Как найти центр тяжести тела произвольной формы

Содержание:

Центр тяжести:

При рассмотрении движения тел, особенно таких, как самолеты, ракеты, космические корабли, важное значение имеет понятие центра тяжести.

Определения и формулы для вычисления центров тяжести

Для введения понятия центра тяжести разобьем мысленно рассматриваемое тело на достаточно большое число малых по сравнению с телом или элементарных его частей произвольной формы. Силу тяжести элементарной частицы тела с индексом Центр тяжести в теоретической механике

Радиус-вектор центра тяжести тела Центр тяжести в теоретической механике вычисляем как радиус-вектор центра параллельных сил (рис. 88) по формуле

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — радиус-вектор точки приложения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку; Центр тяжести в теоретической механике— сила тяжести элементарной частицы; Центр тяжести в теоретической механике — сила тяжести всего тела; Центр тяжести в теоретической механике — число частей, на которое мысленно разбито все тело. Центр тяжести является точкой приложения равнодействующей силы тяжести, если силы тяжести отдельных его частей считать системой параллельных сил.

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 88

Если в (1) перейти к пределу, увеличивая число элементарных частей Центр тяжести в теоретической механике до бесконечности, то после замены Центр тяжести в теоретической механике дифференциалом Центр тяжести в теоретической механике, а суммы — интегралом получим

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — радиус-вектор элементарной части тела, принятой за точку. В проекциях на оси координат из (1) и (1′) получаем:

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике— координаты центра тяжести; Центр тяжести в теоретической механике — координаты точки приложения силы тяжести Центр тяжести в теоретической механике.

Используя понятие центра тяжести тела, введем понятие его центра масс. Силы тяжести элементарных частей тела и всего тела можно выразить через их массы Центр тяжести в теоретической механике и Центр тяжести в теоретической механике и ускорение силы тяжести Центр тяжести в теоретической механике с помощью формул

Центр тяжести в теоретической механике

Подставляя эти значения сил тяжести в (1) и (1′) после сокращения на Центр тяжести в теоретической механике, которое принимаем одинаковым для всех частей тела, имеем

Центр тяжести в теоретической механике

и соответственно

Центр тяжести в теоретической механике

По формулам (2) и (2′) определяют радиус-вектор центра масс тела. Центр масс обычно определяют независимо от центра тяжести как геометрическую точку, радиус-вектор, которой вычисляется по формулам (2) или (2′). В проекциях на оси координат из (2) и (2′) получаем:

Центр тяжести в теоретической механике

и

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — координаты центра масс тела.

Для однородного тела силу тяжести элементарной частицы тела и ее массу можно вычислить по формулам

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — объем элементарной частицы тела; Центр тяжести в теоретической механике и Центр тяжести в теоретической механике — соответственно удельный вес и плотность тела. Сила тяжести и масса всего тела

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — объем тела. Подставляя эти значения в (2) и (2′), после сокращения на Центр тяжести в теоретической механике и Центр тяжести в теоретической механике соответственно получим формулы

Центр тяжести в теоретической механике

по которым определяют центр тяжести объема тела.

Если тело имеет форму поверхности, т. е. один из размеров мал по сравнению с двумя другими, как, например, у тонкого листа железа, то имеем

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — удельный вес; Центр тяжести в теоретической механике — площадь элементарной частицы поверхности; Центр тяжести в теоретической механике — площадь всей поверхности. После сокращения на Центр тяжести в теоретической механике для однородной поверхности получим следующие формулы для определения центра тяжести ее площади:

Центр тяжести в теоретической механике

Для однородных тел типа проволоки, у которых два размера малы по сравнению с третьим, можно определить радиус-вектор центра тяжести длины линии по формулам

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — длина элемента линии; Центр тяжести в теоретической механике—общая длина линии, центр тяжести которой определяется.

Методы определения центров тяжести (Центров масс)

Метод симметрии

При определении центров тяжести широко используется симметрия тел. Докажем, что для однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр тяжести находится в плоскости симметрии. Для доказательства выберем начало координат в плоскости симметрии тела и одну из осей координат, ось Центр тяжести в теоретической механике направим перпендикулярно плоскости симметрии, а две других оси расположатся в плоскости симметрии (рис. 89). Каждая частица массой Центр тяжести в теоретической механике, находясь по одну сторону плоскости симметрии, имеет симметричную частицу такой же массы по другую сторону этой плоскости. Координаты Центр тяжести в теоретической механике у симметричных частиц одинаковы при сделанном выборе осей координат, а координаты по оси Центр тяжести в теоретической механике отличаются только знаком. Для координаты центра масс Центр тяжести в теоретической механике имеем следующее выражение:

Центр тяжести в теоретической механике

Разбивая сумму в числителе на две по симметричным частям тела, получаем, что

Центр тяжести в теоретической механике

так как симметричные части тела 1 и 2 одинаковы.

Таким образом, центр масс расположен в плоскости симметрии и для его определения достаточно вычислить только две его координаты Центр тяжести в теоретической механике и Центр тяжести в теоретической механике в этой плоскости.

Аналогично доказывается, что для однородного тела, имеющего ось или центр симметрии, центр масс находится соответственно на оси симметрии или в центре симметрии.

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 89

Метод разбиения на части (метод группировки)

Некоторые тела сложной формы можно разбить на части, центры тяжести которых известны или предварительно могут быть определены. В таких случаях центры тяжести сложных тел вычисляются по общим формулам, определяющим центр тяжести, только вместо элементарных частиц тела берутся его конечные части, на которые оно разбито. Покажем это на частном примере плоской фигуры, изображенной на рис. 90. Плоскую фигуру можно разбить на три части, центры тяжести которых Центр тяжести в теоретической механике, Центр тяжести в теоретической механике и Центр тяжести в теоретической механике известны. Они находятся на пересечении диагоналей прямоугольников. Их радиусы-векторы обозначим Центр тяжести в теоретической механике и площади Центр тяжести в теоретической механике. Общая площадь сложной фигуры будет Центр тяжести в теоретической механике.

