Как найти центр тяжести фигуры физика

Центр тяжести (центр масс):

Любое твердое тело можно представить как состоящее из множества материальных точек, на каждую из которых действует сила тяжести.

Центр тяжести – геометрическая точка абсолютно твердого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на данное тело при любом его положении в пространстве.

На каждую точку тела в поле сил тяжести действует сила, а на все тело – равнодействующая этих сил. Точка приложения равнодействующей называется центром тяжести тела.

Центр масс (центр инерции) – точка, характеризующая распределение масс в теле или системе тел. Представляется она как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и на которую действуют все приложенные к системе  внешние силы.

При определенных условиях положение центра тяжести тела совпадает с положением центра его масс.

Положение центра масс тела в однородном поле тяжести совпадает с положением его центра тяжести.

При небольших размерах тел возле поверхности Земли поле сил тяжести можно считать однородным, а силы, действующие на каждую точку тела, – параллельными.

Чтобы сила тяжести не вызывала движения, необходимо соблюдать определенные условия.

 Положение центра масс тела в однородном поле тяжести | совпадает с положением его центра тяжести.

Если тело закреплено в одной точке, например подвешено или лежит на опоре и пребывает в покое, то центр тяжести и точка опоры лежат на одной вертикали: сила тяжести, действующая на тело, уравновешивается реакцией точки опоры.

Если тело закреплено в одной точке (подвешено или лежит на опоре) и пребывает в покое, то центр тяжести и точка опоры лежат на одной вертикали.

Рассмотрим примеры определения центра тяжести (центра масс) тел правильной несложной геометрической формы.

1. Найдем центр тяжести однородного стержня (рис. 2.48). Разделим стержень на несколько одинаковых небольших объемов (в нашем случае на пять слева и справа от середины стержня). Если добавить две параллельные силы, которые действуют на объемы 1 и 1′, то их равнодействующая будет расположена в точке О – середине стержня.

Аналогично и для пар сил 2-2′, 3-3′ и т. д. На основании этого можно сделать вывод: центр тяжести однородного стержня 99 расположен в точке О — середине стержня.

Центр тяжести однородного стержня расположен в середине стержня.

2. Пользуясь рассмотренным выше приемом, можно установить, что центр тяжести однородного круга совпадает с его центром (рис. 2.49).

Таким образом, в однородных телах, имеющих центр симметрии (прямоугольник или круглая пластинка, шар, цилиндр и т. д.), центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться и вне тела, например у кольца или спичечной коробки, мяча или пустого стакана.

Центр тяжести однородного круга совпадает с его центром.

Центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан.

3. Найдем центр тяжести однородного треугольника (рис. 2.50), представим, что вся площадь треугольника поделена на узкие поло-
сы, параллельные любой из сторон треугольника, например АВ. Центр тяжести каждой такой полосы, как однородного стержня, находится в ее середине. Центр тяжести всего треугольника лежит где-то на медиане CD, которая проходит через середины всех отрезков, параллельных стороне АВ.

Если поделить треугольник на отрезки, параллельные стороне СВ, то с учетом предыдущих вычислений можно сделать вывод: центр тяжести треугольника будет лежать на медиане АЕ. На обеих медианах центр тяжести может лежать лишь в том случае, если он совпадает с точкой их пересечения О.

4. Чтобы найти центр тяжести плоской фигуры, надо ее подвесить за какую-нибудь точку 1; тогда фигура развернется так, что ее центр тяжести окажется на вертикали, которая проходит через точку подвеса (рис. 2.51).

Отметив направление этой вертикали, подвесим фигуру за другую точку 2. И в этом случае фигура развернется так, чтобы центр тяжести находился на вертикали, проходящей через новую точку подвеса. Отметим направление и этой вертикали.

Центр тяжести плоской фигуры расположен в точке О пересечения вертикалей, проведенных через две любые точки подвеса.

