Как найти давление идеального газа в физике

Содержание:

Идеальный газ:

Наиболее простым из всех агрегатных состояний вещества является газообразное. Поэтому изучение свойств веществ начинают с газов. Газ (греч. chaos — хаос) — такое агрегатное состояние вещества, когда составляющие его частицы почти свободно и хаотически движутся между соударениями, во время которых происходит резкое изменение их скорости. Термин «газ» предложил в начале XVII в. нидерландский химик Ян Батист ван Гельмонт (1579— 1644).

Макро- и микропараметры:

При изучении механики в 9-м классе вы познакомились с понятием «состояние механической системы тел». Параметрами этого состояния являются координаты, скорости или импульсы тел. В тепловых процессах основными физическими величинами, характеризующими состояние макроскопических тел без учёта их молекулярного строения, являются давление

Одна из важнейших задач молекулярно-кпнетической теории состоит в установлении связи между макроскопическими и микроскопическими параметрами.

Идеальный газ

Для теоретического объяснения свойств газов используют их упрощённую модель — идеальный газ.

Идеальный газ — модель газа, удовлетворяющая следующим условиям: 1) молекулы газа можно считать материальными точками, которые хаотически движутся; 2) силы взаимодействия между молекулами идеального газа практически отсутствуют (потенциальная энергия их взаимодействия равна нулю); силы действуют только во время столкновений молекул, причём это силы отталкивания.

Поведение молекул идеального газа можно описать, используя законы Ньютона и учитывая, что между соударениями молекулы движутся практически равномерно и прямолинейно.

Модель идеального газа можно использовать в ограниченном диапазоне температур и при достаточно малых давлениях. Так, например, свойства водорода и гелия при нормальном атмосферном давлении и комнатной температуре близки к свойствам идеального газа.

Изучая физику в 7-м классе, вы узнали, что давление газа на стенки сосуда, в котором он находится, как и на любое тело, помещённое внутрь сосуда, создаётся в результате ударов частиц, образующих газ (рис. 14). Вследствие хаотичности их движения усреднённое по времени давление газа в любой части сосуда одинаково, и его можно определить по формуле

Выражение (3.1) называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа. Это уравнение позволяет рассчитать макроскопический параметр давление р идеального газа через массу молекулы, концентрацию молекул и среднюю квадратичную скорость их теплового движения, определяемую по формуле Формула (3.1) связывает между собой макро- и микроскопические параметры системы «идеальный газ».

Зависимость давления газа от среднего значения квадрата скорости теплового движения его молекул обусловлена тем, что с увеличением скорости, во-первых, возрастает импульс молекулы, а следовательно, и сила удара о стенку. Во-вторых, возрастает число ударов, так как молекулы чаще соударяются со стенками.

Обозначим через среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул. Тогда основное уравнение молекулярно-кинетической теории примет вид:

Из выражения (3.2) следует, что давление идеального газа зависит от средней кинетической энергии поступательного движения его молекул и их концентрации.

 

Пример №1

Баллон электрической лампы наполнен газом, плотность которого После включения лампы давление газа в ней увеличилось от Определите, на сколько при этом увеличился средний квадрат скорости теплового движения молекул газа.

Решение. Покажем, что между плотностью р газа и концентрацией его частиц существует связь. Плотность вещества газа равна отношению массы к предоставленному ему объёму. Поскольку произведение массы одной молекулы и числа N молекул равно массе вещества, то:

Тогда основное уравнение молекулярно-кинетической теории можно записать в виде:  Следовательно, средний квадрат скорости теплового движения молекул газа Определим изменение среднего квадрата скорости теплового движения молекул газа после включения лампы:

Ответ:

Пример №2

В сосуде вместимостью находится одноатомный газ, количество вещества которого и давление Па. Определите среднюю кинетическую энергию теплового движения атомов этого газа. 

Решение. Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории, записанного в виде , следует, что Так как концентрация атомов  а число атомов газа

Ответ:

Уравнение состояния идеального газа

Выясним, как связаны между собой макроскопические параметры идеального газа, которые характеризуют его равновесное состояние: давление, масса всего газа, объём, предоставленный ему, и температура.

Состояние макроскопической системы полностью определено, если известны её макроскопические параметры — давление р, масса температура и объём Уравнение, связывающее параметры данного состояния, называют уравнением состояния системы. Изменение параметров состояния системы с течением времени называют процессом.

