Как найти циркуляцию по замкнутому контуру

Циркуляция векторного поля

Пусть
в области
задано
непрерывное векторное полеи
ориентированная гладкая кривая(с
заданным направлением обхода). Обозначим
единичный вектор касательной к линиичерез,
направление которого совпадает с
выбранным направлением на линии.Определение.
Линейным
интегралом
векторного поля
вдоль
линииназывается
криволинейный интеграл 1 рода от
скалярного произведения векторови:

,

где
–
дифференциал длины дуги кривой.

Если
ввести в рассмотрение вектор(здесь–
радиус вектор точки, описывающий линию)
и обозначить его проекции на координатные
оси через,
то предыдущую формулу можно записать
в виде

,

где
вектор
направлен
по касательной к.
Правая часть последнего равенства
является криволинейным интегралом 2
рода.

Если–
силовое поле, то линейный интеграл равен
работе, которую поле совершает по
перемещению материальной точки вдоль
ориентированной линии.Определение.
Линейный
интеграл называется циркуляцией
векторного
поля
,
если–
замкнутая линия.

Если
–
замкнутая пространственная кривая, то
ее направление обхода специально
оговаривается.Пример.
Вычислить циркуляцию векторного поля
по
замкнутой линии,
состоящей из одного витка винтовой
линииот
точкидо
точкии
прямолинейного отрезка.Решение.
Виток
соответствует
изменению параметрав
уравнениях кривой отдо.
Прямаяимеет
направляющий вектор,
поэтому ее параметрические уравнения
будут,
гдеизменяется
отдо.
Вычислим циркуляцию как сумму криволинейных
интегралов по дуге винтовой линии и по
прямолинейному отрезку:.Ответ:
.Вопрос.
Циркуляция векторного поля
по
замкнутому контуру,
где,
может быть вычислена по формуле:

Ротор

Определение.
Если векторное поле
имеет
дифференцируемые в точкесоставляющие,
торотором
(или
вихрем) векторного поля
в
точкеназывается
вектор

,

где
частные производные вычислены в этой
точке.

В символической форме
имеет
вид:

.

Поясним
физический
смысл ротора
векторного поля. Рассмотрим векторное
поле
как
поле скоростей движущейся жидкости.
Поместим в таком потоке, в определенной
его точке, бесконечно малое колесико с
лопастями, расположенные по окружности
этого колесика. Под воздействием потока
жидкости такое колесико будет вращаться
с некоторой скоростью, зависящей от
направления оси колесика.

Выберем
систему координат так, чтобы его ось
колесика совпадала бы с осью
.
Найдем ротор поля линейных скоростейтвердого
тела, вращающегося вокруг осис
постоянной угловой скоростью,
причем.

Тогда
линейная скорость вращения тела будет
равна:
,
где–
радиус вектор точки.
Тогда
по определению ротора получим (здесь
определитель раскрываем по первой
строке):.
С
точностью до постоянного множителя
ротор поля скоростейпредставляет
собой угловую скорость вращения твердого
тела, т.е. он характеризует “вращательную
компоненту” поля скоростей. С этим
связано само название «ротор» (от
латинского «вращатель»).

Направление
ротора совпадает с направлением
наибольшей плотности циркуляции.Вопрос.
Вторая координата ротора векторного
поля
равна
(введите
с клавиатуры только число)

Ваш
ответ

0

Формула Стокса

Если
функции
дифференцируемы
в областии
в этой области расположен некоторый
замкнутый контур,
то для любой незамкнутой поверхности,
имеющей границу,
имеет местоформула
Стокса:

,

где
на
берется
та сторона, в точках которой вектор
нормалинаправлен
так, чтобы видимый с его конца обход
контурасовершался
бы против часовой стрелки (ориентация
поверхности согласована с обходом
контура).

Формула Стокса позволяет
свести вычисление циркуляции векторного
поляпо
контурук
вычислению потока полячерез
незамкнутую поверхность,
опирающуюся на контур(здесь–
граница незамкнутой поверхности).
Заметим, что–
любая поверхность, имеющая границей
контур,
поэтому возможен наиболее простой ее
выбор.

Если через контурпровести
две поверхностии,
то

.

