Центр тяжести (центр масс):
Любое твердое тело можно представить как состоящее из множества материальных точек, на каждую из которых действует сила тяжести.
Центр тяжести – геометрическая точка абсолютно твердого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на данное тело при любом его положении в пространстве.
На каждую точку тела в поле сил тяжести действует сила, а на все тело – равнодействующая этих сил. Точка приложения равнодействующей называется центром тяжести тела.
Центр масс (центр инерции) – точка, характеризующая распределение масс в теле или системе тел. Представляется она как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и на которую действуют все приложенные к системе внешние силы.
При определенных условиях положение центра тяжести тела совпадает с положением центра его масс.
Положение центра масс тела в однородном поле тяжести совпадает с положением его центра тяжести.
При небольших размерах тел возле поверхности Земли поле сил тяжести можно считать однородным, а силы, действующие на каждую точку тела, – параллельными.
Чтобы сила тяжести не вызывала движения, необходимо соблюдать определенные условия.
Положение центра масс тела в однородном поле тяжести | совпадает с положением его центра тяжести.
Если тело закреплено в одной точке, например подвешено или лежит на опоре и пребывает в покое, то центр тяжести и точка опоры лежат на одной вертикали: сила тяжести, действующая на тело, уравновешивается реакцией точки опоры.
Если тело закреплено в одной точке (подвешено или лежит на опоре) и пребывает в покое, то центр тяжести и точка опоры лежат на одной вертикали.
Рассмотрим примеры определения центра тяжести (центра масс) тел правильной несложной геометрической формы.
1. Найдем центр тяжести однородного стержня (рис. 2.48). Разделим стержень на несколько одинаковых небольших объемов (в нашем случае на пять слева и справа от середины стержня). Если добавить две параллельные силы, которые действуют на объемы 1 и 1′, то их равнодействующая будет расположена в точке О – середине стержня.
Аналогично и для пар сил 2-2′, 3-3′ и т. д. На основании этого можно сделать вывод: центр тяжести однородного стержня 99 расположен в точке О — середине стержня.
Центр тяжести однородного стержня расположен в середине стержня.
2. Пользуясь рассмотренным выше приемом, можно установить, что центр тяжести однородного круга совпадает с его центром (рис. 2.49).
Таким образом, в однородных телах, имеющих центр симметрии (прямоугольник или круглая пластинка, шар, цилиндр и т. д.), центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться и вне тела, например у кольца или спичечной коробки, мяча или пустого стакана.
Центр тяжести однородного круга совпадает с его центром.
Центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан.
3. Найдем центр тяжести однородного треугольника (рис. 2.50), представим, что вся площадь треугольника поделена на узкие поло-
сы, параллельные любой из сторон треугольника, например АВ. Центр тяжести каждой такой полосы, как однородного стержня, находится в ее середине. Центр тяжести всего треугольника лежит где-то на медиане CD, которая проходит через середины всех отрезков, параллельных стороне АВ.
Если поделить треугольник на отрезки, параллельные стороне СВ, то с учетом предыдущих вычислений можно сделать вывод: центр тяжести треугольника будет лежать на медиане АЕ. На обеих медианах центр тяжести может лежать лишь в том случае, если он совпадает с точкой их пересечения О.
4. Чтобы найти центр тяжести плоской фигуры, надо ее подвесить за какую-нибудь точку 1; тогда фигура развернется так, что ее центр тяжести окажется на вертикали, которая проходит через точку подвеса (рис. 2.51).
Отметив направление этой вертикали, подвесим фигуру за другую точку 2. И в этом случае фигура развернется так, чтобы центр тяжести находился на вертикали, проходящей через новую точку подвеса. Отметим направление и этой вертикали.
Центр тяжести плоской фигуры расположен в точке О пересечения вертикалей, проведенных через две любые точки подвеса.
Когда нужно определить центр сил тяжести сложных фигур, необходимо исходить из того, что сила тяжести равна сумме сил тяжести частей тела и всегда приложена к центру этих сил.
