Как найти дебройлевскую длину волны электрона

3.1.Гипотеза де Бройля

3.2.Дифракция частиц

3.3.Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц вещества

3.1. Гипотеза де Бройля

Недостатки теории Бора указывали на необходимость пересмотра основ квантовой теории и представлений о природе микрочастиц (электронов, протонов и т.п.). Возник вопрос о том, насколько исчерпывающим является представление электрона в виде малой механической частицы, характеризующейся определенными координатами и определенной скоростью.

Мы уже знаем, что в оптических явлениях наблюдается своеобразный дуализм. Наряду с явлениями дифракции, интерференции (волновыми явлениями) наблюдаются и явления, характеризующие корпускулярную природу света (фотоэффект, эффект Комптона).

В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что дуализм не явля-

ется особенностью только оптических явлений, а имеет универ-

сальный характер. Частицы вещества также обладают волновыми свойствами.

Луи де Бройль (1892–1987), французский физик, удостоенный Нобелевской премии (1929 г). по физике за открытие волновой природы электрона. В 1923 г., развив идею А. Эйнштейна о двойственной природе, предположил, что поток материальных частиц должен обладать и волновыми свойствами, связанными с их массой и энергией (волны де Бройля). Экспериментальное подтверждение этой идеи было получено в 1927 г. в опытах по дифракции электронов в кристаллах, а позже она получила практическое применение при разработке магнитных линз для

электронного микроскопа. Концепцию Луи де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме использовал Э. Шредингер при создании волновой механики.

«В оптике, – писал Луи де Бройль, – в течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновым; не делалась ли в теории вещества обратная ошибка?» Допуская, что частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами имеют также и волновые, де Бройль перенес на случай частиц вещества те же правила перехода от одной картины к другой, какие справедливы в случае света.

Если фотон обладает энергией E = hν и импульсом p = h / λ, то и

частица (например электрон), движущаяся с некоторой скоростью, обладает волновыми свойствами, т.е. движение частицы можно рас-

сматривать как движение волны.

Согласно квантовой механике, свободное движение частицы с массой m и импульсом p = mυ (где υ – скорость частицы) можно предста-

вить как плоскую монохроматическую волну Ψ0 (волну де Бройля) с длиной волны

распространяющуюся в том же направлении (например в направлении оси х), в котором движется частица (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Зависимость волновой функции Ψ0 от координаты х даётся формулой

Таким образом, волновой вектор монохроматической волны, свя-

занной со свободно движущейся микрочастицей, пропорционален её им-

пульсу или обратно пропорционален длине волны.

Поскольку кинетическая энергия сравнительно медленно движу-

щейся частицы К = mυ2 / 2 , то длину волны можно выразить и через энергию:

При взаимодействии частицы с некоторым объектом – с кристаллом, молекулой и т.п. – её энергия меняется: к ней добавляется потенциальная энергия этого взаимодействия, что приводит к изменению движения

частицы. Соответственно, меняется характер распространения связанной с частицей волны, причём это происходит согласно принципам, общим для всех волновых явлений. Поэтому основные геометрические закономерности дифракции частиц ничем не отличаются от закономерно-

стей дифракции любых волн. Общим условием дифракции волн любой природы является соизмеримость длины падающей волны λ с расстоянием d между рассеивающими центрами: λ ≤ d .

Гипотеза Луи де Бройля была революционной, даже для того революционного в науке времени. Однако, она вскоре была подтверждена многими экспериментами.

3.2. Дифракция частиц

Дифракция частиц – рассеяние микрочастиц (электронов, нейтронов, атомов и т.п.) кристаллами или молекулами жидкостей и газов, при котором из начального пучка частиц данного типа возникают дополнительно отклонённые пучки этих частиц. Направление и интен-

сивность таких отклонённых пучков зависят от строения рассеивающего объекта.

Дифракция частиц может быть понята лишь на основе квантовой теории. Дифракция – явление волновое, оно наблюдается при распространении волн различной природы: дифракция света, звуковых волн, волн на поверхности жидкости и т.д. Дифракция при рассеянии частиц, с точки зрения классической физики, невозможна.

Квантовая механика устранила абсолютную грань между волной и частицей. Основным положением квантовой механики, описывающей поведение микрообъектов, является корпускулярно-волновой дуализм,

т.е. двойственная природа микрочастиц. Так, поведение электронов в одних явлениях, например при наблюдении их движения в камере Вильсона или при измерении электрического заряда в фотоэффекте, может быть описано на основе представлений о частицах. В других же, особенно в явлениях дифракции, – только на основе представления о волнах. Идея «волн материи», высказанная французским физиком Л. де Бройлем, получила блестящее подтверждение в опытах по дифракции частиц.

Опыты по дифракции частиц и их квантово-механическая интерпретация

Первым опытом по дифракции частиц, блестяще подтвердившим исходную идею квантовой механики – корпускулярно-волновой дуализм, явился опыт американских физиков К. Дэвиссона и Л. Джермера, проведенный в 1927 году по дифракции электронов на монокристаллах

никеля. На рис. 3.2 изображена схема опыта (А – электронная пушка, В – детектор излучения) и на рис. 3.3 – динамика дифракционного отражения электронов при изменении ускоряющей разности потенциалов.

Рис. 3.2 Рис. 3.3

Если ускорять электроны электрическим полем с напряжением U, то они приобретут кинетическую энергию К = eU (е – заряд электрона), что после подстановки в равенство (3.1.4) числовых значений даёт

Здесь U выражено в В, а λ – в Å (1 Å = 10–10 м).

При напряжениях U порядка 100 В, которые использовались в этих опытах, получаются так называемые «медленные» электроны с λ порядка 1 Å. Эта величина близка к межатомным расстояниям d в кристаллах, которые составляют несколько Å и менее, и соотношение λ ≤ d , необходимое для возникновения дифракции, выполняется.

Кристаллы обладают высокой степенью упорядоченности. Атомы в них располагаются в трёхмерно-периодической кристаллической решётке, т.е. образуют пространственную дифракционную решётку для соответствующих длин волн. Дифракция волн на такой решётке происходит в результате рассеяния на системах параллельных кристаллографических плоскостей, на которых в строгом порядке расположены рассеивающие центры. Условием наблюдения дифракционного максимума

здесь θ – угол, под которым падает пучок электронов на данную кристаллографическую плоскость (угол скольжения), а d – расстояние между соответствующими кристаллографическими плоскостями.

Вопыте Дэвиссона и Джермера при «отражении» электронов от поверхности кристалла никеля при определённых углах отражения возникали максимумы. Как видно из рис. 3.3, экспериментальная кривая зависимости интенсивности от ускоряющего напряжения имеет несколько максимумов, равностоящих друг от друга.

Эти максимумы отражённых пучков электронов соответствовали формуле (3.2.2), и их появление не могло быть объяснено никаким другим путём, кроме как на основе представлений о волнах и их дифракции. Таким образом, волновые свойства частиц – электронов – были доказаны экспериментом.

При более высоких ускоряющих электрических напряжениях (десятках кВ) электроны приобретают достаточную кинетическую энер-

гию, чтобы проникать сквозь тонкие плёнки вещества (толщиной порядка 10–5 см, т. е. тысячи Å). Тогда возникает так называемая дифракция быстрых электронов на прохождение, которую на поликристаллических плёнках алюминия и золота впервые в 1927 г. исследовали английский учёный Дж. Дж. Томсон и, независимо от него, советский физик П. С. Тартаковский.

В1949 г. советские ученые Л.М. Биберман, Н.Г. Сушкин, В.А. Фабрикант поставили такой же опыт, но интенсивность электронного пучка была настолько слабой, что электроны проходили через прибор практически поодиночке. Однако картина после длительной экспозиции была точно такой же. Т.е. было доказано, что волновыми

свойствами обладает каждый отдельный электрон.

Вскоре после этого удалось наблюдать и явления дифракции атомов и молекул. Атомам с массой М, находящимся в газообразном состоянии в сосуде при абсолютной температуре Т, соответствует, по формуле (3.1.4), длина волны

т.к. средняя кинетическая энергия атома К = 2 / 3kT .

Для лёгких атомов и молекул (Н, H2, Не), и температур в сотни градусов Кельвина, длина волны λ составляет около 1 Å. Дифрагирующие атомы или молекулы практически не проникают в глубь кристалла.

Сформированный с помощью диафрагм молекулярный или атомный пучок направляют на кристалл и тем или иным способом фиксируют «отражённые» дифракционные пучки. Таким путём немецкие учёные О. Штерн и И. Эстерман, а также другие исследователи на рубеже 30-х гг. наблюдали дифракцию атомных и молекулярных пучков

(рис. 3.4).

В доквантовой физике понять – значить составить себе наглядный образ объекта или процесса. В квантовой физике так рассуждать нельзя. Всякая наглядная модель будет действовать по классическим законам, и поэтому не пригодна для представления квантовых процессов. Например, вращение электрона по орбите вокруг атома – такое представление. Это дань классической физике и не соответствует истинному положению вещей, не соответствует квантовым законам.

Рассмотренные нами волны Луи де Бройля не являются электромагнитными, это волны особой природы.

Вычислим дебройлевскую длину волны мячика массой 0,20 кг, движущегося со скоростью 15 м/с.

примерно 10−29 м. Дебройлевская длина волны обычного тела слишком мала, чтобы ее можно было обнаружить и измерить. Дело в том, что типичные волновые свойства – интерференция и дифракция – проявляются только тогда, когда размеры предметов или щелей сравнимы по своей величине с длиной волны. Но нам не известны предметы и щели, на ко-

торых могли бы дифрагировать волны с длиной волны 10−30 м, поэтому

волновые свойства обычных тел обнаружить не удается.

Другое дело, если речь идет об элементарных частицах типа электронов. Т.к. масса входит в знаменатель формулы 3.3.1, определяющей дебройлевскую длину волны, очень малой массе соответствует большая длина волны.

Определим дебройлевскую длину волны электрона, ускоренного разностью потенциалов 100 В.

Из приведенного примера видно, что электрон может соответствовать длине волны порядка 10−10 м. Хотя это очень короткие волны, их можно обнаружить экспериментально: межатомные расстояния в кристалле того же порядка величины (10−10 м) и регулярно расположенные

атомы кристалла можно использовать в качестве дифракционной решетки, как в случае рентгеновского излучения. Итак, если гипотеза Луи

де Бройля справедлива, то, как указал Эйнштейн, для электронов долж-

но наблюдаться явление дифракции.

Отвлечемся на время и поставим мысленный эксперимент. Направим на преграду с двумя узкими щелями параллельный пучок моноэнергетических (т.е. обладающих одинаковой кинетической энергией) электронов (рис. 3.6), за преградой поставим фотопластину (Фп).

Сначала закроем вторую щель и произведем экспонирование в течение времени t. Почернение на обработанной Фп будет характеризоваться кривой 1, рис. 3.6, б. Затем закроем первую щель и произведем экспонирование второй фотопластины. Характер почернения передается в этом случае кривой 2 (рис. 3.6, б). Наконец, откроем обе щели и подвергнем экспонированию в течение времени t третью пластину. Картина почернения, получающаяся в последнем случае, изображена на рис. 3.6, в. Эта картина отнюдь не эквивалентна положению первых двух. Каким образом открывание второй щели может повлиять на те электроны, которые, казалось бы, прошли через другую щель? Полученная картина (рис. 3.6, в) оказывается аналогичной картине, получающейся при интерференции двух когерентных световых волн. Характер картины свидетельствует о том, что на движение каждого электрона оказывают влияние оба отверстия. Такой вывод несовместим с представлением о траекториях. Если бы электрон находился в каждый момент в определенной точке пространства и двигался по траектории, он проходил бы через определенное отверстие – первое или второе. Явление же дифракции доказывает, что в прохождении каждого электрона участвуют оба отверстия – и первое, и второе.

Таким образом, дифракция электронов и других микрочастиц

доказывает справедливость гипотезы Луи де Бройля и подтверждает корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц вещества.