Как найти центр тяжести всей фигуры

Определение координат центра тяжести x_C и y_C плоских фигур нестандартной формы выполняется при решении задач для последующих расчетов остальных геометрических характеристик, например, таких как радиусы и осевые моменты инерции поперечных сечений.

Рассмотрим способы и пример определения координат положения центра тяжести фигуры нестандартной формы.

Способы определения координат центра тяжести

Способы определения координат центров тяжести твердых объёмных тел и плоских фигур можно получить исходя из полученных ранее общих формул для расчета положения центра тяжести.

Существует 5 способов расчета координат положения центра тяжести:

1. Аналитический (путем интегрирования).
2. Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
3. Экспериментальный. (метод подвешивания тела).
   Этот способ подходит в основном для плоских и линейных тел.
4. Разбиение. Тело или фигура разбивается на конечное число частей (простых тел или фигур), для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь A известны.

   Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями A₁ и A₂ (A = A₁+ A₂).
   

   Рисунок 1.8

   Центры тяжести этих фигур находятся в точках C₁(x₁, y₁) и C₂(x₂, y₂). Тогда координаты центра тяжести тела равны:
   

5. Дополнение (Метод отрицательных площадей или объемов).
   Это частный случай предыдущего способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.

   Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):
   

   Рисунок 1.9

   Тогда координаты центра тяжести фигуры с отверстием можно определить по формулам:
   

При решении задач по определению координат центра тяжести плоских фигур и объемных тел применяются последние два способа (разбиение и дополнение).

Пример определения координат центра тяжести сложной фигуры в нашем коротком видео:

Другие видео

Пример определения координат центра тяжести плоской фигуры

Задача
Определить координаты центра тяжести плоской фигуры с круглым отверстием

Решение
Разделим заданное сечение на простые фигуры – прямоугольник, круг и прямоугольный треугольник.
Через нижнюю левую точку фигуры проведем координатные оси x и y.

Рассчитаем необходимые для решения задачи площади A и координаты x,y центров тяжести C_i отдельных фигур:

Прямоугольник (фигура 1)
Площадь
A₁=400×500=200000 мм²
Положение центра тяжести
x₁=200мм
y₁=250мм

Круг (2) (вычитаемая фигура)
Площадь
A₂=π×200²/4=31416 мм²
Центр тяжести
x₂=200мм
y₂=300мм

Прямоугольный треугольник (3)
Площадь
A₃=400*100/2=20000 мм²
Положение центра тяжести треугольника находится на пересечении его медиан (на расстоянии 1/3 высоты от основания или 2/3 высоты от его вершин)
x₃=400×2/3=266,7мм
y₃=500+100×1/3=533,3мм

Координаты x и y центра тяжести C всей плоской фигуры определим по формулам:

Ответ: Таким образом, центр тяжести заданной фигуры находится в точке C с координатами x_C=207,1мм, y_C=271,7мм.

Другие примеры решения задач >
Центры тяжести простейших фигур >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Содержание:

Центр тяжести:

При рассмотрении движения тел, особенно таких, как самолеты, ракеты, космические корабли, важное значение имеет понятие центра тяжести.

Определения и формулы для вычисления центров тяжести

Для введения понятия центра тяжести разобьем мысленно рассматриваемое тело на достаточно большое число малых по сравнению с телом или элементарных его частей произвольной формы. Силу тяжести элементарной частицы тела с индексом

Радиус-вектор центра тяжести тела вычисляем как радиус-вектор центра параллельных сил (рис. 88) по формуле

где — радиус-вектор точки приложения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку; — сила тяжести элементарной частицы; — сила тяжести всего тела; — число частей, на которое мысленно разбито все тело. Центр тяжести является точкой приложения равнодействующей силы тяжести, если силы тяжести отдельных его частей считать системой параллельных сил.

Рис. 88

Если в (1) перейти к пределу, увеличивая число элементарных частей до бесконечности, то после замены  дифференциалом , а суммы — интегралом получим

где — радиус-вектор элементарной части тела, принятой за точку. В проекциях на оси координат из (1) и (1′) получаем:

где — координаты центра тяжести;  — координаты точки приложения силы тяжести .

Используя понятие центра тяжести тела, введем понятие его центра масс. Силы тяжести элементарных частей тела и всего тела можно выразить через их массы и и ускорение силы тяжести с помощью формул

Подставляя эти значения сил тяжести в (1) и (1′) после сокращения на , которое принимаем одинаковым для всех частей тела, имеем

и соответственно

По формулам (2) и (2′) определяют радиус-вектор центра масс тела. Центр масс обычно определяют независимо от центра тяжести как геометрическую точку, радиус-вектор, которой вычисляется по формулам (2) или (2′). В проекциях на оси координат из (2) и (2′) получаем:

и

где — координаты центра масс тела.

Для однородного тела силу тяжести элементарной частицы тела и ее массу можно вычислить по формулам

где  — объем элементарной частицы тела;  и  — соответственно удельный вес и плотность тела. Сила тяжести и масса всего тела

где — объем тела. Подставляя эти значения в (2) и (2′), после сокращения на  и  соответственно получим формулы

по которым определяют центр тяжести объема тела.

Если тело имеет форму поверхности, т. е. один из размеров мал по сравнению с двумя другими, как, например, у тонкого листа железа, то имеем

где — удельный вес; — площадь элементарной частицы поверхности; — площадь всей поверхности. После сокращения на  для однородной поверхности получим следующие формулы для определения центра тяжести ее площади:

Для однородных тел типа проволоки, у которых два размера малы по сравнению с третьим, можно определить радиус-вектор центра тяжести длины линии по формулам

где — длина элемента линии; —общая длина линии, центр тяжести которой определяется.

Методы определения центров тяжести (Центров масс)

Метод симметрии

При определении центров тяжести широко используется симметрия тел. Докажем, что для однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр тяжести находится в плоскости симметрии. Для доказательства выберем начало координат в плоскости симметрии тела и одну из осей координат, ось направим перпендикулярно плоскости симметрии, а две других оси расположатся в плоскости симметрии (рис. 89). Каждая частица массой , находясь по одну сторону плоскости симметрии, имеет симметричную частицу такой же массы по другую сторону этой плоскости. Координаты у симметричных частиц одинаковы при сделанном выборе осей координат, а координаты по оси отличаются только знаком. Для координаты центра масс имеем следующее выражение:

Разбивая сумму в числителе на две по симметричным частям тела, получаем, что

так как симметричные части тела 1 и 2 одинаковы.

Таким образом, центр масс расположен в плоскости симметрии и для его определения достаточно вычислить только две его координаты и в этой плоскости.

Аналогично доказывается, что для однородного тела, имеющего ось или центр симметрии, центр масс находится соответственно на оси симметрии или в центре симметрии.

Рис. 89

Метод разбиения на части (метод группировки)

Некоторые тела сложной формы можно разбить на части, центры тяжести которых известны или предварительно могут быть определены. В таких случаях центры тяжести сложных тел вычисляются по общим формулам, определяющим центр тяжести, только вместо элементарных частиц тела берутся его конечные части, на которые оно разбито. Покажем это на частном примере плоской фигуры, изображенной на рис. 90. Плоскую фигуру можно разбить на три части, центры тяжести которых , и известны. Они находятся на пересечении диагоналей прямоугольников. Их радиусы-векторы обозначим и площади . Общая площадь сложной фигуры будет .

Используя определение центра тяжести и производя группировку слагаемых под знаком суммы по частям фигуры, на которые она разбита, получим

Радиусы-векторы центров тяжести частей тела выразятся в такой форме:

или

Используя эти формулы для радиуса-вектора всей фигуры, имеем

Полученная формула имеет ту же структуру, что и формула, определяющая радиус-вектор центра тяжести тела при разбиении его на элементарные частицы, только в нее входят величины для конечных частей тела.

Рис. 90

Метод отрицательных масс

Видоизменением метода разбиения на части является метод отрицательных масс. Проиллюстрируем его тоже на примере плоской фигуры (рис. 91). Для определения центра тяжести этой фигуры ее можно разбить на три части. Можно поступить по-другому. Для этого дополним нашу фигуру до прямоугольника и примем, что этот прямоугольник с площадью  и центром масс полностью заполнен массой (имеет положительную площадь). На той части фигуры, которую добавили, следует распределить отрицательную массу (отрицательную площадь) той же плотности. Площадь этой фигуры с отрицательной массой обозначим , а ее центр масс — . Применяя метод разбиения на части, радиус-вектор заданной фигуры определим по формуле

В отличие от обычного метода разбиения на части в формуле (4) массы и, следовательно, площади входят со знаком минус.

Метод отрицательных масс особенно удобен при вычислении положения центров тяжести тел, имеющих отверстия.
 

 Рис. 91

Центры тяжести простейших тел

Для определения центров тяжести тел сложной формы методом разбиения на части или методом отрицательных масс необходимо уметь вычислять центры тяжести простейших тел, на которые разбивается тело сложной формы. Рассмотрим некоторые из тел, для определения центров тяжести которых известны простые способы их нахождения или вычисления по формулам.

Прямолинейный отрезок

Центр тяжести прямолинейного однородного отрезка располагается на его середине, а неоднородного— на самом отрезке и не может находиться вне отрезка.

Площадь треугольника

Для определения центра тяжести площади треугольника разобьем его прямыми линиями, параллельными одной из его сторон , на полоски, которые в пределе можно принять за прямолинейные отрезки (рис. 92). Центры тяжести отрезков и, следовательно, полосок находятся посередине полоски. Все они расположатся на медиане . В пределе центры тяжести полосок непрерывно покроют медиану, но не равномерно, так как площади полосок разные. В каждом центре масс полоски следует считать сосредоточенной массу или площадь этой полоски, пропорциональную длине полоски, если ширину полосок выбирать одинаковой.

