Учимся определять точку безубыточности
Точка безубыточности определяет порог прибыльности от реализации товара и означает уровень цены, объема продаж и себестоимости продукта, при которых все издержки компании будут равны выручке от реализации (т.е. прибыль = 0).
- Аналитика бизнеса
- Методы анализа данных Анализ данных
- Учимся определять точку безубыточности
Оглавление
Точка безубыточности определяет порог прибыльности от реализации товара и означает уровень цены, объема продаж и себестоимости продукта, при которых все издержки компании будут равны выручке от реализации (т.е. прибыль = 0). Точка безубыточности предприятия является контрольной точкой для разработки стратегии ценообразования, установления цены на товар, значений максимальных скидок и проведения ценовой дискриминации. Понятие точки безубыточности производства широко используется для защиты инвестиционных проектов, утверждения бизнес плана компании. По факту точка безубыточности показывает, каким должен быть объем продаж компании при прогнозируемом уровне затрат для получение нулевой прибыли от проекта.
При расчете точки безубыточности вы должны определить ее значение в денежном выражении (объем продаж или выручка) и в натуральном выражении (в единицах продукции). Иногда рассчитывают необходимый уровень маржинальной прибыли в точке безубыточности, который означает рентабельность продаж при текущих переменных затратах на производство.
В данной статье мы рассмотрим подробно понятие «точки безубыточности производства», покажем как найти и определить точку безубыточности предприятия на простом примере, а также раскроем особенности расчета точки безубыточности для непроизводственных видов деятельности: торговли и сферы услуг.
Как рассчитать точку безубыточности
Универсальная формула для расчета точки безубыточности выглядит следующим образом: P*X = FC+VC(X) и означает равенство выручки от реализации фактическим затратам компании. Описание основных показателей для расчета точки безубыточности:
|
Показатель в формуле
|
Описание
|
|---|---|
|
P |
фактическая цена продажи товара покупателю, может быть средней ценой продажи продукта (в случае, когда рассчитывается точка безубыточности для группы товаров) |
|
X |
количество единиц продукции, которое необходимо произвести для достижения порога безубыточности продаж; другими словами это объем производства в натуральном выражении (в штуках, литрах, килограммах и т.п.) |
|
FC |
постоянные затраты — затраты, которые несет компания вне зависимости от того, какой объем товара она производит, такие затраты не изменяются при изменении объема производства; это все затраты, которые в любом случае будет нести компания (даже при нулевом объеме продаж); к ним относятся затраты на персонал (окладная часть), аренда помещений и любые организационные расходы компании; планируемый рекламный бюджет на развитие проекта, страховка, налоги и т.п. |
|
VC(X) |
переменные затраты — затраты, которые необходимо понести компании для производства 1 единицы товара. Переменные издержки напрямую зависят от объема производства и изменяются при изменении объема продаж; это могут быть затраты на сырье и упаковку продукта, затраты на обслуживание производственных мощностей при их работе (электроэнергия), затраты на приобретение товара (для магазинов), транспортные расходы, сдельная заработная плата и % от продаж, премии сотрудникам, акции по стимулированию продаж, и т.п. |
Существует несколько вариантов расчета точки безубыточности по данной формуле. Рассмотрим наиболее часто применяемые способы.
Первый вариант расчета: знаем затраты и объем продаж
На основе указанной формулы вы можете вычислить цену, при которой компания сможет достигнуть нулевой прибыли при имеющемся уровне затрат и плановом объеме продаж. В таком случае вы определите минимальный порог цены, который вам обеспечит достижение точки безубыточности проекта. Для того, чтобы рассчитать точку безубыточности таким способом, вам необходимо знать: постоянные расходы вашей компании, (переменную) себестоимость производства 1 единицы продукции и объем продаж, который вы планируете производить. Пороговое значение цены для нахождения точки безубыточности вы можете определить по формуле:
P = (FC+VC(X)) / Х, где VC(x) — это произведение себестоимости 1 единицы продукции и целевого объема продаж.
Приведем пример того, как рассчитать точку безубыточности первым способом: Мы разработали продукт с себестоимостью 5 руб и в ходе исследования рынка определили, что спрос на него составит 200 штук в месяц при условии, что стоить он будет 19 рублей. Именно такая цена является привлекательной для нашей целевой аудитории. Но нам необходимо понять, сможем ли получать доход от такой продажи? Нам необходимо рассчитать цену в точке безубыточности для проекта, зная что постоянные затраты будут составлять 1500 рублей.
Подставив в формулу имеющиеся данные мы получим: Минимальная цена = (1500+5*200)/200 = 12,5 рублей. Таким образом, при цене в 12,5 рублей наш проект станет безубыточным. Это значит, что цена в 19 рублей позволит получать нам дополнительную прибыль с продаж и будет выгодной для компании.
Второй вариант расчета: знаем цену и затраты
Данный вариант является наиболее распространенным в мировой практике. Чаще всего компания при запуске проекта знает цену, по которой рынок готов купить товар и по которой товар будет соответствовать своему рыночному позиционированию; а также знает постоянные и переменные затраты на развитие проекта. В таком случае нам необходимо определить объем, который позволит выйти на нулевую прибыль при имеющемся уровне затрат.Найти точку безубыточности в таком случае поможет формула:
X = FC / (P-VC), где VC — себестоимость 1 единицы продукции, Р — цена 1 единица товара, а FC — постоянные затраты проекта.
Приведем пример, как провести расчет точки безубыточности по второму способу в Excel. Предположим, мы открываем компанию по производству яблок. Мы знаем, что постоянные затраты нашего производства составят 1500 рублей, себестоимость 1 единицы будет 7 рублей, а цена отгрузки — 15 рублей. Нам необходимо рассчитать объем производства в точке безубыточности проекта — используем для этого формулу выше.
Подставив в формулу имеющиеся данные, мы получим: Объем производства в натуральном выражении= 1500 / (15-7) = 188 единиц. Умножив получившееся значение на цену — мы получим выручку, при которой наш проект станет безубыточным.
Третий вариант расчета: для сферы услуг и торговли
Данный вариант поможет определить точку безубыточности для сферы торговли (оптового, розничного, интернет — магазина) или для отрасли услуг. Если компания не является производственным предприятием, то рассчитать себестоимость 1 единицы товара для нее либо сложно, либо эти значения слишком разные, чтобы брать по ним среднее значение. Когда у торгового предприятия 1000 наименований по совершенно разной входящей цене, удобнее учитывать в расчетах целевую рентабельность продаж, а не фактические показатели себестоимости. Для отрасли услуг также удобнее рассчитывать точку безубыточности на основе целевой рентабельности работы.
Рентабельность продаж — это установленное соотношение между ценой товара и его себестоимостью. Другими словами компания определяет норму прибыли, которую он планирует зарабатывать с продажи товара (наценку на его себестоимость). Зная целевую рентабельность и постоянные затраты, можно определить необходимый размер выручки в точке безубыточности по следующей формуле:
S = FC / R, где S — выручка от продаж за период, R — целевая рентабельность продаж, а FC — постоянные затраты проекта.
Разберем на примере такой вариант расчета. Предположим мы решили открыть компанию по оказанию консалтинговых услуг. В связи с широтой понятия наших услуг нам очень сложно определить себестоимость 1 проекта, поэтому нам проще заложить в бизнес план целевую рентабельность по проекту. Мы решили установить норму рентабельности продаж на уроне 57%. Мы прогнозируем, что наши постоянные затраты в месяц будут составлять 280 000 рублей, а средняя цена услуги будет составлять 8 000 рублей.
Таким образом, используя нашу формулу мы можем определить точку безубыточности проекта: Целевой объем продаж = 280 000 / 57% = 491 228 рублей. Предположив, что средняя цена нашей услуги будет составлять 8 000 рублей, нам для окупаемости проекта необходимо получать по 61 клиенту в месяц (491228 / 8000 = 61).
График точки безубыточности
Определить точку безубыточности проекта можно также графическим методом. Для того, чтобы построить график для нахождения точки безубыточности вам необходимо знать: уровень постоянных затрат, себестоимость 1 единицы товара и цену продажи 1 единицы товара. Затем вы должны построить 2 кривых. Первая кривая будет являться суммой всех издержек компании (и зависеть от объема производства): y = FC+VC(x). Вторая кривая будет означать выручку от продажи товара, которая будет зависеть от объема производства компании: y = px.
Пересечение двух данных кривых и будет являться точкой безубыточности проекта.
Как выбрать программу BI
Выбор инструмента бизнес-аналитики (BI) и аналитики может быть длительным процессом. Есть бесчисленное множество поставщиков на выбор, …
Почитать еще
ETL процессы
Если вы знакомы с базами данных, хранилищами данных, концентраторами данных или озерами данных, значит, вы
Что такое анализ PESTLE?
В современном мире перед нами так много примеров успешных организаций. Каждая организация, от небольших стартапов
Несколько видео о наших продуктах
Проиграть видео
Презентация аналитической платформы Tibco Spotfire
Проиграть видео
Отличительные особенности Tibco Spotfire 10X
Проиграть видео
Как аналитика данных помогает менеджерам компании
Функция общих затрат монополии имеет вид
ТС = 200 + 30Q,
функция спроса на её продукцию
Р = 60 – 0,2Q.
Определить цену, при которой фирма максимизирует прибыль.
Решение:
Условие максимизации прибыли на рынке монополии имеет вид:
MC = MR.
Определив точку пересечения кривой предельных издержек и кривой предельного дохода, найдём объём выпуска, который является для монополии оптимальным.
Найдём величину предельных издержек по формуле:
МС = ТС’ = 30
Функция предельного дохода равна производной от функции общего дохода:
MR = TR’ = (PQ)’ =( (60 – 0,2Q)Q)’ = (60Q – 0,2Q2)’ = 60 – 0,4Q
Вернёмся к условию максимизации прибыли:
МС = MR
30 = 60 – 0,4Q
Q = 75 – оптимальный объём выпуска фирмы.
Подставив полученное значение в функцию спроса, получим цену, при которой фирма максимизирует прибыль:
Р = 60 – 0,2 × 75 = 45.
Ученик
(95),
закрыт
11 лет назад
Наталья Черемная
Мудрец
(11010)
11 лет назад
Выручка максимальна, когда предельная выручка равна нулю. Предельная выручка – это алгебраически производная от выручки.
запишите обратную функцию спроса. Умножьте полученную функцию цены на Q. это будет выручка. Найдите производну. , приравняйте к нулю, так вынайдете Q,при котором выручка максимальна. Подставьте в функцию цены – будет известна и цена. Перемножайте – будет выручка! Удачи))
Содержание
- 1 Понятие эластичности спроса по цене и условие оптимальной цены
- 2 Методы определения ценовой эластичности
- 3 Зависимость между изменением цены и изменением объема продаж с учетом изменения затрат
- 4 Кривая сохранения уровня прибыли
Понятие эластичности спроса по цене и условие оптимальной цены
Как известно, изменение цены продукта или услуги влечет за собой изменение объема продаж. При этом по каждому отдельному товару эта зависимость может быть разной. Для ее оценки используется коэффициент эластичности спроса по цене (Е), который показывает, насколько процентов изменится объем продаж (q) при изменении цены (p) на 1%.
Значок «Δ» означает абсолютное изменение.
Зависимость объема спроса от цены отражает кривая спроса. Наклон между любыми двумя точками на ней и определяет эластичность спроса при данном уровне цен. Зная форму такой кривой, можно рассчитать цены, при которых достигается максимум выручки и прибыли.
Максимум выручки
Максимальная выручка будет при такой цене, когда процентное изменение объема продаж равно процентному изменению цены (c обратным знаком).
Условие достижения максимума выручки:
Совет. Если при текущей цене эластичность меньше 1, то для увеличения выручки выгодно цену повышать и, наоборот, снижать, если эластичность больше 1.
Максимум прибыли
Выручка хотя и считается одним из важнейших параметров деятельности компании, однако более значимым является определение уровня цен, при которых достигается максимум прибыли.
Максимум прибыли достигается при такой цене, когда процентное изменение объема продаж равно процентному изменению цены, умноженному на коэффициент
р/(р – с).
Условия достижения максимум прибыли:
где
с — переменные затраты на единицу продукции;
p — цена;
q — объем продаж;
E — коэффициент эластичности.
Совет. Если при текущей цене эластичность меньше р/(р – с), то для увеличения выручки выгодно цену повышать и, наоборот, снижать, если эластичность больше р/(р – с).
Сведем полученные выше выводы в табл. 1.
Таблица 1. Рекомендации по изменению цены для максимизации выручки и прибыли
Обратите внимание.
Максимум прибыли и максимум выручки достигаются при разных значениях цены. А именно: максимум прибыли всегда достигается при цене большей, чем цена, при которой достигается максимум выручки.
Методы определения ценовой эластичности
Выше были описаны условия для определения оптимальной цены для максимизации выручки и прибыли на основании данных кривой спроса. Однако на практике точно установить кривую спроса очень сложно.
Можно выделить несколько методов определения ценовой эластичности (см. табл. 2).
Таблица 2. Рекомендации по изменению цены для максимизации выручки и прибыли
| Возможные методы | “Но” |
| 1. Обработка статистической информации о продаже товаров на различных рынках или на одном рынке, но в разные моменты времени и по разным ценам | Но для применения данного метода необходима хорошая база данных, приведенная к одинаковым условиям относительно рыночных сегментов, типов потребителей, мест продажи, влияющих на ценовую эластичность |
| 2. Постановка ценовых экспериментов. Цены можно менять в течение определенного времени в нескольких магазинах или назначать различные цены на одинаковые товары в нескольких магазинах | Но существенно важным при проведении ценовых экспериментов является сохранение неизменными всех других факторов. Подобный эксперимент под силу далеко не всем компаниям, поскольку его проведение требует значительных средств и, кроме того, как указывалось выше, на продажи помимо цен влияют и другие факторы, которые не поддаются контролю |
| 3. Проведение опроса потребителей с целью выяснения, при каких ценах они готовы покупать определенные товары | Но обычно наблюдается существенное отличие между высказываниями потребителей и их реальным поведением на рынке |
| 4. Построение экономико-математических моделей, моделирующих поведение групп потребителей | Но моделирование поведения человека, перевод на язык формульных зависимостей многих психологических и социальных факторов с выработкой конкретных количественных рекомендаций, интересующих практиков, — трудноразрешимая задача. Такие модели скорее представляют теоретический интерес и в практике не используются |
Практическая методика оценки последствий изменения цены
На практике трудно добиться оценок эластичности, достаточно стабильных и надежных, для определения на их основе оптимальных цен.
По оценкам некоторых экспертов, точность определения ценовой эластичности составляет ±25%. Такой значительный разброс может существенно повлиять на конечный результат при решении практических задач.
Поэтому мы предлагаем взглянуть на проблему с другой стороны.
Забудем о вопросе «Какая эластичность спроса на товар?».
Поставим другой вопрос: «Какая минимальная эластичность спроса требуется для того, чтобы не уменьшился уровень прибыли при изменении цены?».
Рассмотрим рекомендованные для применения методы в соотнесении с потенциальными барьерами в их реализации.
Для описания условия воспользуемся следующими обозначениями:
p — цена продажи единицы продукции;
Δp — изменение цены (при снижении цены Δp < 0);
c — переменные затраты на единицу продукции;
q — объем продаж в натуральном выражении; Δq — изменение объема продаж.
Условие неуменьшения уровня прибыли выглядит следующим образом:
То есть для сохранения уровня прибыли при изменении цены процентное изменение объема продаж должно быть больше, чем процентное изменение цены (с обратным знаком), умноженное на множитель
Зависимость между изменением цены и изменением объема продаж с учетом изменения затрат
Изменение цены может являться частью маркетингового плана, который включает в себя и изменение затрат.
Пример по определению максимума выручки и прибыли
Комментарий
В интервале цен от 40 до 50 средняя эластичность спроса (0,73) меньше 1 и меньше коэффициента p/(p – c) — (4,50). Поэтому при увеличении цены в этом диапазоне растут и выручка, и прибыль.
В интервале от 50 до 60 средняя эластичность (1,90) больше 1, но меньше коэффициента p/(p – c) — (2,75). Поэтому при увеличении цены в этом диапазоне выручка начинает снижаться, но прибыль продолжает расти.
В последующих интервалах средняя эластичность больше и 1, и коэффициента p/(p – c). Поэтому и выручка, и прибыль сильно снижаются.
Для сохранения уровня прибыли при снижении цены на 5% надо увеличить объем продаж на 10%, что в натуральном выражении должно составить 330 шт.
Если по оценкам компании после снижения цены объем продаж увеличится более чем на 10%, то компании выгодно это решение. Если же увеличение будет менее 10%, то снижать цену не следует.
Проверим полученные результаты прямым расчетом прибыли по продукту.
Как видим, в исходном варианте (при объеме продаж 300 шт.) и расчетном после изменения цены (при объеме продаж 330 шт.) величина прибыли сохраняется. Если объем продаж составит больше расчетного (например, 370 шт.), то прибыль увеличится. Если же он увеличится недостаточно (310 шт.), произойдет уменьшение прибыли.
Практический совет
Менеджерам торговых компаний для быстрого расчета можно воспользоваться следующей формулой:
Пример. Если наценка на товар 20%, то при каждом снижении цены на 1% объем продаж должен увеличиться минимум на 100%/20% + 1 = 5 + 1 = 6%; и наоборот, при каждом увеличении цены на 1% объем продаж может упасть вплоть до 6%.
Кривая сохранения уровня прибыли
При условии сохранения уровня прибыли также можно рассмотреть диапазон изменения цены, то есть провести анализ безубыточных продаж для нескольких изменений цены одновременно, который удобно представить графически (рис. 3).
Рисунок 3. Кривая сохранения уровня прибыли
Данные возьмем из рассмотренного ранее примера (табл. 4). Назовем такую кривую — кривой сохранения уровня прибыли. Каждая точка на ней представляет объем продаж, необходимый для достижения такой же прибыли, какая была до изменения цены.
Кривая сохранения уровня прибыли — простой, но достаточно мощный инструмент для обобщения и оценки динамики последующей прибыли после изменения цены. Можно рассмотреть взаимное расположение кривой спроса и кривой сохранения прибыли.
Если спрос более эластичен, то снижение цены по отношению к базовому уровню увеличивает прибыль (точка смещается выше кривой сохранения прибыли, что означает прибыльность), и наоборот, повышение цены ведет к снижению прибыли (рис. 4).
Рисунок 4. Взаимное расположение кривой спроса и кривой сохранения прибыли
Если же спрос менее эластичен, то повышение цены по отношению к базовому уровню увеличивает прибыль (точка смещается правее кривой сохранения прибыли, что означает прибыльность), а понижение цены снижает прибыль.
Хотя далеко не все менеджеры знают вид кривой спроса на товар, но многие из них могут оценить, как меняется объем продаж, что дает им возможность уверенно принимать решения об изменении цены. При этом для построения кривой сохранения прибыли и оценки необходимого изменения объема продаж используются только данные управленческого учета о структуре затрат компании.
Рассмотренные нами методы экономической теории позволяют оценить последствия изменения цены на продукт и могут быть использованы в практическом ценообразовании
Автор – Дмитрий Гурьев
Управляющий партнер консалтинговой компании UCS Group
Данная публикация размещена в «Энциклопедии менеджера E-xecutive.ru» в рамках сотрудничества с проектом www.cfin.ru
На портале www.cfin.ru она расположена здесь
Задача — Спрос и предложение
Заданы функции спроса и предложения.
а) коэффициент ценовой эластичности спроса по цене при Р1 (по результату сделать вывод об эластичности спроса: эластичный/неэластичный);
б) объем продукции, при котором выручка у производителя будет максимальной;
в) значение максимальной выручки;
г) объем и цену в точке рыночного равновесия.
Функция спроса: QD=160-2P
Функция предложения: Qs=8P-100
Решение
а) Эластичность спроса (Ed) измеряется как отношение процентного изменения величины спроса к процентному изменению цены:
Ed = ((Q2-Q1)/Q1) / ((P2 – P1)/P1)
Изменение цены ∆Р составило 10%, следовательно найдем P0 из формулы:
(P2 – P1) / P1 * 100% = -10%
При P1 Q1 = 160 – 2*18 = 124 ед
При P2 Q2 = 160 – 2*16,2 = 127,6 ед
Ed = ((127,6 – 124) / 124) / ((16,2 – 18) / 18) ≈ — 0,29
Спрос называется эластичным, когда незначительное изменение цены оказывает существенное влияние на величину спроса.
В данном случае спрос считается неэластичным, поскольку |Ed| 2
Найдем цену, при которой выручка производителя максимальна. Для этого продифференцируем функцию TR и приравняем ее производную к Ed = -0,29:
P ≈ 40,07 руб. / ед.
Определяем Q из функции спроса: QD = 160 – 2*40,07 = 79,86 ед.
в) Таким образом, при цене 40,07 выручка продавцов максимальна и равна TR = P*Q
TR = 40,07 * 79,86 ≈ 3200 руб.
г) Рыночное равновесие достигается при условии, что QD = Qs
Функция спроса Qd=12-2Р. Найдите: а) формулу зависимости выручки продавцов от цены товара; б) максимальную выручку продавцов
Готовое решение: Заказ №10007
Тип работы: Задача
Статус: Выполнен (Зачтена преподавателем ВУЗа)
Предмет: Экономика
Дата выполнения: 06.11.2020
Цена: 229 руб.
Чтобы получить решение , напишите мне в WhatsApp , оплатите, и я Вам вышлю файлы.
Кстати, если эта работа не по вашей теме или не по вашим данным , не расстраивайтесь, напишите мне в WhatsApp и закажите у меня новую работу , я смогу выполнить её в срок 1-3 дня!
Описание и исходные данные задания, 50% решения + фотография:
Функция спроса Qd =12-2Р. Найдите:
а) формулу зависимости выручки продавцов от цены товара;
б) максимальную выручку продавцов;
в) цену, при которой выручка продавцов равна 10;
г) формулу зависимости выручки продавцов от объема продаж;
д) выручку продавцов при объеме продаж 4.
Решение:
а) Найдем формулу зависимости выручки продавцов от цены товара:
TR = P * Q = P (12-2 P )=12 P -2 P 2
б) Рассчитаем максимальную выручку продавцов:
TR мах = 12 P -2 P 2 =12*3-2*3 2 =18 д.е.
Максимальная выручка продавцов составляет 18 д.е.
Изучите экономику на странице ➔ решение заданий и задач по экономике.
- Оцените следующую экономическую ситуацию! Предприниматель Михаил владеет небольшой фирмой по выращиванию цветов «Одуванчик». Он нанимает трех помощников за 10 тыс.у.е. в год
- Рассчитайте величины постоянных и переменных издержек на основе следующих данных: сырье и материалы – 5 тыс. долл., амортизация: станков – 4 тыс. долл., зданий – 8 тыс. долл.
- Кривые спроса и предложения на рынке аудиокассет представлены соответственно выражениями Р=42-Qd и Р=2Qs. Предположим, государство облагает продавцов кассет налогом равным 21 ден.ед.
- На рынке конкретного товара известны функция спроса Qd=8-Р и функция Qs=-7+2Р. Производители товара получают субсидию в размере 1,5 долл. на ед. товара
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Уравнение спроса имеет следующий вид Qd = 64 – 4P
- Реферат.Справочник
- Решенные задачи по экономике
- Уравнение спроса имеет следующий вид Qd = 64 – 4P
Условие
Уравнение спроса имеет следующий вид: Qd = 64 – 4P. Определить, используя свойство эластичности: а) цену и объем продукции, при которой выручка у производителя будет максимальной; б) максимальную величину выручки.
Ответ
производитель получит максимальный доход, равный 256 д.е., при цене 8 д.е. и объеме продаж 32 ед.
Решение
А) Производитель получит максимальный выручку при единичной эластичности спроса: ЕрD = – 1.
Находим цену, при которой выручка достигает максимального значения, из формулы ценовой эластичности спроса:
Где b – коэффициент при переменной в функции спроса (при Р);
Р – цена;
Q – объем спроса.
Отсюда находим цену, при которой выручка максимальна: Р = 8 д.е
[spoiler title=”источники:”]
http://natalibrilenova.ru/funktsiya-sprosa-qd12-2r-najdite-a-formulu-zavisimosti-vyiruchki-prodavtsov-ot-tsenyi-tovara-b-maksimalnuyu-vyiruchku-prodavtsov/
http://author24referat.ru/reshenie_zadach/uravnenie_sprosa_imeet_sleduyuschiy_vid_qd_64_4p/
[/spoiler]