Учитывая,
что
иограничивают
некоторую пространственное телои,
меняя направление нормали на поверхностина
противоположное, т.е. на внешнее по
отношению к,
получим

,

т.
е. поток вихря через замкнутую поверхность
равен . Это означает, что поле вихря
является соленоидальным.

Пример.
Найти
по формуле Стокса циркуляцию векторного
поля
по
линиипересечения
с координатными плоскостями той части
поверхности,
которая лежит в 1 октанте, т.е..

Решение.
Находим
ротор заданного векторного поля:
Пусть
поверхностью с границейявляется
поверхность.
Она является эллиптическим параболоидом
и расположена в первом октанте.
Вычислим
циркуляцию:.

Нормаль
к поверхностиравна.
Тогда единичная нормаль имеет координаты:.
Откуда.
В данном случае,
т.к.в
первом октанте. При этом скалярное
произведение векторовиравно:.

Отсюда
по формулеполучим:.Ответ:
.Вопрос.
Используя формулу Стокса, циркуляцию
векторного поля
по
линии пересечения параболоидас
координатной плоскостьюможно
свести к вычислению интеграла:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Циркуля́цией ве́кторного по́ля по данному замкнутому контуру Γ называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по Γ. По определению

где  — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ,
 — бесконечно малое приращение радиус-вектора вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру. Приведенное выше определение справедливо для трёхмерного случая, но оно, как и основные свойства, перечисленные ниже, прямо обобщается на произвольную размерность пространства.

Свойства циркуляции[править | править код]

Аддитивность[править | править код]

Циркуляция по контуру, ограничивающему несколько смежных поверхностей, равна сумме циркуляций по контурам, ограничивающим каждую поверхность в отдельности, то есть

Формула Стокса[править | править код]

Циркуляция вектора F по произвольному контуру Г равна потоку вектора через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

где  — ротор (вихрь) вектора F.

В случае, если контур плоский, например лежит в плоскости OXY, справедлива теорема Грина

где  — плоскость, ограничиваемая контуром (внутренность контура).

Физическая интерпретация[править | править код]

Если F — некоторое силовое поле, тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ есть работа этого поля при перемещении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль.

Историческая справка[править | править код]

Термин «циркуляция» был первоначально введен в гидродинамике для расчета движения жидкости по замкнутому каналу.
Рассмотрим течение идеальной несжимаемой жидкости. Выберем произвольный контур Γ. Мысленно представим, что мы (мгновенно) заморозили всю жидкость в объеме, за исключением тонкого канала постоянного сечения, включающего в себя контур Γ. Тогда, в зависимости от первоначального характера течения жидкости, она будет либо неподвижной в канале, либо двигаться вдоль контура (циркулировать). В качестве характеристики такого движения берут величину, равную произведению средней скорости движения жидкости по каналу на длину контура l:

поскольку именно скорость установится в этом случае в итоге всюду в канале, а величина циркуляции C даст (обобщённый) импульс для жидкости единичной плотности, сопряженный (обобщенной) координате, характеризующей положение жидкости как целого в канале, соответствующей, несколько упрощая, положению одиночной «пылинки» в жидкости, измеренному по линейке, изгибающейся вдоль канала.

Так как при затвердевании стенок канала нормальная к контуру компонента скорости будет погашена (вообразим, что это происходит перед тем, как тангенциальная скорость в канале всюду становится одинаковой вследствие несжимаемости жидкости), жидкость по каналу будет сразу после затвердевания двигаться с тангенциальной составляющей исходной скорости . Тогда циркуляцию можно представить в виде

где dl — элемент длины контура.

Позже понятие «циркуляция» было распространено на любые векторные поля, даже такие, в которых «циркулировать» в буквальном смысле нечему.

Литература[править | править код]

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3. М.: «Наука», 1960.
• Савельев И. В. Курс общей физики. Т2. М.: Астрель • АСТ, 2004.

Задача 1. Найдите циркуляцию векторного поля вдоль контура Г: , , лежащего в плоскости , в положительном направлении относительно орта K.

Решение. Способ 1. Контуром интегрирования Г является АВА: половина окружности радиуса 1 с центром в начале координат и отрезок прямой .

По формуле Стокса имеем

За поверхность S, ограниченную контуром Г, примем полукруг образованный сечением кругового цилиндра плоскостью .