- Заказать решение задач по физике
Центр тяжести тела и центр масс тела
Когда мы рассматривали опыты с подвешенными телами, находящимися в равновесии, точка приложения сил натяжения была нам известна. А где приложена сила тяжести? В какой точке? Из этих опытов следует только то, что точка приложения силы тяжести при равновесии лежит на линии действия силы натяжения подвеса. Но это позволяет решить задачу о нахождении точки приложения силы тяжести экспериментальным путем. Если подвешивать плоское тело в разных точках (рис. 151), то линии действия сил натяжения пересекутся в одной точке С. Эта точка и будет точкой приложения силы тяжести. Она называется центром тяжести. Подобным образом можно определить положение центра тяжести не только плоского тела, но и любого другого.
Рис. 151
Очевидно, что положение центра тяжести тел правильной формы можно указать, не выполняя описанный опыт. Так, например, центр тяжести однородного шара находится в его геометрическом центре, поскольку любой диаметр является осью симметрии шара. Центр тяжести круглого диска также находится в его геометрическом центре, как и центр тяжести обруча или кольца, и т. д. Последний пример показывает, что центр тяжести тела может находиться вне тела.
Положение центра тяжести тела можно и вычислить. Предварительно рассмотрим следующий опыт. Пусть тело состоит из двух шаров массами m1 и m2, насаженных на стержень (рис. 152, а). Если масса стержня значительно меньше масс шаров, то ею можно пренебречь. На каждый из шаров действуют силы тяжести, приложенные в их центре тяжести. Для того чтобы система находилась в равновесии, призму надо расположить так, чтобы линия действия силы реакции призмы проходила через центр тяжести этой системы — точку С. В этом случае суммарный момент сил относительно точки C равен нулю, т. е. выполняется условие:
или
Следовательно, центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном отношению их масс. Соотношение (1) можно получить и иначе. Поскольку момент сил тяжести равен нулю, то он должен быть равен нулю и относительно любой горизонтальной оси, проходящей, например, через точку О. Иначе тело вращалось бы вокруг этой оси. Обозначим расстояние между точками C и О через а. Тогда алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно точки О примет вид:
Рис. 152
Поскольку F=(m1 + m2)g, то после несложных преобразований получим соотношение (1). Такой подход позволяет находить положение центра тяжести аналитически.
Направим ось Ox вдоль стержня (рис. 152, б). Выберем начало отсчета в произвольной точке О. тогда координаты точек приложения сил соответственно будут х1, хс и х2. Запишем условие моментов относительно точки О:
Отсюда
При выводе этой формулы было использовано значение силы F = (m1 + m2) g. Таким образом, центр тяжести этой системы тел отстоит от точки О на расстоянии хс, определенном формулой (2).
Напомним, что выражение (2) является следствием правила моментов при равновесии тела, но в правой части отсутствует ускорение свободного падения. В него входят только координаты центра тяжести тел и их массы, поэтому точка, координата которой определяется формулой (2), называется центром масс тела. Следует отметить, что центр масс и центр тяжести совпадают, если тело находится в однородном гравитационном поле.
Понятие центра масс является более общим, чем понятие центра тяжести. Центр масс является характеристикой тела или системы тел, важной не только для задач, где речь идет о силе тяжести, но и для решения других физических проблем.
Если произвольное тело можно разбить на n элементов, массы которых m1, m2…, mn, и если известны координаты центров масс этих элементов x1, x2…, xn относительно выбранной системы координат, то координата центра масс тела вычисляется по формуле:
Естественно, что такие же соотношения можно записать и для ус и zc. Для примера вычислим положение центра масс столярного угольника. Он состоит из деревянного бруска 1 и деревянной линейки 2, соединенных под прямым углом (рис. 153). Положим, что масса бруска 1 в два раза больше массы линейки (m1 = 2m2). Так как линейка и брусок — однородные параллелепипеды, то центры масс находятся в их геометрических центрах. Очевидно, что центр масс угольника находится где-то на линии, соединяющей центры масс бруска (C1) и линейки (C2).