Когда нужно определить центр сил тяжести сложных фигур, необходимо исходить из того, что сила тяжести равна сумме сил тяжести частей тела и всегда приложена к центру этих сил.

• Заказать решение задач по физике

Центр тяжести тела и центр масс тела

Когда мы рассматривали опыты с подвешенными телами, находящимися в равновесии, точка приложения сил натяжения была нам известна. А где приложена сила тяжести? В какой точке? Из этих опытов следует только то, что точка приложения силы тяжести при равновесии лежит на линии действия силы натяжения подвеса. Но это позволяет решить задачу о нахождении точки приложения силы тяжести экспериментальным путем. Если подвешивать плоское тело в разных точках (рис. 151), то линии действия сил натяжения пересекутся в одной точке С. Эта точка и будет точкой приложения силы тяжести. Она называется центром тяжести. Подобным образом можно определить положение центра тяжести не только плоского тела, но и любого другого.

Рис. 151

Очевидно, что положение центра тяжести тел правильной формы можно указать, не выполняя описанный опыт. Так, например, центр тяжести однородного шара находится в его геометрическом центре, поскольку любой диаметр является осью симметрии шара. Центр тяжести круглого диска также находится в его геометрическом центре, как и центр тяжести обруча или кольца, и т. д. Последний пример показывает, что центр тяжести тела может находиться вне тела.

Положение центра тяжести тела можно и вычислить. Предварительно рассмотрим следующий опыт. Пусть тело состоит из двух шаров массами m₁ и m₂, насаженных на стержень (рис. 152, а). Если масса стержня значительно меньше масс шаров, то ею можно пренебречь. На каждый из шаров действуют силы тяжести, приложенные в их центре тяжести. Для того чтобы система находилась в равновесии, призму надо расположить так, чтобы линия действия силы реакции призмы проходила через центр тяжести этой системы — точку С. В этом случае суммарный момент сил относительно точки C равен нулю, т. е. выполняется условие:

или

Следовательно, центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном отношению их масс. Соотношение (1) можно получить и иначе. Поскольку момент сил тяжести равен нулю, то он должен быть равен нулю и относительно любой горизонтальной оси, проходящей, например, через точку О. Иначе тело вращалось бы вокруг этой оси. Обозначим расстояние между точками C и О через а. Тогда алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно точки О примет вид:

Рис. 152

Поскольку F=(m₁ + m₂)g, то после несложных преобразований получим соотношение (1). Такой подход позволяет находить положение центра тяжести аналитически.

Направим ось Ox вдоль стержня (рис. 152, б). Выберем начало отсчета в произвольной точке О. тогда координаты точек приложения сил соответственно будут х₁, х_с и х₂. Запишем условие моментов относительно точки О:

Отсюда

При выводе этой формулы было использовано значение силы F = (m₁ + m₂) g. Таким образом, центр тяжести этой системы тел отстоит от точки О на расстоянии х_с, определенном формулой (2).

Напомним, что выражение (2) является следствием правила моментов при равновесии тела, но в правой части отсутствует ускорение свободного падения. В него входят только координаты центра тяжести тел и их массы, поэтому точка, координата которой определяется формулой (2), называется центром масс тела. Следует отметить, что центр масс и центр тяжести совпадают, если тело находится в однородном гравитационном поле.

Понятие центра масс является более общим, чем понятие центра тяжести. Центр масс является характеристикой тела или системы тел, важной не только для задач, где речь идет о силе тяжести, но и для решения других физических проблем.

Если произвольное тело можно разбить на n элементов, массы которых m₁, m₂…,    m_n, и если известны координаты центров масс этих элементов x₁, x₂…,   x_n относительно выбранной системы координат, то координата центра масс тела вычисляется по формуле:

Естественно, что такие же соотношения можно записать и для у_с и z_c. Для примера вычислим положение центра масс столярного угольника. Он состоит из деревянного бруска 1 и деревянной линейки 2, соединенных под прямым углом (рис. 153). Положим, что масса бруска 1 в два раза больше массы линейки (m₁ = 2m₂). Так как линейка и брусок — однородные параллелепипеды, то центры масс находятся в их геометрических центрах. Очевидно, что центр масс угольника находится где-то на линии, соединяющей центры масс бруска (C₁) и линейки (C₂).

