Как найти центр вписанной окружности правильного многоугольника

Правильный многоугольник

• формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
• формулы правильного n-угольника
• правильный треугольник
• правильный четырехугольник
• правильный шестиугольник
• правильный восьмиугольник

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Длина окружности и площадь круга
5. Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Советуем посмотреть:

Правильный многоугольник

Окружность, описанная около правильного многоугольника

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

Построение правильных многоугольников

Длина окружности

Площадь круга

Площадь кругового сектора

Длина окружности и площадь круга

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1086,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1087,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1089,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 5,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 6,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1130,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1140,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1215,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1239,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1285,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Понятие правильного многоугольника

Как мы знаем, сумма углов многоугольника находится по формуле$(n-2)cdot {180}^0$

Значит, градусная мера одного угла правильного многоугольника равняется

Теорема об описанной около правильного многоугольника окружности

Доказательство.

Существование. Пусть нам дан правильный многоугольник $A_1A_2A_3dots A_n$. Пусть биссектрисы углов $A_1 и A_2$ пересекаются в точке $O$. Соединим с этой точкой все остальные вершины правильного многоугольника (Рис. 2).

Так как углы $A_1 и A_2$ равны и $A_1O и A_2O$ — биссектрисы, то угол $OA_1A_2$ равен углу $O{A_2A}_1$. Следовательно, треугольник $OA_1A_2$ равнобедренный, и, значит, $A_1O=A_2O$.

Так как $A_1A_2=A_2A_3$, $angle O{A_2A}_1=angle O{A_2A}_3$ и сторона $A_2O$ – общая, то треугольники $O{A_2A}_1$ и $O{A_2A}_3$ равны. Следовательно, $OA_2=OA_3$.

Аналогично доказывают другие равенства. В результате, будем иметь

То есть точка $O$ равноудалена от всех вершин многоугольника, а, значит, точка $O$ – центр описанной вокруг правильного многоугольника окружности.

Единственность. Рассмотрим три вершины многоугольника. Очевидно, что через них проходит только одна окружность, следовательно, вокруг правильного многоугольника можно описать только одну окружность.

Теорема доказана.

Теорема вписанной в правильный многоугольник окружности

Доказательство.

Пусть нам дан правильный многоугольник $A_1A_2A_3dots A_n$. Пусть точка $O$ – центр описанной вокруг данного многоугольника окружности (Рис. 3).

Так как углы $A_1 и A_2$ равны и $A_1O и A_2O$ — биссектрисы, то угол $OA_1A_2$ равен углу $O{A_2A}_1$. Следовательно, треугольник $OA_1A_2$ равнобедренный, и, значит, $A_1O=A_2O$.

Так как $A_1A_2=A_2A_3$, $angle O{A_2A}_1=angle O{A_2A}_3$ и сторона $A_2O$ – общая, то треугольники $O{A_2A}_1$ и $O{A_2A}_3$ равны.

Аналогично доказывается равенство других треугольников. То есть, мы получим

Значит и высоты этих треугольников равны между собой

Тогда окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным ${OH}_1$ проходит через точки $H_1, H_2,dots ,H_n$, то есть касается всех сторон данного многоугольника. Следовательно. Является вписанной для правильного многоугольника.

Единственность. Предположим противное. Пусть существует еще одна вписанная в этот многоугольник окружность. Обозначим её центр $O’$. Тогда $O’$ равноудалена от всех сторон многоугольника, а значит лежит в точке пересечения биссектрис его углов. Но тогда точка $O’$ совпадает с точкой $O$ и, следовательно, эти окружности также совпадают.

Теорема доказана.

Из этих двух теорем можно сформулировать следующие следствия:

Следствие 1: Вписанная в правильный многоугольник окружность касается его в серединах его сторон.

Следствие 2: Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в этот же правильный многоугольник. Этот центр называется центром правильного многоугольника.

Формулы для правильного многоугольника

Дадим теперь несколько формул, относящихся к понятию правильного многоугольника (без их вывода).

Введем следующие обозначения. Пусть $S$ — площадь правильного многоугольника, $P$ — периметр правильного многоугольника, $a$ – сторона правильного многоугольника, $r$ – радиус вписанной в правильный многоугольник окружности, $R$ – радиус описанной около правильного многоугольника окружности. Тогда

Пример задачи на понятие правильного многоугольника

На этом уроке мы вспомним, какую окружность называют
вписанной в многоугольник. Докажем теорему об окружности, вписанной в
правильный многоугольник. А также рассмотрим следствия из этой теоремы.

Для начала давайте вспомним определение правильного
многоугольника. Итак, правильным многоугольником называется выпуклый
многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Так как у правильного многоугольника все
углы равны, то угол правильного n-угольника
можно вычислить по формуле: альфа энное равно 180 градусов умножить на эн минус
два деленное на н, где n – количество сторон (углов) правильного n-угольника.

И вспомним
еще определение вписанной окружности.

Определение. Окружность называется вписанной в
многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности.
При этом многоугольник называется описанным около этой окружности.

Ранее мы с вами рассматривали касание прямой и
окружности.

Напомню, что если задана окружность с центром в точке О
и радиусом r, и точка А – общая точка прямой и
окружности, то такая точка единственная. Прямая p,
которая проходит через точку касания, называется касательной. Радиус OA, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной p.

Теорема. Отрезки касательных к окружности,
проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей
через эту точку и центр окружности.

Значит, точка О – центр окружности – лежит на
биссектрисе угла. Таким образом, имеем окружность, вписанную в угол.

Докажем
теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Теорема.
В любой правильный
многоугольник можно вписать                  окружность, и притом только одну.

Доказательство.

Пусть  – правильный многоугольник.

 по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда,.

Т.е. .

Следовательно,
точка  равноудалена от всех сторон
многоугольника.

Если
провести окружность с центром  и , то все стороны многоугольника будут
касаться окружности в этих точках.

Значит, в
данный многоугольник можно вписать окружность.

Теперь
докажем, что вписанная окружность только одна.

Предположим,
что в то же время с окружностью с центром  и радиусом  существует и другая окружность.

Тогда ее
центр  лежит на каждой из биссектрис углов
многоугольника.

Следовательно,
ее центр  совпадает с точкой  пересечения этих биссектрис.

Радиус этой
окружности равен расстоянию от точки  до сторон многоугольника. Т.е. равен .Значит, вторая окружность совпадает с
первой.

Теорема
доказана.

Из этой
теоремы вытекают следствия. Рассмотрим их.

Следствие
1. Окружность,
вписанная в правильный многоугольник, касается                         сторон
многоугольника в их серединах.

Доказательство.

Пусть  – правильный многоугольник.

 – радиус вписанной в него окружности.

Рассмотрим .

Значит,  –  равнобедренный.

 –  по свойству касательной к окружности.

 –  высота .

 –  медиана  по свойствам равнобедренного
треугольника.

Следовательно,
.

Что и
требовалось доказать.

Следствие
2. Центр окружности,
описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности,
вписанной в тот же многоугольник.

Задача. В правильный четырехугольник вписана
окружность. Определите ее радиус, если периметр правильного четырехугольника
равен  см.

Решение.

Так
как , то  – квадрат.

.

Значит,
 (см).

 (см).

 (см).

Ответ:   (см).

Подведем
итоги урока. На этом уроке мы доказали теорему об окружности, вписанной в
правильный многоугольник. А именно, доказали, что в любой правильный
многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. А также вывели
следствия из этой теоремы. Первое следствие: окружность, вписанная в правильный
многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. Второе 
следствие: центр окружности, описанной около правильного многоугольника,
совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. Эта точка
называется центром правильного многоугольника.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности и называется центром правильного многоугольника.

Выясним, какой радиус вписанной окружности имеют описанные правильные многоугольники в общем случае и в некоторых частных случаях.

Пусть AB — сторона правильного многоугольника,

O — его центр.

AB=a.

Соединим точку O  с точками A и B и проведем перпендикуляр OF к AB.

OF=r — радиус вписанной окружности.

OA=OB=R- радиусы описанной окружности.

Треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB. Следовательно, OF — его высота, медиана и биссектриса.

Угол AOB — центральный угол данного правильного многоугольника. Если n — количество сторон многоугольника, то

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOF.

По определению тангенса,

Таким образом, формула радиуса вписанной в правильный многоугольник окружности —

где a — сторона многоугольника, n — количество его сторон.

В частности, при n=3 формула радиуса вписанной в правильный треугольник окружности

так как

При n=4 формула радиуса вписанной в правильный четырехугольник окружности

При n=6 формула радиуса вписанной в правильный шестиугольник окружности

так как