Выберем наиболее оптимальным образом систему координат, как показано на рисунке. Тогда координаты центра масс бруска: х1 = 0, y1 =
, а координаты центра масс линейки: 
, y2 = 0 .
По формуле (3): .
Таким образом, центр масс угольника находится вне тела.
Главные выводы:
- Центр тяжести — точка, в которой приложена сила тяжести.
- Центр масс симметричных однородных тел находится в их геометрическом центре.
- Координаты центра масс тела можно вычислить по формуле (3).
- Импульс тела в физике
- Замкнутая система в физике
- Реактивное движение в физике
- Освоение космоса – история, этапы и достижения с фотографиями
- Международная система единиц СИ
- Математика – язык физики
- Законы Ньютона в физике
- Гравитационные силы в физике
Центр тяжести тела, теория и онлайн калькуляторы
Центр тяжести тела
Как известно, сила тяжести тела равна векторной сумме сил тяжести, которые действуют на все материальные точки, на которые можно разбить рассматриваемое тело. Точку, к которой приложена результирующая сила тяжести, называют центром тяжести. Если известно положение центра тяжести, то можно считать, что на тело действует только одна сила тяжести, приложенная к центру тяжести.
Следует учитывать, что силы тяжести, действующие на отдельные элементы тела, направлены к центру Земли и не являются строго параллельными. Но так как размеры большинства тел на Земле много меньше ее радиуса, поэтому эти силы считают параллельными.
Определение центра тяжести тела
Определение
Центром тяжести называют точку, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на материальные точки, на которые разбито рассматриваемое тело, при любом положении тела в пространстве.
Центр тяжести – это точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести равен нулю при любом положении тела.
От положения центра тяжести зависит устойчивость всех конструкций.
Как найти центр тяжести?
Для нахождения центра тяжести тела сложной формы необходимо мысленно разбить тело на части простой формы и определить место нахождения центров тяжести для них. У тел простой формы центр тяжести определяют, используя их симметрию. Так, центр тяжести однородных диска и шара расположен в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т, д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться вне тела, например, у кольца.
Определив, где расположены центры тяжести отдельных частей тела, переходят к поиску места расположения центра тяжести тела в целом. Тело представляют в виде системы материальных точек. При этом каждая точка имеет массу своей части тела и располагается в ее центре тяжести.
Координаты центра тяжести тела
В трехмерном пространстве координаты центра тяжести для твердого тела нахояд как:
[left{ begin{array}{c}
x_c=frac{sumlimits_i{Delta m_ix_i}}{m};; \
y_c=frac{sumlimits_i{Delta m_iy_i}}{m};; \
z_c=frac{sumlimits_i{Delta m_iz_i}}{m} end{array}
right.left(1right),]
где $m$ – масса тела.$;;x_i$ – координата на оси X элементарной массы $Delta m_i$; $y_i$ – координата на оси Y элементарной массы $Delta m_i$; ; $z_i$ – координата на оси Z элементарной массы $Delta m_i$.
В векторной форме записи система уравнений (1) представляется как:
[{overline{r}}_c=frac{1}{m}sumlimits_i{m_i{overline{r}}_ileft(2right),}]
${overline{r}}_c$ – радиус – вектор, определяющий положение центра тяжести; ${overline{r}}_i$ – радиус-векторы, которые определяют положения элементарных масс.
Центр тяжести, центр масс и центр инерции тела
Считают, что центр тяжести тела совпадают с центром масс тела, если его размеры малы в сравнении с расстоянием до центра Земли. При этом формулы, которые определяют положение цента тяжести и центра масс тела совпадают с выражениями (1) и (2). В основной массе задач центр тяжести принимают совпадающим с центром масс тела.
Сила инерции в неинерциальных системах отсчета, движущихся поступательно, приложена к центру тяжести тела.