Выберем наиболее оптимальным образом систему координат, как показано на рисунке. Тогда координаты центра масс бруска: х₁ = 0, y₁ =, а координаты центра масс линейки: , y₂ = 0 .
По формуле (3):    .

Таким образом, центр масс угольника находится вне тела.

Главные выводы:

1. Центр тяжести — точка, в которой приложена сила тяжести.
2. Центр масс симметричных однородных тел находится в их геометрическом центре.
3. Координаты центра масс тела можно вычислить по формуле (3).

На каждое тело на Земле действует сила тяжести. При этом тела бывают самой разнообразной формы. Различные машины, механизмы, конструкции и строения, созданные человеком, должны быть устойчивыми для их нормального использования.

Это значит, что они должны находиться в равновесии. Каким образом мы можем добиться этого условия?

На данном уроке мы рассмотрим, как действует сила тяжести, к какой точке она приложена, чтобы мы могли говорить о равновесии тела. Мы введем определение центра тяжести тела и рассмотрим его особенности.

Центр тяжести

Давайте рассмотрим простой пример. Возьмем линейку и подвесим ее на нити (рисунок 1).

Передвигая нить по длине линейки, найдем такое положение, чтобы линейка находилась в равновесии. Мы можем сказать, что линейка подвешена в центре тяжести.

Что такое центр тяжести?

Центр тяжести тела — это точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на отдельные части тела.

Если мы мысленно разделим линейку на несколько частей, то на каждую их них будет действовать сила тяжести. Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз вне зависимости от положения тела.

Как мы увидели, у линейки центр тяжести будет находиться посередине ее длины. Но это справедливо не для всех тел. Если мы таким же образом подвесим лопату и будем искать положение, в котором она будет находиться в равновесии, то увидим другую ситуацию (рисунок 2). Лопата будет подвешена в центре тяжести ближе к началу ее черенка.

Нахождение центра тяжести тела

Вокруг нас полно твердых тел сложной формы. Если с линейкой все было достаточно просто, то как найти центр тяжести более сложного тела?

Попробуем сделать это на практике. Вырежем фигуру произвольной неправильной формы из картона. Подвесим ее, используя отвес (рисунок 3, а).

Отвес — это приспособление, состоящее из нити и маленького грузика на ее конце. Служит для определения правильного вертикального положения других тел.

На нашу фигуру действуют две силы: сила тяжести и силы упругости. Сила тяжести направлена вертикально вниз, а сила упругости — вдоль нити. Так как мы используем отвес, задающий идеальную вертикальную линию, то сила упругости будет направлена вертикально вверх. 

Картонная фигура покоится. Значит, эти две силы уравновешивают друг друга. Они равны по величине и направлены в противоположные стороны. Мы можем сказать, что точки приложения этих сил находятся на одной вертикальной прямой, которую отмечает отвес. Отметим эту линию карандашом на картоне. 

Теперь отцепим нашу фигуру и подвесим ее снова, но в другой точке (рисунок 3, б). Снова проведем линию по отвесу. Мы можем провести бесконечное множество линий, подвешивая фигуру в разных ее точках. Все эти линии будут пересекаться в одной точке (рисунок 3, в). Эта точка и будет центром тяжести тела C.

Это легко проверить. Возьмем фигуру из картона и поставим ее на острие карандаша а найденном центре тяжести (точка C). Фигура не будет крениться в какую-либо сторону, не упадет — она будет находится в равновесии (рисунок 3, г).

При любом положении тела его центр тяжести находится в одной и той же точке.

Где может находиться центр тяжести тела?

