ x = -12/7

Now, substitute the value of x = -12/7 in equation (1)

2(-12/7) – y = 1

⇒ y = -24/7 – 1 ⇒ y = -31/7

Hence, the coordinates of the orthocenter (H) are (-12/7, -31/7).

Problem 5: Determine the coordinates of the orthocenter of a triangle whose vertices are A (0,-5), B (3,-2), and C (-6, 0).

Given,

The vertices of a triangle are A (x₁, y₁) = (3,1), B (x₂, y₂) = (-5,2) and C (x₃, y₃) = (0,4)

Slope of the side BC = (y₃ – y₂)/(x₃ – x₂)

⇒ m_BC =(0 – (-2))/(-6 – 3) = -(2/9)

Now, the slope of the line perpendicular to BC i.e., the slope of AD = -(1/slope of BC) = (9/2)

So, the equation of the line AD with point A (3,1) and slope = (9/2) is y – y₁ = m(x – x₁) [point slope form]

⇒ y – (-5) = (9/2) (x – 0)

⇒ 2(y + 5) = 9x

⇒ 2y + 10 = 9x

⇒ 9x – 2y = 10 ⇢ (1)

Now, the slope of the side AB = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

⇒ m_AB = (-2 – (-5))/(3 – 0) = 3/3 = 1

The slope of the line perpendicular to AB i.e., slope of CF =  -(1/slope of AB) = -1

So, the equation of the line CF with point C (-6, 0) and slope = -1 is y – y₃ = m(x – x₃) [point-slope form]

⇒ y – 0 = (-1)(x – (-6))

⇒ y = -(x + 6)

⇒ y = -x – 6

⇒ x + y = -6 ⇢ (2)

Now, multiply equation (2) with “2” on both sides and add both equations.

9x – 2y = 10

2x + 2y = -12

11x = -2 ⇒ x = -2/11

Now, substitute the value of x = -2/11 in equation (2)

⇒ -2/11 + y = -6

⇒ y = -6 + 2/11 ⇒ y = -64/11

Now, by solving the equations of the lines AD and CF we get the coordinates of the orthocenter (H) are (-2/11, -64/11).

Была ли эта статья полезной?