Как найти центр тяжести уголков

Определение положения центра тяжести сечений, составленных из профилей стандартного проката

Условие задачи

Определить положение центра тяжести сечения, составленного, как показано на рис. 188, из трех профилей стандартного проката: швеллера № 10 (ГОСТ 8240–56), двутавра № 12 (ГОСТ 8239–56) и неравнобокого уголка № 5/3,2 (размеры 50x32x4 мм ГОСТ 8510–57).

Решение задачи

1. Разбиваем сечение на три части: I – швеллер, II – двутавр и III – неравнобокий уголок.

2. Начало координат поместим в вершине прямого угла неравнобокого уголка; ось х совместим с нижней полкой двутавра, а ось у – с его вертикальной осью симметрии.

3. При помощи таблиц из ГОСТа находим:
площадь сечения швеллера № 10
F₁ = 11,7 см 2 ;
площадь сечения двутавра № 12
F₂ = 14,7 см 2 ;
площадь сечения уголка № 5/3,2
F₃ = 3,17 см 2 .

4. В таблицах из ГОСТа положение центра тяжести С₁ швеллера № 10 показано одной координатой z=1,55 см, так как швеллер имеет одну ось симметрии. Положение центра тяжести С₂ двутавра в таблицах не показано, так как он имеет две оси симметрии и его центр тяжести расположен на их пересечении. Положение центра тяжести С₃ неравнобокого уголка № 5/3,2 показано двумя координатами: х=0,76 и y=1,65 см.

Располагаем центры тяжести C₁, C₂ и C₃ на рисунке (см. рис. 188), а затем при помощи таблиц находим их координаты в выбранных осях, учитывая другие необходимые размеры профилей, которые также берутся из таблиц:
координаты центра тяжести C₁:
x₁ = OD = PL — PA = 5 — 3,2 = 1,8 см;
y₁ = OB = OA + AB = 12 + 1,55 = 13,55 см;
координаты центра тяжести C₂:
x₂ = 0;
y₂ = OC₂ = 6 см;
координаты центра тяжести C₃:
x₃ = -OE = -y = -1,65 см;
y₃ = -OK = -x = -0,76 см.

6. Подставляем эти значения в расчетные формулы:
x_c = (11,7*1,8+14,7*0-3,17*1,65)/(11,7+14,7+3,17) = 15,9/29,6 = 0,54 см;
y_c = (11,7*13,55+14,7*6-3,17*0,76)/(11,7+14,7+3,17) = 244,2/29,6 = 8,23 см.

7. Центр тяжести данного составного сечения имеет координаты (в мм) С(5,4; 82,3).

Источник

Определение положения центра тяжести сечений, составленных из профилей стандартного проката

Условие задачи

Определить положение центра тяжести симметричного сечения, составленного, как показано на рис. 187, из полосы размером 120×10 мм, двутавра № 12 (ГОСТ 8239–56) и швеллера № 14 (ГОСТ 8240–56).

Решение задачи

1. Разбиваем сечение на три части: I – полоса, II – двутавр и III – швеллер.

2. Находим площади каждой части, выражая их в см 2 . Площадь полосы определяем путем перемножения двух данных размеров, а площади двутавра и швеллера – по таблицам из ГОСТа.

Площадь сечения полосы
F₁ = 12 * 1 = 12 см 2 .

Площадь сечения двутавра № 12
F₂ = 14,7 см 2 .

Площадь сечения швеллера № 14
F₃ = 15,7 см 2 .

3. Данное сечение имеет вертикальную ось симметрии. Совместим с этой осью ось у, а ось х проведем через середину двутавра через точку С₂ – центр тяжести его сечения. Центр тяжести сечения полосы С₁ расположен ниже точки С₂, принятой в данном случае за начало координат, на расстоянии
y₁= -(h/2 + 0,5) = -6,5 см.

Центр тяжести швеллера С₃ находим при помощи тех же таблиц из ГОСТа. Положение центра тяжести швеллеров в таблицах обозначено одной координатой z; для швеллера № 14 z=1,66 см, следовательно,
y₃= h/2 + z = 7,66 см.