Для нахождения центра тяжести объемных геометрических фигур используют похожие способы. Так, центр тяжести шара находится в его геометрическом центре, а у параллелепипеда — в точке пересечения его диагоналей (рисунок 4).

Центр тяжести тела может находиться и вне самого тела. Например, у кольца (рисунок 5).

Примером тела с центром тяжести, находящимся вне тела, также могут служить разные сувениры. Например, вот эта птичка (рисунок 6). Она сделана так, что ее центр тяжести находится ровно под ее клювом. Это позволяет зрелищно держать такую игрушку на кончике пальца, создавая иллюзию полета.

В каких случаях может меняться положение центра тяжести тела?
Это возможно только в том случае, если изменяется относительное расположение частей тела. Например, при непластичной деформации.

Общие сведения

Пусть имеется физическое тело, на которое не оказывается влияние, то есть другие объекты не действуют или их силы воздействия скомпенсированы. Рассматриваемое тело будет находиться в состоянии прямолинейного движения или покоя. Для удобства можно принять, что объект неподвижен, например, пусть это будет лодка на поверхности воды.

Если к плавательному средству приложить силу, смещённую к началу лодки F1, судно начнёт поворачиваться в сторону направления воздействия. Если ее переместить в горизонтальной плоскости в другой конец судна, лодка начнёт также поворачиваться, но направление вращения изменится. Отсюда можно сделать вывод, что существует такая точка приложения силы, точнее, линия, при воздействии на которую лодка не изменит своего положения, то есть плавательное средство начнёт двигаться ускоренно поступательно. Допустим, это будет сила F3.

Логично, что можно подобрать и другую силу, вызывающую поступательное прямолинейное перемещение, например, F4.

При этом точку воздействия можно перемещать по линии её направления, так как, согласно правилу, величина действия при этом не изменяется. В итоге получится точка, где пересекутся приложенные силы F3 и F4. Таких моментов можно приложить сколько угодно, при этом они все соединятся в одном месте. Точку пересечения линий действия сил, которые вызывают ускоренное поступательное движение тела, называют центром масс.

На лодку действует ещё одна сила — притяжения. На самом деле она воздействует на каждую частичку объекта, поэтому на тело одновременно оказывает влияние огромное количество моментов. Это множество и принято заменять их равнодействующей — то есть силой, приложенной к центру тяжести. В физике параметр обозначают как mg. Другими словами, это точка приложения равнодействующих сил тяжести.

Существует взаимосвязь между массой и тяжестью. Если тело разбить на кусочки и бросить их, скорость падения будет для всех тел одинаковой, так как ускорение не зависит от массы. При этом падающий объект движется поступательно.

А значит, приложенная сила проходит через центр масс, то есть через центр тяжести, поэтому несмотря на разный принцип определения этих точек, их положение совпадает.

Поиск центра тяжести

Чтобы определить центр тяжести для тела сложной формы, его нужно разделить на простые фигуры и определить точки равновесия для каждой из них. Для простых геометрических объектов используют симметрию. Например, в шаре параметр располагается в центре, в однородном цилиндре — в точке на середине оси. Частным случаем разбиения фигуры при определении является метод отрицательных площадей. Его применяют к телам, которые имеют вырезы, и при этом площадь удалённой части известна.

Вот формулы для вычисления центра в некоторых фигурах:

1. В треугольнике: x = (1/3) * (x1 + x2 + x3); y = (1/3) * (y1 + y2 + y3). Физически центр находится в точке пересечения медиан и представляет собой среднее арифметическое из координат вершин.
2. В прямоугольнике: x = b/2; y = h/2. Центр равновесия располагается в точке пересечения диагональных прямых.
3. В полукруге: x =D/2; y = 4R/3π. Искомая точка лежит на оси симметрии.
4. В круге: x = R; y = R. Точка тяжести находится в центре фигуры.