Но центробежная сила инерции (в общем случае) не приложена к центру тяжести, поскольку в неинерциальной системе отсчета на элементы тела действуют разные центробежные силы инерции (даже если массы элементов равны), так как расстояния до оси вращения разные.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание: Каковы координаты центра тяжести системы из трех точечных масс, расположенных в вершинах и одной в центре равностороннего треугольника, со стороной равной $a (м)$ (рис.1)?
Решение: Определение для координат $x_c и y_c$ центра тяжести в нашем случае запишем в виде:
[x_c=frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+m_4x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}(1.1);;]
[y_c=frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3+m_4y_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}(1.2).]
Из рис.1 мы видим, что соответствующие абсциссы точек равны:
[left{ begin{array}{c}
m_1=2m, x_1=0;; \
{rm }m_2=3m, x_2=frac{a}{2};; \
m_3=m, x_3=frac{a}{2};; \
m_4=4m, x_4=a. end{array}
right.left(1.3right).]
Тогда абсцисса центра тяжести получается равной:
[x_c=frac{2mcdot 0+3mcdot frac{a}{2}+mcdot frac{a}{2}+4mcdot a}{2m+3m+m+4m}=frac{6ma}{10m}=0,6a (м);]
Найдем ординаты точек.
[ begin{array}{c}
m_1=2m, y_1=0;; \
{rm }m_2=3m, y_2=frac{asqrt{3}}{2};; \
m_3=m, y_3=frac{asqrt{3}}{6};; \
m_4=4m, y_4=0. end{array}
left(1.4right).]
Для того чтобы найти ординату $y_2$ найдем, высоту в равностороннем треугольнике:
[h=sqrt{a^2-frac{a^2}{4}}=frac{asqrt{3}}{2}=y_2left(1.5right).]
Ординату $y_3$ найдем, учитывая, что медианы в равностороннем треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1 от вершины, имеем:
[y_3=hcdot frac{1}{3}=frac{asqrt{3}}{6} left(1.6right).]
Вычислим ординату центра тяжести:
[y_c=frac{2mcdot 0+3mcdot frac{asqrt{3}}{2}+mcdot frac{asqrt{3}}{6}+4mcdot 0}{2m+3m+m+4m}=frac{10mfrac{asqrt{3}}{6}}{10m}=frac{asqrt{3} }{6}(м).]
Ответ: $x_c=0,6a {rm }{rm м}$; $y_c=frac{asqrt{3} }{6}$ м
Пример 2
Задание: Каковы координаты центра тяжести системы из четырех элементарных масс, расположенных в вершинах куба со стороной равной $a$ (рис.2)?
Решение: Координату $x_c$ центра тяжести найдем как:
[x_c=frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+m_4x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=frac{mcdot a+2mcdot 0+3mcdot 0+4mcdot 0}{m+2m+3m+4m}=frac{am}{10m}=0,1 aleft(мright).]
Ординату центра тяжести вычислим как:
[y_c=frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3+m_4y_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=frac{mcdot 0+2mcdot 0+3mcdot a+4mcdot 0}{m+2m+3m+4m}=frac{acdot 3m}{10m}=0,3a left(мright).]
Для координаты $z_c$ получаем:
[z_c=frac{m_1z_1+m_2z_2+m_3z_3+m_4z_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=frac{mcdot 0+2mcdot a+3mcdot 0+4mcdot 0}{m+2m+3m+4m}=frac{acdot 2m}{10m}=0,2a left(мright).]
Ответ: ($x_{c, }y_c, z_c$)=($ 0,1 a$, $0,3a$, $0,2a$)(м)
Читать дальше: циклическая частота колебаний.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Виды равновесия. Центр тяжести
- Центр тяжести
- Виды равновесия
- Задачи
- Лабораторная работа №10. Определение центра тяжести тела
п.1. Центр тяжести
Центр тяжести– это точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на тело при любом его положении.
Если точка опоры (или точка подвеса) совпадает с центром тяжести тела, то тело находится в равновесии.
