Как найти центр тяжести фигуры интеграл - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

2.6.2. Центр тяжести тела

Подобно тому, как задача о вычислении центра тяжести плоской фигуры решалась с

помощью двойного интеграла, задача об отыскании центра тяжести тела

решается аналогичным способом – с помощью тройного интеграла.

Что такое центр тяжести тела, довольно удачно объяснил ещё Архимед. Если тело подвесить на нить за центр тяжести,

то оно будет сохранять равновесие в любом положении (как бы мы его предварительно ни повернули). В известной степени это не

реализуемо (таки центр тяжести внутри тела), но зато очень понятно. И вполне в стиле древнегреческого учёного, который просил

дать ему точку опоры, чтобы с помощью рычага перевернуть Землю.

Центр тяжести неоднородного тела рассчитывается по формулам:
, где – функция плотности тела, а – масса тела.

Если же тело однородно (стеклянное, оловянное, пластмассовое и т.д.), то формулы упрощаются. Так как плотность постоянна, и масса – есть произведение плотности на объём, получаем:
, а объём тела рассчитывается (ещё не забыли? =)) с помощью тройного интеграла .

Для центра тяжести однородного тела справедливы следующие утверждения:

– если у тела есть центр симметрии, то он является центром тяжести (простейший пример – центр шара);

– если у тела существует линия симметрии, то центр тяжести обязательно принадлежит данной линии;

– если у тела есть плоскость симметрии, то центр тяжести непременно лежит в этой плоскости.

Как видите, практически полная аналогия с центром тяжести плоской фигуры.

Ну и, само собой, не могу не порадовать вас тематической задачей:

Пример 42

Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями , . Выполнить чертежи данного тела и его проекции на плоскость .

Решение: искомое тело ограничено координатными плоскостями и плоскостью , которую в целях последующего построения удобно представить в

отрезках: . Выберем «а» за единицу

масштаба и выполним трёхмерный чертёж:

На чертеже уже поставлена готовая точка центра тяжести, однако, пока мы её не знаем.
Проекция тела на плоскость очевидна, но, тем не менее, напомню, как её найти аналитически – ведь такие

простые случаи встречаются далеко не всегда. Чтобы найти прямую, по которой пересекаются плоскости нужно решить систему, составленную из их уравнений:

Подставляем значение в 1-е

уравнение системы: и получаем

уравнение «плоской» прямой:

Для взятия грядущих интегралов выберем «классический» порядок обхода тела:

Координаты центра тяжести тела вычислим по формулам:
, где – объём данного тела. И понеслась песня:

1) Сначала вычислим объём тела. Его, кстати, можно узнать заранее, пользуясь известной задачей геометрии об объёме

тетраэдра. Объём тетраэдра равен 1/6-й объёма прямоугольного параллелепипеда, построенного на его трёх смежных рёбрах. В нашем

случае параллелепипед представляет собой куб с ребром «а», а посему: .
Осталось аккуратно провести штатные вычисления:

В примерах с громоздкими преобразованиями рекомендую записывать решение «столбиком» – меньше шансов запутаться:
(да, так можно – сразу снести

в средний интеграл)

, и дело за тремя тройными

интегралами:

2) Вычислим «иксовый» интеграл, …и местечка у меня тут не хватает, поэтому решение в столбик отменяется:

Таким образом, «иксовая» координата центра тяжести: , ну что же, выглядит правдоподобно, по крайне мере, мы «попали внутрь» тела.

Учитывая симметрию тела, две другие координаты должны получиться такими же. Теперь ошибочный финал практически исключён! И

я вам предлагаю рассчитать самостоятельно, после чего можно записать красивый ответ.

…А вы, наверное, не так давно и представить себе не могли, что окажетесь в эпицентре такого кошмара =)

3. Криволинейные интегралы

2.6. Физические приложения тройного интеграла

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Источник

Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

Объем тела

Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находится по формуле

где — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле (53.4) , то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой . Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади основания . Получаем формулу для вычисления площади области :

или, в полярных координатах,

Масса плоской фигуры

Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки с переменной плотностью находится по формуле

Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры относительно осей и (см. п. 41.6) могут быть вычислены по формулам

а координаты центра масс фигуры — по формулам

Моменты инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы относительно оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки до оси, т. е. . Моменты инерции плоской фигуры относительно осей и могут быть вычислены по формулам:

Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле .

Замечание. Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).

Пример №53.3.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями и .

Решение:

Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 223). Решая систему

находим уравнение линии их пересечения: .

Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг ) и ограниченных сверху соответственно поверхностями и . Используя формулу (53.4), имеем

Переходя к полярным координатам, находим:

Пример №53.4.

Найти массу, статические моменты и и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом и координатными осями (см. рис. 224). Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.

Решение:

По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию, , где — коэффициент пропорциональности.

Находим статические моменты пластинки:

Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Источник

Пусть на плоскости Oxy дана
система материальных точек , , …, с массами

координаты центра
тяжести в данном случае будут определяться по формулам

Центр
тяжести плоской линии

Пусть
задана кривая АВ уравнением , , и пусть эта кривая представляет собой материальную
линию.

Координаты центра
тяжести данной линии

Центр
тяжести плоской фигуры.

Пусть данная фигура,
ограниченная линиями ,, , , представляет собой материальную плоскую фигуру.

Координаты центра
тяжести такой фигуры

Пример:

Вычислить
координаты центра масс однородной плоской фигуры, ограниченной линиями и

Координаты центра
тяжести такой фигуры

Данное значение координаты можно получить
из соображений симметрии.

Источник

Кратные и криволинейные интегралы

№ 1.Вычислить двойной интеграл по указанному прямоугольнику D:

, где D – прямоугольник 0≤x≤2, 0≤y≤1.

Преобразуем двойной интеграл в повторный. Пределы интегрирования известны, поэтому

Повторный интеграл свелся к произведению двух независимых друг от друга интегралов, поскольку результат вычисления внутреннего интеграла есть число.

№ 2.Вычислить двойной интеграл по области G, ограниченной указанными линиями:

, где область G – параболический сегмент, ограниченный параболой y=½x² и прямой y=x.

Изобразим область интегрирования G.

Так как прямая y=x и парабола y=½x² пересекаются в точках O(0;0) и A(2;2), то область G определяется системой неравенств:

Теперь вычислим искомый интеграл I:

Интеграл был найден методом интегрирования по частям.

№ 3.Вычислить криволинейный интеграл:

1) , где L – дуга параболы y²=2x, заключенная между точками (2;2) и (8;4). Найдем дифференциал дуги dl для кривой . Имеем

, .

Следовательно, данный интеграл равен

2) , где L – окружность x²+y²=a·x (a>0).

Введем полярные координаты x=r·cos(φ), y=r·sin(φ). Тогда, так как x²+y²=a·x, уравнение окружности примет вид r²=a·r·cos(φ), т.е. r=a·cos(φ), а дифференциал дуги

При этом φ∈[-^π/₂; ^π/₂]. Следовательно, .

№ 4. Двойной интеграл выражает площадь области G. Вычислить площадь области G, если она ограниченна линиями: y²=2x и y=x.

Имеем . Направление, или порядок интегрирования выберем так, как указано на чертеже:

Сначала определим координаты точки пересечения прямой и параболы:

→ x²=2x → x₁=0, y₁=0 и x₂=2, y₂=2.

Проекция области G на ось Oy есть отрезок [0;2]. Таким образом,

Центр тяжести однородной плоской фигуры

Пусть областью D плоскости xOy является материальная пластинка, масса которой распределяется с поверхностной плотностью p=f(x,y). Тогда масса M этой пластинки вычисляется по формуле

(1)

Координаты точки C(x_c,y_c), являющейся центром тяжести этой пластинки, определяются по формулам

, . (2)

Если поверхностная плотность p постоянна (пластинка однородна), то из формулы (2) следует:

, , (3)

где S – площадь области D.

Пример. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболой y=x²-2x-1 и прямой y=x-1 (рис.).

Решение

Вычислим площадь S данной фигуры с помощью двойного интеграла: .

Парабола и прямая пересекаются в точках A(0,-1) и B(3,2). Область D определяется неравенствами 0≤x≤3, x²-2x-1≤y≤x-1.

Тогда

Вычислим статистические моменты M_x и M_y пластинки относительно осей O_x и O_y:

Следовательно, , и точка

– центр тяжести данной фигуры.

Источник

matematicus.ru

matematicus включает разделы – высшая математика, аналитическая геометрия в пространстве и на плоскости, теория вероятностей, Arduino, Android Studio, Excel, программирование, программы, Windows, ошибки, таблицы, формулы, примеры, физика, химия