Стоит отметить, что центр тяжести объёмных тел может находиться и вне фигуры, например, как у кольца. Вообще же для трёхмерного пространства, как учат на уроках физики в 7 классе, центр тяжести тела вычисляют по формулам: x = (ΣΔ m * x) / m; y = (ΣΔ m * y) / m; z = (ΣΔ m * z) / m, где: m — масса тела, x, y, z — координаты искомой точки в пространстве. Уравнение можно переписать и в векторной форме: r = (1 / m) Σm * r, где r — радиус вектор.

Существует и ряд теорем, благодаря которым можно определить точку массы в теле:

1. При рассмотрении однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр массы будет находиться в этой плоскости.
2. Если однородное тело обладает осью симметрии, центр располагается на ней.
3. Центр симметрии однородной фигуры совпадает с центром массы.
4. Центр масс симметричных фигур находится в их геометрическом центре.

Точку равновесия фигуры можно находить и через объём: R = (1 / V) * ∫ ∫ ∫rdV. Для плоских объектов используется формула R = (1 / S) * ∫ ∫ ∫rdS, а однородной линии R = (1 / L) * ∫ ∫ ∫rdL. Стоит отметить, что понятие точки тяжести применимо только к твёрдым объектам. Если это не так, использование понятия не имеет смысла.

Пример задания

Теоретический материал лучше всего усваивается на практических заданиях. Не исключение и понятие о центре тяжести. Тема несложная, но при нахождении параметра желательно фигуру изобразить на рисунке.

Наиболее часто ученикам преподаватель предлагает решить задачу о нахождении центра масс сложного тела, но при этом достаточно симметричного. Например, пусть имеется диск из однородной пластины, в котором вырезан кусок треугольной формы. Необходимо найти центр равновесия оставшегося объекта.

Если нарисовать условие задачи, станет понятно, что треугольник прямоугольный, а центр масс находится на горизонтальной прямой, проходящей через середину диска. Пусть это будет ось x. Чтобы решить задачу, нужно разбить сложную фигуру на несколько частей, в каждой из которых можно найти искомую точку.

Симметрично удалённому треугольнику можно выделить аналогичную часть. В итоге останется круг с вырезанным внутри квадратом. Точка масс диска находится в центре. Для удобства её можно обозначить как x1. Вторая фигура — это треугольник. Точка равновесия у него находится на пересечении медиан. То есть на 1/3 высоты. Обозначить точку можно как x2.

Если масса треугольника равна М2, а круга М1, искомую координату можно определить по формуле: x = (m1x1 + m2x2) / m1 + m2. Далее, нужно найти, чему равняется сторона вырезанного треугольника. Из рисунка можно понять, что это расстояние будет r * √2, где r — радиус диска.

Теперь можно найти, чему будут равны x1 и x2. x1 будет равняться нулю, так как эту точку можно принять за начало координат. x2 же будет равняться 1/3 длины медианы. Высота фигуры совпадает с радиусом диска, значит: x2 = R/3.

В таких задачах самое сложное — это найти массы. Первую можно определить исходя из того, что она будет равняться массе диска минус значение квадрата. Так как фигура однородная, масса прямо пропорциональна площади. Тогда для первого участка m1 = σ * S = σ * (Sкруга — Sквадрата) = σ * (pR2 — 2R2) = σR2 * (p — 2), где: σ – поверхностная площадь. Соответственно, m2 = σ * Sтреугольника = σ * R2. Все найденные величины нужно подставить в формулу и найти ответ: x = ((r * σ * R² /3)) / (σ * R2 * (p — 2) + σ * R2) = (r / 3 (p — 1)). Это и будет искомая координата.

Простая задачка

Пусть имеются 2 шара. Они расположены так, что соприкасаются друг с другом. Сделаны тела из одного материала, но при этом радиусы у них отличаются вдвое. Значение первого равняется r = 20 см, а второго 40, то есть 2r. Найти, где находится точка равновесия такого объекта. Такого рода задачи обычно любят демонстрировать на презентациях, касающихся темы. Задача простая, но между тем помогает понять принцип нахождения центра равновесия.

