Как найти центр тяжести составного сечения

В этой статье посмотрим, как определяются координаты центра тяжести сложной фигуры — состоящей из простых. В задачах по сопромату часто приходится находить положение центра тяжести составных сечений, для дальнейшего вычисления моментов инерции и т. д.

Также часто, при изучении теоретической механики, студентам предлагается решить подобную задачу, и найти центр тяжести какой-нибудь фигуры.

Условие задачи

Предлагаю рассмотреть следующую фигуру:

В сопромате принято заштриховывать сечения тонкими линиями, вот так:

В своих же уроках я буду использовать заливку. Так, штриховка не будет мешать наносить обозначения.

Разбивка сложной фигуры на простые

Как видишь, сечение состоит из прямоугольника, прямоугольного треугольника, четверти круга, а также имеет круглый вырез:

Отметим центры тяжести (С₁, С₂, С₃, С₄) каждой отдельной фигуры, с учётом справочной информации.

Открой эту страничку, и пока не закрывай, она нам ещё понадобится!

Покажем вспомогательные оси (x₀, y₀) для всего сечения, которые будем использовать для нахождения положения центра тяжести (C):

Как определить положение центра тяжести?

Чтобы определить координату центра тяжести сечения, например, вертикальное расстояние от оси x₀ до центра тяжести сечения (y_c):

Нужно статический момент сечения относительно этой вспомогательной оси (x₀) разделить на площадь всего сечения (A):

Площадь всего сечения (A) найти просто – это алгебраическая сумма площадей всех фигур:

Статический момент сечения, относительно вспомогательной оси будет равен алгебраической сумме статических моментов каждой фигуры (с учётом знака):

где A_i – площадь отдельной фигуры;
y_i – расстояние от центра тяжести отдельной фигуры до вспомогательной оси (x₀).

Координата центра тяжести (x_c), находится аналогично:

Определение площади сечения

Для начала предлагаю сделать самое простое, используя формулы, указанные на этой странице, найти площадь всего сечения (A):

Как видишь, круглый вырез, нужно учесть с «минусом», что очевидно.

Определение расстояний от вспомогательных осей до центров тяжести отдельных фигур

Найдём расстояния от вспомогательных осей (x₀, y₀) до центров тяжести отдельных фигур, опять же, используя нашу шпаргалку:

Определение статических моментов

Определяем статические моменты сечения относительно вспомогательных осей (x₀, y₀):

Важно! Статические моменты могут быть и отрицательными.

Определение координат центра тяжести

И, наконец, определяем положение центра тяжести всего сечения (C):

Покажем центр тяжести всего сечения (C):

Если остались какие-то вопросы по данному уроку, можешь смело задавать их в комментариях. Также, другие уроки, на сайте – ssopromat.ru, по определению геометрических характеристик, можешь найти здесь.

Пример решения задачи по расчету положения центра тяжести сложного сечения, составленного из швеллера, уголков и пластин, симметричного относительно одной из осей.

Задача
Для симметричного составного сечения, состоящего из прокатных профилей (швеллер и равнобокие уголки) и двух прямоугольников (листовой прокат).

Другие примеры по теме >
Помощь с решением задач >

требуется:

1. определить положение центра тяжести;
2. вычислить значения главных центральных моментов инерции и главных радиусов инерции;
3. построить эллипс инерции.

Дано:

• швеллер N16а;
• уголки равнобокие 70×70×5 (2 шт.);
• размеры листов — 160×10 мм (2 шт.).

Решение
По соответствующим сортаментам и формулам находим геометрические характеристики фигур,

1. площадь сечения A;
2. осевые моменты инерции I_x и I_y;
3. положение z₀ центра тяжести C сечений

составляющих заданное сечение:
— уголки равнобокие 70×70×5 (ГОСТ 8509-72)

— швеллер N16а (ГОСТ 8240-72)

— прямоугольник 160×10 мм

Вычерчиваем составное сечение в масштабе (например, 1:2), отмечаем центры тяжести отдельных фигур C_i и проводим их центральные оси X_i, Y_i.

Положение центра тяжести и главных осей

Одной из главных центральных осей является ось симметрии Y_C.