Примеры центров тяжести тел
«Однородный» в данных примерах означает, что в телах нет уплотнений или полостей, их плотность везде одинакова.
п.2. Виды равновесия
Условия равновесия
Тело находится в состоянии равновесия, если:
- сумма внешних сил, действующих на него, равна 0;
- сумма моментов относительно любой оси вращения равна 0.
Для практических задач важно, как поведет себя тело при небольших отклонениях от положения равновесия: вернется в исходное состояние или нет.
С этой точки зрения, различают три вида равновесия.
п.3. Задачи
Задача 1. Однородная линейка подвешена на гвозде и находится в состоянии равновесия. Определите тип равновесия для каждого расположения точки подвеса C.
Задача 2. Однородный куб лежит на горизонтальной плоскости. На какой угол его нужно приподнять, чтобы опрокинуть через ребро?
На рисунке слева куб лежит на горизонтальной плоскости; сила тяжести (F_{text{т}}) направлена из центра тяжести перпендикулярно вниз, линия её действия проходит через центр площади опоры.
Приподнимем куб на ребре на угол меньше 45°. Линия действия силы тяжести (F_{text{т}}) сдвигается, но по-прежнему проходит через ту же плоскость опоры. Если отпустить куб, он станет вращаться. Ось вращения пройдет вдоль ребра, плечо силы тяжести (l) показано на рисунке. Момент силы тяжести направлен против часовой стрелки и вернет куб в исходное положение.
Если приподнять куб на ребре на угол α=45°, линия действия силы тяжести проходит через ребро. Вращающего момента нет, получаем неустойчивое равновесие.
Наконец, если приподнять куб на ребре на угол больше 45°, линия действия силы тяжести выйдет за исходную плоскость опоры. Если отпустить куб, он станет вращаться вокруг ребра. Момент сил тяжести направлен по часовой стрелке и перевернет куб на другую плоскость.
Ответ: на угол больше 45°.
п.4. Лабораторная работа №10. Определение центра тяжести тела
Цель работы
Научиться находить центр тяжести пластины неправильной формы методом подвешивания.
Теоретические сведения
При подвешивании пластины в какой-либо точке она будет поворачиваться до тех пор, пока не придет в положение устойчивого равновесия. В этом положении на нее действуют две силы: сила тяжести (overrightarrow{F_{text{т}}}), приложенная в центре тяжести и направленная вертикально вниз, и сила упругости (overrightarrow{F_{text{упр}}}), приложенная в точке подвеса и направленная вертикально вверх. Эти две силы уравновешивают друг друга, а значит, точка подвеса и центр тяжести лежат на одной вертикали. В противном случае, возникал бы момент сил, и пластина продолжила бы вращение, а не находилась бы в равновесии.
Расположение точки подвеса и центра тяжести на одной вертикали используется в методе подвешивания, который реализуется в три этапа:
Приборы и материалы
Картонная или пластмассовая пластина неправильной формы с тремя отверстиями, штатив, стержень, отвес (нить с грузом), карандаш.
Ход работы
1. Обозначьте отверстия на пластине A,B,C.
2. Закрепите стержень горизонтально в штативе и наденьте на него пластину, используя отверстие A.
3. Аккуратно подвесьте на тот же стержень отвес и отметьте карандашом на пластине точку A’ пересечения отвеса и нижнего края пластины.
4. Повторите опыт, надев пластину на стержень через отверстие B.
5. Снимите пластину, проведите линии AA’ и BB’ и на их пересечении отметьте центр тяжести – точку O=AA’∩BB’.
6. Проведите контрольный опыт, используя отверстие C. Проходит ли отвес через найденный центр тяжести?
7. Сделайте выводы о проделанной работе.
Результаты измерений и вычислений
Для данной пластины были получены следующие прямые, проходящие через центр тяжести.
При подвешивании за третье отверстие C в контрольном опыте вертикальная линия CC’ также прошла через точку O – центр тяжести пластины.
Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.
Все прямые, проходящие после уравновешивания тела через любую точку подвеса вертикально вниз, пересекаются в одной точке – центре тяжести. На этом основан метод подвешивания.