Итак, при решении нужно будет воспользоваться формулой: x = (m1x1 + m2x2) / m1 + m2. Так как по условию радиусы шаров отличаются вдвое, их массы будут отличаться в 8 раз. Объём всегда пропорционален кубу линейных размеров.

Массу первого шара можно обозначить как m, а второго — 8m. Начало координат для удобства лучше поместить в центр меньшей фигуры. В результате середина большого шара будет иметь координату 3r. Значит, искомая координата равняется: x = ((m* 0 + 8m * 3r)) / (m + 8m) = (8 * 3r) / 9 = 8r/3.

То есть нужная точка находится на расстоянии 1/3 радиуса ближе к маленькому шару (если отсчитывать от середины большого).

Центр тяжести тела, теория и онлайн калькуляторы

Центр тяжести тела

Как известно, сила тяжести тела равна векторной сумме сил тяжести, которые действуют на все материальные точки, на которые можно разбить рассматриваемое тело. Точку, к которой приложена результирующая сила тяжести, называют центром тяжести. Если известно положение центра тяжести, то можно считать, что на тело действует только одна сила тяжести, приложенная к центру тяжести.

Следует учитывать, что силы тяжести, действующие на отдельные элементы тела, направлены к центру Земли и не являются строго параллельными. Но так как размеры большинства тел на Земле много меньше ее радиуса, поэтому эти силы считают параллельными.

Определение центра тяжести тела

Центр тяжести – это точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести равен нулю при любом положении тела.

От положения центра тяжести зависит устойчивость всех конструкций.

Как найти центр тяжести?

Для нахождения центра тяжести тела сложной формы необходимо мысленно разбить тело на части простой формы и определить место нахождения центров тяжести для них. У тел простой формы центр тяжести определяют, используя их симметрию. Так, центр тяжести однородных диска и шара расположен в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т, д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться вне тела, например, у кольца.

Определив, где расположены центры тяжести отдельных частей тела, переходят к поиску места расположения центра тяжести тела в целом. Тело представляют в виде системы материальных точек. При этом каждая точка имеет массу своей части тела и располагается в ее центре тяжести.

Координаты центра тяжести тела

В трехмерном пространстве координаты центра тяжести для твердого тела нахояд как:

[left{ begin{array}{c}
x_c=frac{sumlimits_i{Delta m_ix_i}}{m};; \
y_c=frac{sumlimits_i{Delta m_iy_i}}{m};; \
z_c=frac{sumlimits_i{Delta m_iz_i}}{m} end{array}
right.left(1right),]

где $m$ – масса тела.$;;x_i$ – координата на оси X элементарной массы $Delta m_i$; $y_i$ – координата на оси Y элементарной массы $Delta m_i$; ; $z_i$ – координата на оси Z элементарной массы $Delta m_i$.

В векторной форме записи система уравнений (1) представляется как:

[{overline{r}}_c=frac{1}{m}sumlimits_i{m_i{overline{r}}_ileft(2right),}]

${overline{r}}_c$ – радиус – вектор, определяющий положение центра тяжести; ${overline{r}}_i$ – радиус-векторы, которые определяют положения элементарных масс.

Центр тяжести, центр масс и центр инерции тела

Считают, что центр тяжести тела совпадают с центром масс тела, если его размеры малы в сравнении с расстоянием до центра Земли. При этом формулы, которые определяют положение цента тяжести и центра масс тела совпадают с выражениями (1) и (2). В основной массе задач центр тяжести принимают совпадающим с центром масс тела.

Сила инерции в неинерциальных системах отсчета, движущихся поступательно, приложена к центру тяжести тела.

Но центробежная сила инерции (в общем случае) не приложена к центру тяжести, поскольку в неинерциальной системе отсчета на элементы тела действуют разные центробежные силы инерции (даже если массы элементов равны), так как расстояния до оси вращения разные.

Примеры задач с решением

Читать дальше: циклическая частота колебаний.

Виды равновесия. Центр тяжести