Выбрав вспомогательную ось X_всп и определив по чертежу координаты центров тяжести отдельных фигур y_i относительно этой оси, находим положение главной центральной оси X_C по формуле:

Расчет главных центральных моментов инерции

При этом пользуемся зависимостями между моментами инерции относительно параллельных осей, учитывая при этом симметричность отдельных частей сечения:

Здесь: I_xCi, I_yCi — моменты инерции отдельных фигур относительно собственных центральных осей;
A_i — площади самих фигур;
a_Ci, b_Ci — координаты центров тяжести фигур относительно главных центральных осей.

Учитывая вышесказанное, а также симметричность отдельных частей сечения, находим главные моменты инерции:

При большом числе элементов, составляющих сложное сечение, целесообразно для нахождения y_C, I_xC, I_yC использовать табличную форму записи.

Расчет радиусов инерции

Главные радиусы инерции:

По этим данным строим эллипс инерции, накладывая его на чертеж сечения.

Эллипс инерции позволяет оценить правильность вычислений, его габариты обычно составляют 0,55…0,70 от габаритов сечения.

Другие примеры решения задач >
Лекции по сопромату >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Как найти центр тяжести?

Опубликовано 21 Окт 2013
Рубрика: Механика | 3 комментария

В инженерной практике случается, что возникает необходимость вычислить координаты центра тяжести сложной плоской фигуры, состоящей из простых элементов, для которых расположение центра тяжести известно. Такая задача является частью задачи определения…

…геометрических характеристик составных поперечных сечений балок и стержней. Часто с  подобными вопросами приходится сталкиваться инженерам-конструкторам вырубных штампов при определении координат центра давления, разработчикам схем погрузки различного транспорта при размещении грузов, проектировщикам строительных металлических конструкций при подборе сечений элементов и, конечно, студентам при изучении дисциплин «Теоретическая механика» и «Сопротивление материалов».

Библиотека элементарных фигур.

Для симметричных  плоских фигур центр тяжести совпадает с центром симметрии. К симметричной группе элементарных объектов относятся: круг, прямоугольник (в том числе квадрат), параллелограмм (в том числе ромб), правильный многоугольник.

Из десяти фигур, представленных на рисунке выше, только две являются базовыми. То есть, используя треугольники и сектора кругов, можно скомбинировать почти любую фигуру, имеющую практический интерес. Любые произвольные кривые можно, разбив на участки, заменить дугами окружностей.

Оставшиеся восемь фигур являются самыми распространенными, поэтому они и были включены в эту своеобразную библиотеку. В нашей классификации эти элементы не являются базовыми. Прямоугольник, параллелограмм и трапецию можно составить из двух треугольников. Шестиугольник – это сумма из четырех треугольников. Сегмент круга — это разность сектора круга и треугольника. Кольцевой сектор круга — разность двух секторов. Круг – это сектор круга с углом α=2*π=360˚. Полукруг – это, соответственно, сектор круга с углом α=π=180˚.

Передавать и воспринимать информацию, рассматривая пример, всегда легче, чем изучать вопрос на чисто теоретических выкладках.  Рассмотрим решение задачи «Как найти центр тяжести?» на примере составной фигуры, изображенной на рисунке, расположенном ниже этого текста.

Составное сечение представляет собой прямоугольник (с размерами a1=80 мм, b1=40 мм), к которому слева сверху добавили равнобедренный треугольник (с размером основания  a2=24 мм и высотой h2=42 мм) и из которого справа сверху вырезали полукруг (с центром в точке с координатами x03=50 мм и y03=40 мм, радиусом r3=26 мм).

В помощь для выполнения расчета привлечем программу MS Excel или программу OOo Calc. Любая из них легко справится с нашей задачей!

В ячейках с желтой заливкой выполним вспомогательные предварительныерасчеты.

В ячейках со светло-желтой заливкой считаем результаты.

Синий шрифт – это исходные данные.

Черный шрифт – это промежуточные результаты расчетов.

Красный шрифт – это окончательные результаты расчетов.

Начинаем решение задачи – начинаем поиск координат центра тяжести сечения.

