Как найти дальность броска


Рисунок тела брошенного под углом к горизонту, максимальные значения

hmax – максимальная высота

Smax – максимальная дальность полета, если бросок и падение на одном уровне

Sh – расстояние пройденное по горизонтали до момента максимального подъема

tmax – время всего полета

th – время за которое тело поднялось на максимальную высоту

Vo – начальная скорость тела

α – угол под которым брошено тело

g ≈ 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения

Формула для расчета максимальной высоты достигнутое телом, если даны, начальная скорость Vo и угол α под которым брошено тело. :

Формула для расчета максимальной высоты

Формула для вычисления максимальной высоты, если известны, максимальное расстояние S max или расстояние по горизонтали при максимальной высоте Sh и угол α под которым брошено тело. :

Формула 1 для расчета максимальной высоты

По этой формуле, можно определить максимальную высоту, если известно время th за которое тело поднялось на эту высоту. :

Формула 2 для расчета максимальной высоты

Формула для расчета максимальной дальности полета, если даны, начальная скорость броска Vo и угол α под которым брошено тело. :

Формула для расчета максимальной дальности полета

или известны максимальная высота hmax и угол α под которым брошено тело. :

Формула 1 для расчета максимальной дальности полета

Формула для нахождения расстояния по горизонтали при максимальной высоте, если даны, начальная скорость броска Vo и угол α под которым брошено тело. :

Формула для расчета расстояния при максимальной высоте

или известны максимальная высота hmax и угол α под которым брошено тело. :

Формула 1 для расчета расстояния при максимальной высоте

* т. к. траектория движения симметрична относительно линии максимальной высоты, то расстояние Sh ровно в два раза, меньше максимальной дальности броска Smax

Формула для определения времени затраченного на весь полет, если даны, начальная скорость Vo и угол α под которым брошено тело или если известна только максимальная высота hmax :

Формула для расчета затраченного времени на подъем на максимальную высоту

* т. к. траектория движения симметрична относительно линии максимальной высоты, то время максимального подъема th ровно в два раза, меньше максимального времени tmax

Формула для определения времени за которое тело поднялось на максимальную высоту, если даны, начальная скорость Vo и угол α под которым брошено тело или если известна только максимальная высота hmax :

Формула 1 для расчета затраченного времени на подъем на максимальную высоту

Подробности

Опубликовано: 11 августа 2015

Обновлено: 13 августа 2021

Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту.
  1. Это движение в плоскости, поэтому для описания движения необходимо 2 координаты.
  2. Считаем, что движение происходит вблизи поверхности Земли, поэтому ускорение тела – ускорение свободного падения (= g).
 

Так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, то ускорение направлено только к поверхности Земли (g) – вдоль вертикальной оси (y), вдоль оси х движение равномерное и прямолинейное.

 

Движение тела, брошенного горизонтально.

Выразим проекции скорости и координаты через модули векторов.


Для того чтобы получить уравнение траектории, выразим время tиз уравнения координаты x и подставим в уравнение для y

   – между координатами квадратичная зависимость, траектория – парабола!

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Порядок решения задачи аналогичен предыдущей.

Решим задачу для случая х0=0 и y0=0

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Докажем, что траекторией движения и в этом случае будет парабола. Для этого выразим координату Y через X (получим уравнение траектории):

.

Мы получили квадратичную зависимость между координатами. Значит траектория – парабола.

 

Найдем время полета тела от начальной точки до точки падения. В точке падения координата по вертикальной оси у=0.

Время полета:

Следовательно, для решения этой задачи необходимо решить уравнение 

Оно будет иметь решение при t=0 (начало движения) и 

Зная время полета, найдем максимальное расстояние, которое пролетит тело:

Дальность полета:

Из этой формулы следует, что:

– максимальная дальность полета будет наблюдаться при бросании тела (при стрельбе, например) под углом 450;

– на одно и то же расстояние можно бросить тело (с одинаковой начальной скоростью) двумя способами – т.н. навесная и настильная баллистические траектории.

Используя то, что парабола – это симметричная кривая, найдем максимальную высоту, которой может достичь тело.
Время, за которое тело долетит до середины, равно:

Время подъема:

Тогда: 

Максимальная высота:

Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к траектории движения (параболе) и равна Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к траектории движения (параболе)

 

Угол, под которым направлен вектор скорости в любой момент времени:

Угол, под которым направлен вектор скорости в любой момент времени

 

ballistic.JPG

Калькулятор ниже предназначен для решении задач школьного курса физики на баллистическое движение. Баллистическое движение — движение тела в пространстве под действием внешних сил, в данном случае речь идет только о силе тяжести.
Параметры баллистического движения изображены на картинке, это:
дальность полета S,
максимальная высота полета h,
длительность полета t,
угол броска alpha,
начальная скорость v_0.

Основные формулы, определяющие баллистическое движение:
S=frac{upsilon_0^2}{g}sin 2alpha, h=frac{upsilon_0^2}{2g}sin^2alpha, t=frac{2upsilon_0 sinalpha}{g}

Формулы выводятся из формул для скорости и расстояния при равноускоренном движении, в предположении, что по оси х на тело не действует никакое ускорение, а по оси y на тело действует ускорение свободного падения g.

Калькулятор позволяет рассчитать неизвестные параметры баллистического движения по известным.
То есть, если задать угол броска и начальную скорость, то калькулятор найдет дальность полета, время полета и максимальную высоту, на которую поднимется тело. Если задать время полета и дальность полета, то калькулятор найдет начальную скорость, угол броска и максимальную высоту, и так далее.
Единственная неопределенная комбинация — это время полета и высота полета. Зная только эти параметры, рассчитать остальные невозможно.

PLANETCALC, Баллистическое движение

Баллистическое движение

Ускорение св. падения (м/с2)

Ускорение свободного падения (м/с2)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Максимальная высота полета (м)

Дальность броска тела, брошенного под углом к горизонту, формула

Дальность броска или радиус поражения определяется по формулам
общего времени движения и формулы координат тела

Дальность броска тела, брошенного под углом к горизонту

Дальность броска тела, брошенного под углом к горизонту

[
s_{max} = x(t_{smax}) = u_0 t_{smax} cos(α)
]

подставив tsmax в выражение (1) и упростив получим:

[
s_{max} = frac{u_0^2 sin(2α)}{g}
]

Здесь:
u0 — начальная скорость тела (м/с),
α — угол, под которым брошено тело к горизонту (°),
g — ускорение свободного падения 9.81 (м/c2),
tsmax — общее время движения(c)

Вычислить, найти дальность броска тела, брошенного под углом к горизонту по формуле (2).

Дальность броска тела, брошенного под углом к горизонту

стр. 421

Что такое движение тела брошенного под углом к горизонту

Определение

Движением тела под углом к горизонту в физике называют сложное криволинейное перемещение, которое состоит из двух независимых движений, включая равномерное прямолинейное движение в горизонтальном направлении и свободное падение по вертикали.

В процессе подбрасывания объекта вверх под углом к горизонту вначале наблюдают его равнозамедленный подъем, а затем равноускоренное падение. Скорость перемещения тела, относительно поверхности земли, остается постоянной.

Направление

 

На графике изображено схематичное движение тела, которое подбросили под углом к горизонту. В этом случае α является углом, под которым объект начал свое перемещение. Характеристики такого процесса будут следующими:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

  1. Направление вектора скорости тела, которое подбросили под определенным углом к горизонту, будет совпадать с касательной к траектории его перемещения.
  2. Начальная скорость отличается от направления горизонтальной линии, а обе ее проекции не равны нулю.
  3. Проекция скорости в начале движения на ось ОХ составляет (V_{ox}=V_{0}cos alpha).
  4. Проекция начальной скорости на ось ОУ равна (V_{oy}=V_{0}sin alpha).
  5. Проекция мгновенной скорости на ось ОХ следующая: (V_{x}=V_{0}cos alpha).
  6. Проекция мгновенной скорости на ось ОУ обладает нулевым значением и рассчитывается следующим образом: (V_{x}=V_{0}sin alpha-gt).
  7. Ускорение свободного падения на ось ОХ обладает нулевой проекцией, или (g_{x}=0).
  8. Проекция ускорения свободного падения на ось ОУ равна (–g), или (g_{y}=-g).

К числу кинематических характеристик движения тела, которое подбросили под углом к горизонту, относят модуль мгновенной скорости в определенное время t. Данный показатель можно рассчитать с помощью теоремы Пифагора:

(V=sqrt{V^{2}_{x}+V^{2}_{y}})

Минимальная скорость тела будет замечена в самой верхней точке траектории, а максимальная величина данной характеристики будет достигнута, когда объект только начинает перемещаться, а также в точке падения на поверхность земли. Время подъема представляет собой время, необходимое для достижения телом верхней точки траектории. За полное время объект совершает полет, то есть перемещается от начальной точки к точке приземления.

Дальность полета является перемещением объекта по отношению к оси ОХ. Такую кинематическую характеристику обозначают буквой l. По отношению к оси ОХ тело перемещается, сохраняя постоянство скорости.

Определение

Горизонтальным смещением тела называют смещение данного объекта, относительно оси ОХ.

Расчет горизонтального смещения тела в какой-либо момент времени t выполняют с помощью уравнения координаты х:

(x=x_{0}+V_{0x}t+frac{gxt^{2}}{2})

Зная следующие условия:

  • (x_{0}=0);
  • проекция ускорения свободного падения, относительно оси ОХ, также имеет нулевое значение;
  • проекция начальной скорости на ось ОХ составляет (V_{0}cos alpha).

Записанная формула приобретает следующий вид:

(x=V_{0}cos alpha t)

Мгновенной высотой принято считать высоту, на которой находится объект в определенный момент времени t. Наибольшей высотой подъема является расстояние от поверхности земли до верхней точки траектории движения тела под углом к горизонту.

Вывод формулы, как найти угол и дальность полета

Перемещение объекта, который был брошен под углом к горизонту, необходимо изобразить с помощью суперпозиций, характерных для двух типов движений:

  • равномерное горизонтальное движение;
  • равноускоренное перемещение в вертикальном направлении с ускорением свободного падения.

Движение тела

 

Скорость тела будет рассчитываться таким образом:

(v_{0x}=v_{x}=v_{0} cos alpha =const)

(v_{0y}=v_{0}sin alpha)

(v_{y}=v_{0}sin alpha-gt)

Уравнение координаты записывают в следующем виде:

(x=v_{0}cos alpha times t)

(y=v_{0}sin alpha times t-frac{gt^{2}}{2})

В любое время значения скорости тела будут равны:

(v=sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}})

Определить угол между вектором скорости и осью ОХ можно таким образом:

(tan beta =frac{v_{y}}{v_{x}}=frac{v_{0}sin alpha -gt}{v_{0}cos alpha })

Время подъема на максимальную высоту составляет:

(t=frac{v_{0}sin alpha }{g})

Максимальная высота подъема будет рассчитана следующим образом:

(h_{max}=frac{v_{0}^{2}sin ^{2}alpha}{2g})

Полет тела будет длиться определенное время, которое можно рассчитать с помощью формулы:

(t=frac{2v_{0}sin alpha }{g})

Максимальная дальность полета составит:

(L_{max}=frac{v_{0}^{2}sin 2alpha }{g})

Примеры решения задач

В примерах, описывающих движение тела, на которое действует сила тяжести, следует учитывать, что а=g=9,8 м/с2.

Задача 1

Небольшой камень был брошен с ровной горизонтальной поверхности под углом к горизонту. Необходимо определить, какова максимальная высота подъема камня при условии, что, спустя 1 секунду после его начала движения, скорость тела обладала горизонтальным направлением.

Решение

Направление скорости будет горизонтальным в верхней точке перемещения камня. Таким образом, время, за которое он поднимется, составляет 1 секунду. С помощью уравнения времени подъема можно представить формулу произведения скорости в начале полета на синус угла, под которым бросили камень:

(V_{0}sin alpha =gt)

Данное равенство следует подставить в уравнение для расчета максимальной высоты, на которую поднимется камень, и выполнить вычисления:

(h=frac{V_{0}sin ^{2}alpha }{2g}=frac{(gt)^{2}}{2g}=frac{gt^{2}}{2}=frac{10times 1}{2}=5)

Ответ: максимальная высота подъема камня, который бросили под углом к горизонту, составляет 5 метров.

Задача 2

Из орудия выпустили снаряд, начальная скорость которого составляет 490 м/с, под углом 30 градусов к горизонту. Нужно рассчитать, какова высота, дальность и время полета снаряда без учета его вращения и сопротивления воздуха.

Решение

Систему координат и движение тела можно представить схематично:

Задача

 

Составляющие скорости, относительно осей ОХ и ОУ, будут совпадать во время начала движения снаряда:

(V_{0x}=V_{0} cos alpha) сохраняет стабильность значения в любой промежуток времени во время всего перемещения тела.

(V_{0y}=V_{0}sin alpha) будет меняться, согласно формуле равнопеременного движения (V_{y}=V_{0}sin alpha-gt).

В максимальной точке, на которую поднимется снаряд:

(V_{y}=V_{0}sin alpha-gt_{1}=0)

Из этого равенства следует:

(t=frac{V_{0sin alpha }}{g})

Полное время полета тела будет рассчитано по формуле:

(t=2t_{1}=frac{2V_{0}sin alpha }{g}=50)

Высота, на которую поднимется снаряд, определяется с помощью уравнения равнозамедленного перемещения тела:

(h=V_{0y}t_{1}-frac{gt_{1}^{2}}{2}=frac{V_{0}^{2}sin ^{2}alpha }{2g}=3060)

Дальность полета снаряда будет рассчитана таким образом:

(S=V_{0x}t=frac{V_{0}^{2}sin 2alpha }{g}=21000)

Ответ: высота составляет 3060 метров, дальность полета равна 21000 метров, время движения составит 50 секунд.

Добавить комментарий