Если при переходе идеального газа из одного состояния в другое число его т

молекул остается постоянным, т. е. масса и молярная масса газа не изменяются, то из уравнений и следует:

где — постоянная Больцмана; — параметры начального состояния газа, а — конечного. Из соотношений (5.1) следует, что

или

При неизменных массе и молярной массе идеального газа отношение произведения его давления и объёма к абсолютной температуре является величиной постоянной.

Уравнение (5.2) связывает два рассматриваемых состояния идеального газа независимо от того, каким образом газ перешёл из одного состояния в другое.

Уравнение состояния в виде (5.2) впервые вывел в 1834 г. французский физик Бенуа Клапейрон (1799—1864), поэтому его называют уравнением Клапейрона.

В справедливости уравнения состояния можно убедиться, воспользовавшись установкой, изображённой на рисунке 18. Манометром 1, соединённым с герметичным гофрированным сосудом, регистрируют давление газа внутри сосуда. Объём газа в сосуде можно рассчитать, используя линейку 2. Температура газа в сосуде равна температуре окружающей среды и может быть измерена термометром.

Измерив параметры газа в начальном состоянии, вычисляют отношение  Затем помещают сосуд в горячую воду. При этом температура газа и его давление изменяются. Вращая винт 3, изменяют вместимость сосуда. Измерив снова давление газа и температуру а также рассчитав предоставленный ему объём  вычисляют отношение  Как показывают расчёты, уравнение состояния (5.2) выполняется в пределах погрешности эксперимента.

Уравнение состояния (5.2) можно применять для газов при следующих условиях:

1. не очень большие давления (пока собственный объём всех молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с предоставленным ему объёмом);
2. не слишком низкие или же высокие температуры (пока абсолютное значение потенциальной энергии межмолекулярного взаимодействия пренебрежимо мало по сравнению с кинетической энергией теплового движения молекул).

Поскольку число частиц то из уравнения (5.1) следует:

Величину, равную произведению постоянной Больцмана и постоянной Авогадро назвали универсальной газовой постоянной R:

С учётом выражения (5.4) уравнение (5.3) примет вид:

Поскольку количество вещества то формулу (5.5) можно записать в виде:

Уравнение состояния в виде (5.5) впервые получил русский учёный Д. И. Менделеев (1834—1907) в 1874 г., поэтому его называют уравнением Клапейрона—Менделеева.

Отметим, что уравнение Клапейрона—Менделеева связывает между собой макроскопические параметры конкретного состояния идеального газа. Используя уравнение Клапейрона-Менделеева, можно описать различные процессы, происходящие в идеальном газе.

Давление смеси газов

В повседневной жизни часто приходится иметь дело не с газом, состоящим из одинаковых молекул, а со смесью нескольких разнородных газов, не вступающих в химические реакции при рассматриваемых условиях. Например, воздух в комнате является смесью азота, кислорода, инертных газов и водорода, а также некоторых других газов. 

Вследствие теплового движения частиц каждого газа, входящего в состав газовой смеси, они равномерно распределяются по всему предоставленному смеси объёму. Столкновения частиц обеспечивают в смеси тепловое равновесие.

Каждый газ вносит свой вклад в суммарное давление, производимое газовой смесью, создавая давление, называемое парциальным.

Парциальное давление — давление газа, входящего в состав газовой смеси, если бы он один занимал весь объём, предоставленный смеси, при той же температуре.

Смесь идеальных газов принимают за идеальный газ. 

Из истории физики:

Фундаментальные исследования газовых смесей провёл английский учёный Джон Дальтон (1766-1844). Им сформулирован закон независимости парциальных давлений компонентов смеси (1801-1802). В 1802 г. на несколько месяцев раньше французского учёного Жозефа Гей-Люссака (1778-1850) Дальтон установил закон теплового расширения газов, а также ввёл понятие атомного веса.

При постоянных массе и молярной массе отношение произведения давления идеального газа и его объёма к абсолютной температуре является величиной постоянной (уравнение состояния идеального газа):

Парциальное давление — давление газа, входящего в состав газовой смеси, если бы он один занимал весь объём, предоставленный смеси, при той же температуре.

Пример №3

Баллон с газом, давление которого находился в неотапливаемом помещении, где температура воздуха После того как некоторое количество газа было израсходовано, баллон внесли в помещение, где температура воздуха Определите, какая часть газа была израсходована, если после длительного пребывания баллона в отапливаемом помещении давление газа в нём стало

Решение. Если пренебречь тепловым расширением баллона, то его вместимость не изменяется. Запишем уравнение Клапейрона—Менделеева для начального и конечного состоянии газа, считая его идеальным:

откуда

Тогда

Ответ: 

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа

В молекулярной физике изучаются свойства вещества во всех агрегатных состояниях, в том числе и газообразном. В природе почти нет отдельно взятого газа, реальный газ атмосферы представляют собой сложную систему разных газов.

Основная задача молекулярно-кинетической теории – установление связи между макроскопическими и микроскопическими параметрами, характеризующими свойства этой сложной системы. С этой целью реальный газ сложного состава заменяется упрощенной, идеализированной моделью.

Идеальный газ:

Первый шаг в создании любой физической теории состоит в построении идеализированной модели реального объекта. Такая модель всегда имеет упрощенный вид действительности, и с ее помощью изучаются количественные и качественные закономерности и свойства реального объекта с учетом определенных ограничений.

Для изучения свойств газов в молекулярно-кинетической теории применяется идеализированная модель – “идеальный газ”.

Идеальный газ – это газ, удовлетворяющий следующим условиям:

• —  линейные размеры молекул во много раз меньше расстояний между ними и не принимаются во внимание. Поэтому можно сказать, что молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом, то есть потенциальная энергия взаимодействия молекул идеального газа равна нулю:

Поэтому идеальный газ можно сколько угодно сжимать; —только при соударении молекул друг с другом или со стенками сосуда между ними возникают силы отталкивания;

• — соударения молекул абсолютно упругие;
• — скорость молекул может иметь произвольные значения, движение каждой молекулы подчиняется законам классической механики.

Свойства идеального газа характеризуются микроскопическими и макроскопическими параметрами и связями между ними.

Микроскопические параметры газа – это параметры, характеризующие движение молекул газа. К ним относятся масса молекулы, его скорость, импульс и кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

Макроскопическими являются такие параметры газа, как ее давление, объем и температура, определяющие свойства газа в целом.

Основной задачей молекулярно-кинетической теории является установление взаимной связи между микроскопическими параметрами, характеризующими молекулы газа, и макроскопическими (измеряемыми) величинами, характеризующими газ.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа:

Известно, что давление газа возникает в результате многочисленных непрерывных и беспорядочных соударений молекул газа о стенки сосуда, в котором он находится. Это давление равно среднему значению модуля равнодействующей силы, приходящейся на единицу площади:

В 1857 г. немецкий физик Рудольф Клаузиус (1822-1888), используя модель идеального газа, определил уравнение для давления газа, называемое основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа — это уравнение, связывающее макроскопический параметр газа – его давление, с микроскопическими параметрами, характеризующими молекулы газа:

Где  — количественный коэффициент, характеризующий трехмерность пространства и выражающий равноправность всех трех направлений в хаотическом движении молекул,  — масса одной молекулы, – концентрация молекул,  — средняя квадратичная скорость молекул.

Концентрация молекул — это число молекул в единице объема:

Единица концентрации в СИ:

Средняя квадратичная скорость молекул равна корню квадратному из средней арифметической величины квадратов скоростей отдельных молекул:

Так как среднее значение квадрата скорости молекул связано со средним значением кинетической энергии их поступательного движения, то, следовательно, и давление идеального газа зависит от среднего значения кинетической энергии молекул:

Давление идеального газа прямо пропорционально концентрации молекул и среднему значению кинетической энергии молекул.

Если принять во внимание, что плотность газа  в (6.1), то получится формула зависимости давления идеального газа от ее плотности:

Вы исследовали идеальный газ с позиций MKT и определили связь между его макроскопическими и микроскопическими параметрами.

Уравнение Клапейрона

Связь между тремя макроскопическими параметрами (давление, объем и температура), характеризующими состояние идеального газа, определяет уравнение состояние идеального газа.

Уравнение состояния идеального газа – это уравнение, описывающее состояние газа и устанавливающее связь между параметрами его начального и конечного состояний.

Если число молекул идеального газа остается постоянным, то есть масса и молярная масса не меняются, то при переходе идеального газа из одного состояния в другое, из формул (6.2) и (6.9) имеем для этих состояний:

Где — параметры идеального газа в начальном состоянии, — параметры идеального газа в конечном состоянии. При помощи простых математических преобразований выражений (6.14) для идеального газа данной массы  получим:

 или 

Это уравнение (6.15), характеризующее состояние идеального газа, впервые в 1834 году получил французский физик Бенуа Клапейрон (1799-1864), поэтому его назвали уравнением Клапейрона.

Отношение произведения давления идеального газа данной массы на его объем к абсолютной температуре является постоянной величиной.

Уравнение Менделеева-Клапейрона:

Приняв во внимание формулу, связывающую число частичек вещества, общую массу вещества, молярную массу и число Авогадро,

в формуле (6.14), получим:

Произведение постоянной Больцмана на постоянную Авогадро также является постоянной величиной. Оно называется универсальной газовой постоянной, обозначается буквой  и имеет числовое значение:

Приняв во внимание выражение (6.17) в (6.16), получаем выражение, характеризующее состояние идеального газа и называемое уравнением Менделеева-Клапейрона.

Физический смысл универсальной газовой постоянной определяется из последнего выражения.

Универсальная газовая постоянная равна отношению произведения давления и объема к абсолютной температуре одного моля любого газа.

Уравнение Менделеева-Клапейрона можно записать и в таком виде:

Где — плотность газа.

Уравне́ние состоя́ния идеа́льного га́за (иногда уравнение Менделеева — Клапейрона) — формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид:

,

где

Уравнение состояния идеального газа можно записать в виде:

,

где  — масса,  — молярная масса, (так как количество вещества ):

или в виде

,

где  — концентрация частиц (атомов или молекул) – количество частиц,  — постоянная Больцмана.

Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Клапейрона — Менделеева.

Уравнение, выведенное Клапейроном, содержало некую неуниверсальную газовую постоянную значение которой необходимо было измерять для каждого газа:

Менделеев обнаружил, что прямо пропорциональна , коэффициент пропорциональности он назвал универсальной газовой постоянной.^{[источник не указан 1455 дней]}

Связь с другими законами состояния идеального газа[править | править код]

В случае постоянной массы газа уравнение можно записать в виде:

Последнее уравнение называют объединённым газовым законом. Из него получаются законы Бойля — Мариотта, Шарля и Гей-Люссака:

 — закон Бойля — Мариотта — Изотермический процесс.

 — Закон Гей-Люссака — Изобарный процесс.

 — закон Шарля (второй закон Гей-Люссака, 1808 г.) — Изохорный процесс

В форме пропорции этот закон удобен для расчёта перевода газа из одного состояния в другое.

С точки зрения химика этот закон может звучать несколько иначе: объёмы вступающих в реакцию газов при одинаковых условиях (температуре, давлении) относятся друг к другу и к объёмам образующихся газообразных соединений как целые числа. Например, 1 объём водорода соединяется с 1 объёмом хлора, при этом образуются 2 объёма хлороводорода:

.

1 объём азота соединяется с 3 объёмами водорода с образованием 2 объёмов аммиака:

.

Закон Бойля — Мариотта

Закон Бойля — Мариотта

назван в честь ирландского физика, химика и философа Роберта Бойля (1627—1691), открывшего его в 1662 г., а также в честь французского физика Эдма Мариотта (1620—1684), который открыл этот закон независимо от Бойля в 1677 году.

В некоторых случаях (в газовой динамике) уравнение состояния идеального газа удобно записывать в форме

где  — показатель адиабаты,  — внутренняя энергия единицы массы вещества.

Эмиль Амага обнаружил, что при высоких давлениях поведение газов отклоняется от закона Бойля — Мариотта. Это обстоятельство может быть прояснено на основании молекулярных представлений.

С одной стороны, в сильно сжатых газах размеры самих молекул являются сравнимыми с расстояниями между молекулами. Таким образом, свободное пространство, в котором движутся молекулы, меньше, чем полный объём газа. Это обстоятельство увеличивает число ударов молекул в стенку, так как благодаря ему сокращается расстояние, которое должна пролететь молекула, чтобы достигнуть стенки.

С другой стороны, в сильно сжатом и, следовательно, более плотном газе молекулы заметно притягиваются к другим молекулам гораздо большую часть времени, чем молекулы в разреженном газе. Это, наоборот, уменьшает число ударов молекул в стенку, так как при наличии притяжения к другим молекулам молекулы газа движутся по направлению к стенке с меньшей скоростью, чем при отсутствии притяжения. При не слишком больших давлениях более существенным является второе обстоятельство и произведение немного уменьшается. При очень высоких давлениях большую роль играет первое обстоятельство и произведение увеличивается.

См. также[править | править код]

• Совершенный газ
• Реальный газ
• Уравнение состояния реального газа

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Стромберг А. Г., Семченко Д. П. Физическая химия: Учеб. для хим. спец. вузов / Под ред. А. Г. Стромберга. — 7-е изд., стер. — М.: Высшая школа, 2009. — 527 с. — ISBN 978-5-06-006161-1.

Давление идеального газа, теория и онлайн калькуляторы

Давление идеального газа

Определение давления идеального газа

Обозначают давление буквой $p$. Если для известной массы идеального газа определены давление и температура (или объем), то полагают, что состояние термодинамической системы в состоянии равновесия определяется однозначно, так как существующие законы и уравнения молекулярно кинетической теории (МКТ) позволяют все остальные параметры вычислить.

В общем случае давление определяют как:

[p={mathop{lim }_{Delta Sto 0} frac{Delta F_n}{Delta S} }left(1right),]

где $F_n$ проекция силы на нормаль к поверхности S данная сила оказывает воздействие, $Delta S$- площадь поверхности.

Идеальный газ оказывает давление на стенки сосуда, в котором он находится, за счет того, что молекулы этого газа движутся и ударяются о стенки сосуда. Давление идеального газа можно найти, применяя основные положение МКТ. При этом получают, что давление идеального газа равно:

[p=frac{1}{3}nm_0{leftlangle v_{kv}rightrangle }^2left(2right),]

где $m_0$ – масса одной молекулы газа; $n$- концентрация молекул газа; $leftlangle v_{kv}rightrangle =sqrt{frac{1}{N}sumlimits^N_{i=1}{v^2_i}}, N $- количество молекул в объеме газа равном $V$. Уравнение (2) называют основным уравнением МКТ. Его можно записать в другом виде, используя среднюю кинетическую энергию молекул ($leftlangle E_krightrangle $):

[p=frac{2}{3}nleftlangle E_krightrangle left(3right).]

С таким важным термодинамическим параметром как термодинамическая температура давление связывает формула:

[p=nkT left(4right),]

где $k$ – постоянная Больцмана. Уравнение (4) называют уравнением состояния идеального газа.

Если проводить изохорный процесс ($V=const$) с некоторой массой идеального газа, то давление его будет подчинено закону Шарля:

[p_2=p_1frac{T_2}{T_1}left(5right),]

где $p_1$- давление газа имеющего температуру $T_1$.

При проведении изотермического процесса ($T=const$) c постоянной массой некоторого газа поведение давления можно характеризовать, используя уравнение:

[p_1V_1=p_2V_2left(6right).]

В соответствии с законом Дальтона давление смеси газов можно найти как сумму давлений каждого газа:

[p=sumlimits^N_{i=1}{p_i} left(7right),]

где $p_i$ – давление каждого газа в отдельности.

Уравнения МКТ, содержащие давление идеального газа

Уравнение Менделеева – Клапейрона (еще один вариант уравнения состояния):

$pV=frac{m}{mu }RT$(8),

где $frac{m}{mu }=nu $ -количество вещества; $m$ – масса газа; $mu $- молярная масса газа; $R$ – универсальная газовая постоянная.textit{}

Определение работы газа в термодинамике:

[A=intlimits^{V_2}_{V_1}{pdV}left(9right).]

Соответственно, первое начало термодинамики для идеального газа в дифференциальном виде запишем как:

[delta Q=pdV+frac{i}{2}nu RdTleft(10right),]

где $i$ – число степеней свободы молекулы газа; $delta Q$ – элементарное количество теплоты, которое получает идеальный газ; $frac{i}{2}nu RdT=dU$ – изменение внутренней энергии термодинамической системы.textit{}

Примеры задач с решением

Читать дальше: диэлектрический гистерезис.