Используя определение центра тяжести и производя группировку слагаемых под знаком суммы по частям фигуры, на которые она разбита, получим

Центр тяжести в теоретической механике

Радиусы-векторы центров тяжести частей тела выразятся в такой форме:

Центр тяжести в теоретической механике

или

Центр тяжести в теоретической механике

Используя эти формулы для радиуса-вектора всей фигуры, имеем

Центр тяжести в теоретической механике

Полученная формула имеет ту же структуру, что и формула, определяющая радиус-вектор центра тяжести тела при разбиении его на элементарные частицы, только в нее входят величины для конечных частей тела.

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 90

Метод отрицательных масс

Видоизменением метода разбиения на части является метод отрицательных масс. Проиллюстрируем его тоже на примере плоской фигуры (рис. 91). Для определения центра тяжести этой фигуры ее можно разбить на три части. Можно поступить по-другому. Для этого дополним нашу фигуру до прямоугольника и примем, что этот прямоугольник с площадью Центр тяжести в теоретической механике и центром масс Центр тяжести в теоретической механике полностью заполнен массой (имеет положительную площадь). На той части фигуры, которую добавили, следует распределить отрицательную массу (отрицательную площадь) той же плотности. Площадь этой фигуры с отрицательной массой обозначим Центр тяжести в теоретической механике, а ее центр масс — Центр тяжести в теоретической механике. Применяя метод разбиения на части, радиус-вектор заданной фигуры определим по формуле

Центр тяжести в теоретической механике

В отличие от обычного метода разбиения на части в формуле (4) массы и, следовательно, площади входят со знаком минус.

Метод отрицательных масс особенно удобен при вычислении положения центров тяжести тел, имеющих отверстия.
 

Центр тяжести в теоретической механике

 Рис. 91

Центры тяжести простейших тел

Для определения центров тяжести тел сложной формы методом разбиения на части или методом отрицательных масс необходимо уметь вычислять центры тяжести простейших тел, на которые разбивается тело сложной формы. Рассмотрим некоторые из тел, для определения центров тяжести которых известны простые способы их нахождения или вычисления по формулам.

Прямолинейный отрезок

Центр тяжести прямолинейного однородного отрезка располагается на его середине, а неоднородного— на самом отрезке и не может находиться вне отрезка.

Площадь треугольника

Для определения центра тяжести площади треугольника разобьем его прямыми линиями, параллельными одной из его сторон Центр тяжести в теоретической механике, на полоски, которые в пределе можно принять за прямолинейные отрезки (рис. 92). Центры тяжести отрезков и, следовательно, полосок находятся посередине полоски. Все они расположатся на медиане Центр тяжести в теоретической механике. В пределе центры тяжести полосок непрерывно покроют медиану, но не равномерно, так как площади полосок разные. В каждом центре масс полоски следует считать сосредоточенной массу или площадь этой полоски, пропорциональную длине полоски, если ширину полосок выбирать одинаковой.

Затем разобьем треугольник на полоски прямыми линиями, параллельными другой стороне Центр тяжести в теоретической механике треугольника. Центры их тяжести в пределе покроют неравномерно медиану Центр тяжести в теоретической механике. Центры тяжести неоднородных прямолинейных отрезков Центр тяжести в теоретической механике и Центр тяжести в теоретической механике должны располагаться на этих отрезках, а следовательно, в точке их пересечения Центр тяжести в теоретической механике, являющейся точкой пересечения медиан треугольника. Эта точка делит медианы в отношении 1 к 2, т. е. если длина медианы Центр тяжести в теоретической механике равна Центр тяжести в теоретической механике, то Центр тяжести в теоретической механике, Центр тяжести в теоретической механике.

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 92

Дуга окружности

Дуга окружности Центр тяжести в теоретической механике определяется радиусом Центр тяжести в теоретической механике и стягиваемым ею центральным углом Центр тяжести в теоретической механике(рис. 93). Она имеет ось симметрии, делящую угол пополам. Центр тяжести находится на оси симметрии дуги, которую примем за ось координат Центр тяжести в теоретической механике. Координату центра тяжести дуги Центр тяжести в теоретической механике вычисляем по формуле

Центр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 93

В рассматриваемом случае

Центр тяжести в теоретической механике

Подставляя эти значения в формулу для Центр тяжести в теоретической механике, получим

Центр тяжести в теоретической механике

Таким образом,

Центр тяжести в теоретической механике

Для полуокружности Центр тяжести в теоретической механике. Приняв Центр тяжести в теоретической механике,  получим:

Центр тяжести в теоретической механике

Площадь кругового сектора

Центр тяжести площади кругового сектора с радиусом Центр тяжести в теоретической механике и центральным углом Центр тяжести в теоретической механике находится на оси симметрии, принимаемой за ось Центр тяжести в теоретической механике(рис. 94). Разобьем сектор на элементарные треугольники одинаковой величины. Центры тяжести треугольников в пределе при увеличении их числа до бесконечности равномерно покроют дугу окружности радиусом Центр тяжести в теоретической механике.

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 94

Используя формулу для центра тяжести дуги окружности, получим

Центр тяжести в теоретической механике

или

Центр тяжести в теоретической механике

Для площади полукруга Центр тяжести в теоретической механике, Центр тяжести в теоретической механике. При Центр тяжести в теоретической механике получим

Центр тяжести в теоретической механике

Объем пирамиды и конуса

Определим положение центра тяжести объема конуса (рис. 95). Для простоты рассмотрим прямой конус, у которого высота является осью симметрии. Высотой конуса является отрезок, соединяющий его вершину Центр тяжести в теоретической механике с центром тяжести площади основания Центр тяжести в теоретической механике. Выберем начало координат в вершине конуса, а ось Центр тяжести в теоретической механике направим по оси симметрии конуса. Тогда центр тяжести объема конуса расположится на оси Центр тяжести в теоретической механике.