4. Подставляем эти значения в расчетную формулу для ординаты y_c:
y_c = (-12*6,5+14,7*0+15,7*7,66)/(12+14,7+15,7) = 42,3/42,4 = 1,0 см.

В выбранных осях положения центра тяжести сечения выражены координатами С(0; 1).

Это значит, что центр тяжести сечения находится от его нижнего края (от точки А) на расстоянии AC=8 см.

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Задача 1

Требуется определить положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции.

Сечение имеет сложную форму, состоит их 4 х простых фигур:

I – швеллера №30 а ,

II – прямоугольника 2×40см,

III – двутавра №20 а ,

IV – равнобокого уголка №12 (d=10мм).

Всё начинается с подготовки исходных данных. С этой целью необходимо сделать выписки из таблиц Сортамента прокатных сечений (см. рубрику «Таблицы»).

Этап 0. Подготовительный

Фигура I. Швеллер №30 а

Фигура II – прямоугольник 2×40см, В сортаменте прокатной стали этой фигуры нет, поскольку все геометрические характеристики ее свободно вычисляются

Фигура III. Двутавр №20 а .

Фигура IV. Равнобокий уголок №12 (d=10мм).

Пользуясь данными сортамента, на схеме сечения, вычерченной в достаточно крупном масштабе, показываем положение центров тяжести каждой из фигур и собственные центральные оси х_i, у_i.

Этап 1. Определение положения центра тяжести сечения. Сечение не имеет осей симметрии. Поэтому придётся определять две координаты центра тяжести, используя формулы:

Для реализации этих формул выбираем вспомогательные оси х‘ и у‘ (см.схему сечения).

Площади отдельных фигур: А₁=43,89см 2 , А₂=2×40=80см 2 ,

Координаты центров тяжести отдельных фигур:

Площадь всего сечения А=182,7см 2 .

Тогда координаты собственных центров тяжести отдельных фигур в системе случайных центральных осей х_с, у_сбудут:

Этап 2. Определение моментов инерции относительно случайных центральных осей х_с, у_с.

Справочные сведения о знаке собственного центробежного момента инерции уголка (равнобокого и неравнобокого):

Справочные сведения для определения собственного центробежного момента инерции неравнобокого уголка:

Этап 3. Определение положения главных центральных осей

Положительный угол α соответствует повороту против часовой стрелки главных осей относительно случайных (см.схему).

Этап 4. Определение величин главных центральных моментов инерции

Правило: Ось с максимальным главным моментом инерции «тяготеет» к более тяжелой случайной оси. Поэтому в нашем случае:

Проверки.

1. Выполнение закона суммы осевых моментов инерции.

Для этого сравним

Разница в последней цифре дает незначительную погрешность Запись опубликована 11.09.2014 автором admin в рубрике Задачи, Задачи на геометрические характеристики.

Источник

Теоретическая механика:
Центр тяжести

Смотрите также решения задач по нахождению центра тяжести в онлайн решебниках Яблонского (С.8) и Мещерского (§ 9).

Центр тяжести – точка, через которую проходит линия действия равнодействующей элементарных сил тяжести. Он обладает свойством центра параллельных сил (Е. М. Никитин, § 42). Поэтому формулы для определения положения центра тяжести различных тел имеют вид:
x_c = (∑ G_ix_i) / ∑ G_i;
(1) y_c = (∑ G_iy_i) / ∑ G_i;
z_c = (∑ G_iz_i) / ∑ G_i.

Если тело, центр тяжести которого нужно определить, можно отождествить с фигурой, составленной из линий (например, замкнутый или незамкнутый контур, изготовленный из проволоки, как на рис. 173), то вес G_i каждого отрезка l_i можно представить в виде произведения
G_i = l_id,
где d – постоянный для всей фигуры вес единицы длины материала.

После подстановки в формулы (1) вместо G_i их значений l_id постоянный множитель d в каждом слагаемом числителя и знаменателя можно вынести за скобки (за знак суммы) и сократить. Таким образом, формулы для определения координат центра тяжести фигуры, составленной из отрезков линий , примут вид:
x_c = (∑ l_ix_i) / ∑ l_i;
(2) y_c = (∑ l_iy_i) / ∑ l_i;
z_c = (∑ l_iz_i) / ∑ l_i.

Если тело имеет вид фигуры, составленной из расположенных различным образом плоскостей или кривых поверхностей (рис. 174), то вес каждой плоскости (поверхности) можно представить так:
G_i = F_ip,
где F_i – площади каждой поверхности, а p – вес единицы площади фигуры.

После подстановки этого значения G_i в формулы (1) получаем формулы координат центра тяжести фигуры, составленной из площадей :
x_c = (∑ F_ix_i) / ∑ F_i;
(3) y_c = (∑ F_iy_i) / ∑ F_i;
z_c = (∑ F_iz_i) / ∑ F_i.

Если же однородное тело можно разделить на простые части определенной геометрической формы (рис. 175), то вес каждой части
G_i = V_iγ,
где V_i – объем каждой части, а γ – вес единицы объема тела.

После подстановки значений G_i в формулы (1) получаем формулы для определения координат центра тяжести тела, составленного из однородных объемов :
x_c = (∑ V_ix_i) / ∑ V_i;
(4) y_c = (∑ V_iy_i) / ∑ V_i;
z_c = (∑ V_iz_i) / ∑ V_i.

При решении некоторых задач на определение положения центра тяжести тел иногда необходимо знать, где расположен центр тяжести дуги окружности, кругового сектора или треугольника.

Если известен радиус дуги r и центральный угол 2α, стягиваемый дугой и выраженный в радианах, то положение центра тяжести C (рис. 176, а) относительно центра дуги O определится формулой:
(5) x_c = (r sin α)/α.

Если же задана хорда AB=b дуги, то в формуле (5) можно произвести замену
sin α = b/(2r)
и тогда
(5а) x_c = b/(2α).

В частном случае для полуокружности обе формулы примут вид (рис. 176, б):
(5б) x_c = OC = 2r/π = d/π.

Положение центра тяжести кругового сектора, если задан его радиус r (рис. 176, в), определяется при помощи формулы:
(6) x_c = (2r sin α)/(3α).

Если же задана хорда сектора, то:
(6а) x_c = b/(3α).

В частном случае для полукруга обе последние формулы примут вид (рис. 176, г)
(6б) x_c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

Центр тяжести площади любого треугольника расположен от любой стороны на расстоянии, равном одной трети соответствующей высоты.

У прямоугольного треугольника центр тяжести находится на пересечении перпендикуляров, восставленных к катетам из точек, расположенных на расстоянии одной трети длины катетов, считая от вершины прямого угла (рис. 177).

При решении задач на определение положения центра тяжести любого однородного тела, составленного либо из тонких стержней (линий), либо из пластинок (площадей), либо из объемов, целесообразно придерживаться следующего порядка:

1) выполнить рисунок тела, положение центра тяжести которого нужно определить. Так как все размеры тела обычно известны, при этом следует соблюдать масштаб;

2) разбить тело на составные части (отрезки линий или площади, или объемы), положение центров тяжести которых определяется исходя из размеров тела;

3) определить или длины, или площади, или объемы составных частей;

4) выбрать расположение осей координат;

5) определить координаты центров тяжести составных частей;

6) найденные значения длин или площадей, или объемов отдельных частей, а также координат их центров тяжести подставить в соответствующие формулы и вычислить координаты центра тяжести всего тела;

7) по найденным координатам указать на рисунке положение центра тяжести тела.

§ 23. Определение положения центра тяжести тела, составленного из тонких однородных стержней

§ 24. Определение положения центра тяжести фигур, составленных из пластинок

В последней задаче, а также в задачах, приведенных в предыдущем параграфе, расчленение фигур на составные части не вызывает особых затруднений. Но иногда фигура имеет такой вид, который позволяет разделить ее на составные части несколькими способами, например тонкую пластинку прямоугольной формы с треугольным вырезом (рис. 183). При определении положения центра тяжести такой пластинки ее площадь можно разделить на четыре прямоугольника (1, 2, 3 и 4) и один прямоугольный треугольник 5 – несколькими способами. Два варианта показаны на рис. 183, а и б.

Наиболее рациональным является тот способ деления фигуры на составные части, при котором образуется наименьшее их число. Если в фигуре есть вырезы, то их можно также включать в число составных частей фигуры, но площадь вырезанной части считать отрицательной. Поэтому такое деление получило название способа отрицательных площадей.

Пластинка на рис. 183, в делится при помощи этого способа всего на две части: прямоугольник 1 с площадью всей пластинки, как будто она целая, и треугольник 2 с площадью, которую считаем отрицательной.

§ 25. Определение положения центра тяжести сечений, составленных из профилей стандартного проката

При решении задач, приведенных в этом параграфе, нужно пользоваться таблицами из ГОСТа на прокатную сталь: ГОСТ 8509–57, ГОСТ 8510–57, ГОСТ 8239–56, ГОСТ 8240–56.

Эти таблицы для каждого профиля содержат их размеры и площадь, а для уголков и швеллера, кроме того, – координаты центров тяжести.

§ 26. Определение положения центра тяжести тела, составленного из частей, имеющих простую геометрическую форму

Чтобы решать задачи на определение положения центра тяжести тела, составленного из частей, имеющих простую геометрическую форму, необходимо иметь навыки определения координат центра тяжести фигур, составленных из линий или площадей.

Источник

Определение положения центра тяжести сечений, составленных из профилей стандартного проката

Условие задачи

Определить положение центра тяжести сечения, составленного, как показано на рис. 188, из трех профилей стандартного проката: швеллера № 10 (ГОСТ 8240–56), двутавра № 12 (ГОСТ 8239–56) и неравнобокого уголка № 5/3,2 (размеры 50x32x4 мм ГОСТ 8510–57).

Решение задачи

1. Разбиваем сечение на три части: I – швеллер, II – двутавр и III – неравнобокий уголок.

2. Начало координат поместим в вершине прямого угла неравнобокого уголка; ось х совместим с нижней полкой двутавра, а ось у – с его вертикальной осью симметрии.

3. При помощи таблиц из ГОСТа находим:
площадь сечения швеллера № 10
F₁ = 11,7 см 2 ;
площадь сечения двутавра № 12
F₂ = 14,7 см 2 ;
площадь сечения уголка № 5/3,2
F₃ = 3,17 см 2 .

4. В таблицах из ГОСТа положение центра тяжести С₁ швеллера № 10 показано одной координатой z=1,55 см, так как швеллер имеет одну ось симметрии. Положение центра тяжести С₂ двутавра в таблицах не показано, так как он имеет две оси симметрии и его центр тяжести расположен на их пересечении. Положение центра тяжести С₃ неравнобокого уголка № 5/3,2 показано двумя координатами: х=0,76 и y=1,65 см.

Располагаем центры тяжести C₁, C₂ и C₃ на рисунке (см. рис. 188), а затем при помощи таблиц находим их координаты в выбранных осях, учитывая другие необходимые размеры профилей, которые также берутся из таблиц:
координаты центра тяжести C₁:
x₁ = OD = PL — PA = 5 — 3,2 = 1,8 см;
y₁ = OB = OA + AB = 12 + 1,55 = 13,55 см;
координаты центра тяжести C₂:
x₂ = 0;
y₂ = OC₂ = 6 см;
координаты центра тяжести C₃:
x₃ = -OE = -y = -1,65 см;
y₃ = -OK = -x = -0,76 см.

6. Подставляем эти значения в расчетные формулы:
x_c = (11,7*1,8+14,7*0-3,17*1,65)/(11,7+14,7+3,17) = 15,9/29,6 = 0,54 см;
y_c = (11,7*13,55+14,7*6-3,17*0,76)/(11,7+14,7+3,17) = 244,2/29,6 = 8,23 см.

7. Центр тяжести данного составного сечения имеет координаты (в мм) С(5,4; 82,3).

Источник

Обратите внимание, на этом сайте есть онлайн-сервис для вычисления центра тяжести и моментов инерции составных сечений, которые состоят из прокатных профилей (двутавр, уголок и т.д.) и из простых фигур.

Часто при расчете элементов строительных конструкций приходится определять геометрические характеристики профилей, составленных из элементарных геометрических фигур (прямоугольник, круг и т.п.) и прокатных профилей. Рассмотрим подробно пример расчета.

Необходимо определить геометрические характеристики составного сечения (рис.), который состоит из уголка 20/12,5/1,2, уголка 14/1 и прямоугольника 20х2см.

Определение собственных характеристик отдельных профилей – составляющих сечения

Собственные характеристики прокатных профилей определяются из сортамента.

Для неравнополочного уголка 20/12,5/1,2:

– высота и ширина уголка h = 20 см, b = 12,5 см;

– площадь $A$= 37,9 см2;

– собственные осевые моменты инерции ${I_x}$=1570 см4, ${I_y}$= 482 см4;

– собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$=505 см4;

– координаты центра тяжести ${x_c}$= 2,83 см, ${y_c}$= 6,51 см.

Для равнополочного уголка 14/1:

– высота и ширина уголка h = b = 14 см;

– площадь $A$= 27,3 см2;

– собственные осевые моменты инерции ${I_x}$= ${I_y}$= 512 см4;

– собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$=301 см4;

– координаты центра тяжести ${x_c}$= ${y_c}$= 3,82 см.

Для прямоугольника 20х2см:

– высота и ширина прямоугольника h = 20 см, b = 2 см;

– площадь $A$= 20∙2 = 40 см²;

– собственные осевые моменты инерции ${I_x} = frac{{2 cdot {{20}^3}}}{{12}} = 1330$ см⁴, ${I_y} = frac{{20 cdot {2^3}}}{{12}} = 13,3$см⁴;

– собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$= 0, так как профиль имеет ось симметрии.

Определение центра тяжести сечения

Общая площадь всего сечения    A = 37,9+27,3+40 = 105см2.

Проводим вспомогательные оси $X$ и $Y$ и определяем относительно них центр тяжести сечения:

${X_c} = frac{{sum {{X_i} cdot {A_i}} }}{A} = frac{{{text{37}}{text{,9}} cdot {text{( – 13}}{text{,5) + 27}}{text{,3}} cdot {text{( – 3}}{text{,82) + 40}} cdot {text{1}}}}{{{text{105}}}}{text{ =  – 5}}{text{,49}}$см;

${Y_c} = frac{{sum {{Y_i} cdot {A_i}} }}{A} = frac{{{text{37}}{text{,9}} cdot {text{( – 2}}{text{,83) + 27}}{text{,3}} cdot {text{10}}{text{,2 + 40}} cdot {text{10}}}}{{105}} = 5,44$.

При этом в координатах центров тяжести составных обязанности’обязательно учитываем знак. Откладываем оси, которые проходят через центр тяжести –центральные оси $Xc$ и ${Y_c}$.

Определение центральных моментов инерции

Осевые и центробежный моменты инерции сечения определяем по формулам перехода между параллельными осями. Для этого находим и показываем на чертеже расстояния между центральными осями всего сечения и собственными осями каждой из фигур.