Затем разобьем треугольник на полоски прямыми линиями, параллельными другой стороне треугольника. Центры их тяжести в пределе покроют неравномерно медиану . Центры тяжести неоднородных прямолинейных отрезков и должны располагаться на этих отрезках, а следовательно, в точке их пересечения , являющейся точкой пересечения медиан треугольника. Эта точка делит медианы в отношении 1 к 2, т. е. если длина медианы равна , то , .

Рис. 92

Дуга окружности

Дуга окружности  определяется радиусом и стягиваемым ею центральным углом (рис. 93). Она имеет ось симметрии, делящую угол пополам. Центр тяжести находится на оси симметрии дуги, которую примем за ось координат . Координату центра тяжести дуги вычисляем по формуле

Рис. 93

В рассматриваемом случае

Подставляя эти значения в формулу для , получим

Таким образом,

Для полуокружности . Приняв ,  получим:

Площадь кругового сектора

Центр тяжести площади кругового сектора с радиусом и центральным углом находится на оси симметрии, принимаемой за ось (рис. 94). Разобьем сектор на элементарные треугольники одинаковой величины. Центры тяжести треугольников в пределе при увеличении их числа до бесконечности равномерно покроют дугу окружности радиусом .

Рис. 94

Используя формулу для центра тяжести дуги окружности, получим

или

Для площади полукруга , . При  получим

Объем пирамиды и конуса

Определим положение центра тяжести объема конуса (рис. 95). Для простоты рассмотрим прямой конус, у которого высота является осью симметрии. Высотой конуса является отрезок, соединяющий его вершину с центром тяжести площади основания . Выберем начало координат в вершине конуса, а ось направим по оси симметрии конуса. Тогда центр тяжести объема конуса расположится на оси .

Разобьем конус плоскостями, перпендикулярными оси , на элементарные тонкие диски толщиной и площадью . Все полученные сечения (диски) конуса подобны его основанию. Координату  центра тяжести объема конуса вычислим по формуле

Отношения линейных размеров сечений к соответствующим размерам основания конуса пропорциональны их расстояниям до вершины конуса. Отношения площадей пропорциональны квадратам расстояний. Приняв , получим

Учитывая, что

имеем

или

Таким образом, центр тяжести прямого конуса находится на расстоянии  от вершины или от основания.

Рис. 95

Это справедливо для объема любого конуса и любой пирамиды, как прямых, так и наклонных, т. е. центр тяжести объема пирамиды или конуса находится на расстоянии  расстояния от центра тяжести площади основания до вершины.

Объем полушара

Полушар имеет ось симметрии, которую примем за координатную ось (рис. 96). Разобьем объем полушара на элементарные диски толщиной dx и радиусом у, который является координатой точки окружности, которая получилась от пересечения полушара с координатной плоскостью . Уравнение этой окружности

где — радиус полушара. Для координаты центра тяжести объема полушара имеем

где  — координата центра тяжести элементарного диска. Объем полушара

Объем элементарного диска

так как радиус диска . Выполняя интегрирование в пределах от до , получим

Таким образом, центр тяжести объема полушара находится от его центра на расстоянии

Это расстояние меньше половины радиуса полушара.

Рис. 96

Задача №1

Определить координаты центра тяжести площади плоской фигуры, имеющей размеры, указанные на рис. 97.

Рис.97

Рис. 98

Решение. Присоединим к заданной фигуре дополнительно полукруг 3 и разобьем полученную фигуру на прямоугольник 1 и треугольник 2. Получили три фигуры, две из которых имеют положительные площади (прямоугольник 1 и треугольник 2) и одна — отрицательную (полукруг 3). В выбранной системе координат для координат центра тяжести заданной фигуры имеем

где  — координаты центров тяжести отдельных фигур; — площади этих фигур.

Вычислим площади и координаты центров тяжести отдельных фигур, учитывая рис. 98 Имеем:

так как .

Подставляя полученные значения в (а), получим:

Центр тяжести плоской фигуры

постановка задачи. Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры.

План решения:

1.    Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.

2.    Выбираем систему координат. Вычисляем площади и координаты центров тяжести отдельных частей. Площади вырезанных частей берем со знаком минус.

3.    Находим общую площадь фигуры по формуле

4.    Определяем координаты центра тяжести фигуры:

Задача №2

Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры. Криволинейный участок контура является половиной окружности с центром на оси Ох (рис. 74). Размеры на рисунке даны 

Решение

1. Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.

Центр тяжести прямоугольника находится в его геометрическом центре, положение центра тяжести других фигур, встречающихся в задачах, изображено на рис. 75

Представляем фигуру в виде двух треугольников 1,2, прямоугольника 3 и выреза 4 в виде полукруга (рис. 76).

2. Вычисляем площадь (в ) и координаты центра тяжести (в м) каждого элемента:

Площадь выреза берем со знаком минус.

3.Площадь фигуры

4. Находим координаты центра тяжести всей фигуры:

Вычисления удобно свести в таблицу:

Сначала заполняем столбцы затем вычисляем статические моменты Внизу записываем суммы столбцов, необходимые для вычисления координат центра тяжести. Таким образом

Замечание 1. Большинство задач на определение центра тяжести допускает несколько способов разбиения фигуры. Это можно использовать для проверки решения. Второй вариант разбиения фигуры в данном примере состоит из прямоугольника 3 с размерами и вырезанных из него полукруга 4 и двух треугольников 1 и 2 (рис. 77).

Замечание 2. Решение задачи в системе Maple V методом контурного интегрирования.

• Заказать решение задач по теоретической механике

Пространственная стержневая система

Постановка Задачи. Найти координаты центра тяжести пространственной фигуры, состоящей из N однородных стержней.

План решения:

1. Разбиваем фигуру на отдельные стержни.

2. Выбираем систему координат. Вычисляем длины и координаты  центров тяжести отдельных стержней. Координаты центра прямолинейного однородного стержня вычисляем как полусумму координат его концов.

3. Находим суммарную длину стержней системы

4. Определяем координаты центра тяжести тела по формулам

Задача №3

Найти координаты центра тяжести пространственной фигуры, состоящей из шести однородных стержней (рис. 78). Даны размеры:

Решение

1. Разбиваем фигуру на шесть стержней.

2. Выбираем систему координат (рис. 78). Вычисляем длины и координаты центров тяжести отдельных стержней.

3. Находим суммарную длину стержней системы:

Промежуточные результаты удобно занести в таблицу:

4. Определяем координаты центра тяжести тела по формулам

Постановка задачи. Найти координаты центра тяжести однородного объемного тела.

План решения:

1. Разбиваем тело на простые части, положение центров тяжести которых известно.

2. Выбираем систему координат. Вычисляем объемы и координаты центров тяжести отдельных частей. Объемы вырезанных частей берем со знаком минус.

3. Находим общий объем тела по формуле

4. Определяем координаты центра тяжести тела:

Задача №4

Найти координаты центра тяжести однородного объемного тела (рис.79);

Решение

1. Разбиваем тело на пирамиду 1, параллелепипед 2 и половину цилиндра 3 (рис. 80).

2. Выбираем систему координат. Вычисляем объемы и координаты центров тяжестей отдельных частей. Центр тяжести пирамиды 1 лежит в точке

Центр тяжести параллелепипеда 2 совпадает с его геометрическим центром:

Объем половины цилиндра 3 берем со знаком минус:

где — расстояние по оси у от оси цилиндра до его центра тяжести .

3. Находим общий объем тела: 

В общем случае объем тела, лежащего в области можно найти, вычисляя тройной интеграл по области а координаты центра тяжести, например, однородного тела можно определить по формуле см.

4. Определяем координаты центра тяжести тела:

Центр тяжести

Центр тяжести — точка, через которую проходит линия действия равнодействующей элементарных сил тяжести. Он обладает свойством центра параллельных сил. Поэтому формулы для определения положения центра тяжести различных тел имеют вид:

Если тело, центр тяжести которого нужно определить, можно отождествить с фигурой, составленной из линий (например, замкнутый или незамкнутый контур, изготовленный из проволоки, как на рис. 173), то вес каждого отрезка можно представить в виде произведения

где d — постоянный для всей фигуры вес единицы длины материала.
После подстановки в формулы (1) вместо их значений постоянный множитель d в каждом слагаемом числителя и знаменателя можно вынести за скобки (за знак суммы) и сократить. Таким образом, формулы для определения координат центра тяжести фигуры, составленной из отрезков линий, примут вид:

Если тело имеет вид фигуры, составленной из расположенных различным образом плоскостей или кривых поверхностей (рис. 174),

то вес каждой плоскости (поверхности) можно представить так:

где — площади каждой поверхности, ар — вес единицы площади фигуры.

После подстановки этого значения в формулы (1) получаем формулы координат центра тяжести фигуры, составленной из площадей:

Если же однородное тело можно разделить на простые части определенной геометрической формы (рис. 175), то вес каждой части

где — объем каждой части, а у — вес единицы объема тела.

После подстановки значений в формулы (I) получаем формулы для определения координат центра тяжести тела, составленного из однородных объемов;

При решении некоторых задач на определение положения центра тяжести тел иногда необходимо знать, где расположен центр тяжести дуги окружности, кругового сектора или треугольника.

Если известен радиус дуги г и центральный угол 2а, стягиваемый дугой и выраженный в радианах, то положение центра тяжести С (рис. 176, а) относительно центра дуги О определится формулой

Если же задана хорда дуги, то в формуле (5) можно произвести замену

и тогда

В частном случае для полуокружности обе формулы примут вид (рис. 176, б)

Положение центра тяжести кругового сектора, если задан его радиус r (рис. 176, в), определяется при помощи формулы

Если же задана хорда сектора, то

В частном случае для полукруга обе последние формулы примут вид (рис. 176, г)

Центр тяжести площади любого треугольника расположен от любой стороны на расстоянии, равном одной трети соответствующей высоты.

