Как найти d 2z dydx

Производные и дифференциалы высших порядков.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. 

Частными производными 2-го порядка функции $u=f(x_1, x_2, …, x_n)$ называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Производные второго порядка обозначаются следующим образом: $$frac{partial}{partial x_k}left(frac{partial u}{partial x_k}right)=frac{partial^2u}{partial x^2_k}=f”_{x_kx_k}(x_1, x_2, …, x_k, …, x_n).$$ $$frac{partial}{partial x_l}left(frac{partial u}{partial x_k}right)=frac{partial^2u}{partial x_kpartial x_l}=f”_{x_kx_l}(x_1, x_2, …, x_k, …, x_l, …, x_n).$$ и т. д.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго.

Дифференциалом 2-го порядка $d^2f$ функции $u=f(x_1, x_2,…, x_n)$ называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассматриваемого ка функция переменных $x_1, x_2, .., x_n$ при фиксированных значениях $dx_1, dx_2, …, dx_n:$ $$d^2u=d(du).$$

Аналогично определяется дифференциал 3-го порядка:$$d^3u=d(d^2u).$$

Вообще, $$d^mu=d(d^{m-1}u).$$

Дифференциал $m$-го порядка функции $u=f(x_1, x_2,…, x_n),$ где $x_1, x_2, .., x_n -$ независимые переменные, выражается символической формулой $$d^mu=left(frac{partial}{partial x_1}dx_1+frac{partial}{partial x_2}dx_2+…+frac{partial}{partial x_n}dx_nright)^mu,$$ которая формально раскрывается по биномиальному закону.

Например, в случае функции $z=f(x, y)$ двух независимых переменных и для дифференциалов 2-го и 3-го порядков справедливы формулы $$d^2z=frac{partial^2 z}{partial x^2}dx^2+2frac{partial^2 z}{partial xpartial y}dxdy+frac{partial^2 z}{partial y^2}dy^2,$$

$$d^3z=frac{partial^3 z}{partial x^3}dx^3+3frac{partial^3 z}{partial x^2partial y}dx^2dy++3frac{partial^3 z}{partial xpartial y^2}dxdy^2+frac{partial^3 z}{partial y^3}dy^3.$$

Примеры.

Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков следующих функций: ($x, y, z -$ независимые переменные):

7.101. $z=x^3+3x^2y-y^3.$

Решение.

$$dz=z’_xdx+z’_ydy.$$

$$z’_x=(x^3+3x^2y-y^3)’_x=3x^2+6xy;$$

$$z’_y=(x^3+3x^2y-y^3)’_y=3x^2-3y^2.$$

Таким образом

$$dz=(3x^2+6xy)dx+(3x^2-3y^2)dy.$$

Дифференцируем вторично, учитывая, что $dx$ и $dy$ не зависят от $x$ и $y$ (т.е. считая $dx$ и $dy$ постоянными): $$d^2z=d((3x^2+6xy)dx+(3x^2-3y^2)dy)=d(3x^2+6xy)dx+d(3x^2-3y^2)dy=$$ $$=(6xdx+6xdy+6ydx)dx+(6xdx-6ydy)dy=6((x+y)dx^2+2xdxdy-ydy^2).$$Ответ: $dz=(3x^2+6xy)dx+(3x^2-3y^2)dy;$ $d^2 z=6((x+y)dx^2+2xdxdy-ydy^2).$

7.108.$u=xy+yz+zx.$

Решение.

$$du=d(xy+yz+zx)=xdy+ydx+ydz+zdy+zdx+xdz=$$ $$=(y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz.$$

Дифференцируем вторично, учитывая, что $dx,,, dy$ и $dz$ не зависят от $x,,, y$ и $z$ (т.е. считая $dx,, dy$ и $dz$ постоянными): $$d^2u=d((y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz)=$$ $$=(dy+dz)dx+(dx+dz)dy+(dx+dy)dz=2(dxdy+dxdz+dydz).$$Ответ: $du=(y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz;$ $d^2 u=2(dxdy+dxdz+dydz).$

7.110.Найти $d^3z,$ если $z=e^ysin x.$

Решение.

$$dz=d(e^ysin x)=e^ycos xdx+sin xe^y dy.$$ Дифференцируем вторично, учитывая, что $dx$ и $dy$ не зависят от $x$ и $y$ (т.е. считая $dx$ и $dy$ постоянными): $$d^2z=d(e^ycos xdx+sin xe^y dy)=$$ $$=-sin x e^ydxdx+cos x e^y dydx+e^ycos xdxdy+sin xe^ydydy=$$ $$=-sin x e^y dx^2+2e^ycos xdxdy+sin xe^y dy^2.$$

$$d^3z=d(-sin x e^y dx^2+2e^ycos xdxdy+sin xe^y dy^2)=$$ $$=(-cos xe^ydx^2-2e^ysin xdxdy+cos xe^ydy^2)dx+$$ $$+(-sin xe^ydx^2+2e^ycos xdxdy+sin xe^ydy^2)dy=$$ $$=-cos xe^ydx^3+-3e^ysin xdx^2dy+3cos xy^ydxdy^2+sin xe^ydy^3.$$

Ответ: $d^3z=-cos xe^ydx^3+-3e^ysin xdx^2dy+3cos xy^ydxdy^2+sin xe^ydy^3.$

7.112. Найти $d^6u,$ если $u=ln(x+y+z).$

Решение.

Будем пользоваться формулой

$$d^mu=left(frac{partial}{partial x_1}dx_1+frac{partial}{partial x_2}dx_2+…+frac{partial}{partial x_n}dx_nright)^mu,$$

$$frac{partial u}{partial x}=frac{partial u}{partial y}=frac{partial u}{partial z}=frac{1}{x+y+z};$$

$$frac{partial^2 u}{partial x^2}=frac{partial^2 u}{partial y^2}=frac{partial^2 u}{partial z^2}=frac{partial^2u}{partial xpartial y}=frac{partial^2u}{partial ypartial x}=frac{partial^2u}{partial xpartial z}=frac{partial^2u}{partial zpartial x}=frac{partial^2u}{partial ypartial z}=frac{partial^2u}{partial zpartial y}=$$ $$=-frac{1}{(x+y+z)^2};$$

…

$$frac{partial^6 u}{partial x^6}=frac{partial^6 u}{partial y^6}=frac{partial^6 u}{partial z^6}=frac{partial^6u}{partial x^5partial y}=frac{partial^6u}{partial x^4partial y^2}=…frac{partial^6u}{partial xpartial y^5}=frac{partial^6u}{partial x^5partial z}=…=$$ $$=frac{partial^6u}{partial xpartial z^5}=frac{partial^6u}{partial y^5partial z}=…=frac{partial^6 u}{partial ypartial z^5}=(-1)^55!frac{1}{(x+y+z)^6}=frac{5!}{(x+y+z)^6}.$$

Отсюда получаем $$d^6(ln(x+y+z))=left(frac{partial}{partial x}dx+frac{partial}{partial y}dy+frac{partial}{partial z}dzright)^6(ln(x+y+z))=$$ $$=-frac{5!}{(x+y+z)^6}(dx+dy+dz)^6.$$

Ответ: $d^6u=-frac{5!}{(x+y+z)^6}(dx+dy+dz)^6.$

Домашнее задание.

Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков следующих функций: ($x, y, z -$ независимые переменные):

7.102. $z=frac{y}{x}-frac{x}{y}.$

7.103. $z=sqrt{x^2+2xy}.$

7.105. $z=(x+y)e^{xy}.$

7.106. $z=xlnfrac{y}{x}.$

7.111. Найти $d^3u,$ если $u=x^3+y^3+z^3-3xyz..$

7.113. Найти $d^mu,$ если $u=e^{ax+by+cz}.$

Частной
производной функции двух переменных-
по одной из этих переменных называется
предел отношения соответствующего
частного приращения функции к приращению
данной переменной, когда последнее
стремится к нулю (если этот предел
существует). Обозначсается частная
производная так: z_x’,z_y’
или f’_x(x,y),
f’_y(x,y).

Полным
дифференциаломффункции z=f(x,y)
называется сумма произведений частных
производных этой функции на приращения
соответствующих независимых переменных,т.е.
dz=z’_xx+z’_yy.
При нефиксированных х,у,: dx=x,
dy=y,а
формулу полного дифференциала можно
записать в виде: dz=z’_xdx+z’_ydy
или dz=(dz/dx)*dx+(dz/dy)*dy

Частными
производными второго порядка функции
z=f(x,y)
называются частные производные от
частных производных первого порядка.
Частные производные второго порядка
четыре. Они обозначаются следующим
образом:

1)Z’’_xx=(z_x’)’_x
или d²z/dx²=d/dx*(dz/dx)

2)z’’_xy=(z_x’)’_y
или
d²z/dydx=d/dy8(dz/dx)

3)z’’_yx=(z’_y)’_x
или
d²z/dxdy=d/dx*(dz/dy)

4)z’’_yy=(z’_y)’_y
или
d²z/dy²=d/dy(dz/dy)

Аналогично
определяются частные производные 3-го
, 4-го и более высоких порядков. Частные
производные второго или более высокого
порядка,взятые по различным переменным,
называются смешанными частными
производными.

15.Экстремумы функции двух независимых переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Точка
М₀(х₀,у₀)
называется точкой минимума (максимума)
функции z=f(x,y)
если существует такая окрестность точки
М₀,
что для всех точек М(х,у) из этой окрестности
выполняется неравенство
f(x₀,у₀)<f(x,y),(f(x₀,у₀)>f(x,y).
Точки минимума и максимума функции
z=f(x,y)
называются точками экстремума,а значения
функции в точке М₀
сравнивается с её значениями в точках,
достаточно близких к М₀.

1)Необходимые
условия экстремума-если М₀(х₀,у₀)-
точка экстремума дифференцируемой
функции z=f(x,y),
то уё частные производные z_x’
и z_y’
в этой точке равны нулю: z_x’(x₀,у₀)=0
z_y’(x₀,у₀)=0
Точки в которых частные производные
первого порядка равны нулю, наз-ся
критическими или стационарными. В
критических точках функция z=f(x,y)
может иметь экстремум а может и не иметь
его.

2)Достаточное
условие экстремума- пусть функция
z=f(x,y)
: а)определена в некоторой окрестности
критической точки М₀(х₀,у₀),
в которой z_x’(x₀,у₀)=0
и z_y’(x₀,
y₀)=0
б)имеет непрерывные частные производные
второго порядка z_xx’’(x₀,
y₀)=A;
z_xy’’(x₀,
y₀)=B;
z_yy’’(x₀,
y₀)=C.
Тогда если дельта= АС-В²>0
,то функция z=f(x,y)
в точке М₀(х₀,у₀)
экстремума не имеет. В случае дельта=АС-В²=0
вопрос о наличии экстремума остаётся
открытым.

16Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов.

Функция
F(x)
называется первообразной для функции
f(x)
на интервале (a,b)
и для любого x
принадлежащего (a,b)
выполняется равенство F’(x)=f(x)

Если
функция F(x)
является первообразной для функции
f(x)
на интервале (a,b),
то множество всех первообразных для
f(x)
задаётся формулой F(x)+C,
где С-произвольная постоянная.

Множество
всех первообразных функций F(x)+C
для функции f(x)
на интервале (a,b)
называется неопределённым интегралом
от функции f(x)
на этом интервале и обозначается символом
S
f(x)dx,
где S-знак
интеграла; f(x)-подынтегральная
функция; f(x)dx-
подынтегральное выражение; х-переменная
интегральная. Таким образом S
f(x)dx=F(x)+C,где
F(x)-некоторая
первообразная для f(x)
на интервале (a,b).
С-произвольная постоянная.

СВОЙСТВА:
1)производная от неопределённого
интеграла равна подынтегральной функции;
дифференциал от неопределённого
интеграла равен подынтегральному
выражению: (S
f(x)dx)’=f(x);
d(S
f(x)dx)=f(x)dx.
2)неопределённый интеграл от дифференциала
некоторой функции равен сумме этой
функции и произвольной постоянной: S
dF(x)=F(x)+C.
3)постоянный множитель можно выносить
за знак неопределённого интеграла: S
cf(x)dx=с
S
f(x)dx,
c-const.
неопределённых интегралов: S
(f(x)+-g(x)dx=
S
f(x)dx+-S
g(x)dx.
5)если S
f(x)dx=F(x)+C,
а u=f(x)-
произвольная функция, имеющая непрерывную
производную , то S
f(u)du=F(u)+c.

ТАБЛИЦА
ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ:

1)S0*dx=C;
2)S18dx=Sdx=x+C;3)Sx^adx=x^a+1/a+1
+C; 4)S dx/x=ln|x|+C; 5)S a^xdx=a^x/lna
+C; 6)Se^xdx=
e^x+C;
7)S sinxdx=-cosx+Сж8)S
cos xdx= sinx+С
9) S dx/cos²x=tg+C;
10)S dx/sin²x=-сtgx+C;
11)S dx/корень
1-x²=
arcsinx+C; 12)Sdx/корень
a²-x²=arcsinx/a+C;
13)S dx/корень
x²+-a²=ln|x+корень
x²+-a²|+c;
14) S dx/1+x²=arctgx+C;
15) S dx/a²+x²=1/a
arctgx/a+C; 16)S dx/x²-a²=1/2a
ln |x-a/x+a|+C.

Соседние файлы в папке Шпоры ИУП_1сессия

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).