Разобьем конус плоскостями, перпендикулярными оси Центр тяжести в теоретической механике, на элементарные тонкие диски толщиной Центр тяжести в теоретической механике и площадью Центр тяжести в теоретической механике. Все полученные сечения (диски) конуса подобны его основанию. Координату Центр тяжести в теоретической механике центра тяжести объема конуса вычислим по формуле

Центр тяжести в теоретической механике

Отношения линейных размеров сечений к соответствующим размерам основания конуса пропорциональны их расстояниям до вершины конуса. Отношения площадей пропорциональны квадратам расстояний. Приняв Центр тяжести в теоретической механике, получим

Центр тяжести в теоретической механике

Учитывая, что

Центр тяжести в теоретической механике

имеем

Центр тяжести в теоретической механике

или

Центр тяжести в теоретической механике

Таким образом, центр тяжести прямого конуса находится на расстоянии Центр тяжести в теоретической механике от вершины или Центр тяжести в теоретической механике от основания.

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 95

Это справедливо для объема любого конуса и любой пирамиды, как прямых, так и наклонных, т. е. центр тяжести объема пирамиды или конуса находится на расстоянии Центр тяжести в теоретической механике расстояния от центра тяжести площади основания до вершины.

Объем полушара

Полушар имеет ось симметрии, которую примем за координатную ось Центр тяжести в теоретической механике (рис. 96). Разобьем объем полушара на элементарные диски толщиной dx и радиусом у, который является координатой точки окружности, которая получилась от пересечения полушара с координатной плоскостью Центр тяжести в теоретической механике. Уравнение этой окружности

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике— радиус полушара. Для координаты центра тяжести объема полушара имеем

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — координата центра тяжести элементарного диска. Объем полушара

Центр тяжести в теоретической механике

Объем элементарного диска

Центр тяжести в теоретической механике

так как радиус диска Центр тяжести в теоретической механике. Выполняя интегрирование в пределах от Центр тяжести в теоретической механике до Центр тяжести в теоретической механике, получим

Центр тяжести в теоретической механике

Таким образом, центр тяжести объема полушара находится от его центра на расстоянии

Центр тяжести в теоретической механике

Это расстояние меньше половины радиуса полушара.

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 96

Задача №1

Определить координаты центра тяжести площади плоской фигуры, имеющей размеры, указанные на рис. 97.

Центр тяжести в теоретической механике

Рис.97

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 98

Решение. Присоединим к заданной фигуре дополнительно полукруг 3 и разобьем полученную фигуру на прямоугольник 1 и треугольник 2. Получили три фигуры, две из которых имеют положительные площади (прямоугольник 1 и треугольник 2) и одна — отрицательную (полукруг 3). В выбранной системе координат для координат центра тяжести заданной фигуры имеем

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — координаты центров тяжести отдельных фигур; Центр тяжести в теоретической механике — площади этих фигур.

Вычислим площади и координаты центров тяжести отдельных фигур, учитывая рис. 98 Имеем:

Центр тяжести в теоретической механике

так как Центр тяжести в теоретической механике.

Подставляя полученные значения в (а), получим:

Центр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести плоской фигуры

постановка задачи. Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры.

План решения:

1.    Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.

2.    Выбираем систему координат. Вычисляем площади и координаты Центр тяжести в теоретической механикецентров тяжести отдельных частей. Площади вырезанных частей берем со знаком минус.

3.    Находим общую площадь фигуры по формуле Центр тяжести в теоретической механике

4.    Определяем координаты центра тяжести фигуры:

Центр тяжести в теоретической механике

Задача №2

Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры. Криволинейный участок контура является половиной окружности с центром на оси Ох (рис. 74). Размеры на рисунке даны Центр тяжести в теоретической механике

Решение

1. Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.

Центр тяжести прямоугольника находится в его геометрическом центре, положение центра тяжести других фигур, встречающихся в задачах, изображено на рис. 75Центр тяжести в теоретической механике

Представляем фигуру в виде двух треугольников 1,2, прямоугольника 3 и выреза 4 в виде полукруга (рис. 76).

2. Вычисляем площадь (в Центр тяжести в теоретической механике) и координаты центра тяжести (в м) каждого элемента:Центр тяжести в теоретической механике

Площадь выреза берем со знаком минус.

3.Площадь фигуры Центр тяжести в теоретической механике

4. Находим координаты центра тяжести всей фигуры:

Центр тяжести в теоретической механике

Вычисления удобно свести в таблицу:Центр тяжести в теоретической механике

Сначала заполняем столбцы Центр тяжести в теоретической механике затем вычисляем статические моменты Центр тяжести в теоретической механике Внизу записываем суммы столбцов, необходимые для вычисления координат центра тяжести. Таким образом

Центр тяжести в теоретической механике

Замечание 1. Большинство задач на определение центра тяжести допускает несколько способов разбиения фигуры. Это можно использовать для проверки решения. Второй вариант разбиения фигуры в данном примере состоит из прямоугольника 3 с размерами Центр тяжести в теоретической механике и вырезанных из него полукруга 4 и двух треугольников 1 и 2 (рис. 77).

Замечание 2. Решение задачи в системе Maple V методом контурного интегрирования.

  • Заказать решение задач по теоретической механике

Пространственная стержневая система

Постановка Задачи. Найти координаты центра тяжести пространственной фигуры, состоящей из N однородных стержней.

План решения:

1. Разбиваем фигуру на отдельные стержни.

2. Выбираем систему координат. Вычисляем длины и координаты Центр тяжести в теоретической механике центров тяжести отдельных стержней. Координаты центра прямолинейного однородного стержня вычисляем как полусумму координат его концов.

3. Находим суммарную длину стержней системы Центр тяжести в теоретической механике

4. Определяем координаты центра тяжести тела по формулам

Центр тяжести в теоретической механике

Задача №3

Найти координаты центра тяжести пространственной фигуры, состоящей из шести однородных стержней (рис. 78). Даны размеры:Центр тяжести в теоретической механике

Решение

1. Разбиваем фигуру на шесть стержней.

2. Выбираем систему координат (рис. 78). Вычисляем длины и координаты Центр тяжести в теоретической механикецентров тяжести отдельных стержней.
Центр тяжести в теоретической механике
3. Находим суммарную длину стержней системы:

Центр тяжести в теоретической механике

Промежуточные результаты удобно занести в таблицу:
Центр тяжести в теоретической механике
4. Определяем координаты центра тяжести тела по формулам

Центр тяжести в теоретической механике

Постановка задачи. Найти координаты центра тяжести однородного объемного тела.

План решения:

1. Разбиваем тело на простые части, положение центров тяжести которых известно.

2. Выбираем систему координат. Вычисляем объемы Центр тяжести в теоретической механике и координаты Центр тяжести в теоретической механикецентров тяжести отдельных частей. Объемы вырезанных частей берем со знаком минус.

3. Находим общий объем тела по формуле Центр тяжести в теоретической механике

4. Определяем координаты центра тяжести тела:

Центр тяжести в теоретической механике

Задача №4

Найти координаты центра тяжести однородного объемного тела (рис.79);Центр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести в теоретической механике

Решение

1. Разбиваем тело на пирамиду 1, параллелепипед 2 и половину цилиндра 3 (рис. 80).

2. Выбираем систему координат. Вычисляем объемы Центр тяжести в теоретической механике и координаты Центр тяжести в теоретической механике центров тяжестей отдельных частей. Центр тяжести пирамиды 1 лежит в точке Центр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести параллелепипеда 2 совпадает с его геометрическим центром:

Центр тяжести в теоретической механике

Объем половины цилиндра 3 берем со знаком минус:

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — расстояние по оси у от оси цилиндра до его центра тяжести Центр тяжести в теоретической механике.
Центр тяжести в теоретической механике
3. Находим общий объем тела: 

Центр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести в теоретической механикеВ общем случае объем тела, лежащего в области Центр тяжести в теоретической механике можно найти, вычисляя тройной интеграл по области Центр тяжести в теоретической механике а координаты центра тяжести, например, Центр тяжести в теоретической механике однородного тела можно определить по формуле Центр тяжести в теоретической механикесм.

4. Определяем координаты центра тяжести тела:
Центр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести

Центр тяжести — точка, через которую проходит линия действия равнодействующей элементарных сил тяжести. Он обладает свойством центра параллельных сил. Поэтому формулы для определения положения центра тяжести различных тел имеют вид:
Центр тяжести в теоретической механике
Если тело, центр тяжести которого нужно определить, можно отождествить с фигурой, составленной из линий (например, замкнутый или незамкнутый контур, изготовленный из проволоки, как на рис. 173), то вес Центр тяжести в теоретической механике каждого отрезка Центр тяжести в теоретической механикеможно представить в виде произведения

где d — постоянный для всей фигуры вес единицы длины материала.
После подстановки в формулы (1) вместо Центр тяжести в теоретической механике их значений Центр тяжести в теоретической механике постоянный множитель d в каждом слагаемом числителя и знаменателя можно вынести за скобки (за знак суммы) и сократить. Таким образом, формулы для определения координат центра тяжести фигуры, составленной из отрезков линий, примут вид:

Центр тяжести в теоретической механике

Если тело имеет вид фигуры, составленной из расположенных различным образом плоскостей или кривых поверхностей (рис. 174),
Центр тяжести в теоретической механике

то вес каждой плоскости (поверхности) можно представить так:

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — площади каждой поверхности, ар — вес единицы площади фигуры.

После подстановки этого значенияЦентр тяжести в теоретической механике в формулы (1) получаем формулы координат центра тяжести фигуры, составленной из площадей:

Центр тяжести в теоретической механике
Если же однородное тело можно разделить на простые части определенной геометрической формы (рис. 175), то вес каждой части

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике— объем каждой части, а у — вес единицы объема тела.

После подстановки значений Центр тяжести в теоретической механикев формулы (I) получаем формулы для определения координат центра тяжести тела, составленного из однородных объемов;
Центр тяжести в теоретической механике
При решении некоторых задач на определение положения центра тяжести тел иногда необходимо знать, где расположен центр тяжести дуги окружности, кругового сектора или треугольника.

Если известен радиус дуги г и центральный угол 2а, стягиваемый дугой и выраженный в радианах, то положение центра тяжести С (рис. 176, а) относительно центра дуги О определится формулой

Центр тяжести в теоретической механикеЦентр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести в теоретической механике

Если же задана хорда Центр тяжести в теоретической механике дуги, то в формуле (5) можно произвести замену

Центр тяжести в теоретической механике

и тогда

Центр тяжести в теоретической механике

В частном случае для полуокружности обе формулы примут вид (рис. 176, б)Центр тяжести в теоретической механике

Положение центра тяжести кругового сектора, если задан его радиус r (рис. 176, в), определяется при помощи формулы
Центр тяжести в теоретической механике
Если же задана хорда сектора, то
Центр тяжести в теоретической механике
В частном случае для полукруга обе последние формулы примут вид (рис. 176, г)
Центр тяжести в теоретической механике
Центр тяжести площади любого треугольника расположен от любой стороны на расстоянии, равном одной трети соответствующей высоты.

У прямоугольного треугольника центр тяжести находится на пересечении перпендикуляров, восставленных к катетам из точек, расположенных на расстоянии одной трети длины катетов, считая от вершины прямого угла (рис. 177).

Центр тяжести в теоретической механике

При решении задач на определение положения центра тяжести любого однородного тела, й составленного либо из тонких стержней (линий), либо из пластинок (площадей), либо из объемов, целесообразно придерживаться следующего порядка:

  1. выполнить рисунок тела, положение центра тяжести которого нужно определить. Так как все размеры тела обычно известны, при этом следует соблюдать масштаб;
  2. разбить тело на составные части (отрезки линий или площади, или объемы), положение центров тяжести которых определяется исходя из размеров тела;
  3. определить или длины, или площади, или объемы составных частей;
  4. выбрать расположение осей координат;
  5. определить координаты центров тяжести составных частей;
  6. найденные значения длин или площадей, или объемов отдельных частей, а также координат их центров тяжести подставить в соответствующие формулы и вычислить координаты центра тяжести всего тела;
  7. по найденным координатам указать на рисунке положение центра тяжести тела.
  • Кинематика точки
  • Плоское движение твердого тела
  • Мгновенный центр скоростей
  • Мгновенный центр ускорений
  • Условия равновесия системы сил
  • Плоская система сил
  • Трение
  • Пространственная система сил

Определение координат центра тяжести фигур

Определение координат центра тяжести xC и yC плоских фигур нестандартной формы выполняется при решении задач для последующих расчетов остальных геометрических характеристик, например, таких как радиусы и осевые моменты инерции поперечных сечений.

Рассмотрим способы и пример определения координат положения центра тяжести фигуры нестандартной формы.

Способы определения координат центра тяжести

Способы определения координат центров тяжести твердых объёмных тел и плоских фигур можно получить исходя из полученных ранее общих формул для расчета положения центра тяжести.

Существует 5 способов расчета координат положения центра тяжести:

  1. Аналитический (путем интегрирования).
  2. Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
  3. Экспериментальный. (метод подвешивания тела).
    Этот способ подходит в основном для плоских и линейных тел.
  4. Разбиение. Тело или фигура разбивается на конечное число частей (простых тел или фигур), для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь A известны.

    Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями A1 и A2 (A = A1+ A2).
    Определение координат центра тяжести разбиением

    Рисунок 1.8

    Центры тяжести этих фигур находятся в точках C1(x1, y1) и C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны:
    Формулы для расчета координат центра тяжести

  5. Дополнение (Метод отрицательных площадей или объемов).
    Это частный случай предыдущего способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.

    Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):
    Метод отрицательных площадей или объемов

    Рисунок 1.9

    Тогда координаты центра тяжести фигуры с отверстием можно определить по формулам:
    Формула определения центра тяжести

При решении задач по определению координат центра тяжести плоских фигур и объемных тел применяются последние два способа (разбиение и дополнение).

Пример определения координат центра тяжести сложной фигуры в нашем коротком видео:

Другие видео

Пример определения координат центра тяжести плоской фигуры

Задача
Определить координаты центра тяжести плоской фигуры с круглым отверстием
Сложное сечение
Решение
Разделим заданное сечение на простые фигуры – прямоугольник, круг и прямоугольный треугольник.
Через нижнюю левую точку фигуры проведем координатные оси x и y.
Разбивка сечения
Рассчитаем необходимые для решения задачи площади A и координаты x,y центров тяжести Ci отдельных фигур:

Прямоугольник (фигура 1)
Площадь
A1=400×500=200000 мм2
Положение центра тяжести
x1=200мм
y1=250мм
Центры тяжести частей фигуры
Круг (2) (вычитаемая фигура)
Площадь
A2=π×2002/4=31416 мм2
Центр тяжести
x2=200мм
y2=300мм

Прямоугольный треугольник (3)
Площадь
A3=400*100/2=20000 мм2
Положение центра тяжести треугольника находится на пересечении его медиан (на расстоянии 1/3 высоты от основания или 2/3 высоты от его вершин)
x3=400×2/3=266,7мм
y3=500+100×1/3=533,3мм

Координаты x и y центра тяжести C всей плоской фигуры определим по формулам:
Расчет координат центра тяжести
Ответ: Таким образом, центр тяжести заданной фигуры находится в точке C с координатами xC=207,1мм, yC=271,7мм.
Координаты центра тяжести

Другие примеры решения задач >
Центры тяжести простейших фигур >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Центр тяжести тела, теория и онлайн калькуляторы

Центр тяжести тела

Как известно, сила тяжести тела равна векторной сумме сил тяжести, которые действуют на все материальные точки, на которые можно разбить рассматриваемое тело. Точку, к которой приложена результирующая сила тяжести, называют центром тяжести. Если известно положение центра тяжести, то можно считать, что на тело действует только одна сила тяжести, приложенная к центру тяжести.

Следует учитывать, что силы тяжести, действующие на отдельные элементы тела, направлены к центру Земли и не являются строго параллельными. Но так как размеры большинства тел на Земле много меньше ее радиуса, поэтому эти силы считают параллельными.

Определение центра тяжести тела

Определение

Центром тяжести называют точку, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на материальные точки, на которые разбито рассматриваемое тело, при любом положении тела в пространстве.

Центр тяжести – это точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести равен нулю при любом положении тела.

От положения центра тяжести зависит устойчивость всех конструкций.

Как найти центр тяжести?

Для нахождения центра тяжести тела сложной формы необходимо мысленно разбить тело на части простой формы и определить место нахождения центров тяжести для них. У тел простой формы центр тяжести определяют, используя их симметрию. Так, центр тяжести однородных диска и шара расположен в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т, д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться вне тела, например, у кольца.

Определив, где расположены центры тяжести отдельных частей тела, переходят к поиску места расположения центра тяжести тела в целом. Тело представляют в виде системы материальных точек. При этом каждая точка имеет массу своей части тела и располагается в ее центре тяжести.

Координаты центра тяжести тела

В трехмерном пространстве координаты центра тяжести для твердого тела нахояд как:

[left{ begin{array}{c}
x_c=frac{sumlimits_i{Delta m_ix_i}}{m};; \
y_c=frac{sumlimits_i{Delta m_iy_i}}{m};; \
z_c=frac{sumlimits_i{Delta m_iz_i}}{m} end{array}
right.left(1right),]

где $m$ – масса тела.$;;x_i$ – координата на оси X элементарной массы $Delta m_i$; $y_i$ – координата на оси Y элементарной массы $Delta m_i$; ; $z_i$ – координата на оси Z элементарной массы $Delta m_i$.

В векторной форме записи система уравнений (1) представляется как:

[{overline{r}}_c=frac{1}{m}sumlimits_i{m_i{overline{r}}_ileft(2right),}]

${overline{r}}_c$ – радиус – вектор, определяющий положение центра тяжести; ${overline{r}}_i$ – радиус-векторы, которые определяют положения элементарных масс.

Центр тяжести, центр масс и центр инерции тела

Считают, что центр тяжести тела совпадают с центром масс тела, если его размеры малы в сравнении с расстоянием до центра Земли. При этом формулы, которые определяют положение цента тяжести и центра масс тела совпадают с выражениями (1) и (2). В основной массе задач центр тяжести принимают совпадающим с центром масс тела.

Сила инерции в неинерциальных системах отсчета, движущихся поступательно, приложена к центру тяжести тела.

Но центробежная сила инерции (в общем случае) не приложена к центру тяжести, поскольку в неинерциальной системе отсчета на элементы тела действуют разные центробежные силы инерции (даже если массы элементов равны), так как расстояния до оси вращения разные.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание: Каковы координаты центра тяжести системы из трех точечных масс, расположенных в вершинах и одной в центре равностороннего треугольника, со стороной равной $a (м)$ (рис.1)?

Центр тяжести тела, пример 1

Решение: Определение для координат $x_c и y_c$ центра тяжести в нашем случае запишем в виде:

[x_c=frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+m_4x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}(1.1);;]

[y_c=frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3+m_4y_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}(1.2).]

Из рис.1 мы видим, что соответствующие абсциссы точек равны:

[left{ begin{array}{c}
m_1=2m, x_1=0;; \
{rm }m_2=3m, x_2=frac{a}{2};; \
m_3=m, x_3=frac{a}{2};; \
m_4=4m, x_4=a. end{array}
right.left(1.3right).]

Тогда абсцисса центра тяжести получается равной:

[x_c=frac{2mcdot 0+3mcdot frac{a}{2}+mcdot frac{a}{2}+4mcdot a}{2m+3m+m+4m}=frac{6ma}{10m}=0,6a (м);]

Найдем ординаты точек.

[ begin{array}{c}
m_1=2m, y_1=0;; \
{rm }m_2=3m, y_2=frac{asqrt{3}}{2};; \
m_3=m, y_3=frac{asqrt{3}}{6};; \
m_4=4m, y_4=0. end{array}
left(1.4right).]

Для того чтобы найти ординату $y_2$ найдем, высоту в равностороннем треугольнике:

[h=sqrt{a^2-frac{a^2}{4}}=frac{asqrt{3}}{2}=y_2left(1.5right).]

Ординату $y_3$ найдем, учитывая, что медианы в равностороннем треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1 от вершины, имеем:

[y_3=hcdot frac{1}{3}=frac{asqrt{3}}{6} left(1.6right).]

Вычислим ординату центра тяжести:

[y_c=frac{2mcdot 0+3mcdot frac{asqrt{3}}{2}+mcdot frac{asqrt{3}}{6}+4mcdot 0}{2m+3m+m+4m}=frac{10mfrac{asqrt{3}}{6}}{10m}=frac{asqrt{3} }{6}(м).]

Ответ: $x_c=0,6a {rm }{rm м}$; $y_c=frac{asqrt{3} }{6}$ м

   

Пример 2

Задание: Каковы координаты центра тяжести системы из четырех элементарных масс, расположенных в вершинах куба со стороной равной $a$ (рис.2)?

Центр тяжести тела, пример 2

Решение: Координату $x_c$ центра тяжести найдем как:

[x_c=frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+m_4x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=frac{mcdot a+2mcdot 0+3mcdot 0+4mcdot 0}{m+2m+3m+4m}=frac{am}{10m}=0,1 aleft(мright).]

Ординату центра тяжести вычислим как:

[y_c=frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3+m_4y_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=frac{mcdot 0+2mcdot 0+3mcdot a+4mcdot 0}{m+2m+3m+4m}=frac{acdot 3m}{10m}=0,3a left(мright).]

Для координаты $z_c$ получаем:

[z_c=frac{m_1z_1+m_2z_2+m_3z_3+m_4z_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=frac{mcdot 0+2mcdot a+3mcdot 0+4mcdot 0}{m+2m+3m+4m}=frac{acdot 2m}{10m}=0,2a left(мright).]

Ответ: ($x_{c, }y_c, z_c$)=($ 0,1 a$, $0,3a$, $0,2a$)(м)

   

Читать дальше: циклическая частота колебаний.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Центр тяжести тела

Общие сведения

Пусть имеется физическое тело, на которое не оказывается влияние, то есть другие объекты не действуют или их силы воздействия скомпенсированы. Рассматриваемое тело будет находиться в состоянии прямолинейного движения или покоя. Для удобства можно принять, что объект неподвижен, например, пусть это будет лодка на поверхности воды.

Если к плавательному средству приложить силу, смещённую к началу лодки F1, судно начнёт поворачиваться в сторону направления воздействия. Если ее переместить в горизонтальной плоскости в другой конец судна, лодка начнёт также поворачиваться, но направление вращения изменится. Отсюда можно сделать вывод, что существует такая точка приложения силы, точнее, линия, при воздействии на которую лодка не изменит своего положения, то есть плавательное средство начнёт двигаться ускоренно поступательно. Допустим, это будет сила F3.

Логично, что можно подобрать и другую силу, вызывающую поступательное прямолинейное перемещение, например, F4.

Центр тяжести объемных тел

При этом точку воздействия можно перемещать по линии её направления, так как, согласно правилу, величина действия при этом не изменяется. В итоге получится точка, где пересекутся приложенные силы F3 и F4. Таких моментов можно приложить сколько угодно, при этом они все соединятся в одном месте. Точку пересечения линий действия сил, которые вызывают ускоренное поступательное движение тела, называют центром масс.

На лодку действует ещё одна сила — притяжения. На самом деле она воздействует на каждую частичку объекта, поэтому на тело одновременно оказывает влияние огромное количество моментов. Это множество и принято заменять их равнодействующей — то есть силой, приложенной к центру тяжести. В физике параметр обозначают как mg. Другими словами, это точка приложения равнодействующих сил тяжести.

Существует взаимосвязь между массой и тяжестью. Если тело разбить на кусочки и бросить их, скорость падения будет для всех тел одинаковой, так как ускорение не зависит от массы. При этом падающий объект движется поступательно.

А значит, приложенная сила проходит через центр масс, то есть через центр тяжести, поэтому несмотря на разный принцип определения этих точек, их положение совпадает.

Поиск центра тяжести

Чтобы определить центр тяжести для тела сложной формы, его нужно разделить на простые фигуры и определить точки равновесия для каждой из них. Для простых геометрических объектов используют симметрию. Например, в шаре параметр располагается в центре, в однородном цилиндре — в точке на середине оси. Частным случаем разбиения фигуры при определении является метод отрицательных площадей. Его применяют к телам, которые имеют вырезы, и при этом площадь удалённой части известна.

Вот формулы для вычисления центра в некоторых фигурах:

Центр тяжести в физике

  1. В треугольнике: x = (1/3) * (x1 + x2 + x3); y = (1/3) * (y1 + y2 + y3). Физически центр находится в точке пересечения медиан и представляет собой среднее арифметическое из координат вершин.
  2. В прямоугольнике: x = b/2; y = h/2. Центр равновесия располагается в точке пересечения диагональных прямых.
  3. В полукруге: x =D/2; y = 4R/3π. Искомая точка лежит на оси симметрии.
  4. В круге: x = R; y = R. Точка тяжести находится в центре фигуры.

Стоит отметить, что центр тяжести объёмных тел может находиться и вне фигуры, например, как у кольца. Вообще же для трёхмерного пространства, как учат на уроках физики в 7 классе, центр тяжести тела вычисляют по формулам: x = (ΣΔ m * x) / m; y = (ΣΔ m * y) / m; z = (ΣΔ m * z) / m, где: m — масса тела, x, y, z — координаты искомой точки в пространстве. Уравнение можно переписать и в векторной форме: r = (1 / m) Σm * r, где r — радиус вектор.

Существует и ряд теорем, благодаря которым можно определить точку массы в теле:

 физика 7 класс центр тяжести тела

  1. При рассмотрении однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр массы будет находиться в этой плоскости.
  2. Если однородное тело обладает осью симметрии, центр располагается на ней.
  3. Центр симметрии однородной фигуры совпадает с центром массы.
  4. Центр масс симметричных фигур находится в их геометрическом центре.

Точку равновесия фигуры можно находить и через объём: R = (1 / V) * ∫ ∫ ∫rdV. Для плоских объектов используется формула R = (1 / S) * ∫ ∫ ∫rdS, а однородной линии R = (1 / L) * ∫ ∫ ∫rdL. Стоит отметить, что понятие точки тяжести применимо только к твёрдым объектам. Если это не так, использование понятия не имеет смысла.

Пример задания

Теоретический материал лучше всего усваивается на практических заданиях. Не исключение и понятие о центре тяжести. Тема несложная, но при нахождении параметра желательно фигуру изобразить на рисунке.

Наиболее часто ученикам преподаватель предлагает решить задачу о нахождении центра масс сложного тела, но при этом достаточно симметричного. Например, пусть имеется диск из однородной пластины, в котором вырезан кусок треугольной формы. Необходимо найти центр равновесия оставшегося объекта.

 тема центр тяжести

Если нарисовать условие задачи, станет понятно, что треугольник прямоугольный, а центр масс находится на горизонтальной прямой, проходящей через середину диска. Пусть это будет ось x. Чтобы решить задачу, нужно разбить сложную фигуру на несколько частей, в каждой из которых можно найти искомую точку.

Симметрично удалённому треугольнику можно выделить аналогичную часть. В итоге останется круг с вырезанным внутри квадратом. Точка масс диска находится в центре. Для удобства её можно обозначить как x1. Вторая фигура — это треугольник. Точка равновесия у него находится на пересечении медиан. То есть на 1/3 высоты. Обозначить точку можно как x2.

Если масса треугольника равна М2, а круга М1, искомую координату можно определить по формуле: x = (m1x1 + m2x2) / m1 + m2. Далее, нужно найти, чему равняется сторона вырезанного треугольника. Из рисунка можно понять, что это расстояние будет r * √2, где r — радиус диска.

Теперь можно найти, чему будут равны x1 и x2. x1 будет равняться нулю, так как эту точку можно принять за начало координат. x2 же будет равняться 1/3 длины медианы. Высота фигуры совпадает с радиусом диска, значит: x2 = R/3.

В таких задачах самое сложное — это найти массы. Первую можно определить исходя из того, что она будет равняться массе диска минус значение квадрата. Так как фигура однородная, масса прямо пропорциональна площади. Тогда для первого участка m1 = σ * S = σ * (Sкруга — Sквадрата) = σ * (pR2 — 2R2) = σR2 * (p — 2), где: σ – поверхностная площадь. Соответственно, m2 = σ * Sтреугольника = σ * R2. Все найденные величины нужно подставить в формулу и найти ответ: x = ((r * σ * R2 /3)) / (σ * R2 * (p — 2) + σ * R2) = (r / 3 (p — 1)). Это и будет искомая координата.

Простая задачка

Пусть имеются 2 шара. Они расположены так, что соприкасаются друг с другом. Сделаны тела из одного материала, но при этом радиусы у них отличаются вдвое. Значение первого равняется r = 20 см, а второго 40, то есть 2r. Найти, где находится точка равновесия такого объекта. Такого рода задачи обычно любят демонстрировать на презентациях, касающихся темы. Задача простая, но между тем помогает понять принцип нахождения центра равновесия.

 центр тяжести тела презентация

Итак, при решении нужно будет воспользоваться формулой: x = (m1x1 + m2x2) / m1 + m2. Так как по условию радиусы шаров отличаются вдвое, их массы будут отличаться в 8 раз. Объём всегда пропорционален кубу линейных размеров.

Массу первого шара можно обозначить как m, а второго — 8m. Начало координат для удобства лучше поместить в центр меньшей фигуры. В результате середина большого шара будет иметь координату 3r. Значит, искомая координата равняется: x = ((m* 0 + 8m * 3r)) / (m + 8m) = (8 * 3r) / 9 = 8r/3.

То есть нужная точка находится на расстоянии 1/3 радиуса ближе к маленькому шару (если отсчитывать от середины большого).

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 5.7

Центр тяжести полукруга yC = 43Rπ .

Метод разбиения на части. Некоторые тела сложной формы можно разбить на части, положение центра тяжести которых известно. В таких случаях центр тяжести составного тела вычисляют по формуле

n

n

Ai xi

Ai yi

x =

i=1

, y =

i=1

.

C

A

C

A

Здесь A = Ai – площадь сечения; xi, yi – центр тяжести i-го сечения; Ai – площадь i-го сечения.

Пример 5.1. Вычислить координаты центра тяжести однородного сечения, составленного из двух прямоугольников (рис. 5.8). Размеры прямоугольников показаны на рис. 5.8 в см.

Решение. Разбиваем сечение на два прямоугольника (линии разреза показаны пунктиром) и проводим оси координат (рис. 5.8).

Вычислим координаты центров тяжести и площадь каждого из прямоугольников:

x =1cм,

x = 4 см,

1

2

y1 = 4 см,

y2 = 9 см,

А = 2 8 =16cм2

;

А =8 2 =16см2.

1

2

112

5. Центр тяжести

Рис. 5.8

Площадь всего сечения

3

А= Аk = А1 + А2 =16 +16 = 32 см2.

Тогда

k=1

x1 A1 + x2 A2

= 1 16 + 4 16 = 80 = 2,5см;

x

=

С

A

32

32

y

=

y1 A1 + y2 A2

= 4 16 +9 16 = 64 +144 = 6,5см.

С

A

32

32

Положение центра тяжести совпадает с точкой С {2,5; 6,5}

(рис. 5.7).

Метод отрицательных площадей. В данном методе вырезан-

ные сечения заменяют отрицательными площадями. Проиллюстрируем этот метод на примере сечения.

Пример 5.2. Задано сечение (рис. 5.9, а). Дано: R = 6 см. Вычислить центр тяжести сечения.

Решение. Разобьем сечение на простые фигуры: дополним квадрат – сечение 1, полукруг – сечение 2 и четверть круга – сечение 3 (рис. 5.9, б). За вспомогательную систему координат выберем стороны квадрата: Oxy. Вычислим площадь и координаты центров тяжести каждого сечения.

113

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 5.9

Имеем (рис. 5.10) 1. Квадрат:

A1 = 2R 2R = 4R2 = 4 62 = 4 36 =144 см2;

x1 = R = 6 см; y1 = R = 6 см.

2. Полукруг:

A2 = πR2 2 = 3,142 62 = 56,52 см2;

x2 = 2R + 43Rπ = 2 6 + 343,146 =12 + 2,55 =14,55см;

y2 = R = 6 см.

3. Четверть круга:

A3 = − πR4 2 = −3,144 62 = −28,26 см2; xC = yC = 43Rπ = 3 43.146 = 2,6 см.

114

5. Центр тяжести

Рис. 5.10

Итак,

x

= x1 A1 + x2 A2 + x3 A3

= 6 144 +14,55 56,52 2,6 28,26 =

С

A1 + A2 + A3

144

+56,52 28,26

= 864 +822,37 73,5

= 9, 4см;

172, 26

y

= y1 A1 + y2 A2 + y3 A3 = 6 144 +6 56,52 2,6 28,26 =

С

A1 + A2 + A3

144

+56,52 28,26

= 864 +339,12 73,5

= 6,6см.

172, 26

Положение центра тяжести совпадает с точкой С {9,4; 6,6}

(рис. 5.11).

Статические моменты. Статические моменты сечения Sx и Sy определим, как сумму произведений элементарных площадей dAi на кратчайшее расстояния до осей Ox, Oy соответственно (рис. 5.11), т. е.

S x = Ai yi Sx = y dA, Sy = Ai xi Sy = x dA.

A A

115

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 5.11

Статические моменты имеют размерность см3 или м3.

При параллельном переносе осей (Oxy O1x1 y1 ) значения ста-

тических моментов изменяются и могут иметь как положительное, так и отрицательное значение. Следовательно, существует ось, относительно которой статический момент равен нулю.

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка пересечения центральных осей совпадает с точкой центра тяжести сечения.

Координаты центра тяжести тела через статические моменты будут вычисляться следующим образом:

x

=

Sy

= Ai xi ,

y

=

Sx

= Ai yi .

C

A A

C

A

A

Пример 5.3. Для заданного несимметричного поперечного сечения, составленного из швеллера № 20 и неравнополочного уголка № 10/6,5 (рис. 5.12), найти положение центральных осей.

Рис. 5.12

116

I – момент инерции;

5. Центр тяжести

Решение. Из сортамента выберем геометрические характеристики швеллера № 20 и неравнополочного уголка № 10/6,5 (табл. 5.1) и построим чертеж в масштабе (рис. 5.13).

Таблица 5.1

Сталь горячекатаная. Швеллеры. Сортамент (ГОСТ 8240–89)

I – момент инерции;

h – высота швеллера;

z0 – расстояние от оси y до на-

b – ширина полки

ружной грани стенки;

А – площадь поперечного сече-

ния

Номер

Размеры,

швел-

мм

А, см2

Ix, см4

Iy, см4

x0, см

лера

h

b

20

200

76

23,4

1530

134

2,3

Уголки стальные горячекатаные неравнополочные. Сортамент (ГОСТ 8510–86)

В – ширина

большей полки; z0 – расстояние от оси y до наружной b – ширина грани стенки;

меньшей полки А – площадь поперечного сечения

Но-

Разме-

мер

ры, мм

А, см2

Ix, см4

Iy, см4

Ixy, см4

x0, см

угол-

В

b

ка

10/6,5

200

65

15,67

155,52

51,68

51,18

2,3

Для вычисления положения центра тяжести заданного сечения за вспомогательные оси примем центральные оси швеллера C1x1y1

(рис. 5.13).

Вычислим координаты центра тяжести сечения осей C1x1y1:

y

= Sxi

=

S1x1

+ S2x1

=

А1 уС1 + А2 уС2

=

0 +15,67 6,63

= 2,66;

A1

+ A2

А1 + А2

23,4 +15,67

C

Ai

х

=

Sуi =

S1у1 + S2 у1

=

А1 хС1 + А2 хС2

=

0 +15,67 (3,94)

= −1,58.

23,4 +15,67

C

Ai

A1 + A2

А1 + А2

117

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 5.13

Откладываем на схеме координаты точки центра тяжести сечения С{xC , yC }. Координаты центра тяжести сечения «легли» на отре-

зок С1С2, соединяющий центры тяжести частей (профилей), составляющих заданное сечение. Проверим правильность расчета. Соотношение отрезков должно быть равно соотношению площадей. Измеряем отрезки С1С и С2С, уточняем правильность соотношения

A2 = C1C 15,67 = C1C = 0,67.

A1 C2C 23,4 C2C

Проводим центра центральные оси CxCyC (рис. 5.13).

118

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Добавить комментарий