$Ix = sum {left( {I{x_i} + A cdot {b^2}} right) = {text{482 + 8}}{text{,2}}{{text{7}}^{text{2}}} cdot {text{37}}{text{,9 + 512 + 4}}{text{,7}}{{text{6}}^{text{2}}} cdot {text{27}}{text{,3 + 1330 + 4}}{text{,5}}{{text{6}}^{text{2}}} cdot {text{40  =  6360}}} $см4;

$Iy = sum {left( {I{y_i} + A cdot {a^2}} right)}  = {text{1570 + 8}}{text{,0}}{{text{1}}^{text{2}}} cdot {text{37}}{text{,9 + 512 + 1}}{text{,6}}{{text{7}}^{text{2}}} cdot {text{27}}{text{,3 + 13}}{text{,3 + 6}}{text{,4}}{{text{9}}^{text{2}}} cdot {text{40  =  6280}}$см4;

${I_{xy}} = sum {left( {{I_{xy}}_i + A cdot a cdot b} right)}  = $

$ = 505 + ( – 8,01) cdot ( – 8,27) cdot 37,9 – 301 + 1,67 cdot 4,76 cdot 27,3 + 0 + 6,49 cdot 4,56 cdot 40 = 4120$см4.

При этом обязанности’обязательно учитываем размещения фигур относительно рассматриваемых осей. Так, при определении момента инерции ${I_x}$ в формулу подставляем собственный момент инерции неравнополочного уголка относительно оси, которая параллельна оси ${X_c}$, в сортаменте это ось $Y$, и наоборот.

Определение положения главных осей и главных моментов инерции

Угол поворота главных осей относительно осей, для которых известны моменты инерции, определяется по формуле

[tg,2alpha  = frac{{2 cdot {I_{xy}}}}{{{I_y} – {I_x}}} = frac{{2 cdot 4120}}{{6280 – 6360}} =  – 97]                  $alpha  = frac{{arctg( – 97)}}{2} =  – 44,7^circ $.

Если $alpha  > 0$, главные оси откладываются против часовой стрелки, и наоборот.

Главные моменты инерции определяются так

${I_{x0}} = {I_x} cdot {cos ^2}alpha  + {I_y} cdot {sin ^2}alpha  – {I_{xy}} cdot sin 2alpha  = $

$ = 6360 cdot {cos ^2}( – 44,7^circ ) + 6280 cdot {sin ^2}( – 44,7^circ ) – 4120 cdot sin ( – 2 cdot 44,7^circ ) = 10430$см4.

${I_{y0}} = {I_y} cdot {cos ^2}alpha  + {I_x} cdot {sin ^2}alpha  + {I_{xy}} cdot sin 2alpha  = $

$ = 6280 cdot {cos ^2}( – 44,7^circ ) + 6360 cdot {sin ^2}( – 44,7^circ ) + 4120 cdot sin ( – 2 cdot 44,7^circ ) = 2210$см4.

Центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю.

Радиусы инерции. Моменты сопротивления

Радиусы инерции сечения

${i_x} = sqrt[{}]{{frac{{{I_x}}}{A}}} = sqrt[{}]{{frac{{10430}}{{105}}}} = 9,96$см,                 ${i_y} = sqrt[{}]{{frac{{{I_y}}}{A}}} = sqrt[{}]{{frac{{2210}}{{105}}}} = 4,58$см.

Моменты сопротивления сечения определяем относительно центральных осей. Для этого необходимо определить расстояния ${x_{max }}$ и ${y_{max }}$ до максимально удаленных точек от главных осей. Сначала необходимо по чертежам определить, какие точки являются наиболее удаленными. В нашем случае это точки $A$ и $B$ (рис.). Искомые расстояния можно определить, имея координаты этих точек в центральных (не возвращенных осям).

${x_{max }} = {x_A} cdot cos left( alpha  right) + {y_A} cdot sin left( alpha  right)$

${y_{max }} = {y_B} cdot cos left( alpha  right) – {x_B} cdot sin left( alpha  right)$

XА= –8,53см       YA=8,57см

XB= –14,5см      YB= –18см

xmax = –12,1см   ymax = –23см

Моменты сопротивления

${W_x} = frac{{{I_x}}}{{{y_{max }}}} = frac{{10430}}{{23}} = 454$см3;                ${W_y} = frac{{{I_y}}}{{{x_{max }}}} = frac{{2210}}{{12.1}} = 183$см3.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #