Как найти центр тяжести графика

Как найти центр тяжести графика



1.6. Центр тяжести плоской фигуры

Это популярное физическое приложение двойного интеграла.

О центре тяжести плоской фигуры я рассказывал ещё в курсе аналитической геометрии, и сейчас мы на пальцах

повторим, что это такое. Вырежьте из тонкого куска картона произвольную фигуру, какую захотИте. …Есть?  Поднимите указательный

палец строго вверх J. Теперь положите картонку на палец и добейтесь того, чтобы она не сваливалась. Эта точка картонной

фигуры – и есть её центр тяжести.

В студенческой практике для решения, как правило, предлагается простейший случай – плоская ограниченная однородная фигура,

то есть фигура постоянной физической плотности – стеклянная, деревянная, оловянная чугунные игрушки, тяжёлое детство и т.д.

Далее по умолчанию речь пойдёт только о таких фигурах.

Первое правило и простейший пример: если у плоской фигуры есть центр симметрии, то он является

центром тяжести данной фигуры. Например, центр круглой или квадратной однородной пластины. Логично и по-житейски

понятно – масса такой фигуры «справедливо распределена во все стороны» относительно центра.

Однако в суровых реалиях вам вряд ли подкинут такую халяву, и поэтому на помощь придётся привлечь серьёзный математический

аппарат:

Координаты  центра тяжести  плоской однородной ограниченной фигуры  рассчитываются по

следующим формулам:

, их также можно

записать так:

, где  – площадь фигуры (области

).

 И наиболее компактная запись:
, где

Интеграл  будем

условно называть «иксовым» интегралом, а интеграл  – «игрековым» интегралом.

Примечание-справка: для плоской ограниченной неоднородной фигуры, плотность которой задана функцией , формулы более

сложные:
, где  – масса фигуры;
в случае однородной плотности фигуры  эти формулы упрощаются до вышеприведённых формул.

На формулах, собственно, вся новизна и заканчивается, остальное – это ваше умение решать двойные интегралы, кстати, сейчас предоставляется прекрасная возможность

потренироваться и усовершенствовать свою технику. А совершенству, как известно, нет предела: …или есть? 🙂

Пример 29

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение: линии здесь элементарны:  задаёт ось абсцисс, а уравнение  – банальную параболу. Я выполню сразу весь чертёж с

готовой точкой  центра тяжести фигуры:

Правило второе: если у фигуры существует ось симметрии, то центр тяжести данной фигуры

обязательно лежит на этой оси.

В нашем случае фигура симметрична относительно прямой  (проведена пунктиром), то есть фактически мы уже знаем

«иксовую» координату  точки «эм».

Также обратите внимание, что по вертикали центр тяжести смещён ближе к оси абсцисс, поскольку там фигура более массивна.

Полезная рекомендация: ещё до вычислений постарайтесь определить примерное расположение центра тяжести «на глазок»  – это

поможет проверить полученные значения  на предмет явных ошибок.

…Да, возможно, ещё не все до конца поняли, что такое центр тяжести: пожалуйста, поднимите вверх указательный палец и

мысленно поставьте на него заштрихованную «подошву» точкой . Теоретически фигура не должна упасть.

Координаты центра тяжести фигуры найдём по формулам , где .
Порядок обхода области  (фигуры) здесь очевиден:
 

Внимание! Определяемся с наиболее выгодным порядком обхода один раз – и используем его для всех двойных интегралов! А их тут будет три штуки:

1) Сначала вычислим площадь фигуры. Ввиду относительной простоты интеграла решение можно оформить «одной строкой», главное,

не запутаться в вычислениях:

Смотрим на чертёж и прикидываем по клеточкам площадь. Получилось около дела.

2) Иксовая координата  центра тяжести уже найдена «графическим методом», поэтому можно

сослаться на симметрию и перейти к следующему пункту. Но делать так-таки не советую – велика вероятность, что вас заставят

решать по формуле.
В этой связи координату лучше рассчитать формально. Вычислим «иксовый» интеграл:

Таким образом: , что и требовалось получить.
3) Найдём ординату  центра тяжести. Вычислим «игрековый» интеграл, внутри

используем правило умножения

многочленов:

В результате:  , что

очень и очень похоже на правду. На заключительном этапе отмечаем на чертеже точку  и записываем
Ответ:
Заметьте, что по условию не требовалось ничего чертить, но в большинстве задач мы волей-неволей вынуждены изобразить фигуру.

Зато есть безусловный плюс – визуальная и довольно эффективная проверка результата.  

Следующие два примера для самостоятельного решения.

Попроще:

Пример 30

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями

И посложнее:

Пример 31

Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями . Фигуру и её центр тяжести изобразить на чертеже.

И это как раз тот случай, когда вроде бы выполнены предпосылки для перехода к полярной

системе координат, но в результате получаются настолько харкордные интегралы, что уж лучше решать в декартовых

координатах.

Примерные образцы решений в конце книги.

Но, разумеется, есть задачи, где решение в полярных координатах оправдано. Желающие могут в качестве тренировки найти

центр тяжести фигуры из Примера 23, тем более, там уже найдена площадь. Верный ответ . С подробным решением этого, а также более сложных

примеров можно ознакомиться в соответствующей статье

сайта.

Ну а сейчас пришло время немного отдохнуть и повысить ставки:

2. Тройные инетгралы

1.5. Как вычислить двойной интеграл в полярных координатах?

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Источник

Определение координат центра тяжести фигур

Определение координат центра тяжести xC и yC плоских фигур нестандартной формы выполняется при решении задач для последующих расчетов остальных геометрических характеристик, например, таких как радиусы и осевые моменты инерции поперечных сечений.

Рассмотрим способы и пример определения координат положения центра тяжести фигуры нестандартной формы.

Способы определения координат центра тяжести

Способы определения координат центров тяжести твердых объёмных тел и плоских фигур можно получить исходя из полученных ранее общих формул для расчета положения центра тяжести.

Существует 5 способов расчета координат положения центра тяжести:

  1. Аналитический (путем интегрирования).
  2. Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
  3. Экспериментальный. (метод подвешивания тела).
    Этот способ подходит в основном для плоских и линейных тел.
  4. Разбиение. Тело или фигура разбивается на конечное число частей (простых тел или фигур), для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь A известны.

    Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями A1 и A2 (A = A1+ A2).
    Определение координат центра тяжести разбиением

    Рисунок 1.8

    Центры тяжести этих фигур находятся в точках C1(x1, y1) и C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны:
    Формулы для расчета координат центра тяжести

  5. Дополнение (Метод отрицательных площадей или объемов).
    Это частный случай предыдущего способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.

    Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):
    Метод отрицательных площадей или объемов

    Рисунок 1.9

    Тогда координаты центра тяжести фигуры с отверстием можно определить по формулам:
    Формула определения центра тяжести

При решении задач по определению координат центра тяжести плоских фигур и объемных тел применяются последние два способа (разбиение и дополнение).

Пример определения координат центра тяжести сложной фигуры в нашем коротком видео:

Другие видео

Пример определения координат центра тяжести плоской фигуры

Задача
Определить координаты центра тяжести плоской фигуры с круглым отверстием
Сложное сечение
Решение
Разделим заданное сечение на простые фигуры – прямоугольник, круг и прямоугольный треугольник.
Через нижнюю левую точку фигуры проведем координатные оси x и y.
Разбивка сечения
Рассчитаем необходимые для решения задачи площади A и координаты x,y центров тяжести Ci отдельных фигур:

Прямоугольник (фигура 1)
Площадь
A1=400×500=200000 мм2
Положение центра тяжести
x1=200мм
y1=250мм
Центры тяжести частей фигуры
Круг (2) (вычитаемая фигура)
Площадь
A2=π×2002/4=31416 мм2
Центр тяжести
x2=200мм
y2=300мм

Прямоугольный треугольник (3)
Площадь
A3=400*100/2=20000 мм2
Положение центра тяжести треугольника находится на пересечении его медиан (на расстоянии 1/3 высоты от основания или 2/3 высоты от его вершин)
x3=400×2/3=266,7мм
y3=500+100×1/3=533,3мм

Координаты x и y центра тяжести C всей плоской фигуры определим по формулам:
Расчет координат центра тяжести
Ответ: Таким образом, центр тяжести заданной фигуры находится в точке C с координатами xC=207,1мм, yC=271,7мм.
Координаты центра тяжести

Другие примеры решения задач >
Центры тяжести простейших фигур >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Источник

Статические моменты и координаты центра тяжести

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой

а) Пусть материальная точка A массы m отстоит от оси ell на расстоянии d. Статическим моментом этой точки относительно оси ell называют число md. Статическим моментом системы материальных точек A_1,A_2,ldots,A_n, расположенных по одну сторону от оси ell, массы которых равны m_1,m_2,ldots,m_n, а расстояния от оси ell равны d_1,d_2,ldots,d_n называют число

S_{ell}= sumlimits_{k=1}^{n}m_kd_k,.

Если же эти точки расположены по разные стороны от оси, то для точек, находящихся по одну сторону оси, расстояния берутся положительными, а для точек по другую сторону от оси — отрицательными.

Поэтому если точки A_1,A_2,ldots,A_n расположены на координатной плоскости,

A_k=A_k(x_k;y_k), то S_x=sumlimits_{k=1}^{n}m_ky_k,,~~ S_y=sumlimits_{k=1}^{n}m_kx_k,,

где S_x — статический момент относительно оси Ox и S_y — относительно оси Oy.

б) Рассмотрим теперь случай, когда масса равномерно распределена по некоторой кривой Gamma или по некоторой области lambda. Будем считать, что плотность распределения равна единице. Тогда масса дуги численно равна ее длине, а масса области — ее площади.

Начнем со случая кривой линии Gamma, задаваемой уравнением y=f(x),~a leqslant x leqslant b, причем предположим, что функция f(x) непрерывна и неотрицательна.

Как обычно, разобьем отрезок [a;b] на части точками a=x_0<x_1< ldots<x_n=b и обозначим через m_k и M_k наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [x_k;x_{k+1}], Этому разбиению соответствует разбиение дуги Gamma на части gamma_0,ldots, gamma_{n-1} (рис. 60). Из физических соображений ясно, что статический момент S_k части gamma_k относительно оси абсцисс заключен между m_kell_k и M_kell_k, где ell_k—длина этой части, ell_k=ell(gamma_k) (напомним, что мы положили линейную плотность дуги равной единице). Таким образом,

Разбиение отрезка на части точками

m_kcdotell_k leqslant S_k leqslant M_kcdotell_k. Поэтому sumlimits_{k=0}^{n-1} m_kell_k leqslant S_x leqslant sumlimits_{k=0}^{n-1}M_kell_k, то есть

sumlimits_{k=0}^{n-1}m_k intlimits_{x_k}^{x_{k+1}} sqrt{1+(y')^2},dx leqslant S_x leqslant sumlimits_{k=0}^{n-1}M_k intlimits_{x_k}^{x_{k+1}} sqrt{1+(y')^2},dx,.

Так как на отрезке [x_k;x_{k+1}] выполняется неравенство

m_kcdot sqrt{1+(y')^2} leqslant ycdot sqrt{1+(y')^2} leqslant M_kcdot sqrt{1+(y')^2},,

то в тех же границах, что и S_x, заключен интеграл intlimits_{a}^{b} ysqrt{1+(y')^2},dx. Значит,

S_x= intlimits_{a}^{b}ysqrt{1+(y')^2},dx,.

(1)

Этот интеграл обозначают также следующим образом: intlimits_{Gamma}y,dell или intlimits_{0}^{ell}y,dell.

Физики обычно заменяют проведенное рассуждение более коротким. Они берут “бесконечно малый участок дуги” dell. Его статический момент равен y,dell. А статический момент всей дуги равен сумме элементарных статических моментов, т. е. intlimits_{a}^{b} y,dell. Преимуществом этого вывода является его наглядность. Однако в нем не определено, что такое “бесконечно малый участок дуги”, или как еще говорят, “элемент дуги”. При уточнении этого понятия мы вновь приходим к более длинному выводу, изложенному ранее. В дальнейшем для краткости изложения мы будем использовать принятый в физике метод рассуждений. С его помощью сразу выводим, что

S_y=intlimits_{a}^{b}xsqrt{1+(y')^2},dx= intlimits_{0}^{ell}x,dell,.

(2)

Как формула (1), так и формула (2) верны и в случае, когда кривая Gamma пересекает оси координат.

в) Введем понятие центра тяжести.

Определение. Центром тяжести тела называется такая точка C, что если в ней сосредоточить всю его массу, то статический момент этой точки относительно любой оси будет равен статическому моменту всего тела относительно той же оси.

Обозначим через xi и eta расстояния центра тяжести кривой от осей ординат и абсцисс.

Тогда, пользуясь определением центра тяжести кривой, получим:

S_x= ellcdoteta= intlimits_{0}^{ell}y,dell,;qquad S_y=ellcdotxi= intlimits_{0}^{ell}x,dell,.

Разрешая полученные равенства относительно xi и eta, найдем координаты центра тяжести плоской кривой Gamma:

xi=frac{1}{ell} intlimits_{0}^{ell} x,dell,;qquad eta=frac{1}{ell} intlimits_{0}^{ell}y,dell,.

Замечание. Если кривая расположена симметрично относительно некоторой прямой, то центр тяжести такой кривой находится на этой прямой.

Это замечание позволяет в некоторых случаях упростить нахождение координат центра тяжести плоской кривой.

Пример 1. Найти статический момент полуокружности относительно диаметра.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а диаметр, относительно которого мы ищем статический момент, совпал с осью Ox. Тогда статический момент полуокружности относительно диаметра выразится формулой

S_x=intlimits_{0}^{ell} y,dell, где dell=sqrt{1+(y')^2},dx — дифференциал дуги кривой y=f(x).

В выбранной системе координат уравнение полуокружности запишется так: y=sqrt{R^2-x^2}. Тогда

y'=-frac{x}{sqrt{R^2-x^2}},~~1+(y')^2= frac{R^2}{R^2-x^2} и потому dell=frac{R,dx}{sqrt{R^2-x^2}}.

Следовательно,

S_x=intlimits_{-R}^{R}! sqrt{R^2-x^2}cdot frac{R,dx}{sqrt{R^2-x^2}}= 2R intlimits_{0}^{R}dx= 2R^2.

Пример 2. Найдем центр тяжести четверти окружности x^2+y^2=4, расположенной в первом квадранте.

Решение. Данная кривая расположена симметрично относительна биссектрисы первого координатного угла, следовательно, центр тяжести этой кривой лежит на биссектрисе, а потому xi=eta. Достаточно найти только xi=frac{1}{ell} intlimits_{0}^{ell} x,dell.

Вычисление проще провести, перейдя к параметрическим уравнениям окружности. Так как ее радиус равен двум, то для четверти окружности имеем:

begin{cases}x=2cos{t},,\ y=2sin{t},,end{cases} 0 leqslant t leqslant frac{pi}{2},.

Отсюда находим, что x'_t=-2sin{t},~ y'_t=2cos{t} и

dell= sqrt{(x'_t)^2+(y'_t)^2},dt= sqrt{4sin^2t+4cos^2t},dt= 2,dt,.

Поскольку длина ell четверти данной окружности равна frac{1}{4}cdot 2picdot2=pi, то

xi=frac{1}{pi} intlimits_{0}^{2pi} 2cos{t}cdot2,dt= left.{frac{4}{pi} sin{t}}right|_{0}^{pi/2}= frac{4}{pi},.

Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур

Найдем статический момент прямоугольника со сторонами k и ell относительно стороны k. Разобьем этот прямоугольник на элементарные прямоугольники, имеющие стороны k и dy (рис. 61). Масса элементарного прямоугольника равна его площади k,dy (напомним, что по предположению плотность распределения массы равна единице). Поэтому элементарный статический момент равен ky,dy, а статический момент всего прямоугольника равен

Разбиение прямоугольника на элементарные прямоугольники

intlimits_{0}^{ell} ky,dy= left.{frac{k}{2},y^2}right|_{0}^{ell}= frac{kell^2}{2},.

(1)

Теперь уже легко найти статический момент криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), где f(x) — непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [a;b], снизу осью абсцисс, а с боков прямыми x=a,~ x=b.

Разобьем криволинейную трапецию на элементарные прямоугольники, основание каждого из которых равно dx и высота y. Статический момент такого прямоугольника относительно оси абсцисс по формуле (1) равен frac{y^2}{2},dx, а потому статический момент всей криволинейной трапеции равен frac{1}{2}intlimits_{a}^{b} y^2,dx. В случае, когда не выполняется предположение о неотрицательности функции y=f(x), эту формулу надо заменить такой:

S_x=frac{1}{2} intlimits_{a}^{b} y|y|,dx

(части фигуры, расположенные ниже оси абсцисс, дают отрицательный вклад в S_x).

Поскольку по предположению плотность равна единице, то масса криволинейной трапеции равна ее площади, т. е. интегралу intlimits_{a}^{b} |y|,dx, а потому ордината центра тяжести этой трапеции выражается формулой

eta=frac{intlimits_{a}^{b} y|y|,dx}{2 intlimits_{a}^{b} |y|,dx},.

Нетрудно найти и статический момент криволинейной трапеции относительно оси ординат. Для этого достаточно заметить, что расстояние элементарного прямоугольника от этой оси равно x. Поэтому его статический момент равен x|y|,dx, а статический момент всей трапеции выражается формулой

S_y=intlimits_{a}^{b} x|y|,dx. Следовательно, абсцисса центра тяжести выражается так: xi=frac{intlimits_{a}^{b} x|y|,dx}{intlimits_{a}^{b} |y|,dx}.

Пример 3. Найти статический момент (относительно оси Ox) фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды:

begin{cases}x=a(t-sin{t}),\ y=a(1-cos{t}),end{cases} 0leqslant tleqslant2pi,.

Решение. Так как параметр t одной арки циклоиды изменяется от 0 до 2pi, то

begin{aligned}S_x&= frac{1}{2} intlimits_{0}^{2pi} a^2(1-cos{t})^2a(1-cos{t}),dt= frac{a^3}{2} intlimits_{0}^{2pi} (1-cos{t})^3,dt=\ &= left.{frac{a^3}{2}! left[t-3sin{t}+ frac{3}{2}! left(t+frac{1}{2} sin2tright)- left(sin{t}-frac{1}{3} sin^3tright)right] }right|_{0}^{2pi}=\ & =frac{a^3}{2}! left(2pi+frac{3}{2}cdot 2piright) = frac{5}{2},pi a^3.end{aligned}

Пример 4. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной осью Ox и одной полуволной синусоиды y=sin{x}.

Решение. Так как фигура под полуволной синусоиды расположена симметрично относительно прямой x=frac{pi}{2}, то центр тяжести лежит на этой прямой и, следовательно, xi=frac{pi}{2}. Ордината eta центра тяжести находится по формуле eta=frac{1}{2S} intlimits_{0}^{pi} y^2,dx.

Так как S=intlimits_{0}^{pi} sin{x},dx= Bigl.{-cos{x}}Bigr|_{0}^{pi}=2, то eta=frac{1}{4} intlimits_{0}^{pi}sin^2x,dx = frac{pi}{8}.

Итак, центр тяжести данной фигуры находится в точке left(frac{pi}{2}; frac{pi}{8}right).

Пример 5. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды begin{cases}x=a(t-sin{t}),\ y=a(1-cos{t}).end{cases}.

Решение. Данная фигура расположена симметрично относительно прямой x=pi a, следовательно, центр тяжести ее находится на этой прямой, и потому xi=pi a. Найдем eta по формуле eta=frac{1}{2S} intlimits_{a}^{b} y^2,dx.

Площадь S данной фигуры была вычислена раньше, она равна 3pi a^2. Следовательно,

eta=frac{1}{6pi a^2} intlimits_{0}^{2pi} a^3(1-cos{t})^3,dt= frac{5}{6},a,.

Центр тяжести данной фигуры находится в точке left(pi a; frac{5}{6},aright).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник
Автор статьи

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Задача 1

Найти координаты центра тяжести (КЦТ) материальной плоской фигуры в виде криволинейной трапеции (КрТ), образованной кривой $y=frac{150}{12cdot x+3} $ между точками с абсциссами $x=1$ и $x=6$. Поверхностную плотность фигуры считать величиной постоянной. Выполнить графические построения.

График данной криволинейной трапеции:

Координаты центра тяжести

КЦТ материальной плоской фигуры в виде КрТ, образованной кривой $y=yleft(xright)$ на промежутке $left[a,; bright]$, вычисляют по формулам $x_{C} =frac{int limits _{a}^{b}xcdot yleft(xright)cdot dx }{int limits _{a}^{b}yleft(xright)cdot dx } $ и $y_{C} =frac{frac{1}{2} cdot int limits _{a}^{b}y^{2} left(xright)cdot dx }{int limits _{a}^{b}yleft(xright)cdot dx } $.

Продолжение задачи 1

Находим интеграл $I_{1} =int limits _{a}^{b}yleft(xright)cdot dx $:

[I_{1} =int limits _{1}^{6}frac{150}{12cdot x+3} cdot dx =frac{150}{12} cdot left[ln left|12cdot x+3right|right]_{1}^{6} =]

[=frac{150}{12} cdot left(ln left|12cdot 6+3right|-ln left|12cdot 1+3right|right)=]

[=12,5cdot left(ln 75-ln 15right)=12,5cdot ln frac{75}{15} =12,5cdot ln 5approx 12,5cdot 1,609approx 20,11; ]

Находим интеграл $I_{2} =frac{1}{2} cdot int limits _{a}^{b}y^{2} left(xright)cdot dx $:

[I_{2} =frac{1}{2} cdot int limits _{1}^{6}frac{150^{2} }{left(12cdot x+3right)^{2} } cdot dx =frac{150^{2} }{2} cdot int limits _{1}^{6}left(12cdot x+3right)^{-2} cdot dx =]

[=frac{150^{2} }{2cdot 12} cdot left[frac{left(12cdot x+3right)^{-2+1} }{-2+1} right]_{1}^{6} =-frac{150^{2} }{24} cdot left[frac{1}{12cdot x+3} right]_{1}^{6} =]

[=-frac{150^{2} }{24} cdot left(frac{1}{12cdot 6+3} -frac{1}{12cdot 1+3} right)=-frac{150^{2} }{24} cdot left(frac{1}{75} -frac{1}{15} right)=]

[=-frac{150^{2} }{24} cdot frac{1-5}{75} =frac{150^{2} }{24} cdot frac{4}{75} =frac{150^{2} }{6cdot 75} =50.]

Находим интеграл $I_{3} =int limits _{a}^{b}xcdot yleft(xright)cdot dx $:

[I_{3} =int limits _{1}^{6}xcdot frac{150}{12cdot x+3} cdot dx =int limits _{1}^{6}frac{150cdot x}{12cdot x+3} cdot dx =]

[=int limits _{1}^{6}frac{12cdot 150cdot x}{12cdot left(12cdot x+3right)} cdot dx =int limits _{1}^{6}frac{12cdot 150cdot x+150cdot 3-150cdot 3}{12cdot left(12cdot x+3right)} cdot dx =]

[=int limits _{1}^{6}frac{150cdot left(12cdot x+3right)-150cdot 3}{12cdot left(12cdot x+3right)} cdot dx =int limits _{1}^{6}frac{150cdot left(12cdot x+3right)}{12cdot left(12cdot x+3right)} cdot dx -]

[-int limits _{1}^{6}frac{150cdot 3}{12cdot left(12cdot x+3right)} cdot dx =frac{150}{12} cdot int limits _{1}^{6}dx -frac{3}{12} cdot int limits _{1}^{6}frac{150}{12cdot x+3} cdot dx =]

[=frac{150}{12} cdot left[xright]_{1}^{6} -frac{3}{12} cdot I_{1} approx 12,5cdot left(6-1right)-frac{3}{12} cdot 20,11approx 62,5-5,03approx 57,47.]

Вычисляем КЦТ:

[x_{C} =frac{int limits _{a}^{b}xcdot yleft(xright)cdot dx }{int limits _{a}^{b}yleft(xright)cdot dx } =frac{I_{3} }{I_{1} } approx frac{57,47}{20,11} approx 2,86;]

[y_{C} =frac{frac{1}{2} cdot int limits _{a}^{b}y^{2} left(xright)cdot dx }{int limits _{a}^{b}yleft(xright)cdot dx } =frac{I_{2} }{I_{1} } approx frac{50}{20,11} approx 2,49.]

Центр тяжести отмечен на рисунке красной точкой.

Логотип iqutor

Сделаем домашку
с вашим ребенком за 380 ₽

Уделите время себе, а мы сделаем всю домашку с вашим ребенком в режиме online

Бесплатное пробное занятие

*количество мест ограничено

Задача 2

Найти КЦТ материальной кривой в виде ломаной линии, проходящей последовательно через заданные точки $Mleft(1,; 4right)$,~$Nleft(3,; 2right)$ и $Kleft(8,; 3right)$. Линейную плотность ломаной считать величиной постоянной. Выполнить графические построения.

График данной ломаной:

Координаты центра тяжести

Формулы для вычисления КЦТ плоской кривой имеют вид $x_{C} =frac{int limits _{a}^{b}xcdot sqrt{1+y’^{2} left(xright)} cdot dx }{int limits _{a}^{b}sqrt{1+y’^{2} left(xright)} cdot dx } $ и $y_{C} =frac{int limits _{a}^{b}yleft(xright)cdot sqrt{1+y’^{2} left(xright)} cdot dx }{int limits _{a}^{b}sqrt{1+y’^{2} left(xright)} cdot dx } $.

Продолжение задачи 2

Находим уравнения прямых, учитывая, что общее уравнение прямой имеет следующий вид:

$Acdot x+Bcdot y+C=0$, где $A=y_{2} -y_{1} $, $B=x_{1} -x_{2} $, $C=-Acdot x_{1} -Bcdot y_{1} $.

  1. Для прямой $MN$ имеем такие значения коэффициентов:

    2. [A=y_{2} -y_{1} =2-4=-2; B=x_{1} -x_{2} =1-3=-2;]

    [C=-Acdot x_{1} -Bcdot y_{1} =2cdot 1+2cdot 4=10.]

    Уравнение прямой $MN$: $-2cdot x-2cdot y+10=0$ или $-x-y+5=0$.

  2. Для прямой $NK$ имеем такие значения коэффициентов:

    3. [A=y_{2} -y_{1} =3-2=1; B=x_{1} -x_{2} =3-8=-5; ]

    [C=-Acdot x_{1} -Bcdot y_{1} =-1cdot 3+5cdot 2=7.]

Уравнение прямой $NK$: $x-5cdot y+7=0$.

Находим выражение $sqrt{1+y’^{2} } $ для данных прямых:

  1. для прямой $MN$ $y=-x+5$, $y’=-1$, $sqrt{1+y’^{2} } =sqrt{2} approx 1,41$.
  2. для прямой $NK$ $y=frac{1}{5} cdot x+frac{7}{5} $, $y’=frac{1}{5} $, $sqrt{1+y’^{2} } =frac{sqrt{26} }{5} approx 1,02$.

Находим интеграл $I_{1} =int limits _{a}^{b}xcdot sqrt{1+y’^{2} } cdot dx $ вдоль всей ломаной:

[I_{1} =1,41cdot int limits _{1}^{3}xcdot dx +1,02cdot int limits _{3}^{8}xcdot dx =1,41cdot left[frac{x^{2} }{2} right]_{1}^{3} +1,02cdot left[frac{x^{2} }{2} right]_{3}^{8} =]

[=frac{1,41}{2} cdot left(3^{2} -1^{2} right)+frac{1,02}{2} cdot left(8^{2} -3^{2} right)=frac{1,41}{2} cdot 8+frac{1,02}{2} cdot 55approx 33,69.]

Находим интеграл $I_{2} =int limits _{a}^{b}ycdot sqrt{1+y’^{2} } cdot dx $ вдоль всей ломаной:

[I_{2} =1,41cdot int limits _{1}^{3}left(-x+5right)cdot dx +1,02cdot int limits _{3}^{8}left(frac{1}{5} cdot x+frac{7}{5} right)cdot dx =]

[=1,41cdot left[-frac{x^{2} }{2} +5cdot xright]_{1}^{3} +1,02cdot left[frac{1}{5} cdot frac{x^{2} }{2} +frac{7}{5} cdot xright]_{3}^{8} =1,41cdot 6+1,02cdot frac{125}{10} approx 21,21.]

Находим интеграл $I_{3} =int limits _{a}^{b}sqrt{1+y’^{2} } cdot dx $ вдоль всей ломаной:

[I_{3} =1,41cdot int limits _{1}^{3}dx +1,02cdot int limits _{3}^{8}dx =1,41cdot 2+1,02cdot 5approx 7,92.]

Находим КЦТ ломаной линии:

[x_{C} =frac{int limits _{a}^{b}xcdot sqrt{1+y’^{2} left(xright)} cdot dx }{int limits _{a}^{b}sqrt{1+y’^{2} left(xright)} cdot dx } =frac{I_{1} }{I_{3} } approx frac{33,69}{7,92} approx 4,25; ]

[y_{C} =frac{int limits _{a}^{b}yleft(xright)cdot sqrt{1+y’^{2} left(xright)} cdot dx }{int limits _{a}^{b}sqrt{1+y’^{2} left(xright)} cdot dx } =frac{I_{2} }{I_{3} } approx frac{21,21}{7,92} approx 2,68.]

Центр тяжести отмечен на рисунке красной точкой.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Содержание:

  1. Центр масс
  2. Центр параллельных сил
  3. Центр тяжести
  4. Центры тяжести некоторых плоских однородных фигур
  5. Центр тяжести дуги окружности
  6. Центр тяжести кругового сектора
  7. Центр тяжести кругового сегмента
  8. Центр тяжести треугольника
  9. Центр тяжести трапеции
  10. Примеры решения задач на тему: Центр масс
  11. Способы определения координат центра тяжести тела
  12. Метод симметрии
  13. Метод разбиения
  14. Метод дополнения
  15. Экспериментальные способы
  16. Центры тяжести некоторых однородных тел
  17. Центр тяжести дуги окружности
  18. Центр тяжести треугольника
  19. Центр тяжести сектора

Центр масс – это геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы в теле, а перемещение характеризует движение тела или механической системы как целого.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Центр масс

Центр масс – это некоторое положение, определяемое относительно объекта или системы объектов и это среднее положение всех частей системы, взвешенное в соответствии с их массами.

Центр параллельных сил

Если на тело действует система параллельных сил Центр масс, Центр масс,…, Центр масс, то точка Центр масс, через которую проходит равнодействующая Центр масс этой системы сил, называется центром параллельных сил (рис.9.1).

Центр масс

Координаты центра параллельных сил определяются по зависимостям:

Центр масс

Центр масс

где Центр масс – координаты точек приложения сил Центр масс.

Центр параллельных сил имеет ту особенность, что через него обязательно будет проходить линия действия равнодействующей при вращении линий действия всех сил системы вокруг точек их приложения на один и тот же угол в одну и ту же сторону. Модули сил при вращении не должны меняться.

Центр тяжести

Если твердое тело находится возле поверхности Земли, то на каждую материальную часть этого тела действует сила тяжести­ Центр масс, которая направлена к центру Земли. Поскольку размеры тела небольшие по сравнению с размерами Земли, то образованную систему сил можно рассматривать как параллельную. Равнодействующая этой параллельной системе сил Центр масс, которая равна их сумме, называется тяжестью тела, а центр этой системы – точка Центр масс называется центром тяжести тела (рис.9.2).

Координаты центра тяжести твердого тела можно определить как координаты центра параллельных сил:

Центр масс

Центр масс

где Центр масс – сила тяжести элементарной частицы тела;

Центр масс – тяжесть тела;

Центр масс – координаты центра тяжести;

Центр масс – координаты элементарной частицы тела.

Если тело однородное, то есть удельный вес не меняется по объему Центр масс, то:

Центр масс

где Центр масс – объем тела;

Центр масс – объем элементарной частицы.

Тогда формулы для определения координат центра тяжести твердого тела приобретут вид:

Центр масс

Положение центра тяжести однородного тела зависит только от формы объема, что занимает тело, и называется центром тяжести этого объема.

Если однородное тело имеет форму тонкой пластины, то его можно рассматривать как материальную плоскую фигуру. В этом случае положение центра тяжести плоской фигуры определяется двумя координатами Центр масс и Центр масс и зависит от формы площади фигуры:

Центр масс

где Центр масс – площадь элементарной части плоской фигуры;

Центр масс – площадь плоской фигуры.

Центр тяжести однородной пластины называется центром тяжести плоской фигуры.

Если выбранный элементарный объем Центр масс (площадь элементарной площадки в плоском случае) направить к нулю, то формулы для вычисления координат центра тяжести приобретут интегральный вид:

а) для однородного твердого тела:

Центр масс

где Центр масс – объем тела, интегрирование выполняется по всему объему тела;

б) для однородной поверхности:

Центр масс

где Центр масс – площадь поверхности, интегрирование выполняется по всей поверхности тела;

в) для однородной плоской фигуры, лежащей в плоскости xy:

Центр масс

г) для однородной линии:

Центр масс

где Центр масс – длина линии, интегрирование выполняется по всей длине линии.

Центры тяжести некоторых плоских однородных фигур

Для упрощения определения центра тяжести используются следующие вспомогательные правилами:

1. Если тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести лежит на этой плоскости.
2. Если тело симметрично относительно оси, то центр тяжести лежит на этой оси.
3. Если тело симметрично относительно точки, то центр тяжести лежит в центре симметрии.
4. Если тело состоит из нескольких частей, центры тяжести которых можно определить, то центр тяжести такого тела находят как центр тяжести нескольких материальных точек, а именно тех, в которых расположены весы каждой отдельной части тела.

Центр тяжести дуги окружности

Центр тяжести дуги окружности Центр масс (рис.9.3) лежит на ее оси симметрии и на расстоянии Центр масс от центра окружности:

Центр масс

где Центр масс – радиус окружности;

Центр масс – половина центрального угла, опирающегося на дугу Центр масс.

Центр масс

Центр тяжести кругового сектора

Центр тяжести кругового сектора лежит на оси симметрии и имеет координаты:

Центр масс

где Центр масс – радиус окружности;

Центр масс – половина центрального угла сектора.

Центр масс

Центр тяжести кругового сегмента

Центр тяжести кругового сегмента лежит на оси симметрии сегмента и имеет координаты:

Центр масс

где Центр масс – радиус окружности;

Центр масс – половина центрального угла сегмента.

Центр масс

Центр тяжести треугольника

Центр тяжести треугольника (рис. 9.6) лежит в точке пересечения его медиан – на расстоянии 1/3 каждой медианы от соответствующего основания треугольника.

Центр масс

Центр тяжести трапеции

Центр тяжести трапеции (рис.9.7) с основаниями Центр масс и Центр масс и высотой Центр масс лежит на прямой Центр масс, которая соединяет середины основ.

Центр масс

Расстояния Центр масс и Центр масс центра тяжести Центр масс площади трапеции от ее основ определяются по формулам:

Центр масс

Наиболее распространенный способ определения положения центра тяжести однородного тела сложной формы заключается в том, что его разбивают на такие части, положение центров тяжести которых известно, или может быть легко определено.

Например, однородную плоскую фигуру (рис.9.8) разбивают на три части 1,2 и 3, положения центров тяжести которых, Центр масс можно определить.

Центр масс

Координаты центра тяжести фигуры Центр масс определяются по формулам:

Центр масс

где Центр масс – координаты центра тяжести Центр масс первой части плоской фигуры;

Центр масс – площадь первой части и т.п.

Этим способом удобно пользоваться и при определении положения центра тяжести плоской фигуры, из которой вырезана некоторая часть (рис.9.9).

Центр масс

В этом случае площадь плоской фигуры можно записать в виде разницы площадей сплошной фигуры 1 (площадь положительная) и вырезанной части 2 (площадь отрицательная), то есть Центр масс .

Координаты центра тяжести фигуры равны:

Центр масс

где Центр масс – координаты центра тяжести сплошной фигуры 1, площадь которой равна Центр масс;

Центр масс – координаты центра тяжести вырезанной части 2, площадь которой равна – Центр масс.

Первый из этих методов имеет название “метод разбиения”, второй – “метод дополнения”, или “метод отрицательных масс”. В общем случае формулы для определения центра тяжести плоской фигуры имеют вид:

Центр масс

где Центр масс – площадь всей фигуры.

Примеры решения задач на тему: Центр масс

Задача № 1

Найти центр тяжести двутаврового профиля, размеры которого в сантиметрах указаны на рис.9.10.

Решение. Поскольку форма сечения имеет ось симметрии, ось Центр масс направим вдоль оси симметрии, а ось Центр масс перпендикулярно ей.

В силу симметричности профиля относительно оси Центр масс центр тяжести будет лежать на этой оси, то есть Центр масс

Линиями Центр масс и Центр масс поделим профиль на три прямоугольника 1, 2 и 3.

Запишем уравнение для определения абсциссы центра тяжести площади:

Центр масс

где Центр масс – абсциссы центров тяжести прямоугольников 1, 2, 3;

Центр масс – площади этих прямоугольников.

Центр масс

Поскольку центры тяжести прямоугольников Центр масс и Центр масс лежат на пересечении их диагоналей, то (рис.9.10):

Центр масс

Площади этих прямоугольников соответственно равны:

Центр масс

Тогда: 

Центр масс

Таким образом, центр тяжести фигуры лежит в точке Центр масс с координатами: Центр масс

Ответ: Центр масс

Задача № 2

Найти координаты центра тяжести поперечного пересечения разностороннего угольника (рис.9.11), полки которого имеют ширину Центр масс и толщину Центр масс

Центр масс

Решение. Разделим пересечение линией Центр масс на два прямоугольника Центр масс и Центр масс, центры тяжести которых лежат на пересечении соответствующих диагоналей.

Запишем формулы для координат Центр масс и Центр масс центра тяжести пересечения:

Центр масс

где Центр масс и Центр масс – координаты центров тяжести прямоугольников 1 и 2;

Центр масс, Центр масс – площади прямоугольников 1 и 2.

С рис.9.11 видим, что

Центр масс

Тогда: 

Центр масс

Ответ: Центр масс

Задача № 3

Определить положение центра тяжести плоской фигуры (рис.9.12), ограниченной полуокружностью Центр масс радиуса Центр масс и двумя прямыми равной длины Центр масс и Центр масс, причем Центр масс

Центр масс

Решение. Данная площадь имеет ось симметрии, вдоль которой направим ось Центр масс. Поскольку центр тяжести площади Центр масс лежит на оси симметрии, то Центр масс

Разделим площадь Центр масс линией Центр масс на две части: полуокружность Центр масс и равнобедренный треугольник Центр масс.

Абсцисса центра тяжести площади Центр масс будет равняться:

Центр масс

где Центр масс – координата центра тяжести половины круга Центр масс;

Центр масс – координата центра тяжести треугольника Центр масс;

Центр масс, Центр масс – площади половины круга и треугольника.

Для определения Центр масс воспользуемся приведенными в разделе 9.3.2 координатами центра тяжести кругового сектора

Центр масс

В случае половины круга Центр масс

Центр масс

Площадь половины круга равна:

Центр масс

Центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан (раздел 9.3.4). Поскольку треугольник Центр масс равнобедрен, то линия Центр масс будет его медианой и расстояние Центр масс будет равняться третьей части от Центр масс:

Центр масс

Площадь треугольника Центр масс равна:

Центр масс

Подставив найденные значения Центр масс, Центр масс, Центр масс и Центр масс в уравнение для Центр масс, получим:

Центр масс

Ответ: Центр масс

Задача № 4

Найти координаты центра тяжести квадратной пластины с вырезом в виде сегмента радиуса Центр масс (рис.9.13), если

Центр масс

Центр масс

Решение. Осью симметрии рассматриваемой фигуры будет диагональ Центр масс прямоугольника Центр масс

Поэтому направим ось Центр масс вдоль этой линии, а ось Центр масс – перпендикулярно (рис.9.13).

Центр тяжести пластины будет лежать на оси Центр масс, то есть Центр масс

Площадь фигуры Центр масс можно представить как разницу площадей квадрата Центр масс (положительная площадь) и сектора Центр масс (отрицательная площадь).

Абсцисса центра тяжести фигуры будет равняться:

Центр масс

где Центр масс – абсцисса центра тяжести квадрата Центр масс;

Центр масс – абсцисса центра тяжести сектора Центр масс;

Центр масс и Центр масс – площади квадрата и сектора.

Для квадрата Центр масс получим:

Центр масс

Как следует из рис. 9.13, Центр масс равняется

Центр масс

где Центр масс – расстояние от точки Центр масс к центру тяжести кругового сектора Центр масс.

Для кругового сектора (раздел 9.3.2) получим:

Центр масс

Поскольку Центр масс и Центр масс, то 

Центр масс

Таким образом, абсцисса Центр масс равняется:

Центр масс

Площадь кругового сектора Центр масс:

Центр масс

Подставив значение Центр масс, Центр масс, Центр масс и Центр масс в формулу для Центр масс, получим:

Центр масс

Ответ:  Центр масс

Задача № 5

Найти координаты центра тяжести площади, ограниченной (рис.9.14) правой веткой параболы Центр масс, осью Центр масс и прямой Центр масс

Центр масс

Решение. На расстоянии Центр масс от оси Центр масс выделяем элементарную площадку Центр масс шириной Центр масс (заштрихованная область).

Площадь выделенной элементарной площадки будет равняться:

Центр масс

Площадь фигуры, что ограничена заданными линиями:

Центр масс

Поскольку точка Центр масс представляет собой пересечение параболы Центр масс и прямой Центр масс, то Центр масс

Отсюда: 

Центр масс

Тогда:

Центр масс

Абсцисса центра тяжести

Центр масс

Для определения координаты Центр масс выделим элементарную площадку Центр масс шириной Центр масс на расстоянии Центр масс от оси Центр масс.

Площадь выделенной площадки:

Центр масс

Ордината центра тяжести:

Центр масс

Тогда: 

Центр масс

Ответ: Центр масс

Способы определения координат центра тяжести тела

Существует несколько способов определения координат центра тяжести тел. среди них различают: метод симметрии, метод разбиения и дополнения, экспериментальные способы.

Рассмотрим последовательно эти способы.

Метод симметрии

Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.

Таким образом, центр тяжести однородных симметричных тел, таких как кольца,
прямоугольные пластины, прямоугольные параллелепипеды, шары и другие тела, которые
имеют центр симметрии, расположенный в геометрических центрах (центры симметрии) этих тел.

Метод разбиения

Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести нетрудно определяется, то координаты центра тяжести всего тела можно определить непосредственно по формулам выше. Причем количество слагаемых в числителе каждого из указанных выражений будет равно количеству частей, на которое разбивается тело.

Приведем пример определения центра тяжести тела методом разбиения его на отдельные тела, центры тяжести которых известны.

Пример:

Определить координаты центра тяжести однородной пластины. Размеры в
мм заданные на рис. 1.64

Центр масс

Решение.

Выберем оси координат x и y. Разбиваем пластину на отдельные прямоугольные части. Для каждого прямоугольника проводим диагонали, точки пересечения которых c1, c2 и c3 соответствуют центрам веса каждого прямоугольника. В принятой системе координат нетрудно получить значение координат этих точек. А именно: c1 (–1,1), c2 (1,5), c3 (5,9). Площади каждого тела соответственно равны: I — s1 = 4 см2; II — s2 = 20 см2; III — s3 = 12 см2. Площадь всей пластины равна: S = s1 + s2 + s3 = 36 см2.

Для определения координат центра тяжести заданной пластины используем выражение выше. Подставив значения всех известных величин в уравнения, получим

Центр масс

По вычисленным значениям координат центра тяжести пластины можно обозначить точку C на рисунке. Как видим, центр тяжести (геометрическая точка) пластины расположен за ее пределами.

Метод дополнения

Способ, о котором говорится далее, является некоторым случаем способа разбиения. Он может применяться к телам, которые имеют вырезы, полости, причем без учета выреза, или вырезанной части тела положение центра тяжести тела известно. Рассмотрим пример применения такого метода.

Пример. Определить положение центра тяжести круглой пластины радиусом R, имеет круговое отверстие радиуса r (рис. 1.65). Расстояние C1C2 = a.

Центр масс

Решение.

Как видно из рисунка, центр тяжести пластины находится на оси симметрии пластины x, то есть на прямой, проходящей через точки C1 и C2. Таким образом, для определения положения центра тяжести этой пластины необходимо вычислить только одну координату xC, поскольку вторая координата yC равна нулю. Покажем оси координат x, y. Примем, что пластина состоит из двух тел — с полного круга (без учета выреза) и тела,
образовано вырезом. В принятой системе координаты x для указанных тел будут равны: x1 = 0; x2 = C1C2 = a. Площади тел равны: Центр массОбщая площадь всего тела будет равна физической разницы между площадями первого и второго тел, а именно
Центр масс Для определения неизвестной координаты центра тяжести
заданной пластины используем первое уравнение выражения.

Подставив значения всех известных величин в это уравнение, получим

Центр масс

Таким образом, значение координаты xC отрицательное, а потому, поскольку вторая координата 0 yC = 0, то центр тяжести пластины C размещен на оси x слева от точки C1.

Экспериментальные способы

Эти способы нашли широкое применение при отыскании положения центра тяжести тел сложных форм и конфигураций, для которых другие способы почти непригодны вследствие громоздкости и сложности. К таким телам, в первую очередь, следует отнести комбайны, тракторы, сложные сельскохозяйственные машины и орудия. При применении экспериментальных способов отыскания положения
центра тяжести наиболее широко используют метод подвешивания и метод взвешивания тел.

При применении метода подвешивания тело на тросе подвешивают за различные его точки. Направление троса, будет давать каждый раз направление силы веса тела. Тогда точка пересечения этих направлений и дает положение центра тяжести тела.

Использование второго метода — взвешивание требует измерения веса всего тела, а также отдельных его частей. Рассмотрим пример применения этого метода.

Пример.

Определим продольную координату центра тяжести трактора, у которого продольная база составляет l (рис. 1.66).

Центр масс

Решение.

Сначала поставим на платформу весов задние колеса трактора, как это показано на рисунке. Итак, определяем силу давления задних колес на платформу, или реакцию Центр масс. Аналогично определяем вес переднего моста, или реакцию Центр масс. Вполне понятно, что сумма этих реакций равна общему весу трактора, а именно:

Q = RA + RB.

Теперь составим алгебраическую сумму моментов всех сил относительно точки A. Она равна

Центр масс

Откуда определяем продольную координату центра тяжести:

xC = Центр масс.

Для определения поперечной координаты центра тяжести трактора необходимо знать реакции левых колес (переднего и заднего) и правых, а также поперечную базу трактора. Дальше аналогичным выражением определяется эти координаты центра тяжести.

Центры тяжести некоторых однородных тел

Определим далее координаты центров тяжести некоторых простых однородных тел.

Центр тяжести дуги окружности

Рассмотрим дугу AB окружности радиусом R, в которой центральный угол OAB равен 2α (радиан) (рис. 1.67). Покажем оси координат x, y начало которых разместим в точке O. Вследствие того, что дуга имеет ось симметрии Ox, то центр ее тяжести будет расположен именно на этой оси (yC = 0). Остается только вычислить координату xC.

Центр масс

Используем для вычисления этой координаты первое уравнение выражения, а именно

Центр масс

Определим составляющие, которые необходимо подставить в это уравнение. Для этого выделим на дуге AB элемент M M1 длиной dl, равной:

dl = R · dφ.

Если φ — угол, определяющий положение элемента M M1 на дуге AB, то координата x элемента M M1 будет равна:

x = Rcosφ.

Общая длина дуги AB равна:

L = 2α · R.

Подставим эти значения в первое уравнение выражения. При этом считается, что интеграл в числителе данного выражения должен быть определенным по всей длине дуги. Будем иметь:

Центр масс

Центр масс

Таким образом, координата xC будет равняться

xC = Центр масс.

Центр тяжести треугольника

Есть произвольный треугольник, вершины которого в принятой системе координат Oxy соответствуют точкам с координатами A1 (x1, y1), A2 (x2, y2), A3 (x3, y3) (рис. 1.68). Если провести прямые, которые будут параллельны основе A1A3 и провести их достаточное количество, то вся площадь треугольника будет состоять из полос бесконечно малой ширины, центры тяжести которых будут размещены посередине каждой полосы, а потому и центр тяжести треугольника будет расположенный на его медиане. А если провести линии, параллельные другой стороне треугольника, то и в этом случае центр тяжести будет размещен на соответствующей медиане. Таким образом, совершенно очевидно, что центр тяжести треугольника C будет расположен в точке пересечения его медиан.

Определим координаты этой точки. По курсу аналитической геометрии известно, что точка пересечения медиан треугольника в принятой системе координат определяется такими зависимостями

Центр масс

где x1, x2, …, y3  — координаты вершин треугольника.

Полезно также знать, что

Центр масс

Центр масс

Центр тяжести сектора

Рассмотрим круговой сектор OAB радиуса R, центральный угол которого равен 2α (радиан) (рис. 1.69). Центр тяжести сектора, вполне очевидно, лежит на оси его симметрии, то есть на биссектрисе угла AOB. Эту биссектрису примем за ось x и найдем на этой оси положение центра C. Разобьем площадь сектора на бесконечно большое число элементарных секторов с центральными углами ∆φ.

Будем рассматривать каждый сектор как треугольник с основанием R · ∆φ и высотой R. Центр тяжести каждого треугольника расположен на расстоянии Центр масс от центра сектора. Таким образом, центры тяжести всех треугольников расположены на дуге A´B´. Итак, если 0 ∆φ → 0, то центры тяжести образуют дугу AB, тогда необходимо найти центр тяжести дуги A´B´. Используем формулу, по которой определяется центр тяжести дуги окружности радиусом r:

Центр масс

Центр масс

Тогда учитывая, что

Центр масс

Будем иметь

Центр масс

Услуги по теоретической механике:

  1. Заказать теоретическую механику
  2. Помощь по теоретической механике
  3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

  1. Статика
  2. Система сходящихся сил
  3. Момент силы
  4. Пара сил
  5. Произвольная система сил
  6. Плоская произвольная система сил
  7. Трение
  8. Расчет ферм
  9. Расчет усилий в стержнях фермы
  10. Пространственная система сил
  11. Произвольная пространственная система сил
  12. Плоская система сходящихся сил
  13. Пространственная система сходящихся сил
  14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
  15. Естественный способ задания движения точки
  16. Центр параллельных сил
  17. Параллельные силы
  18. Система произвольно расположенных сил
  19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
  20. Кинематика
  21. Кинематика твердого тела
  22. Движения твердого тела
  23. Динамика материальной точки
  24. Динамика механической системы
  25. Динамика плоского движения твердого тела
  26. Динамика относительного движения материальной точки
  27. Динамика твердого тела
  28. Кинематика простейших движений твердого тела
  29. Общее уравнение динамики
  30. Работа и мощность силы
  31. Обратная задача динамики
  32. Поступательное и вращательное движение твердого тела
  33. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
  34. Сферическое движение твёрдого тела
  35. Движение свободного твердого тела
  36. Сложное движение твердого тела
  37. Сложное движение точки
  38. Плоское движение тела
  39. Статика твердого тела
  40. Равновесие составной конструкции
  41. Равновесие с учетом сил трения
  42. Колебания материальной точки
  43. Относительное движение материальной точки
  44. Статические инварианты
  45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
  46. Динамика системы материальных точек
  47. Общие теоремы динамики
  48. Теорема об изменении кинетической энергии
  49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
  50. Потенциальное силовое поле
  51. Метод кинетостатики
  52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки
Источник

Добавить комментарий