Следовательно,

Ответ: .

Способ 2. Можно было решать по определению.

Циркуляция векторного поля вдоль контура Г определяется формулой линейного интеграла вдоль замкнутой линии Г:

Дуга АВ является частью окружности

Вычисляем

Получаем:

Окончательно,

Ответ: .

Задача 2. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность , , в направлении внешней нормали.

Решение. Поверхностью является пирамида V, образованная плоскостью и координатными плоскостями.

Проекция поверхности на плоскость XOY есть треугольник D, ограниченный прямыми , ,

Так как поверхность замкнутая, то можем воспользоваться формулой Остроградского-Гаусса:

Ответ: .

< Предыдущая		Следующая >

Циркуляция векторного поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую и выберем на ней определенное направление.

Пусть — радиус-вектор точки на контуре . Известно, что вектор направлен по касательной к кривой в направлении ее обхода (см. рис. 276) и , где — дифференциал дуги кривой .

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру от скалярного произведения вектора на вектор , касательный к контуру ,
называется циркуляцией вектора а вдоль , т. е.

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как

где — проекция вектора на касательную , проведенную в направлении обхода кривой , то равенство (71.10) можно записать в виде

или

Циркуляция , записанная в виде (71.12) имеет простой физический смысл: если кривая расположена в силовом поле, то циркуляция — это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль (п. 56.5).

Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак: положительный, если направление вектора совпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный — в противном случае.

Пример №71.5.

Найти циркуляцию вектора ноля линейных скоростей вращающегося тела (см. пример 69.2) вдоль замкнутой кривой , лежащей в плоскости о, перпендикулярной оси вращения.

Решение:

Будем считать, что направление нормали к плоскости совпадает с направлением оси . Согласно формуле (71.12), имеем:

где — площадь поверхности, ограниченной кривой (см. 56.17).

Заметим, что если нормаль к поверхности образует угол с осью Oz, то циркуляция будет равна ; с изменением угла величина изменяется.

Пример №71.6.

Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль периметра треугольника с вершинами (см. рис. 277).

Решение:

Согласно формуле (71.12), имеем:

На отрезке , следовательно,

На отрезке , следовательно,

На отрезке , следовательно,

Следовательно,

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

• Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру окружности

        Вариант 1     Вариант 2     Вариант 3     Вариант 4     Вариант 5     Вариант 6

        Вариант 7     Вариант 8     Вариант 9     Вариант 10     Вариант 11     Вариант 12

    Вариант 13     Вариант 14     Вариант 15     Вариант 16     Вариант 17     Вариант 18

    Вариант 19     Вариант 20     Вариант 21     Вариант 22     Вариант 23     Вариант 24

    Вариант 25     Вариант 26     Вариант 27     Вариант 28     Вариант 29     Вариант 30

        12.14 Найти модуль циркуляции векторного поля    
вдоль контура
   

Решение

        Согласно формуле Стокса:

.
        Здесь         – участок поверхности, ограниченный контуром         ,         – единичный вектор нормали к данной поверхности.

        Найдём ротор векторного поля

        Тогда интеграл запишется

        Здесь         – направляющие косинусы нормали к поверхности или координаты единичного вектора нормали.
        Из общего уравнения плоскости запишем координаты нормального вектора       .
        Находим длину нормального вектора
.
        Тогда направляющие косинусы
.

        Элемент поверхности
.

        Проекцией поверхности         на плоскость         является круг

        Этот круг имеет центр в начале координат и радиус        .

        Площадь данного круга
.
        Переходя от поверхностного интеграла к двойному, получим

.

        Тогда модуль циркуляции       .
        Ответ: Модуль циркуляции равен      .

Циркуляция векторного поля. Ротор вектора. Теорема Стокса

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Пусть в некоторой области G задано непрерывное векторное поле а ) к и замкнутый ориентированный контур L. Определение 1. Циркуляцией вектора а по замкнутому контуру L называется криволинейный интеграл 2-го рода от оектора а по контуру L Здесь dr — вектор, длина которого равна дифференциалу дуги L, а направление совпадаете направлением касательной к L, оп- Рис. 31 ределяемымориентацией контура (рис. 31); символ f означает, что интеграл берется по зам1«угому контуру L. ь

Пример 1. вычислить циркуляцию векторного поля вдоль эллипса L: По определению циркуляции имеем Параметрические уравнения данного эллипса имеют вид: , и, значит, . Подставляя эти выражения в формулу (2), найдем Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора 8.1.

Ротор (вихрь) векторного поля Рассмотрим поле вектора Р, Q, R которого непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем своим аргументам. Огределенив 2. Ротором вектора »(М) называется вектор, обозначаемый символом rot а и определяемый равенством или, в символической, удобной для запоминания форме, Этот определитель раскрывают по элементам первой строки, при этом операции умножения элементов второй строки на элементы третьей строки понимаются как операции дифференцирования, например,

Определение 3. Если в некоторой области G имеем rot а = 0, то поле вектора а в области G называете я безвихревым. Пример 2. Найти ротор вектора 4 Согласно формуле (3) имеем Так как rot а — вектор, то мы можем рассматривать векторное поле — поле ротора вектора а. Предполагая, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные второго порядка, вычислим дивергенцию вектора rot а. Получим Таким образом, поле вектора rot а соленоида л ьно.

Теорема 7 (Стокса). Циркуляция вектора а вдоль ориентированного замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность Е, натянутую на контур L, При этом предполагается, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные в некоторой области G пространства, содержащей поверхность Е, и что ориентация орта нормали п° к поверхности ЕС G согласована с ориентацией контура L так, что из конца нормши обход контура в заданном направлении виден совершающимся против часовой стрелки.

Учитывая, что , и пользуясь определением ротора (3), перепишем формулу (4) в следующем виде: Рассмотрим сначала случай, когда гладкая поверхность Е и ее контур L однозначно проектируются на область D плоскости хОу и ее границу — контур А соответственно (рис. 32). Ориентация контура L порождает определенную ориентацию контура А. Для определенности будем считать, что контур L ориентирован так, что поверхность Е остается слева, так что веетор нормали п к поверхности Е составдя етсосью Oz острый угол 7 (cos 7 >0).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть — уравнение поверхности Е и функция ф(х>у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные gf и ^ в замкнутой области D.

Рассмотрим интеграл Линия L лежит на поверхности Е. Поэтому, пользуясь уравнением этой поверхности , мы можем заменить г под знаком интеграла на ^(ж, у). Координаты перемсннойточки кривой А равны координатам соответствующей точки на кривой L, а потому интегрирование по L можно заменить интегрированием по А, Применим к интегралу, стоящему справа, формулу Грина.

Имеем Перейдем теперь от интеграла по области D к интегралу по поверхности Е. Так как dS = cos 7 • da, то из формулы (8) получим, что Вектор нормали п° к поверхности Е определяется выражением к. Отсюда видно, что . Поэтому равенсгво (9) можно переписать так: Считая Е гладкой поверхностью, однозначно проектирующейся на все три координатные плоскости, аналогично убеждаемся в справедливости формул Циркуляция векторного поля.

Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора Складывая равенства почленно, получим формулу Стокса (5), или, короче, Замечание 1. Мы показали, что поле вектора rote — соленоидальное, и потому поток вектора rota не зависит от вида поверхности Е, натянутой на контур L. Замечание 2. Формула (4) выведена в предположении, что поверхность £ однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Бели это условие не выполнено, то разбиваем £ на частя так, чтобы каждая часть указанному условию удовлетворяла, а затем пользуемся аддитивностью интегралов.

Пример 3:

Вычислить циркуляцию вектора по линии 1) пользуясь определением; 2) по теореме Стокса. 4 1) Зададим линию L параметрически: Тогда 2) Найдем rota: Натянем на контур L кусок плосхости Тогда . Инвариантное определение ротора поля Из теоремы Стокса можно получить инвариантное определение ротора поля, не связанное с выбором системы координат. Теорема 8.

