Как найти центры тяжести сечения

В этой статье посмотрим, как определяются координаты центра тяжести сложной фигуры — состоящей из простых. В задачах по сопромату часто приходится находить положение центра тяжести составных сечений, для дальнейшего вычисления моментов инерции и т. д.

Также часто, при изучении теоретической механики, студентам предлагается решить подобную задачу, и найти центр тяжести какой-нибудь фигуры.

Условие задачи

Предлагаю рассмотреть следующую фигуру:

В сопромате принято заштриховывать сечения тонкими линиями, вот так:

В своих же уроках я буду использовать заливку. Так, штриховка не будет мешать наносить обозначения.

Разбивка сложной фигуры на простые

Как видишь, сечение состоит из прямоугольника, прямоугольного треугольника, четверти круга, а также имеет круглый вырез:

Отметим центры тяжести (С₁, С₂, С₃, С₄) каждой отдельной фигуры, с учётом справочной информации.

Открой эту страничку, и пока не закрывай, она нам ещё понадобится!

Покажем вспомогательные оси (x₀, y₀) для всего сечения, которые будем использовать для нахождения положения центра тяжести (C):

Как определить положение центра тяжести?

Чтобы определить координату центра тяжести сечения, например, вертикальное расстояние от оси x₀ до центра тяжести сечения (y_c):

Нужно статический момент сечения относительно этой вспомогательной оси (x₀) разделить на площадь всего сечения (A):

Площадь всего сечения (A) найти просто – это алгебраическая сумма площадей всех фигур:

Статический момент сечения, относительно вспомогательной оси будет равен алгебраической сумме статических моментов каждой фигуры (с учётом знака):

где A_i – площадь отдельной фигуры;
y_i – расстояние от центра тяжести отдельной фигуры до вспомогательной оси (x₀).

Координата центра тяжести (x_c), находится аналогично:

Определение площади сечения

Для начала предлагаю сделать самое простое, используя формулы, указанные на этой странице, найти площадь всего сечения (A):

Как видишь, круглый вырез, нужно учесть с «минусом», что очевидно.

Определение расстояний от вспомогательных осей до центров тяжести отдельных фигур

Найдём расстояния от вспомогательных осей (x₀, y₀) до центров тяжести отдельных фигур, опять же, используя нашу шпаргалку:

Определение статических моментов

Определяем статические моменты сечения относительно вспомогательных осей (x₀, y₀):

Важно! Статические моменты могут быть и отрицательными.

Определение координат центра тяжести

И, наконец, определяем положение центра тяжести всего сечения (C):

Покажем центр тяжести всего сечения (C):

Если остались какие-то вопросы по данному уроку, можешь смело задавать их в комментариях. Также, другие уроки, на сайте – ssopromat.ru, по определению геометрических характеристик, можешь найти здесь.

Определение координат центра тяжести x_C и y_C плоских фигур нестандартной формы выполняется при решении задач для последующих расчетов остальных геометрических характеристик, например, таких как радиусы и осевые моменты инерции поперечных сечений.

Рассмотрим способы и пример определения координат положения центра тяжести фигуры нестандартной формы.

Способы определения координат центра тяжести

Способы определения координат центров тяжести твердых объёмных тел и плоских фигур можно получить исходя из полученных ранее общих формул для расчета положения центра тяжести.

Существует 5 способов расчета координат положения центра тяжести:

1. Аналитический (путем интегрирования).
2. Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
3. Экспериментальный. (метод подвешивания тела).
   Этот способ подходит в основном для плоских и линейных тел.
4. Разбиение. Тело или фигура разбивается на конечное число частей (простых тел или фигур), для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь A известны.

   Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями A₁ и A₂ (A = A₁+ A₂).
   

   Рисунок 1.8

   Центры тяжести этих фигур находятся в точках C₁(x₁, y₁) и C₂(x₂, y₂). Тогда координаты центра тяжести тела равны:
   
5. Дополнение (Метод отрицательных площадей или объемов).
   Это частный случай предыдущего способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.

   Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):
   

   Рисунок 1.9

   Тогда координаты центра тяжести фигуры с отверстием можно определить по формулам:
   

При решении задач по определению координат центра тяжести плоских фигур и объемных тел применяются последние два способа (разбиение и дополнение).

Пример определения координат центра тяжести сложной фигуры в нашем коротком видео:

Другие видео

Пример определения координат центра тяжести плоской фигуры

Задача
Определить координаты центра тяжести плоской фигуры с круглым отверстием

Решение
Разделим заданное сечение на простые фигуры – прямоугольник, круг и прямоугольный треугольник.
Через нижнюю левую точку фигуры проведем координатные оси x и y.

Рассчитаем необходимые для решения задачи площади A и координаты x,y центров тяжести C_i отдельных фигур:

Прямоугольник (фигура 1)
Площадь
A₁=400×500=200000 мм²
Положение центра тяжести
x₁=200мм
y₁=250мм

Круг (2) (вычитаемая фигура)
Площадь
A₂=π×200²/4=31416 мм²
Центр тяжести
x₂=200мм
y₂=300мм

Прямоугольный треугольник (3)
Площадь
A₃=400*100/2=20000 мм²
Положение центра тяжести треугольника находится на пересечении его медиан (на расстоянии 1/3 высоты от основания или 2/3 высоты от его вершин)
x₃=400×2/3=266,7мм
y₃=500+100×1/3=533,3мм

Координаты x и y центра тяжести C всей плоской фигуры определим по формулам:

Ответ: Таким образом, центр тяжести заданной фигуры находится в точке C с координатами x_C=207,1мм, y_C=271,7мм.

Другие примеры решения задач >
Центры тяжести простейших фигур >

Сохранить или поделиться с друзьями

Определить главные центральные моменты инерции, осевые моменты сопротивления  сечения, составленного из стандартных профилей проката.

Сечение состоит из двух неравнополочных уголков 75×50х5 (маркировка в мм) и швеллера № 16 (№ швеллера говорит о его высоте в см).

1. Определим положение центра тяжести сечения.

Сечение симметрично относительно оси у, проводим её как ось – главную и центральную. Координата х_С=0. Для нахождения у_С проводим случайную ось х′ (выбранную случайным образом). Обозначим центры тяжести всех профилей и выпишем необходимые характеристики профилей из сортамента прокатной стали.

Фигуры 1,2 – уголки 75×50х5

А₁=А₂=6,11 см²

I_х1= I_х2=34,8 см⁴

I_у1= I_у2=12,5 см⁴

Фигура 3 – швеллер №16

А₃=18,1 см²,    

I_х3=747 см⁴, 

I_у3=63,3 см⁴.

Покажем на схеме и определим координаты у для профилей

у₁ = у₂ = у₀ =2,39 см,

у₁= –z₀ =-1,8 см.

Определим координату у_С по формуле

 ,

где А_i – площадь каждого профиля,

      у_i – координата.

Проводим главную центральную ось х вниз от оси х′ на 0,11 см, наносим т.С – центр тяжести всего сечения.

2. Определяем главные центральные моменты инерции по формулам перехода:

,

где I_xi , I_yi — моменты инерции каждой фигуры;

А_i – площадь сечения каждой фигуры;

а_i – расстояние от центра тяжести каждой фигуры до главной центральной оси х;

b_i – расстояние от центра тяжести каждой фигуры до главной центральной оси у.

Определяем а_i (смотрим схему)

а₁ = а₂ = у₁+|у_С|= 2,39 + 0,11 = 2,5см,

а₃= — (|у₃|-|у_С|) = -1,69см.

Определяем I_х. Следует обратить внимание на то, что фигура 3 – швеллер – повернут, поэтому, для определения I_х следует из сортамента взять I_у швеллера.

I_х3=63,3см⁴

Определяем I_у.  Для швеллера (повернут)  I_у3 =  I_х = 747см⁴.

Определим размеры b_i, показываем на схеме.

b₁= –х₀ = -1,17см,

b₂= х₀ = 1,17см,

b₃=0, т.к. центр тяжести швеллера лежит на оси у.

3. Определим осевые моменты сопротивления сечения по формулам:

Из схемы видно ,что

Тогда

Определить главные центральные моменты инерции сечения геометрической формы.

1. Определим положение центра тяжести сечения.

Сечение симметрично относительно оси у, поэтому нанесем ось у – ось, на которой находится центр тяжести всего сечения. Координата х_С=0, значит, следует определить координату у_С.

Выберем случайную ось х′ — внизу сечения.

Разобьем сечение на простые фигуры:

фигура 1 – прямоугольник с основанием 8 см и высотой 6 см, отмечаем центр тяжести прямоугольника – т. С₁

фигура 2 – равнобедренный треугольник с основанием 8 см и высотой 3 см, отмечаем его центр тяжести – т. С₂.

Теперь  вычислим площади каждой фигуры и определим  координаты у каждой фигуры, затем координаты нанесем на схему

Прямоугольник

Треугольник

Теперь определим координату центра тяжести всего сечения по формуле:

Тогда

Отмечаем у_С на схеме, центр тяжести всего сечения – т.С — и проводим через эту точку главную центральную ось х.

По формулам перехода определяем главные центральные моменты инерции сечения:

,

где I_xi  , I_yi  — моменты инерции каждой фигуры;

А_i – площадь сечения каждой фигуры;

а_i – расстояние от центра тяжести каждой фигуры до главной центральной оси х;

b_i – расстояние от центра тяжести каждой фигуры до главной центральной оси у.

Фигура 1 – прямоугольник

Расстояние а₁ от С₁ до оси х покажем на схеме. Из схемы видно, что а₁=- ( у_С – у₁ )= -0,8 см. Так как С₁ находится на оси у, то b₁=0.

Фигура 2 – треугольник

Находим а₂ =  у₂ – у_С = 7 — 3,8= 3,2 см, отмечаем на схеме.

b₂=0, т.к. С₂ находится на оси у.

Подставляем значения в формулы перехода и определяем:

— главный центральный момент инерции сечения относительно оси х

— главный центральный момент инерции сечения относительно оси у

Таким образом,

Для заданного поперечного сечения, состоящего из швеллера и равнобокого (равнополочного) уголка   требуется определить главные центральные моменты инерции

1)  Вычерчиваем сечение в масштабе.

2)  Разбиваем на простейшие фигуры:

       1. Швеллер №30 (пользуемся сортаментом прокатных профилей):

   2. Уголок :

3)  В каждой фигуре найти собственный центр тяжести С₁ и С_{2   ,}провести собственные оси.

4)  Выбрать вспомогательные оси  .

5) Относительно вспомогательных осей определить центр тяжести всей фигуры:

Через найденный центр тяжести проводим центральные оси.

6) Находим моменты инерции всей фигуры относительно центральных осей, используя формулы перехода между параллельными осями

При определении центробежного момента инерции следует помнить ,что если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной, вторая ось, перпендикулярная ей, тоже главная. Центробежный момент относительно главных осей равен 0. Таким образом, для швеллера  

Для уголка  см⁴,  знак зависит от расположения уголка (см. Таблицы «Знак центробежного момента для уголков»). В нашем случае он положительный.

Здесь: а_i – расстояния между центральной осью Х и собственным центром тяжести каждой фигуры,

b_i – расстояние между центральной осью Y и собственным центром тяжести каждой фигуры 

Как видим из вычислений, центробежный момент инерции сечения значит, центральные оси Х;Y не являются главными!

7) Определим положение главных осeй через угол α₀:

Знак «-» означает, что надо повернуть оси Х, У по часовой стрелке.

8) Определим главные моменты инерции сечения

 9) Проверка: Сумма моментов инерции относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей есть величина постоянная:

Проверка выполняется.

Найти главные центральные моменты инерции.

1. Подготовка исходных данных.

Из сортамента выписываем:

— для двутавра №10:

— для швеллера №20:

Нумеруем составные части, показываем их центры тяжести (С₁, С₂, С₃) и собственные центральные оси каждой из них (х₁,у₁; х₂,у₂; х₃,у₃).

2.  Поскольку сечение имеет одну ось симметрии, то она – одна из главных центральных (у₀). Найдем положение центра тяжести на этой оси. Для этого выберем вспомогательную ось х‘, перпендикулярную оси симметрии, и реализуем формулу:

которая и определит расстояние от оси х‘ до искомого центра тяжести.

Тогда А=А₁+А₂+А₃=2×20+14,3+28,83=83,15 см²,

тогда

Показываем на схеме центр тяжести «С» и проводим вторую главную центральную ось х₀.

Ординаты собственных центров тяжести простых фигур в системе главных центральных осей:

3. Вычисляем главные центральные моменты инерции

Итак, 

Определить главные центральные моменты инерции сечения.

Составные простые части сечения: прямоугольник 100×60см (I),  полукруг r=30см  (IIи III), треугольник 100×30см (IV). 

Вертикальная ось симметрии у₀ является одной из главных центральных осей.

1. Найдем положение центра тяжести сечения на оси симметрии. Для этого выберем вспомогательную ось х‘, перпендикулярную оси симметрии. Пусть она совпадает с осями: х₁, х₂, х₃

.

Общая площадь А = А₁ — А₂ — А₃ + А₄ = 6000 – 1415 – 1415 + 1500 = 4670см².

Статический момент относительно вспомогательной оси х‘:

Тогда

значит, центр тяжести сечения располагается на 12,8см выше вспомогательной оси х‘.

2. Вычисляем осевые моменты инерции    

Они и будут главными центральными моментами инерции сечения.

Здесь применялись формулы:

Найти главные центральные моменты инерции сечения, состоящего из листа 40×2см и двух уголков №14/9.

Исходные данные из сортамента для неравнобокого уголка №14/9.

Сечение имеет одну ось симметрии. Она – одна из главных центральных. Обозначаем её х₀. Чтобы показать вторую главную центральную ось, надо найти положение центра тяжести на оси симметрии:

Выбираем вспомогательную ось у‘, перпендикулярную к оси симметрии и вычисляем статический момент сложного сечения относительно этой оси:

Проводим главную центральную ось у₀ через найденный центр тяжести. 

Вычисляем непосредственно главные центральные моменты инерции:

Таким образом, 

Требуется найти главные центральные моменты инерции.

Сечение имеет две оси симметрии. Следовательно, центр тяжести совпадает с точкой пересечения этих осей, а сами они оказываются главными центральными осями.

Остается лишь вычислить осевые моменты инерции относительно осей х₀ и у₀.

«Разбиваем» сечение на простые фигуры: прямоугольник 6×8см и два круга r=1см. Тогда:

Итак

,

Требуется определить величины главных центральных моментов инерции.

Сечение имеет одну ось  симметрии.

На основании первого признака главных осей для симметричных сечений можно утверждать, что ось симметрии является одной из главных центральных осей. Обозначаем ее «у₀». Значит, вторая главная центральная ось, перпендикулярная оси симметрии, должна проходить через центр тяжести сечения.

Следовательно, нам достаточно только найти положение центра тяжести на оси симметрии, а для этого необходимо вычислить одну лишь координату его по формуле:

С этой целью выбираем вспомогательную ось х‘, «разбиваем» сложное сечение на прямоугольник со сторонами 10 и 4см и треугольник с основанием 4см и высотой 3см.

Тогда:

Проводим через найденный центр тяжести вторую главную центральную ось х₀.

Расстояние между осями х₁ и х₀: а₁=5 — 4,3 =0,7см, а расстояние между осями х₂ и х₀: а₂=10 – 1 — 4,3 = 4,7см.

Таким образом, положение главных центральных осей найдено, осталось вычислить величины главных центральных моментов инерции:

х‘, у‘ – вспомогательные оси при определении положения центра тяжести сечения,

S_х’, S_у’ – статические моменты относительно вспомогательных осей,

х_с, у_с – координаты центра тяжести сечения, а также и обозначение случайных (т.е. не главных) центральных осей,

х₀, у₀ – главные центральные оси,

α₀ – угол поворота главных центральных осей от случайных центральных осей х_с и у_с,

, — главные центральные моменты инерции,

с_i – центры тяжести отдельных фигур, из которых состоит сечение сложной формы,

х_i, у_i – собственные центральные оси отдельных фигур, а также и координаты центров тяжести отдельных фигур в системе вспомогательных осей х‘, у‘,

а_i, в_i – расстояния между собственными центральными осями отдельных фигур х_i, у_i и случайными центральными осями всего сечения х_с, у_с.

Требуется определить положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции.

Сечение имеет сложную форму, состоит их 4^х простых фигур:

I – швеллера №30^а,

II – прямоугольника 2×40см,

III – двутавра №20^а,

IV – равнобокого уголка №12 (d=10мм).

Всё начинается с подготовки исходных данных. С этой целью необходимо сделать выписки из таблиц Сортамента прокатных сечений (см. рубрику «Таблицы»).

Этап 0. Подготовительный

Фигура I. Швеллер №30^а

Фигура II – прямоугольник 2×40см, В сортаменте прокатной стали этой фигуры нет, поскольку все геометрические характеристики ее свободно вычисляются

Фигура III. Двутавр №20^а.

Фигура IV. Равнобокий уголок №12 (d=10мм).

Пользуясь данными сортамента, на схеме сечения, вычерченной в достаточно крупном масштабе, показываем положение центров тяжести каждой из фигур и собственные центральные оси х_i, у_i.

Этап 1. Определение положения центра тяжести сечения. Сечение не имеет осей симметрии. Поэтому придётся определять две координаты центра тяжести, используя формулы:

Для реализации этих формул выбираем вспомогательные оси х‘ и у‘ (см.схему сечения).

Площади отдельных фигур: А₁=43,89см², А₂=2×40=80см²,

А₃=35,5см², А₄=23,3см².

Координаты центров тяжести отдельных фигур:

Площадь всего сечения А=182,7см².

Тогда координаты собственных центров тяжести отдельных фигур в системе случайных центральных осей х_с, у_сбудут:

а₁=2,66см,                            b₁=-7,5см

а₂=-2,34см,                           b₂=-1,93см

а₃=-7,34см,                           b₃=9,07см

а₄=14,33см,                           b₄=2,4см.

Этап 2.  Определение моментов инерции относительно случайных центральных осей  х_с, у_с.

Справочные сведения о знаке собственного центробежного момента инерции уголка (равнобокого и неравнобокого):

Справочные сведения для определения собственного центробежного момента инерции неравнобокого уголка:  

Этап 3. Определение положения главных центральных осей

Положительный угол  α₀ соответствует повороту против часовой стрелки главных осей относительно случайных (см.схему).

Этап 4. Определение величин главных центральных моментов инерции

Правило: Ось с максимальным главным моментом инерции «тяготеет» к более тяжелой случайной оси. Поэтому в нашем случае:

тогда 

Проверки.

1. Выполнение закона суммы осевых моментов инерции.

Для этого сравним

.

получаем:

Разница в последней цифре дает незначительную погрешность <<5%, что вполне допустимо в инженерных расчетах.

2. Проверка правильности вычислений.

Суть ее в том, что если все сделано правильно, то центробежный момент инерции сечения относительно найденных нами главных осей должен равняться нулю.

Подставляя сюда    и sin13˚20’=0,2306,                                                    cos13˚20’=0,9730,имеем

погрешность составляет:

И эта проверка выполняется.