У прямоугольного треугольника центр тяжести находится на пересечении перпендикуляров, восставленных к катетам из точек, расположенных на расстоянии одной трети длины катетов, считая от вершины прямого угла (рис. 177).

При решении задач на определение положения центра тяжести любого однородного тела, й составленного либо из тонких стержней (линий), либо из пластинок (площадей), либо из объемов, целесообразно придерживаться следующего порядка:

1. выполнить рисунок тела, положение центра тяжести которого нужно определить. Так как все размеры тела обычно известны, при этом следует соблюдать масштаб;
2. разбить тело на составные части (отрезки линий или площади, или объемы), положение центров тяжести которых определяется исходя из размеров тела;
3. определить или длины, или площади, или объемы составных частей;
4. выбрать расположение осей координат;
5. определить координаты центров тяжести составных частей;
6. найденные значения длин или площадей, или объемов отдельных частей, а также координат их центров тяжести подставить в соответствующие формулы и вычислить координаты центра тяжести всего тела;
7. по найденным координатам указать на рисунке положение центра тяжести тела.

В этой статье посмотрим, как определяются координаты центра тяжести сложной фигуры — состоящей из простых. В задачах по сопромату часто приходится находить положение центра тяжести составных сечений, для дальнейшего вычисления моментов инерции и т. д.

Также часто, при изучении теоретической механики, студентам предлагается решить подобную задачу, и найти центр тяжести какой-нибудь фигуры.

Условие задачи

Предлагаю рассмотреть следующую фигуру:

В сопромате принято заштриховывать сечения тонкими линиями, вот так:

В своих же уроках я буду использовать заливку. Так, штриховка не будет мешать наносить обозначения.

Разбивка сложной фигуры на простые

Как видишь, сечение состоит из прямоугольника, прямоугольного треугольника, четверти круга, а также имеет круглый вырез:

Отметим центры тяжести (С₁, С₂, С₃, С₄) каждой отдельной фигуры, с учётом справочной информации.

Открой эту страничку, и пока не закрывай, она нам ещё понадобится!

Покажем вспомогательные оси (x₀, y₀) для всего сечения, которые будем использовать для нахождения положения центра тяжести (C):

Как определить положение центра тяжести?

Чтобы определить координату центра тяжести сечения, например, вертикальное расстояние от оси x₀ до центра тяжести сечения (y_c):

Нужно статический момент сечения относительно этой вспомогательной оси (x₀) разделить на площадь всего сечения (A):

Площадь всего сечения (A) найти просто – это алгебраическая сумма площадей всех фигур:

Статический момент сечения, относительно вспомогательной оси будет равен алгебраической сумме статических моментов каждой фигуры (с учётом знака):

где A_i – площадь отдельной фигуры;
y_i – расстояние от центра тяжести отдельной фигуры до вспомогательной оси (x₀).

Координата центра тяжести (x_c), находится аналогично:

Определение площади сечения

Для начала предлагаю сделать самое простое, используя формулы, указанные на этой странице, найти площадь всего сечения (A):

Как видишь, круглый вырез, нужно учесть с «минусом», что очевидно.

Определение расстояний от вспомогательных осей до центров тяжести отдельных фигур

Найдём расстояния от вспомогательных осей (x₀, y₀) до центров тяжести отдельных фигур, опять же, используя нашу шпаргалку:

Определение статических моментов

Определяем статические моменты сечения относительно вспомогательных осей (x₀, y₀):

Важно! Статические моменты могут быть и отрицательными.

Определение координат центра тяжести

И, наконец, определяем положение центра тяжести всего сечения (C):

Покажем центр тяжести всего сечения (C):

Если остались какие-то вопросы по данному уроку, можешь смело задавать их в комментариях. Также, другие уроки, на сайте – ssopromat.ru, по определению геометрических характеристик, можешь найти здесь.

Техническая механика

Наиболее часто для нахождения центра тяжести тела или фигуры применяют следующие методы:

• метод симметрии;
• метод разбиения;
• метод отрицательных масс.

Рассмотрим приемы, применяемые в каждом из перечисленных методов.

Метод симметрии

Представим себе однородное тело, которое имеет плоскость симметрии. Выберем такую систему координат, чтобы оси x и z лежали в плоскости симметрии (см. рисунок 1) .

В этом случае каждой элементарной частице силой тяжести G_i с абсциссой y_i = +a соответствует такая же элементарная частица с абсциссой y_i = -a , тогда:

Отсюда вывод: если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.

Аналогично можно доказать и следующие положения:

• Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси;
• Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести тела находится в точке их пересечения;
• Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

Метод разбиения

Этот метод заключается в том, что тело разбивают на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны, после чего применяют приведенные ранее формулы для определения общего центра тяжести тела.

Допустим, что мы разбили тело силой тяжести G на три части G’ , G» , G»’ , абсциссы центров тяжести этих частей x’_C, x»_C, x»’_C известны.
Формула для определения абсциссы центра тяжести всего тела:

Перепишем ее в следующем виде:

Последнее равенство запишем для каждой из трех частей тела отдельно:

Сложив левые и правые части этих трех равенств, получим:

Но правая часть последнего равенства представляет собой произведение Gx_C , так как

Следовательно, x_C = (G’x’_C + G»x»_C + G»’x»’_C)/G , что и требовалось доказать.
Аналогично определяются координаты центра тяжести на координатных осях y и z :

Полученные формулы аналогичны формулам для определения координат цента тяжести, выведенные выше. Поэтому в исходные формулы можно подставлять не силы тяжести элементарных частиц G_i , а силы тяжести конечных частей; под координатами x_i , y_i , z_i понимают координаты центров тяжести частей, на которые разбито тело.

Метод отрицательных масс

Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, считают сплошным, а массу свободных полостей – отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести тела при этом не меняется.

Таким образом, при определении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но считать массу полостей отрицательной.

Практические методы определения центра тяжести тел

На практике для определения центра тяжести плоских тел сложной формы часто применяют метод подвешивания , который заключается в том, что плоское тело подвешивают на нити за какую-нибудь точку. Прочерчивают вдоль нити линию, и тело подвешивают за другую точку, не находящуюся на полученной линии.
Затем вновь проводят линию вдоль нити.
Точка пересечения двух линий и будет являться центром тяжести плоского тела.

Еще один способ определения центра тяжести, применяемый на практике, называется метод взвешивания . Этот метод часто применяется для определения центра тяжести крупных машин и изделий – автомобилей, самолетов, колесных тракторов и т. п., которые имеют сложную объемную форму и точечную опору на грунт.
Метод заключается в применении условий равновесия, исходя из того, что сумма моментов всех сил, действующих на неподвижное тело равна нулю.
Практически это осуществляется взвешиванием одной из опор машины (задние или передние колеса устанавливаются на весы), при этом показания весов, по сути, являются реакцией опоры, которая учитывается при составлении уравнения равновесия относительно второй точки опоры (находящейся вне весов).
По известной массе (соответственно – весу) тела, показанию весов в одной из точек опоры, и расстоянию между точками опоры можно определить расстояние от одной из точек опоры до плоскости, в которой расположен центр тяжести.
Чтобы найти подобным образом линию (ось), на которой расположен центр тяжести машины, необходимо произвести два взвешивания по принципу, изложенному выше для метода подвешивания (см. рис. 1а) .

Положение центра тяжести некоторых фигур

Прямоугольник. Так как прямоугольник имеет две оси симметрии, то центр тяжести его площади находится в точке пересечения этих осей, иначе говоря, в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Треугольник. Пусть дан треугольник АBD (см. рисунок 2) .
Разобьем его на элементарные (бесконечно узкие) полоски, параллельные стороне AD . Центр тяжести каждой полоски будет лежать на медиане Bd (т. е. в середине каждой полоски) , следовательно, на этой медиане будет лежать и центр тяжести всей площади треугольника. Разбив треугольник на элементарные полоски, параллельные стороне AB , увидим, что искомый центр тяжести лежит и на медиане aD .
Проделав аналогичное действие с треугольником относительно стороны ВD , получим тот же результат – центр тяжести находится на соответствующей медиане.
Следовательно, центр тяжести всей площади треугольника лежит на точке пересечения его медиан, поскольку эта точка является единственной общей точкой для всех трех медиан данной геометрической фигуры.

Из геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в соотношении 1:2 от основания. Следовательно, центр тяжести треугольника расположен на расстоянии одной трети высоты от каждого основания.

Дуга окружности. Возьмем дугу окружности АВ радиусом R с центральным углом 2α (см. рисунок 3) . Систему координат выберем так, чтобы начало координат было в центре окружности, а ось x делила дугу пополам, тогда y_C= 0 вследствие симметрии дуги относительно оси x . Определим координату центра тяжести x_C .

Разобьем дугу АВ на элементарные части l_i , одна из которых изображена на рисунке. Тогда, согласно сделанным выше выводам,

Дугу l_i вследствие малости примем за отрезок прямой. Из подобия треугольника OD_iC_i и элементарного треугольника S (на рисунке заштрихован) получим:

поскольку RΣΔy_i = AB , а Σl_i = l – длина дуги АВ . Но АВ = 2R sinα , а l = 2Rα , следовательно,

При α = π/2 рад (полуокружность) , x_C = 2R/π .

Круговой сектор. Возьмем сектор радиусом R с центральным углом 2α (см. рисунок 3а) . Проведем оси координат, как показано на рисунке (ось x направлена вдоль оси симметрии сектора), тогда y_C = 0 .

Определим x_C , для чего разобьем сектор на ряд элементарных секторов, каждый из которых из-за малости дуги l_i можно принять за равнобедренный треугольник с высотой R . Тогда центр тяжести каждого элементарного сектора будет находиться на дуге радиуса 2R/3 и задача определения центра тяжести сектора сводится к определению центра тяжести этой дуги.
Очевидно, что

При α = π/2 рад (полукруг) : x_C = 4R/(3π) .

Пример решения задачи на определение центра тяжести

Задача:
Определить положение центра тяжести сечения, составленного из двутавра № 22 и швеллера № 20, как показано на рисунке 4 .

Решение.
Из курса инженерной графики известно, что номер проката соответствует наибольшему габаритному размеру его сечения, выраженного в сантиметрах.

Так как сечение, составленное из двутавра и швеллера, представляет собой фигуру, симметричную относительно оси y , то центр тяжести такого сечения лежит на этой оси, т. е. x_C = 0 .
По справочнику определим площади и координаты центров тяжести двутавра 1 и швеллера 2.

Для двутаврового сечения: А₁ = 15,2 см 2 ; y₁ = 22/2 = 11 см.
Для швеллерного сечения: А₂ = 12 см 2 ; y₂ = 22 + d – z₀ = 22 + 0,32 – 1,25 = 21,07 см ,
где d – толщина стенки швеллера; z₀ – размер, определяющий положение центра тяжести швеллера.

Применим формулу для определения координаты центра тяжести всего сечения:

Лекция 8. Центр тяжести твердого тела

Частный случай распределенной нагрузки – сила притяжения, действующая на каждую точку тела со стороны Земли; говорят, что тело помещено в поле силы тяжести (или просто в поле тяжести).

Замечание. Силовым полем называют область пространства, в каждой точке которой на материальную частицу действует сила, зависящая от положения этой частицы. Например, поле, созданное с помощью магнита, действует на движущиеся заряженные частицы.

Если в поле тяжести помещена материальная точка, то действующая на нее сила тяжести численно равна mg и направлена вдоль прямой, соединяющей саму точку с центром Земли. Здесь m – масса точки, g – ускорение свободного падения.

Чтобы определить величину и направление силы тяжести, действующей на тело конечных размеров, разобьем его на мелкие части, каждую из которых можно считать материальной точкой. В принципе, силы, действующие на участки разбиения, образуют сходящуюся систему: они направлены к центру Земли (рис. 8.1 а). Но, как правило, радиус Земли во много раз больше размеров тела, а значит, эти силы можно считать сонаправленными (рис. 8.1 б).

Рис. 8.1. Распределенная нагрузка, действующая на тело со стороны Земли

Как известно, сила притяжения материальной точки к Земле зависит от расстояния до центра планеты и, как следствие, от высоты над ее поверхностью. Далее будем считать, что эта высота мала по сравнению с земным радиусом. Вместе с предположением о малых размерах самого тела это позволяет принять, что ускорение свободного падения для всех точек тела одинаково и равно ускорению на поверхности Земли.

Силовое поле называют однородным, если абсолютная величина и направление силы, действующей на помещенную в него материальную точку, не зависит от ее местоположения. Из вышесказанного следует, что если тело малых размеров находится вблизи поверхности Земли, то поле тяжести, в которое оно при этом попадает, можно считать однородным.

Замечание. Указанные предположения о малых размерах тела и малой высоте над поверхностью планеты – это не единственные сделанные нами упрощения. Строго говоря, Земля не имеет идеально шарообразной формы – она “сдавлена” у полюсов. Кроме того, на величину и направление силы тяжести влияет вращение Земли. В итоге ускорение свободного падения g зависит от географической широты: на полюсах оно максимально (9.832 м/с 2 ), на экваторе – минимально (9.780 м/с 2 ). В качестве стандартного (нормального) выбрано значение g на широте 45.5°, равное 9.80665 м/с 2 . Чаще всего в инженерных расчетах указанными поправками можно пренебречь и считать, что ускорение свободного падения равно 9.8 м/с 2 .

Пусть тело разбито на n участков, массы которых равны m₁, m₂. m_n, соответственно. Складывая сонаправленные силы тяжести, приложенные к каждому из них, мы найдем суммарную силу тяжести, действующую на тело в целом: G = (m₁ + m₂ + . + m_n)g. Учитывая, что m₁ + m₂ + . + m_n = M – это масса всего тела, мы получим

Если тело однородно (имеет постоянную плотность), формула (8.1 а) принимает вид

где ρ – плотность тела, V – его объем (напомним, что плотностью тела называется масса, приходящаяся на единицу его объема).

Остается найти центр C параллельных сил, действующих на тело со стороны Земли. Он и называется центром тяжести тела. Для этого предположим, что силы тяжести, действующие на отдельные участки разбиения тела, приложены в точках с радиус-векторами (vec r_,vec r_,ldots,vec r_) относительно некоторого начала координат O (т.е. сами эти точки являются центрами тяжести участков разбиения). Тогда, подставив выражения для сил тяжести в (7.6) и сократив числитель и знаменатель на g, получим

$$vec r_=fracvec r_+m_vec r_+ldots+m_vec r_>.$$

(8.2 а)

Для однородных тел это соотношение после сокращения числителя и знаменателя на плотность ρ принимает вид

$$vec r_=fracvec r_+V_vec r_+ldots+V_vec r_>.$$

(8.2 б)

Здесь V₁, V₂. V_n – объемы отдельных участков, на которые разбито исходное тело, V₁ + V₂ + . + V_n = V. Если тело является плоским (например, представляет собой деталь, вырезанную из металлического листа малой толщины), объемы следует заменить на площади. Если тело составлено из отрезков линий (такой, к примеру, можно считать арматуру, поддерживающую железобетонные конструкции), вместо объемов в равенстве (8.2 б) должны фигурировать длины.

Соотношения (8.2 а) и (8.2 б) можно записать в координатной форме, аналогично (7.7):

$$x_=fracx_+V_x_+ldots+V_x_>,;y_=fracy_+V_y_+ldots+V_y_>,; z_=fracz_+V_z_+ldots+V_z_>.$$

(8.3 а)

Чтобы повысить точность вычислений, придется все более и более измельчать разбиение исходного тела. В конечном итоге это приведет к тому, что положение центра тяжести станет выражаться тройным интегралом по всему объему, занятому телом, подобно формуле (7.9). Например, для координаты x получится выражение

$$x_=fraciiint_xdV.$$

(8.3 б)

Замечание. Центр тяжести тела может и не принадлежать телу, если оно не является выпуклым. Напомним, что тело называют выпуклым, если отрезок, соединяющие две его любые точки, полностью принадлежит телу (рис. 8.2).

Рис. 8.2. а) – выпуклое тело; б), в) – невыпуклые тела

Например, с помощью метода разбиения легко показать, что центр тяжести фигуры, составленной из двух стержней одинаковй длины a и с равной погонной плотностью, расположенных под прямым углом, находится на растоянии a/4 от каждого из них и, тем самым, не принадлежит самой фигуре (рис. 8.3).

Помимо общих формул, существует несколько простых приемов, помогающих определить положение центра тяжести. Ниже будут изучены некоторые из них. При этом для простоты все изучаемые тела будут считаться однородными (хотя некоторые методы применимы и к неоднородным телам).

8.2. Способы нахождения центра тяжести

Метод симметрии. Этот способ основан на следующем факте: если однородное тело имеет некоторый элемент симметрии (зеркальную плоскость, ось или центр симметрии), то его центр тяжести должен лежать на этом элементе.

Действительно, пусть тело имеет плоскость симметрии π. Тогда на две его “половинки” действуют равные по модулю и сонаправленные силы тяжести (vec G_) и (vec G_), а точки C₁ и C₂ (центры тяжести “половинок”) расположены симметрично относительно зеркальной плоскости (рис. 8.4).

Рис. 8.4. Положение центра тяжести зеркально-симметричного тела

Сила тяжести (vec G), действующая на тело в целом, является равнодействующей сил (vec G_) и (vec G_) и должна быть приложена вдоль линии, проходящей через середину отрезка C₁C₂ и принадлежащей плоскости π. Поэтому и центр тяжести тела, лежащий на линии действия (vec G), находится в этой же плоскости.

С помощью аналогичных рассуждений можно продемонстрировать, например, что центр тяжести осесимметричного тела лежит на этой оси.

Пример. Точка пересечения диагоналей паралеллограмма является его центром симметрии. Поэтому и центр тяжести однородного (“сплошного”) параллелограма находится в точке пересечения его диагоналей (рис. 8.5).

Рис. 8.5. Центр тяжести параллелограмма

Это утверждение в равной степени справедливо и для паралеллограмма, составленного из двух пар равных по длине стержней с одинаковой погонной плотностью.

Если однородное тело имеет несколько плоскостей или осей симметрии, то его центр тяжести находится на их пересечении. Это объясняется тем, что он должен принадлежать каждой из указанных плоскостей (осей).

Пример. Судно с нагруженным трюмом можно рассматривать как тело, разбитое на части: одной из них служит сам корпус судна, а другими – отдельные места груза. При дифферентовке (перемещении этих грузов) координаты их центров тяжести изменяются; согласно (8.3 а), меняться станет и положение центра тяжести всего нагруженного судна. Пользуясь этим, можно добиться максимальной остойчивости судна и предотвратить его переворот при сильной качке. Наоборот, неудачное закрепление грузов может привести к нежелательному смещению центра тяжести и перевороту судна.

Чтобы упростить вычисления, исследуемое тело стараются разбивать на небольшое количество участков возможно более простой формы.

Пример. Из квадрата KLMN со стороной 60 см вырезан квадрат MPQR со стороной 30 см (рис. 8.6 а). Найти центр тяжести полученного тела.

Разобьем исходное тело на два: прямоугольник KSPN и квадрат SLRQ. Пусть C₁ и C₂ – их центры тяжести. Введем систему координат с началом в точке K, ось x направим вдоль стороны KN, ось y – вдоль KL (рис. 8.6 б).

Исходя из сказанного выше, C₁ есть точка пересечения диагоналей KSPN. В выбранной системе координат она имеет абсциссу x₁ = 30 см и ординату y₁ = 15 см. Аналогично, C₂ (точка пересечения диагоналей квадрата SLRQ) находится на расстоянии SQ/2 = 15 см от оси y и на расстоянии KS + SL/2 = 45 см от оси x, а значит, имеет координаты x₂ = 15 см, y₂ = 45 см. Площади S₁ и S₂ участков KSPN и SLPQ равны, соответственно, 60·30 = 1800 см 2 и 30·30 = 900 см 2 . Пользуясь формулой (8.3 а), найдем координаты точки C – центра тяжести большого квадрата с вырезом:

Таким образом, в данном случае абсцисса и ордината центра тяжести одинаковы. Этот результат легко объясним: полученное тело, несмотря на вырез, остается симметричным относительно диагонали KM, поэтому центр тяжести тела должен лежать на этой линии.

Рис. 8.7. Тело с вырезанной частью

Тогда центр тяжести C “тела с вырезом” имеет координаты

$$x_=fracx_-V_x_>-V_>,;y_=fracy_-V_y_>-V_>,; z_=fracz_-V_z_>-V_>.$$

(8.4)

Это соотношение отличается от (8.3 а) лишь тем, что объем вырезаемого участка учитывается со знаком “–”. Отсюда и присходит название метода (иногда вместо отрицательных объемов говорят о “методе отрицательных масс”).

Понятно, что центр тяжести объединенной системы, полученной из тела “с вырезом” и вырезанной части, должен находиться в исходной точке C₁. Легко убедиться, что подстановка (8.4) в (8.3 а) дает правильный результат:

(остальные координаты вычисляются таким же образом). Изучаемый способ также называют способом дополнения, поскольку тело “с вырезом” дополняется до целого прибавлением объема V₂.

Пример. Найти положение квадрата с вырезанной четвертью (см. предыдущий пример) методом отрицательных объемов.

Введем систему координат аналогично тому, как это было сделано ранее (рис. 8.8).

Центр тяжести C₁ квадрата KLMN совпадает с точкой Q и имеет координаты x₁ = 30 см, y₁ = 30 см. Центр тяжести квадрата MPQR находится в точке C₂(45; 45). Площади фигур равны 3600 см 2 и 900 см 2 , соответственно. Подставляя эти данные в формулу (8.4), найдем, что центр тяжести C фигуры KLRQPN имеет координаты

Как и следовало ожидать, результаты, найденные разными методами, совпадают.

Экспериментальный метод. Он основан на определении центра тяжести как центра параллельных сил: при одновременном их повороте (или, что то же самое, при повороте тела относительно линий действия этих сил) центр тяжести не меняет положения.

Представим, что тело подвешено за некоторую точку. Тогда на него действуют две силы: тяжести (vec G) и реакции в точке подвеса (рис. 8.9 а).

Рис. 8.9. Определение центра тяжести экспериментальным способом

Поскольку они уравновешены, линия действия силы (vec G), содержащая центр тяжести C, проходит через точку подвеса (см. первую аксиому статики). Поэтому можно отметить на теле линии действия силы тяжести при подвешивании его в нескольких разных точках (рис. 8.9 б), и искомый центр тяжести будет находиться на пересечении этих линий.

8.3. Центры тяжести некоторых однородных тел

Центр тяжести стержня располагается в его середине. Это следует из того, что стержень симметричен относительно указанной точки (рис. 8.10).

Рис. 8.10. Центр тяжести однородного стержня

Как уже было сказано ранее, центр тяжести параллелограмма располагается на пересечении его диагоналей. Аналогично, центр тяжести параллелепипеда (однородного либо “собранного” из плоских граней равной поверхностной плотности или ребер одинаковой погонной плотности) также располагается в точке пересечения его диагоналей (рис. 8.11).

Рис. 8.11. Центр тяжести однородного параллелепипеда

Центр тяжести площади треугольника располагается в точке пересечения его медиан (рис. 8.12).

Рис. 8.12. Центр тяжести однородного треугольника

Докажем это. Разрежем треугольник на полоски, паралелльные одной из его сторон. Сделаем полосы настолько тонкими, что каждую из них можно приближенно считать отрезком. В этом случае сила тяжести, действующая на треугольник в целом, станет эквивалентной системе сил, приложенных к серединам отрезков (рис. 8.13).

Эти середины заполняют собой медиану треугольника, проведенную к выбранной стороне. Следовательно, и искомый центр тяжести (точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на все полоски) лежит на данной медиане.

Разрезая исходный треугольник на тонкие полоски, параллельные другой стороне, можно показать, что его центр тяжести принадлежит другой медиане. Но все медианы треугольника пересекаются в одной точке. Значит, именно в ней и находится искомый центр тяжести.

Далее найдем положение центра тяжести однородной дуги окружности с центральным углом 2α и радиусом R. Введем систему координат так, как показано на рис. 8.14.

Рис. 8.14. Определение центра тяжести однородной дуги окружности

Используя метод симметрии, легко получить, что искомая точка C лежит на оси Ox, т.е. y_C = 0. Осталось найти координату x_C. Для этого разобьем дугу на мелкие участки и соединим их концы с вершиной угла. Тогда он сам будет разбит на малые углы. Вследствие того, что длины участков разбиения дуги невелики, каждый из них можно считать прямолинейным отрезком длины dl = R dβ, где dβ – радианная мера соответствующего угла.

Пусть β – угол между осью Ox и отрезком, соединяющим точку O c серединой участка разбиения (см. рис. 8.14). Тогда абсцисса x центра тяжести этой дуги приближенно равна R cos β. Подставим это значение x в формулу (8.3 б). Вместо объема V в данном случае должна фигурировать длина дуги, равная R·2α, вместо множителя dV под интегралом – найденная ранее величина dl, причем угол β изменяется в пределах от –α до α:

Итак, центр тяжести однородной дуги лежит на ее оси симметрии на расстоянии (R sin α)/α от ее центра.

Замечание. Как видно, искомая точка не лежит на самой дуге. Это неудивительно, ибо дуга окружности не является выпуклой фигурой.

Выясним местоположение центра тяжести кругового сектора радиуса R и радианной меры 2α. Аналогично предыдущему случаю, можно утверждать, что искомая точка находится на оси симметрии фигуры.

Разобьем исходный центральный угол на меньшие углы Δα. Будем предполагать их настолько малыми, что соответствующие секторы можно приближенно считать равнобедренными треугольниками, боковые стороны которых равны R (рис. 8.15).

Рис. 8.15. Определение центра тяжести однородного кругового сектора

Центр тяжести каждого из таких треугольников лежит на его медиане, проведенной к основанию, и делит ее в отношении 2:1, считая от вершины (по свойству точки пересечения медиан). Поскольку в силу малости Δα длину каждой из таких медиан можно приближенно считать равной R, то центры тяжести треугольников, на которые разбит сектор, заполняют собой дугу окружности радиуса 2R/3 и той же радианной меры 2α, что и исходный сектор.

Таким образом, задача сводится к определению положения центра тяжести полученной дуги. Но из сказанного выше следует, что эта точка имеет абсциссу

Замечание 1. Правдоподобность полученных результатов можно проверить на простом частном случае. Если 2α = 2π, т.е. центральный угол является полным, то, как следует из полученных формул, центры тяжести дуги и сектора располагаются в точке с абсциссой x_C = 0. Этот результат вполне предсказуем: при 2α = 2π дуга превращается в окружность, а сектор – в круг. Их центры тяжести должны лежать на элементе симметрии, т.е. в центре окружности или круга. Но у этой точки абсцисса x_C заведомо равна нулю, что и требовалось.

Замечание 2. Легко видеть, что центр тяжести сектора располагается ближе к вершине центрального угла, чем центр тяжести дуги окружности того же радиуса и той же радианной меры. Этот факт нетрудно объяснить. Масса сектора распределена по его площади равномерно, а не сосредоточена вдоль криволинейной части его границы. Поэтому его центр тяжести и смещается в сторону от дуги, стягивающей центральный угол.

Центр тяжести объема конуса или пирамиды лежит на отрезке, соединяющем вершину с центром тяжести основания (рис. 8.16), и делит его в отношении 3:1, считая от этой вершины.

Рис. 8.16. Определение центра тяжести пирамиды или конуса

Тот факт, что искомый центр тяжести лежит на указанном отрезке, легко обосновать, рассуждая таким же образом, как и при поиске центра тяжести треугольника: достаточно разрезать конус на тонкие слои, параллельные основанию. Осталось найти отношение, в котором искомая точка делит отрезок OK = l (K – центр тяжести основания).

Каждая точка отрезка служит центром тяжести сечения конуса, проходящего через эту точку параллельно основанию. Значит, в произвольной точке L, лежащей на OK, сосредоточена сила, пропорциональная площади сечения, проходящего через L. Направим ось x вдоль OK; тогда K имеет абсциссу l. Рассечем изучаемое тело плоскостью OAK, проходящей через эту ось и одну из образующих конуса OA (см. рис. 8.16). Треугольники OBL и OAK подобны с коэффициентом k = x/l, где x – абсцисса L. Все сечения конуса, параллельные основанию, также подобны между собой, поэтому площадь сечения S, проходящего через L, равна k 2 S₀, где S₀ – площадь основания.

Для вычисления координаты центра тяжести воспользуемся формулой (7.9), в которой положим a = 0, b = l, p(x) = k 2 S₀, k = x/l. После несложных вычислений получим, что x_C = 3l/4. Тем самым, утверждение доказано.

Замечание. Можно воспользоваться и формулой (8.3 б), в которой тройной интеграл следует заменить интегралом по отрезку.

Как уже было сказано, рассуждения для конуса в пространстве аналогичны рассуждениям, проведенным для треугольника на плоскости. Различие состоит в отношении, в котором центр тяжести делит выбранный отрезок: на плоскости оно составляет 2:1, а в пространстве – 3:1.

Еще два результата приведем без доказательства. Пусть дан шаровой сектор радиуса R и высоты H и шаровой сегмент с теми же параметрами (рис. 8.17).

Рис. 8.17. Шаровые сектор и сегмент (сегмент выделен цветом)

Тогда центры тяжести объема сектора и площади сегмента расположены в точках с координатами

соответственно. Ось Ox является осью симметрии сектора (сегмента), начало отсчета располагается в центре шара.

Замечание. Объем шарового сектора и площадь сегмента (шарового свода) вычисляются по формулам V = 2/3 πR 2 H, S = 2πRH. При H = 2R эти равенства переходят в формулы для вычисления объема шара и площади сферы.

8.4. Пример расчета координат центра тяжести

Полусфера со срезанным верхом помещена на коробчатое основание в форме прямоугольного параллелепипеда, составленное из плоских граней. Срезанная часть заменена плоской “крышкой” в форме круга. Определить положение центра тяжести полученного тела, считая, что все его элементы однородны и имеют одинаковую поверхностную плотность. Размеры даны в см (рис. 8.18).

Изучаемое тело составлено из четырех других тел более простой формы: поверхностей параллелепипеда, круга и полусферы, от которой, в свою очередь, “отрезан” сегмент. Поскольку радиус полусферы R = 30 см, а высота полученной в итоге части равна 20 см, то высота срезанного сегмента составляет 10 см.

Введем систему координат с началом в центре полушара O, как показано на рис. 8.18. Ось Ox направим вдоль короткого горизонтального ребра параллелепипеда, ось Oy – вдоль длинного ребра, ось Oz – вертикально вверх. Поскольку тело симметрично относительно плоскости Oyz, то абсцисса центра тяжести C равна нулю. Требуется найти лишь ординату и аппликату этой точки. Используя методы разбиения и отрицательных объемов, получим, что эти координаты можно отыскать по формулам

$$y_=fracy_+S_y_+S_y_-S_y_>+S_+S_-S_>,; z_=fracz_+S_z_+S_z_-S_z_>+S_+S_-S_>.$$

(8.5)

Индекс “1” относится к параллелепипеду, “2” – к полусфере, “3” – к кругу, а “4” – к срезанному сегменту (его площадь учитывается со знаком “–”). Поскольку конструкция составлена из поверхностных элементов, то в приведенных формулах фигурируют именно площади, а не объемы.

Поскольку второе по величине ребро параллелепипеда равно диаметру полушара, площадь его поверхности составляет S₁ = 2·(100·60 + 100·10 + 60·10) = 15200 см 2 . Центр тяжести данной фигуры находится на расстоянии 100/2 = 50 см от ее левой грани и на расстоянии 20/2 = 10 см от ее верхней грани. Поскольку начало отсчета O лежит на верхней грани в 30 см от левого края параллелепипеда, координаты центра тяжести фигуры 1 таковы: y₁ = 20 см, z₁ = –5 см.

Фигура 2 представляет собой шаровой сегмент высоты H = R, с центром в точке O и осью симметрии Oz. Ее площадь S₂ = 4π·30 2 /2 = 1800π см 2 , а координаты центра тяжести равны y₂ = 0 см, z₂ = 30 – 30/2 = 15 см.

Очевидно, что центр тяжести круга находится в точке (0; 0; 20). Радиус этого круга равен (sqrt=sqrt) см, поэтому его площадь S₃ = 500π см 2 .

Площадь срезанного шарового свода равна S₄ = 2π·30·10 = 600π см 2 . Ордината его центра тяжести y₄ = 0 см, а аппликата z₄ = 30 – 10/2 = 25 см.

Подставляя найденные параметры в (8.5), найдем, что y_C ≈ 14.80 см, z_C ≈ –0.34 см. Итак, C(0; 14.80; –0.34). Как и следовало ожидать, центр тяжести оказался смещен от начала координат вправо (за счет того, что фигура 1 несимметрична относительно Oz) и вниз (поскольку площадь поверхности, а значит, и вес параллелепипеда больше, чем у шарового сегмента).

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое центр тяжести? Является ли система сил тяжести, приложенных к телу, параллельной?
2. В вершинах треугольника размещены материальные точки равной массы. Доказать, что центр тяжести этой системы находится в точке пересечения медиан треугольника.
3. Как надо изменить расчетные формулы методов разбиения и отрицательных объемов, чтобы они оставались справедливыми и для неоднородных тел?
4. На чем основан экспериментальный метод определения центра тяжести? Показать, что данный метод справедлив и для неоднородных тел.
5. Как найти центр тяжести произвольного четырехугольника?
6. Вывести формулу для определения координат центра тяжести однородного кругового сектора.
7. Как определяется положение центра тяжести однородного конуса?

Задачи к лекции

Вырезать из картона или плотной бумаги произвольный треугольник, определить положение его центра тяжести экспериментально. Провести в треугольнике медианы и сравнить положение их точки пересечения с положением центра тяжести.

От кругового сектора, радиус которого равен 10 см, а центральный угол – 60°, отделен сегмент (рис. 8.19). Найти положение его центра тяжести.

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, изображенной на рис. 8.20.

Ответы. 2. Центр тяжести лежит на оси симметрии сегмента (сектора) на расстоянии около 9.2 см от вершины сектора. 3. Приближенное положение: C(4.50; 8.46).

Также рекомендуется решить задачи из §9 [2]; РГР С8 [3].

Что такое Центроид фигуры?

Центроид (барицентр или центр масс) вершин произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения 3-х отрезков: 1-й отрезок соединяет середины диагоналей, два другие — середины противополежащих сторон. Точка пересечения делит все три отрезка пополам.

Что такое центр фигуры?

Центр кривой линии или какой-нибудь фигуры — есть такая точка, в которой делится пополам всякая хорда, проходящая через эту точку.

Как найти центр многоугольника?

Чтобы найти координаты центра (ну или еще говорят центра тяжести) многоугольника, нужно сложить соответствующие координаты его вершин и разделить на число вершин.

Как найти центр тяжести в четырехугольнике?

Центр тяжести площади четырехугольника определяется пересечением двух прямых, которые мы получаем, применяя распределительное свойство центров тяжести (п° 213). Сначала делим четырехугольник диагональю на два треугольника. Центр тяжести четырехугольника лежит на прямой, соединяющей центры тяжести этих треугольников.

Как найти центр сложной фигуры?

1. Если фигура не имеет округлостей, то разбивай на треугольники. Точка пересечения биссектрис является центром тяжести треугольника. Вычисляешь массу каждого треугольника (если тело однородно, то m/M=s/S, где m и M массы, а s и S площади каждого треугольника и всей фигуры).

Где находится центр масс Солнечной системы?

Барицентром или центром масс Солнечной системы называется точка, где уравновешиваются массы самого Солнца, всех планет, лун и астероидов. Барицентр удалось определить с помощью пульсаров.

Что такое центр масс для чего необходимо определять центр масс?

Центр масс является точкой, характеризующей распределение масс в данном теле (или в механической системе). Положение центра масс зависит от того, как распределяется по объему тела его масса. Центр масс не обязательно должен находиться в самом теле.

Что такое центр масс в геометрии?

Центром масс системы материальных точек ( M 1, m 1), ( M 2, m 2), . ( M n , m n ) называется такая точка Z , для которой имеет место равенство m 1 · ZM 1 + m 2 · ZM 2 + . . + m n · ZM n = 0. 1.

Где находится центр тяжести полукруга?

Сегмент : центр тяжести расположен на оси симметрии (координата у c = 0). где α – половина центрального угла; R – радиус окружности. Конус : центр тяжести однородного кругового конуса лежит на его высоте и отстоит на расстояние 1/4 высоты от основания конуса. Полусфера : центр тяжести лежит на оси симметрии.

Как найти центр тяжести тела неправильной формы?

Центр тяжести тела неправильной формы можно определить так: подвесить его за любую точку, и провести вертикальную линию по отвесу. Затем повернуть тело и повторить операцию. Точка пересечения двух прямых и есть центр тяжести тела.

Как определить геометрический центр?

Если все углы меньше 120°, геометрический центр — это точка внутри треугольника, которая составляет угол 120° с любой парой вершин треугольника. Эта точка известна как точка Ферма треугольника (если три точки коллинеарны, то геометрический центр совпадает с точкой, которая лежит между двумя другими).

Как определить центр правильного многоугольника?

Правильный многоугольник Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон.

Как определить где находится центр масс?

Если положения N материальных точек системы задано при помощи их радиус-векторов, то радиус — вектор, определяющий положение центра масс находим как: ¯rc=N∑i=1mi¯riN∑i=1mi(4). Выражение (4) считают определением центра масс системы.

Как найти центр тяжести конуса?

Треугольник: центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан. Конус: центр тяжести однородного кругового конуса лежит на его высоте и отстоит на расстояние 1/4 высоты от основания конуса. Полусфера: центр тяжести лежит на оси симметрии.

Как найти центр тяжести в равнобедренном треугольнике?

Отметьте точку пересечения двух медиан.

Эта точка является центром тяжести треугольника. Центр тяжести находится на пересечении трех медиан, но так как медианы всегда пересекаются в одной точке, можно работать только с двумя медианами.