Проекция ротора а на любое направление не зависит от выбора системы координат и равна поверхностной плотности циркуляции вектора а по контуру площадки, перпендикулярной этому направлению, Здесь (Е) — плоская площадка, перпендикулярная вектору л; 5 — площадь этой площадки; L — контур площадки, ориентированный так, чтобы обход контура был виден из конца вектора п против хода часовой стрелки; (Е) М означает, что площадка (Е) стягивается к точке М, в которой рассматривается вектор rot а, причем вектор нормали п к этой площадке остается все время одним и тем же (рис. 33). 4

Применим сначала к циркуляции (a,dr) вектора а теорему Стокса, а затем к полученному двойному интегралу — теорему о среднем значении: откуда (скалярное произведение берется в некоторой средней точке Мф площадки (Е)). Пристягивании площадки (Е) кточке М средняяточка Л/ср тоже стремится кточ-ке М и, в силу предполагаемой непрерывности частных производных от координат вектора а (а значит, и непрерывности rot а), мы получаем Поскольку проекция вектора rot а на произвольное направление не зависитотвы-бора системы координат,то и сам вектор rota инвариантен относительно этого выбора.

Отсюда получаем следующее инвариантное определение ротора поля: ротор поля есть вектор, длина которого равна наибольшей поверхностной плотности циркуляции в данной точке, направленный перпендикулярно той площадке, на которой эта наибольшая плотность циркуляции достигается; при этом ориентация вектора rota согласуется с ориентацией контура, при которой циркуляция положительна, по правилу правого винта. 8.3.

Физический смысл ротора поля Пустьтвердое

тело вращается вокруг неподвижной оси I с угловой скоростью и. Не нарушая общности, можно считать, что ось I совпадает с осью Oz (рис. 34). Пусть М(г) — изучаемая точка тела, где Вектор угловой скорости в нашем случае равен из = wk, вычислим вектор v линейной скорости точки М, Отсюда Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля.

Правила вычисления ротора

Итак, вихрь поля скоростей вращающегося твердого тела одинаков во всех точках поля, параллелен оси вращения и равен удвоенной угловой скорости вращения. 8.4. Правила вычисления ротора 1. Ротор постоянного вектора с равен нулевому вектору, 2. Ротор обладает свойством линейности постоянные числа. 3. Ротор произведения скалярной функции и<М) на векторную а(М) вычисляется по формуле

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Примеры решений задач по теории поля

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа по векторному анализу (теории поля):

Примеры: базовые понятия теории поля

Задача 1. Проверить, что поле $f=(3x+y^2)i+2xy j$ потенциально и восстановить потенциал.

Задача 2. Найти дивергенцию и ротор векторного поля $overline=(3x-y) overline+(6z+5x) overline$

Задача 4. Вычислить потенциальную функцию векторного поля

Поток поля через поверхность

Циркуляция векторного поля

с помощью формулы Стокса и непосредственно (положительным направлением обхода контура считать то, при котором точка перемещается по часовой стрелке, если смотреть из начала координат).

Задача 12. Найти циркуляцию вектора $F$ вдоль ориентированного контура $L$. $$ overline = (3x-1) overline+ (y-x+z)overline+4z overline, $$ $L$ – контур треугольника $ABCA$, где $A,B,C$ точки пересечения плоскости $2x-y-2z+2=0$ соответственно с осями координат $Ox, Oy, Oz$.

Работа векторного поля

Задача 13. Найдите работу векторного поля $A=(2xy-y; x^2+x)$ по перемещению материальной точки вдоль окружности $x^2+y^2=4$ из $M (2; 0)$ в $К(-2; 0)$.

Задача 14. Вычислить работу векторного поля силы $overline = xz overline -overline+y overline$ при движении материальной точки по пути $L: x^2+y^2+z^2=4$, $z=1 (y ge 0)$ от точки $M(sqrt(3);0;1)$ до точки $N(-sqrt(3);0;1)$.

Типовой расчет по теории поля

Задание 15.
А) Найти поток векторного поля $F$ через внешнюю поверхность пирамиды, отсекаемой плоскостью $(p)$ двумя способами: непосредственно и по формуле Гаусса-Остроградского.
Б) Найти циркуляцию вектора $F$ по контуру треугольника двумя способами: по определению и по формуле Стокса.

$$ overline = z overline+ (x+y)overline+y overline, quad (p): 2x+y+2z=2. $$

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 150 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

[spoiler title=”источники:”]

http://natalibrilenova.ru/tsirkulyatsiya-vektornogo-polya-rotor-vektora-teorema-stoksa/

http://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=mafield

[/spoiler]