Метод подвешивания можно использовать для определения центра тяжести тел неправильной формы, а также неоднородных тел (с пустотами или уплотнениями).
На каждое тело на Земле действует сила тяжести. При этом тела бывают самой разнообразной формы. Различные машины, механизмы, конструкции и строения, созданные человеком, должны быть устойчивыми для их нормального использования.
Это значит, что они должны находиться в равновесии. Каким образом мы можем добиться этого условия?
На данном уроке мы рассмотрим, как действует сила тяжести, к какой точке она приложена, чтобы мы могли говорить о равновесии тела. Мы введем определение центра тяжести тела и рассмотрим его особенности.
Центр тяжести
Давайте рассмотрим простой пример. Возьмем линейку и подвесим ее на нити (рисунок 1).
Передвигая нить по длине линейки, найдем такое положение, чтобы линейка находилась в равновесии. Мы можем сказать, что линейка подвешена в центре тяжести.
Что такое центр тяжести?
Центр тяжести тела — это точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на отдельные части тела.
Если мы мысленно разделим линейку на несколько частей, то на каждую их них будет действовать сила тяжести. Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз вне зависимости от положения тела.
Как мы увидели, у линейки центр тяжести будет находиться посередине ее длины. Но это справедливо не для всех тел. Если мы таким же образом подвесим лопату и будем искать положение, в котором она будет находиться в равновесии, то увидим другую ситуацию (рисунок 2). Лопата будет подвешена в центре тяжести ближе к началу ее черенка.
Нахождение центра тяжести тела
Вокруг нас полно твердых тел сложной формы. Если с линейкой все было достаточно просто, то как найти центр тяжести более сложного тела?
Попробуем сделать это на практике. Вырежем фигуру произвольной неправильной формы из картона. Подвесим ее, используя отвес (рисунок 3, а).
Отвес — это приспособление, состоящее из нити и маленького грузика на ее конце. Служит для определения правильного вертикального положения других тел.
На нашу фигуру действуют две силы: сила тяжести и силы упругости. Сила тяжести направлена вертикально вниз, а сила упругости — вдоль нити. Так как мы используем отвес, задающий идеальную вертикальную линию, то сила упругости будет направлена вертикально вверх.
Картонная фигура покоится. Значит, эти две силы уравновешивают друг друга. Они равны по величине и направлены в противоположные стороны. Мы можем сказать, что точки приложения этих сил находятся на одной вертикальной прямой, которую отмечает отвес. Отметим эту линию карандашом на картоне.
Теперь отцепим нашу фигуру и подвесим ее снова, но в другой точке (рисунок 3, б). Снова проведем линию по отвесу. Мы можем провести бесконечное множество линий, подвешивая фигуру в разных ее точках. Все эти линии будут пересекаться в одной точке (рисунок 3, в). Эта точка и будет центром тяжести тела C.
Это легко проверить. Возьмем фигуру из картона и поставим ее на острие карандаша а найденном центре тяжести (точка C). Фигура не будет крениться в какую-либо сторону, не упадет — она будет находится в равновесии (рисунок 3, г).
При любом положении тела его центр тяжести находится в одной и той же точке.
Где может находиться центр тяжести тела?
Для нахождения центра тяжести объемных геометрических фигур используют похожие способы. Так, центр тяжести шара находится в его геометрическом центре, а у параллелепипеда — в точке пересечения его диагоналей (рисунок 4).
Центр тяжести тела может находиться и вне самого тела. Например, у кольца (рисунок 5).
Примером тела с центром тяжести, находящимся вне тела, также могут служить разные сувениры. Например, вот эта птичка (рисунок 6). Она сделана так, что ее центр тяжести находится ровно под ее клювом. Это позволяет зрелищно держать такую игрушку на кончике пальца, создавая иллюзию полета.
В каких случаях может меняться положение центра тяжести тела?
Это возможно только в том случае, если изменяется относительное расположение частей тела. Например, при непластичной деформации.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Центр тяжести – это точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. То есть это такая точка, в которой система находится в идеальном равновесии независимо от того, как система повернута или вращается вокруг этой точки. Чтобы найти центр тяжести системы, необходимо определить массу основного объекта и массу тел, входящих в систему, найти точку отсчета и подставить эти значения в формулу.
-
1
Определите вес основного объекта. Чтобы найти центр тяжести, сначала необходимо определить вес основного объекта. Например, рассмотрим качели-доску (качели-балансир) массой 12 кг. Таким образом, вес качелей равен 120 Н (Р=mg, где P – вес, m – масса, g – ускорение свободного падения, приблизительно равное 10 м/с2). Так как такие качели представляют собой симметричный объект, его центр тяжести находится точно по центру (когда на качелях никого нет). Но если на качелях сидят дети разной массы тела, задача усложняется.[1]
-
2
Определите дополнительные веса. Чтобы найти центр тяжести качелей с двумя детьми, необходимо определить вес каждого ребенка. Предположим, что масса тела первого ребенка равна 16 кг, а второго – 24 кг. Таким образом, вес первого ребенка равен 160 Н, а второго – 240 Н.
Реклама
-
1
Выберите точку отсчета. Точкой отсчета является любая точка, которая находится на одном (любом) конце доски. Предположим, что длина доски равна 5 м. Поместите точку отсчета на левой стороне доски возле первого ребенка.
-
2
Измерьте расстояние от точки отсчета до центра основного объекта и до дополнительных тел. Допустим, дети сидят на расстоянии 50 см от каждого конца доски. До центра доски 2,5 м (5/2=2,5). Вот расстояния от точки отсчета до центра основного объекта и двух дополнительных тел:
- Центр доски находится на расстоянии 2,5 м от точки отсчета.
- Первый ребенок находится на расстоянии 0,5 м от точки отсчета.
- Второй ребенок находится на расстоянии 4,5 м от точки отсчета.
Реклама
-
1
Перемножьте вес каждого тела и его расстояние до точки отсчета. Так вы найдете момент силы для каждого тела. Вот как умножить расстояние до каждого тела на его вес:
- Доска: 120 Н х 5 м = 600 Н х м.
- Первый ребенок: 160 Н x 0,5 м = 80 Н х м.
- Второй ребенок: 240 Н x 4,5 м = 1080 Н x м.
-
2
Сложите найденные значения. Сложение: 600 + 80 + 1080 = 1760 Н х м. Суммарный момент равен 1760 Н x м.
-
3
Сложите веса всех объектов. Найдите сумму веса качелей, веса первого ребенка и веса второго ребенка. Сумма: 120 Н + 160 Н + 240 Н = 520 Н.
-
4
Разделите суммарный момент на суммарный вес. Так вы найдете расстояние от точки отсчета до центра тяжести системы. В нашем примере разделите 1760 Н х м на 520 Н.
- 1760 Н х м / 520 Н = 3,4 м
- Центр тяжести находится на расстоянии 3,4 м от точки отсчета или на расстоянии 3,4 м от левого конца доски, где находится точка отсчета.
Реклама
-
1
Нарисуйте схему системы и отметьте на ней центр тяжести. Если найденный центр тяжести находится вне системы объектов, вы получили неверный ответ. Возможно, вы измерили расстояния от разных точек отсчета. Повторите измерения.
- Например, если на качелях сидят дети, центр тяжести будет где-то между детьми, а не справа или слева от качелей. Также центр тяжести никогда не совпадет с точкой, где сидит ребенок.
- Эти рассуждения верны в двумерном пространстве. Нарисуйте квадрат, в котором поместятся все объекты системы. Центр тяжести должен находиться внутри этого квадрата.
-
2
Проверьте математические вычисления, если вы получили маленький результат. Если точка отсчета находится на одном конце системы, маленький результат помещает центр тяжести возле конца системы. Возможно, это правильный ответ, но в подавляющем большинстве случаев такой результат указывает на ошибку. Когда вы вычисляли моменты, вы перемножали соответствующие веса и расстояния? Если вместо умножения вы сложили веса и расстояния, вы получите гораздо меньший результат.
-
3
Исправьте ошибку, если вы нашли несколько центров тяжести. Каждая система имеет только один центр тяжести. Если вы нашли несколько центров тяжести, скорее всего, вы не сложили все моменты. Центр тяжести равен отношению «суммарного» момента к «суммарному» весу. Не нужно делить «каждый» момент на «каждый» вес: так вы найдете положение каждого объекта.
-
4
Проверьте точку отсчета, если ответ отличается на некоторое целое значение. В нашем примере ответ равен 3,4 м. Допустим, вы получили ответ 0,4 м или 1,4 м, или другое число, оканчивающееся на «,4». Это потому, что в качестве точки отсчета вы выбрали не левый конец доски, а точку, которая расположена правее на целую величину. На самом деле, ваш ответ верен, независимо от того, какую точку отсчета вы выбрали! Просто запомните: точка отсчета всегда находится в положении x = 0. Вот пример:
- В нашем примере точка отсчета находилась на левом конце доски и мы нашли, что центр тяжести находится на расстоянии 3,4 м от этой точки отсчета.
- Если в качестве точки отсчета выбрать точку, которая расположена на расстоянии 1 м вправо от левого конца доски, вы получите ответ 2,4 м. То есть центр тяжести находится на расстоянии 2,4 м от новой точки отсчета, которая, в свою очередь, находится на расстоянии 1 м от левого конца доски. Таким образом, центр тяжести находится на расстоянии 2,4 + 1 = 3,4 м от левого конца доски. Получился старый ответ!
- Примечание: при измерении расстояния помните, что расстояния до «левой» точки отсчета отрицательные, а до «правой» – положительные.
-
5
Расстояния измеряйте по прямым линиям. Предположим, на качелях два ребенка, но один ребенок намного выше другого, или один ребенок висит под доской, а не сидит на ней. Проигнорируйте такую разницу и измерьте расстояния по прямой линии доски. Измерение расстояний под углами приведет к близким, но не совсем точным результатам.
- В случае задачи с качелями-доской помните, что центр тяжести находится между правым и левым концами доски. Позже вы научитесь вычислять центр тяжести более сложных двумерных систем.
Реклама
Советы
- Чтобы найти расстояние, на которое должен переместиться ребенок, чтобы сбалансировать качели-доску относительно точки опоры, используйте формулу: (перемещаемый вес)/(общий вес) = (расстояние движения центра тяжести)/(расстояние движения веса). Эту формулу можно переписать так: расстояние, на которое должен переместиться ребенок = (расстояние между центром тяжести и точкой опоры х вес ребенка)/(общий вес). Поэтому первому ребенку нужно переместиться на -0,9*160/520 = -0,28 м или -28 см (к концу доски), а второму ребенку нужно переместиться на -0,9*520/240 = -1,95 м или -195 см (к концу доски).
- Если нужно найти центр тяжести двумерного объекта, используйте формулу Xcg = ΣxW/W, чтобы найти центр тяжести вдоль оси X, и Ycg = ΣyW/ΣW, чтобы найти центр тяжести вдоль оси Y. Точка, в которой они пересекаются, является центром тяжести.
- Определение центра тяжести общего распределения масс: (∫ r dW/∫ dW), где dW – дифференциал веса, r – радиус-вектор, а интегралы должны интерпретироваться как интегралы Стилтьеса по всему телу. Но эти интегралы могут быть выражены как более общие интегралы (по плотности) Римана или Лебега для распределений, допускающих функцию плотности. Начиная с этого определения, все свойства центра тяжести (включая те, которые описаны в этой статье) могут быть получены из свойств интегралов Стилтьеса.
Реклама
Предупреждения
- Не пытайтесь применить описанные здесь методы, не поняв теорию. В противном случае вы получите неверный результат.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 52 569 раз.