Исходные данные:

1. Названия элементарных фигур, образующих составное сечение впишем соответственно

в ячейку D3: Прямоугольник

в ячейку E3: Треугольник

в ячейку F3: Полукруг

2. Пользуясь представленной в этой статье «Библиотекой элементарных фигур», определим координаты центров тяжести элементов составного сечения xci и yci в мм относительно произвольно выбранных осей 0x и 0y и запишем

в ячейку D4: =80/2=40,000

xc1=a1/2

в ячейку D5: =40/2=20,000

yc1= b1/2

в ячейку E4: =24/2=12,000

xc2=a2/2

в ячейку E5: =40+42/3=54,000

yc2= b1+h2/3

в ячейку F4: =50=50,000

xc3=x03

в ячейку F5: =40-4*26/3/ПИ()=28,965

yc3= y03-4*r3/3/π

3. Рассчитаем площади элементов F1, F2, F3 в мм2, воспользовавшись вновь формулами из раздела  «Библиотека элементарных фигур»

в ячейке D6: =40*80=3200

F1=a1*b1

в ячейке E6: =24*42/2=504

F2=a2*h2/2

в ячейке F6: =-ПИ()/2*26^2=-1062

F3= -π/2*r3^2

Площадь третьего элемента – полукруга – отрицательная потому, что это вырез – пустое место!

Расчет координат центра тяжести:

4. Определим общую площадь итоговой фигуры F0 в мм2

в объединенной ячейке D8E8F8: =D6+E6+F6=2642

F0=F1+F2+F3

5. Вычислим статические моменты составной фигуры Sx и Sy в мм3 относительно выбранных осей 0x и 0y

в объединенной ячейке D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6=60459

Sx=yc1*F1+ yc2*F2+ yc3*F3

в объединенной ячейке D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6=80955

Sy=xc1*F1+ xc2*F2+ xc3*F3

6. И в завершение рассчитаем координаты центра тяжести составного сечения Xc и Yc в мм в выбранной системе координат 0x — 0y

в объединенной ячейке D11E11F11: =D10/D8=30,640

Xc=Sy/F0

в объединенной ячейке D12E12F12: =D9/D8=22,883

Yc=Sx/F0

Задача решена, расчет в Excel выполнен — найдены координаты центра тяжести сечения, составленного при использовании трех простых элементов!

Заключение.

Пример в статье был выбран очень простым для того, чтобы легче было разобраться в методологии расчетов центра тяжести  сложного сечения. Метод заключается в том, что любую сложную фигуру следует разбить на  простые элементы с известными местами расположения центров тяжести и произвести итоговые вычисления для всего сечения.

Если сечение составлено из прокатных профилей – уголков и швеллеров, то их нет необходимости разбивать на прямоугольники и квадраты с вырезанными круговыми «π/2»- секторами. Координаты центров тяжести этих профилей приведены в таблицах ГОСТов, то есть и уголок и швеллер будут в ваших расчетах составных сечений базовыми элементарными элементами (о двутаврах, трубах, прутках и шестигранниках говорить нет смысла – это центрально симметричные сечения).

Расположение осей координат на положение центра тяжести фигуры, конечно, не влияет! Поэтому выбирайте систему координат, упрощающую вам расчеты. Если, например, я развернул бы  в нашем примере систему координат на 45˚ по часовой стрелке, то вычисление координат центров тяжести прямоугольника, треугольника и полукруга превратилось бы в еще один отдельный и громоздкий этап расчетов, который «в уме» не выполнишь.

Представленный ниже расчетный файл Excel в данном случае программой не является. Скорее – это набросок калькулятора, алгоритм, шаблон по которому следует в каждом конкретном случае составлять свою последовательность формул для ячеек с яркой желтой заливкой.

Итак, как найти центр тяжести любого сечения вы теперь знаете! Полный расчет всех геометрических характеристик произвольных сложных составных сечений будет рассмотрен в одной из ближайших статей в рубрике «Механика».

Несколько слов о бокале, монете и двух вилках, которые изображены на «значке-иллюстрации» в самом начале статьи. Многим из вас, безусловно, знаком этот «трюк», вызывающий восхищенные взгляды детей и непосвященных взрослых. Тема этой статьи – центр тяжести. Именно он и точка опоры, играя с нашим сознанием и опытом, попросту дурачат наш разум!

Центр тяжести системы «вилки+монета» всегда располагается на фиксированном расстоянии по вертикали вниз от края монеты, который в свою очередь является точкой опоры. Это положение устойчивого равновесия! Если покачать вилки, то сразу становится очевидным, что система стремится занять свое прежнее устойчивое положение! Представьте маятник – точка закрепления (=точка опоры монеты на кромку бокала), стержень-ось маятника (=в нашем случае ось виртуальная, так как масса двух вилок разведена в разные стороны пространства) и груз внизу оси (=центр тяжести всей системы «вилки+монета»). Если начать отклонять маятник от вертикали в любую сторону (вперед, назад, налево, направо), то он неизбежно под действием силы тяжести будет возвращаться в исходное устойчивое состояние равновесия (это же самое происходит и с нашими вилками и монетой)!

Кто не понял, но хочет понять – разберитесь самостоятельно. Это ведь очень интересно «доходить» самому! Добавлю, что этот же принцип использования устойчивого равновесия реализован и в игрушке ванька–встань-ка. Только центр тяжести у этой игрушки расположен выше точки опоры, но ниже центра полусферы опорной поверхности.

Ссылка на скачивание файла: raschet-tsentra-tyazhesti (xls 17,0KB).

Другие статьи автора блога

На главную

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Обратите внимание, на этом сайте есть онлайн-сервис для вычисления центра тяжести и моментов инерции составных сечений, которые состоят из прокатных профилей (двутавр, уголок и т.д.) и из простых фигур.

Часто при расчете элементов строительных конструкций приходится определять геометрические характеристики профилей, составленных из элементарных геометрических фигур (прямоугольник, круг и т.п.) и прокатных профилей. Рассмотрим подробно пример расчета.

Необходимо определить геометрические характеристики составного сечения (рис.), который состоит из уголка 20/12,5/1,2, уголка 14/1 и прямоугольника 20х2см.

Определение собственных характеристик отдельных профилей – составляющих сечения

Собственные характеристики прокатных профилей определяются из сортамента.

Для неравнополочного уголка 20/12,5/1,2:

– высота и ширина уголка h = 20 см, b = 12,5 см;

– площадь $A$= 37,9 см2;

– собственные осевые моменты инерции ${I_x}$=1570 см4, ${I_y}$= 482 см4;

– собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$=505 см4;

– координаты центра тяжести ${x_c}$= 2,83 см, ${y_c}$= 6,51 см.

Для равнополочного уголка 14/1:

– высота и ширина уголка h = b = 14 см;

– площадь $A$= 27,3 см2;

– собственные осевые моменты инерции ${I_x}$= ${I_y}$= 512 см4;

– собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$=301 см4;

– координаты центра тяжести ${x_c}$= ${y_c}$= 3,82 см.

Для прямоугольника 20х2см:

– высота и ширина прямоугольника h = 20 см, b = 2 см;

– площадь $A$= 20∙2 = 40 см²;

– собственные осевые моменты инерции ${I_x} = frac{{2 cdot {{20}^3}}}{{12}} = 1330$ см⁴, ${I_y} = frac{{20 cdot {2^3}}}{{12}} = 13,3$см⁴;

– собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$= 0, так как профиль имеет ось симметрии.

Определение центра тяжести сечения

Общая площадь всего сечения    A = 37,9+27,3+40 = 105см2.

Проводим вспомогательные оси $X$ и $Y$ и определяем относительно них центр тяжести сечения:

${X_c} = frac{{sum {{X_i} cdot {A_i}} }}{A} = frac{{{text{37}}{text{,9}} cdot {text{( – 13}}{text{,5) + 27}}{text{,3}} cdot {text{( – 3}}{text{,82) + 40}} cdot {text{1}}}}{{{text{105}}}}{text{ =  – 5}}{text{,49}}$см;

${Y_c} = frac{{sum {{Y_i} cdot {A_i}} }}{A} = frac{{{text{37}}{text{,9}} cdot {text{( – 2}}{text{,83) + 27}}{text{,3}} cdot {text{10}}{text{,2 + 40}} cdot {text{10}}}}{{105}} = 5,44$.

При этом в координатах центров тяжести составных обязанности’обязательно учитываем знак. Откладываем оси, которые проходят через центр тяжести –центральные оси $Xc$ и ${Y_c}$.

Определение центральных моментов инерции

Осевые и центробежный моменты инерции сечения определяем по формулам перехода между параллельными осями. Для этого находим и показываем на чертеже расстояния между центральными осями всего сечения и собственными осями каждой из фигур.

$Ix = sum {left( {I{x_i} + A cdot {b^2}} right) = {text{482 + 8}}{text{,2}}{{text{7}}^{text{2}}} cdot {text{37}}{text{,9 + 512 + 4}}{text{,7}}{{text{6}}^{text{2}}} cdot {text{27}}{text{,3 + 1330 + 4}}{text{,5}}{{text{6}}^{text{2}}} cdot {text{40  =  6360}}} $см4;

$Iy = sum {left( {I{y_i} + A cdot {a^2}} right)}  = {text{1570 + 8}}{text{,0}}{{text{1}}^{text{2}}} cdot {text{37}}{text{,9 + 512 + 1}}{text{,6}}{{text{7}}^{text{2}}} cdot {text{27}}{text{,3 + 13}}{text{,3 + 6}}{text{,4}}{{text{9}}^{text{2}}} cdot {text{40  =  6280}}$см4;

${I_{xy}} = sum {left( {{I_{xy}}_i + A cdot a cdot b} right)}  = $

$ = 505 + ( – 8,01) cdot ( – 8,27) cdot 37,9 – 301 + 1,67 cdot 4,76 cdot 27,3 + 0 + 6,49 cdot 4,56 cdot 40 = 4120$см4.

При этом обязанности’обязательно учитываем размещения фигур относительно рассматриваемых осей. Так, при определении момента инерции ${I_x}$ в формулу подставляем собственный момент инерции неравнополочного уголка относительно оси, которая параллельна оси ${X_c}$, в сортаменте это ось $Y$, и наоборот.

Определение положения главных осей и главных моментов инерции

Угол поворота главных осей относительно осей, для которых известны моменты инерции, определяется по формуле

[tg,2alpha  = frac{{2 cdot {I_{xy}}}}{{{I_y} – {I_x}}} = frac{{2 cdot 4120}}{{6280 – 6360}} =  – 97]                  $alpha  = frac{{arctg( – 97)}}{2} =  – 44,7^circ $.

Если $alpha  > 0$, главные оси откладываются против часовой стрелки, и наоборот.

Главные моменты инерции определяются так

${I_{x0}} = {I_x} cdot {cos ^2}alpha  + {I_y} cdot {sin ^2}alpha  – {I_{xy}} cdot sin 2alpha  = $

$ = 6360 cdot {cos ^2}( – 44,7^circ ) + 6280 cdot {sin ^2}( – 44,7^circ ) – 4120 cdot sin ( – 2 cdot 44,7^circ ) = 10430$см4.

${I_{y0}} = {I_y} cdot {cos ^2}alpha  + {I_x} cdot {sin ^2}alpha  + {I_{xy}} cdot sin 2alpha  = $

$ = 6280 cdot {cos ^2}( – 44,7^circ ) + 6360 cdot {sin ^2}( – 44,7^circ ) + 4120 cdot sin ( – 2 cdot 44,7^circ ) = 2210$см4.

Центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю.

Радиусы инерции. Моменты сопротивления

Радиусы инерции сечения

${i_x} = sqrt[{}]{{frac{{{I_x}}}{A}}} = sqrt[{}]{{frac{{10430}}{{105}}}} = 9,96$см,                 ${i_y} = sqrt[{}]{{frac{{{I_y}}}{A}}} = sqrt[{}]{{frac{{2210}}{{105}}}} = 4,58$см.

Моменты сопротивления сечения определяем относительно центральных осей. Для этого необходимо определить расстояния ${x_{max }}$ и ${y_{max }}$ до максимально удаленных точек от главных осей. Сначала необходимо по чертежам определить, какие точки являются наиболее удаленными. В нашем случае это точки $A$ и $B$ (рис.). Искомые расстояния можно определить, имея координаты этих точек в центральных (не возвращенных осям).

${x_{max }} = {x_A} cdot cos left( alpha  right) + {y_A} cdot sin left( alpha  right)$

${y_{max }} = {y_B} cdot cos left( alpha  right) – {x_B} cdot sin left( alpha  right)$

XА= –8,53см       YA=8,57см

XB= –14,5см      YB= –18см

xmax = –12,1см   ymax = –23см

Моменты сопротивления

${W_x} = frac{{{I_x}}}{{{y_{max }}}} = frac{{10430}}{{23}} = 454$см3;                ${W_y} = frac{{{I_y}}}{{{x_{max }}}} = frac{{2210}}{{12.1}} = 183$см3.