Содержание:

1. Центр масс
2. Центр параллельных сил
3. Центр тяжести
4. Центры тяжести некоторых плоских однородных фигур
5. Центр тяжести дуги окружности
6. Центр тяжести кругового сектора
7. Центр тяжести кругового сегмента
8. Центр тяжести треугольника
9. Центр тяжести трапеции
10. Примеры решения задач на тему: Центр масс
11. Способы определения координат центра тяжести тела
12. Метод симметрии
13. Метод разбиения
14. Метод дополнения
15. Экспериментальные способы
16. Центры тяжести некоторых однородных тел
17. Центр тяжести дуги окружности
18. Центр тяжести треугольника
19. Центр тяжести сектора

Центр масс – это геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы в теле, а перемещение характеризует движение тела или механической системы как целого.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Центр масс

Центр масс – это некоторое положение, определяемое относительно объекта или системы объектов и это среднее положение всех частей системы, взвешенное в соответствии с их массами.

Центр параллельных сил

Если на тело действует система параллельных сил , ,…, , то точка , через которую проходит равнодействующая этой системы сил, называется центром параллельных сил (рис.9.1).

Координаты центра параллельных сил определяются по зависимостям:

где  – координаты точек приложения сил .

Центр параллельных сил имеет ту особенность, что через него обязательно будет проходить линия действия равнодействующей при вращении линий действия всех сил системы вокруг точек их приложения на один и тот же угол в одну и ту же сторону. Модули сил при вращении не должны меняться.

Центр тяжести

Если твердое тело находится возле поверхности Земли, то на каждую материальную часть этого тела действует сила тяжести­ , которая направлена к центру Земли. Поскольку размеры тела небольшие по сравнению с размерами Земли, то образованную систему сил можно рассматривать как параллельную. Равнодействующая этой параллельной системе сил , которая равна их сумме, называется тяжестью тела, а центр этой системы – точка называется центром тяжести тела (рис.9.2).

Координаты центра тяжести твердого тела можно определить как координаты центра параллельных сил:

где  – сила тяжести элементарной частицы тела;

 – тяжесть тела;

 – координаты центра тяжести;

 – координаты элементарной частицы тела.

Если тело однородное, то есть удельный вес не меняется по объему , то:

где  – объем тела;

 – объем элементарной частицы.

Тогда формулы для определения координат центра тяжести твердого тела приобретут вид:

Положение центра тяжести однородного тела зависит только от формы объема, что занимает тело, и называется центром тяжести этого объема.

Если однородное тело имеет форму тонкой пластины, то его можно рассматривать как материальную плоскую фигуру. В этом случае положение центра тяжести плоской фигуры определяется двумя координатами  и и зависит от формы площади фигуры:

где  – площадь элементарной части плоской фигуры;

 – площадь плоской фигуры.

Центр тяжести однородной пластины называется центром тяжести плоской фигуры.

Если выбранный элементарный объем  (площадь элементарной площадки в плоском случае) направить к нулю, то формулы для вычисления координат центра тяжести приобретут интегральный вид:

а) для однородного твердого тела:

где  – объем тела, интегрирование выполняется по всему объему тела;

б) для однородной поверхности:

где  – площадь поверхности, интегрирование выполняется по всей поверхности тела;

в) для однородной плоской фигуры, лежащей в плоскости xy:

г) для однородной линии:

где  – длина линии, интегрирование выполняется по всей длине линии.

Центры тяжести некоторых плоских однородных фигур

Для упрощения определения центра тяжести используются следующие вспомогательные правилами:

1. Если тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести лежит на этой плоскости.
2. Если тело симметрично относительно оси, то центр тяжести лежит на этой оси.
3. Если тело симметрично относительно точки, то центр тяжести лежит в центре симметрии.
4. Если тело состоит из нескольких частей, центры тяжести которых можно определить, то центр тяжести такого тела находят как центр тяжести нескольких материальных точек, а именно тех, в которых расположены весы каждой отдельной части тела.

Центр тяжести дуги окружности

Центр тяжести дуги окружности  (рис.9.3) лежит на ее оси симметрии и на расстоянии от центра окружности:

где  – радиус окружности;

 – половина центрального угла, опирающегося на дугу .

Центр тяжести кругового сектора

Центр тяжести кругового сектора лежит на оси симметрии и имеет координаты:

где  – радиус окружности;

 – половина центрального угла сектора.

Центр тяжести кругового сегмента

Центр тяжести кругового сегмента лежит на оси симметрии сегмента и имеет координаты:

где  – радиус окружности;

 – половина центрального угла сегмента.

Центр тяжести треугольника

Центр тяжести треугольника (рис. 9.6) лежит в точке пересечения его медиан – на расстоянии 1/3 каждой медианы от соответствующего основания треугольника.

Центр тяжести трапеции

Центр тяжести трапеции (рис.9.7) с основаниями  и  и высотой лежит на прямой , которая соединяет середины основ.

Расстояния  и центра тяжести площади трапеции от ее основ определяются по формулам:

Наиболее распространенный способ определения положения центра тяжести однородного тела сложной формы заключается в том, что его разбивают на такие части, положение центров тяжести которых известно, или может быть легко определено.

Например, однородную плоскую фигуру (рис.9.8) разбивают на три части 1,2 и 3, положения центров тяжести которых, можно определить.

Координаты центра тяжести фигуры определяются по формулам:

где  – координаты центра тяжести первой части плоской фигуры;

 – площадь первой части и т.п.

Этим способом удобно пользоваться и при определении положения центра тяжести плоской фигуры, из которой вырезана некоторая часть (рис.9.9).

В этом случае площадь плоской фигуры можно записать в виде разницы площадей сплошной фигуры 1 (площадь положительная) и вырезанной части 2 (площадь отрицательная), то есть .

Координаты центра тяжести фигуры равны:

где  – координаты центра тяжести сплошной фигуры 1, площадь которой равна ;

 – координаты центра тяжести вырезанной части 2, площадь которой равна – .

Первый из этих методов имеет название “метод разбиения”, второй – “метод дополнения”, или “метод отрицательных масс”. В общем случае формулы для определения центра тяжести плоской фигуры имеют вид:

где  – площадь всей фигуры.

Примеры решения задач на тему: Центр масс

Задача № 1

Найти центр тяжести двутаврового профиля, размеры которого в сантиметрах указаны на рис.9.10.

Решение. Поскольку форма сечения имеет ось симметрии, ось направим вдоль оси симметрии, а ось перпендикулярно ей.

В силу симметричности профиля относительно оси центр тяжести будет лежать на этой оси, то есть

Линиями и поделим профиль на три прямоугольника 1, 2 и 3.

Запишем уравнение для определения абсциссы центра тяжести площади:

где  – абсциссы центров тяжести прямоугольников 1, 2, 3;

 – площади этих прямоугольников.

Поскольку центры тяжести прямоугольников и лежат на пересечении их диагоналей, то (рис.9.10):

Площади этих прямоугольников соответственно равны:

Тогда: 

Таким образом, центр тяжести фигуры лежит в точке с координатами: 

Ответ: 

Задача № 2

Найти координаты центра тяжести поперечного пересечения разностороннего угольника (рис.9.11), полки которого имеют ширину  и толщину

Решение. Разделим пересечение линией на два прямоугольника и , центры тяжести которых лежат на пересечении соответствующих диагоналей.

Запишем формулы для координат  и  центра тяжести пересечения:

где  и  – координаты центров тяжести прямоугольников 1 и 2;

,  – площади прямоугольников 1 и 2.

С рис.9.11 видим, что

Тогда: 

Ответ: 

Задача № 3

Определить положение центра тяжести плоской фигуры (рис.9.12), ограниченной полуокружностью  радиуса и двумя прямыми равной длины и , причем

Решение. Данная площадь имеет ось симметрии, вдоль которой направим ось . Поскольку центр тяжести площади лежит на оси симметрии, то

Разделим площадь линией на две части: полуокружность и равнобедренный треугольник .

Абсцисса центра тяжести площади будет равняться:

где  – координата центра тяжести половины круга ;

 – координата центра тяжести треугольника ;

,  – площади половины круга и треугольника.

Для определения воспользуемся приведенными в разделе 9.3.2 координатами центра тяжести кругового сектора

В случае половины круга 

Площадь половины круга равна:

Центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан (раздел 9.3.4). Поскольку треугольник равнобедрен, то линия  будет его медианой и расстояние будет равняться третьей части от :

Площадь треугольника равна:

Подставив найденные значения , ,  и  в уравнение для , получим:

Ответ: 

Задача № 4

Найти координаты центра тяжести квадратной пластины с вырезом в виде сегмента радиуса (рис.9.13), если

Решение. Осью симметрии рассматриваемой фигуры будет диагональ прямоугольника

Поэтому направим ось вдоль этой линии, а ось – перпендикулярно (рис.9.13).

Центр тяжести пластины будет лежать на оси , то есть

Площадь фигуры можно представить как разницу площадей квадрата (положительная площадь) и сектора (отрицательная площадь).

Абсцисса центра тяжести фигуры будет равняться:

где  – абсцисса центра тяжести квадрата ;

 – абсцисса центра тяжести сектора ;

 и  – площади квадрата и сектора.

Для квадрата получим:

Как следует из рис. 9.13, равняется

где  – расстояние от точки к центру тяжести кругового сектора .

Для кругового сектора (раздел 9.3.2) получим:

Поскольку  и , то 

Таким образом, абсцисса равняется:

Площадь кругового сектора :

Подставив значение , ,  и  в формулу для , получим:

Ответ:  

Задача № 5

Найти координаты центра тяжести площади, ограниченной (рис.9.14) правой веткой параболы , осью  и прямой

Решение. На расстоянии  от оси выделяем элементарную площадку шириной (заштрихованная область).

Площадь выделенной элементарной площадки будет равняться:

Площадь фигуры, что ограничена заданными линиями:

Поскольку точка представляет собой пересечение параболы и прямой , то 

Отсюда: 

Тогда:

Абсцисса центра тяжести

Для определения координаты выделим элементарную площадку шириной на расстоянии  от оси .

Площадь выделенной площадки:

Ордината центра тяжести:

Тогда: 

Ответ: 

Способы определения координат центра тяжести тела

Существует несколько способов определения координат центра тяжести тел. среди них различают: метод симметрии, метод разбиения и дополнения, экспериментальные способы.

Рассмотрим последовательно эти способы.

Метод симметрии

Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.

Таким образом, центр тяжести однородных симметричных тел, таких как кольца,
прямоугольные пластины, прямоугольные параллелепипеды, шары и другие тела, которые
имеют центр симметрии, расположенный в геометрических центрах (центры симметрии) этих тел.

Метод разбиения

Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести нетрудно определяется, то координаты центра тяжести всего тела можно определить непосредственно по формулам выше. Причем количество слагаемых в числителе каждого из указанных выражений будет равно количеству частей, на которое разбивается тело.

Приведем пример определения центра тяжести тела методом разбиения его на отдельные тела, центры тяжести которых известны.

Пример:

Определить координаты центра тяжести однородной пластины. Размеры в
мм заданные на рис. 1.64

Решение.

Выберем оси координат x и y. Разбиваем пластину на отдельные прямоугольные части. Для каждого прямоугольника проводим диагонали, точки пересечения которых c₁, c₂ и c₃ соответствуют центрам веса каждого прямоугольника. В принятой системе координат нетрудно получить значение координат этих точек. А именно: c₁ (–1,1), c₂ (1,5), c₃ (5,9). Площади каждого тела соответственно равны: I — s₁ = 4 см²; II — s₂ = 20 см²; III — s₃ = 12 см². Площадь всей пластины равна: S = s₁ + s₂ + s₃ = 36 см².

Для определения координат центра тяжести заданной пластины используем выражение выше. Подставив значения всех известных величин в уравнения, получим

По вычисленным значениям координат центра тяжести пластины можно обозначить точку C на рисунке. Как видим, центр тяжести (геометрическая точка) пластины расположен за ее пределами.

Метод дополнения

Способ, о котором говорится далее, является некоторым случаем способа разбиения. Он может применяться к телам, которые имеют вырезы, полости, причем без учета выреза, или вырезанной части тела положение центра тяжести тела известно. Рассмотрим пример применения такого метода.

Пример. Определить положение центра тяжести круглой пластины радиусом R, имеет круговое отверстие радиуса r (рис. 1.65). Расстояние C₁C₂ = a.

Решение.

Как видно из рисунка, центр тяжести пластины находится на оси симметрии пластины x, то есть на прямой, проходящей через точки C₁ и C₂. Таким образом, для определения положения центра тяжести этой пластины необходимо вычислить только одну координату x_C, поскольку вторая координата y_C равна нулю. Покажем оси координат x, y. Примем, что пластина состоит из двух тел — с полного круга (без учета выреза) и тела,
образовано вырезом. В принятой системе координаты x для указанных тел будут равны: x₁ = 0; x₂ = C₁C₂ = a. Площади тел равны: Общая площадь всего тела будет равна физической разницы между площадями первого и второго тел, а именно
Для определения неизвестной координаты центра тяжести
заданной пластины используем первое уравнение выражения.

Подставив значения всех известных величин в это уравнение, получим

Таким образом, значение координаты x_C отрицательное, а потому, поскольку вторая координата 0 y_C = 0, то центр тяжести пластины C размещен на оси x слева от точки C₁.

Экспериментальные способы

Эти способы нашли широкое применение при отыскании положения центра тяжести тел сложных форм и конфигураций, для которых другие способы почти непригодны вследствие громоздкости и сложности. К таким телам, в первую очередь, следует отнести комбайны, тракторы, сложные сельскохозяйственные машины и орудия. При применении экспериментальных способов отыскания положения
центра тяжести наиболее широко используют метод подвешивания и метод взвешивания тел.

При применении метода подвешивания тело на тросе подвешивают за различные его точки. Направление троса, будет давать каждый раз направление силы веса тела. Тогда точка пересечения этих направлений и дает положение центра тяжести тела.

Использование второго метода — взвешивание требует измерения веса всего тела, а также отдельных его частей. Рассмотрим пример применения этого метода.

Пример.

Определим продольную координату центра тяжести трактора, у которого продольная база составляет l (рис. 1.66).

Решение.

Сначала поставим на платформу весов задние колеса трактора, как это показано на рисунке. Итак, определяем силу давления задних колес на платформу, или реакцию . Аналогично определяем вес переднего моста, или реакцию . Вполне понятно, что сумма этих реакций равна общему весу трактора, а именно:

Q = R_A + R_B.

Теперь составим алгебраическую сумму моментов всех сил относительно точки A. Она равна

Откуда определяем продольную координату центра тяжести:

x_C = .

Для определения поперечной координаты центра тяжести трактора необходимо знать реакции левых колес (переднего и заднего) и правых, а также поперечную базу трактора. Дальше аналогичным выражением определяется эти координаты центра тяжести.

Центры тяжести некоторых однородных тел

Определим далее координаты центров тяжести некоторых простых однородных тел.

Центр тяжести дуги окружности

Рассмотрим дугу AB окружности радиусом R, в которой центральный угол OAB равен 2α (радиан) (рис. 1.67). Покажем оси координат x, y начало которых разместим в точке O. Вследствие того, что дуга имеет ось симметрии Ox, то центр ее тяжести будет расположен именно на этой оси (y_C = 0). Остается только вычислить координату x_C.

Используем для вычисления этой координаты первое уравнение выражения, а именно

Определим составляющие, которые необходимо подставить в это уравнение. Для этого выделим на дуге AB элемент M M₁ длиной dl, равной:

dl = R · dφ.

Если φ — угол, определяющий положение элемента M M₁ на дуге AB, то координата x элемента M M₁ будет равна:

x = Rcosφ.

Общая длина дуги AB равна:

L = 2α · R.

Подставим эти значения в первое уравнение выражения. При этом считается, что интеграл в числителе данного выражения должен быть определенным по всей длине дуги. Будем иметь:

Таким образом, координата x_C будет равняться

x_C = .

Центр тяжести треугольника

Есть произвольный треугольник, вершины которого в принятой системе координат Oxy соответствуют точкам с координатами A₁ (x₁, y₁), A₂ (x₂, y₂), A₃ (x₃, y₃) (рис. 1.68). Если провести прямые, которые будут параллельны основе A₁A₃ и провести их достаточное количество, то вся площадь треугольника будет состоять из полос бесконечно малой ширины, центры тяжести которых будут размещены посередине каждой полосы, а потому и центр тяжести треугольника будет расположенный на его медиане. А если провести линии, параллельные другой стороне треугольника, то и в этом случае центр тяжести будет размещен на соответствующей медиане. Таким образом, совершенно очевидно, что центр тяжести треугольника C будет расположен в точке пересечения его медиан.

Определим координаты этой точки. По курсу аналитической геометрии известно, что точка пересечения медиан треугольника в принятой системе координат определяется такими зависимостями

где x₁, x₂, …, y₃  — координаты вершин треугольника.

Полезно также знать, что

Центр тяжести сектора

Рассмотрим круговой сектор OAB радиуса R, центральный угол которого равен 2α (радиан) (рис. 1.69). Центр тяжести сектора, вполне очевидно, лежит на оси его симметрии, то есть на биссектрисе угла AOB. Эту биссектрису примем за ось x и найдем на этой оси положение центра C. Разобьем площадь сектора на бесконечно большое число элементарных секторов с центральными углами ∆φ.

Будем рассматривать каждый сектор как треугольник с основанием R · ∆φ и высотой R. Центр тяжести каждого треугольника расположен на расстоянии  от центра сектора. Таким образом, центры тяжести всех треугольников расположены на дуге A´B´. Итак, если 0 ∆φ → 0, то центры тяжести образуют дугу AB, тогда необходимо найти центр тяжести дуги A´B´. Используем формулу, по которой определяется центр тяжести дуги окружности радиусом r:

Тогда учитывая, что

Будем иметь

Услуги по теоретической механике:

1. Заказать теоретическую механику
2. Помощь по теоретической механике
3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

1. Статика
2. Система сходящихся сил
3. Момент силы
4. Пара сил
5. Произвольная система сил
6. Плоская произвольная система сил
7. Трение
8. Расчет ферм
9. Расчет усилий в стержнях фермы
10. Пространственная система сил
11. Произвольная пространственная система сил
12. Плоская система сходящихся сил
13. Пространственная система сходящихся сил
14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
15. Естественный способ задания движения точки
16. Центр параллельных сил
17. Параллельные силы
18. Система произвольно расположенных сил
19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
20. Кинематика
21. Кинематика твердого тела
22. Движения твердого тела
23. Динамика материальной точки
24. Динамика механической системы
25. Динамика плоского движения твердого тела
26. Динамика относительного движения материальной точки
27. Динамика твердого тела
28. Кинематика простейших движений твердого тела
29. Общее уравнение динамики
30. Работа и мощность силы
31. Обратная задача динамики
32. Поступательное и вращательное движение твердого тела
33. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
34. Сферическое движение твёрдого тела
35. Движение свободного твердого тела
36. Сложное движение твердого тела
37. Сложное движение точки
38. Плоское движение тела
39. Статика твердого тела
40. Равновесие составной конструкции
41. Равновесие с учетом сил трения
42. Колебания материальной точки
43. Относительное движение материальной точки
44. Статические инварианты
45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
46. Динамика системы материальных точек
47. Общие теоремы динамики
48. Теорема об изменении кинетической энергии
49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
50. Потенциальное силовое поле
51. Метод кинетостатики
52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки