01.Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора
Определение: Совокупность всевозможных векторов вида называется образом оператора A и обозначается ImA. Таким образом .
Определение: Совокупность всевозможных векторов для которых называется ядром оператора A и обозначается KerA. Таким образом .
Утверждение: образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами линейного пространства V.
Доказательство: В самом деле в силу линейности оператора А имеем:
1) тогда и т. к то
и т. к. , то является подпространством пространства V.
является подпространством пространства V. #
Пусть V – n мерное комплексное или вещественное линейное пространство.
1) Тождественный оператор , при этом Ax = Ix = X, тогда ImA=ImI=V, KerA=KerI=θ>
/ ядро состоит из единственного нулевого элемента /
2) Нулевой оператор, тогда
3) Рассмотрим оператор дифференцирования на пространстве многочленов степени не выше N, тогда отсюда. Видно, что во всех приведенных примерах справедливо:
, что не является случайным.
Теорема (о сумме размерностей образа и ядра линейного оператора) :
Пусть A — линейный оператор, действующий в линейном пространстве V. Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора равна размерности данного линейного пространства, т. е.
Доказательство:
Выберем в пространстве V произвольный базис . Поскольку по определению , то можно записать, что линейная оболочка, порождаемая совокупностью образов базисных векторов , причем , где R – максимальное число л. н.з. векторов в системе. Но координаты именно этих векторов стоят в столбцах матрицы линейного оператора А в базисе, поэтому .
Рассмотрим ядро оператора А: .
В выбранном базисе равенству соответствует однородная СЛАУ:, которая, как известно, имеет (N—R) л. н.з. решений, образующих ФСР. Поскольку неизвестными данной системы являются координаты векторов, составляющих KerA, то отсюда заключаем, что dim(KerA)=N—R. В результате получаем, что
Определение: Размерность образа оператора называется рангом оператора, размерность ядра оператора называется дефектом оператора.
Определение: Линейный оператор называется невырожденным, если в произвольном базисе (E) данного линейного пространства V Оператор А имеет невырожденную матрицу .
Следствие: Если А – невырожденный линейный оператор, то его образ совпадает со всем пространством, в котором этот оператор действует.
Доказательство: Если , то по предыдущей теореме запишем . По Свойству 40 невырожденных операторов (докажем позже в параграфе 12 главе 7) равенство возможно только при отсюда откуда . Т. к. , то отсюда следует, что .
Определение: Подпространство L пространства V называется инвариантным относительно линейного оператора А, если .
Теорема (об инвариантности образа и ядра линейного оператора):
Образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами инвариантными относительно оператора А.
Доказательство:
1) Пусть , т. к. то и поэтому , т. е. подпространство ImA является инвариантным относительно оператора А.
2) Пусть . Тогда, т. у. а значит подпространство KerA инвариантно относительно оператора А.
Как найти дефект матрицы
Определение 2. Пусть — линейный оператор, действующий в пространстве Совокупность всевозможных векторов вида где называется областью значений оператора или образом пространства при преобразовании а множество всевозможных векторов х, для которых — ядром оператора
Покажем, что область значений и ядро линейного оператора являются подпространствами в
Действительно, для области значений это вытекает из теоремы 1, если рассматриваемое в ней подпространство совпадает со всем пространством
С другой стороны, если т. е. если то и и значит, — подпространство.
Размерность области значений оператора совпадает с рангом матрицы А (и называется рангом оператора Действительно, подпространство порождается векторами
где — любой базис пространства и значит, размерность равна максимальному числу линейно независимых векторов в системе (6), т. е. равна максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы
Размерность ядра называется дефектом линейного оператора
Теорема 4. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности пространства.
Доказательство. Если ранг линейного оператора равен то среди векторов найдется линейно независимых, через которые линейно выражаются все остальные. Пусть, для определенности, это будут
Обозначим через подпространство, порожденное в векторами и покажем, что (r-мерное) подпространство и ядро пересекаются только по нулевому вектору. Действительно, если то Но так как векторы линейно независимы, то
Покажем теперь, что подпространства и порождают все (т. е. что их сумма совпадает с Пусть х — произвольный вектор из Тогда , следовательно, Вектор принадлежит, очевидно, а разность так как Мы нашли, что где
Таким образом, пространство равно прямой сумме подпространств и а значит, его размерность равна сумме размерностей этих подпространств.
В дальнейшем нам понадобится еще такое
Определение 2. Пусть — линейный оператор, отображающий пространство в пространство (вообще говоря, другой размерности). Тогда множество всех векторов у из вида где называется областью значений оператора (или образом пространства при отображении а множество всех векторов х из таких, что его ядром.
Нетрудно видеть, что область значений оператора заявляется подпространством в а его ядро — подпространством в (докажите это),
Линейное пространство
Пусть L- это некоторое множество, элементы которого мы удем называть “векторами”, P- некоторое(числовое поле). Пусть так же выполняются следующие условия.
1. В L определена операция сложения элементов.
2. В Lопределена операция умножения элемента на число из P.
3. Эти операции удовлетворяют законам дистрибутивности.
Тогда говорим, что L образует линейное пространство над полем P относительно операций сложений и умножней.
Произведение линейных операторов: определение и свойства.
Критерии невырожденности линейного оператора.
Ядро, образ, ранг и дефект линейного оператора. Связь ранга и дефекта
ВНИМАНИЕ, ДЛЯ ПОЛНОГО ОЗНАКОМЛЕНИЕ ПРОСМОТРИТЕ ВОПРОС 33!
Ядро и область значений линейного оператора
Ядро оператора: 
— множество, обозначаемое Ker f:
Область значений (образ) оператора — множество, обозначаемое Im f:
Множества Ker f и Im f являются подпространствами пространства V.
Ранг оператора 
(обозначение: dim Im f) — ранг матрицы A линейного оператора f,
dim Im f = rank A.
Дефектом оператора называют dim Ker f,
dim Im f + dim Ker f = n.
Матрица линейного оператора. Теорема о координатах образа вектора при линейном преобразовании
-Матрица линейного оператора.
Линейный оператор A действует из n-мерного линейного пространства X в m-мерное линейное пространство Y .
В этих пространствах определены базисы e = 1, . en> и f = 1, . fm>.
Пусть A(ei ) = a1i·f1 + a2i·f2 + . + ami·fm — разложение образа i-го базисного вектора базиса e пространства X по базису f пространства Y, i = 1, 2, . n.
Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = aij>= A(ej )i>:
Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием:
y =A· x,
-Теорема о координатах образа вектора при линейном преобразовании.
Образ вектора х равен произведению матрицы линейного оператора на столбец его координат: если у = А(х), то
Макеты страниц
Определение 2. Пусть 
— линейный оператор, действующий в пространстве 
Совокупность 
всевозможных векторов вида 
где 
называется областью значений оператора 
или образом пространства 
при преобразовании 
а множество 
всевозможных векторов х, для которых 
— ядром оператора 
Покажем, что область значений и ядро линейного оператора 
являются подпространствами в 
Действительно, для области значений это вытекает из теоремы 1, если рассматриваемое в ней подпространство 
совпадает со всем пространством 
С другой стороны, если 
т. е. если 
то и 
и значит, 
— подпространство.
Размерность области значений оператора 
совпадает с рангом матрицы А (и называется рангом оператора 
Действительно, подпространство 
порождается векторами
где 
— любой базис пространства 
и значит, размерность 
равна максимальному числу линейно независимых векторов в системе (6), т. е. равна максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы 
Размерность ядра 
называется дефектом линейного оператора 
Теорема 4. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности 
пространства.
Доказательство. Если ранг линейного оператора 
равен 
то среди векторов 
найдется 
линейно независимых, через которые линейно выражаются все остальные. Пусть, для определенности, это будут 
Обозначим через 
подпространство, порожденное в 
векторами 
и покажем, что (r-мерное) подпространство 
и ядро 
пересекаются только по нулевому вектору. Действительно, если 
то 
Но так как векторы 
линейно независимы, то 
Покажем теперь, что подпространства 
и 
порождают все 
(т. е. что их сумма совпадает с 
Пусть х — произвольный вектор из 
Тогда 
, следовательно, 
Вектор 
принадлежит, очевидно, 
а разность 
так как 
Мы нашли, что 
где 
Таким образом, пространство 
равно прямой сумме подпространств 
и 
а значит, его размерность 
равна сумме размерностей этих подпространств.
В дальнейшем нам понадобится еще такое
Определение 2. Пусть 
— линейный оператор, отображающий пространство 
в пространство 
(вообще говоря, другой размерности). Тогда множество 
всех векторов у из 
вида 
где 
называется областью значений оператора 
(или образом пространства 
при отображении 
а множество 
всех векторов х из 
таких, что 
его ядром.
Нетрудно видеть, что область значений оператора заявляется подпространством в 
а его ядро — подпространством в 
(докажите это),
|
53 |
|||||||
|
Ответы *) . 1. d = 3, |
d = 2. 2. |
d = 2, |
d = 3. |
3. d = 2, |
d = 2. |
||
|
4. d = 4, d = 2. |
5. d = 2, d = 2. |
6. d = 3, |
d = 3. |
7. |
d = 3, |
||
|
d = 2. 8. d = 2, |
d = 3. |
9. d = 2, |
d = 2. |
10. |
d = 2, |
d = 3. |
2.5. Линейные операторы
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Пусть в некотором базисе линейного пространст,ва Хп задан произвольный вектор х = {xi,a;2, •. • ,Жп}. Явллет,ся ли линейным оператор А : Хп »-> Хп такой^ что
|
Ах = {fl{xi,X2, |
. . . , Хп), f2{Xl,X2, . . . , Хп), • • • , fn{xuX2, • • • , Хп)}, |
2<?е / i , /г, • • •, /п — некоторые функции п переменных^
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ Х = {a:i,X2,… ,а:п} и у = {2/1,2/2, • • • ,2/п} — произвольные векторы пространства Х„, то ж4-2/ = {^i+T/i, ^2+2/2, • • •, 2^п + 2/п} и аж = {axi, ах2, … , ажп}.
Проверяем условия линейности оператора:
А{х + у) = Ах + А2/,
А{ах) = аАх.
Если условия линейности выполнены, т.е.
|
fi{xi + 2/ь а:2 + 2/2,…, а^п + 2/п) = fi{xi,X2,…, |
ж^) + МУ1,У2, |
-“.Уп), |
fi{axi,ax2,…, ахп) = Q:/i(xi, Ж2,…, Жп)
при г = 1,2,…, п, то оператор Л линеен, в противном случае опера тор А нелинеен.
ПРИМЕР . Пусть в некотором базисе линейного пространства Х^ задан произвольный вектор х = {х1,Х2,хз}’ Является ли линейным оператор А : Х^ ^ Х^ такой, что
Ах = {xi – Х2,2×1 + ^3, Зжх}?
РЕШЕНИЕ. Пусть х — {xi,X2,x^} и г/ = {t/i, 2/2,2/з} – произвольные векторы пространства ХзТогда х –у — {xi + 2/I) ^2 + 2/2, а:з + 2/з} и ах = {axi, аж2, скжз}.
*) Найденные фундаментальные системы решений однородных систем уравне ний и частные решения неоднородных систем проверьте с помощью подстановки в уравнения.
|
54 |
Гл. 2. Линейная алгебра |
Проверяем условия линейности оператора:
А{х–у) = {(xi+2/i)-(a;2-f2/2),2(a;i+2/i) + (x3+?/3),3(xi+yi)} =
= {xi – Х2,2×1 + жз, 3xi} + {yi – 2/2,2yi + г/3, ^Vi} = Аж + Ay,
|
A{ax) = {axi—ax2,2axi–ax^,3axi} |
= a{xi—X2,2xi-~X3,3xi} |
= aAx. |
Условия линейности выполнены. Следовательно, оператор А линеен.
Ответ. Оператор А линеен.
Условия ЗАДАЧ. Являются ли линейными операторы А, В иС1
|
1. |
Ах |
= |
2х |
– |
5×2 – Зхз, -2×1 – 3×2 – а^з, 2:2 + Зхз}, |
|
|
Вх |
= |
Xi |
– |
2X2 – |
4 х з , Xi – Х2 ~ З х з , 2X2 + 3 } , |
|
|
Сх |
= |
Хз, 2×1 – Х2- 2хз, 3×2 -Ь хз}. |
||||
|
2. |
Ах |
= |
2×1 — 3×2 — 2хз, 2×1 — 3×2,2×2 + 3}, |
|||
|
Вх |
= |
4X1 – |
3X2 – Хз, О, Х2 + Хз}, |
|||
|
Сх |
= |
XI – |
2×2 — а:з, 3×1 – 2×2,3×2 + х^}. |
|||
|
3. |
Ах |
= |
2X1 — Х2 — ЗХз, Xi, Xi -h Х2 + Хз}, |
|||
|
Вх |
= |
3xi – |
Х2 – |
Хз, 2×1,3×1 –X2– Хз}, |
||
|
Сх=: |
3X1 – |
Х2 — Хз, 2X1, 3X1 + Х2 – 1}. |
||||
|
4. |
Ах |
= |
2×1 –X2– 4хз, 2хз, xi – 2×2 – Зхз}, |
|||
|
Вх |
= |
2×1 –X2– 4хз, 1, XI – 2×2 + 3}, |
||||
|
дх = |
5×1 -f 3×2 + Хз, Хз, 2х^ – 2×2 – 4хз}. |
|||||
|
5. |
Ах |
= |
XI, 2X1 – Х2 + l,Xi – Х2 – ЗХз}, |
|||
|
Вх |
= |
XI, 2X1 – |
Х2~ 3×3,Xi – Х2 – ЗХз}, |
|||
|
Сх = |
XI, 2X1 – |
Х2~ Зхз, Xi – Х2 – ЗХз}. |
||||
|
6. |
Ах = |
XI + 2×2,3×2 – 4хз, xi – 2×2 – Зхз}, |
||||
|
Вх |
= |
XI + 2X2,3X2 – 4хз,Х1 – 2X2 – ЗХз}, |
||||
|
Сх = |
XI -h 2X2, 3X2 – 2, Xi – 2X2 – 5}. |
|||||
|
7. |
Ах |
= |
2xi,3xi 4-2×2 + 3×3,4×1 + 5×2 + 2хз}, |
|||
|
Вх |
= |
2xi, 3xi + 2×2 + 3,4×1 + 5×2 + 7}, |
||||
|
Сх = |
2xi, 3xi + 2×2 + Зхз, 4xi + 5×2 + 2хз}. |
2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора |
55 |
||||||
|
8. |
Ах |
= |
XI – |
Ъх2 – |
xz, 5, xi |
+ 2а;2 + 1}, |
|
|
Вх |
= |
Xi ~ |
3X2 – Хз, О, х |
+ 2X2 + |
Зхз}, |
||
|
Сх = |
XI – 3X2 – Хз, Хз, XI + 2X2 + |
Зхз}. |
|||||
|
9. |
Ах = |
4×1 – 2×2, Зхз, XI -h 2×2 + Зхд}, |
|||||
|
Вх |
= ‘4×1 – 2×2, Зхз, XI + 2×2 + Зхз}, |
||||||
|
Сх = |
‘Zl |
-2Х2,3,Х1 + 2Х2 + Зхз}. |
|||||
|
10. |
Ах = |
5×3, XI -Ь 2×2 + Зхз, 2×1 + 3×2 + 5хз}, |
|||||
|
Вх |
= 5×3, XI + 2×2 + 2,2×1 + 3×2 4- 5}, |
||||||
|
Сх = |
5хз,0,х^ + 3×2 + 5хз}. |
||||||
|
Ответы. |
|||||||
|
1. |
А |
линейный, В нелинейный, С нелинейный. |
|||||
|
2. |
А |
нелинейный, В нелинейный, С линейный. |
|||||
|
3. |
А |
нелинейный, В линейный, С нелинейный. |
|||||
|
4. |
А |
линейный, В нелинейный, С нелинейный. |
|||||
|
5. |
А |
нелинейный, В нелинейный, С линейный. |
|||||
|
6. |
А |
нелинейный, В линейный, С нелинейный. |
|||||
|
7. |
А |
линейный, В нелинейный, С нелинейный. |
|||||
|
8. |
А |
нелинейный, В нелинейный, С линейный. |
|||||
|
9. |
А |
нелинейный, В |
линейный, С |
нелинейный. |
10.А линейный, В нелинейный, С нелинейный.
2.6.Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Задан оператор А, осуществляющий неко торое преобразование пространства геометрических векторов V^. Доказать линейность., найти матрицу (б базисе i^j^k)^ образ^ лдро^ ранг и дефект оператора А.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. По определению доказываем линейность оператора Л, исполь зуя свойства операций над геометрическими векторами в координат ной форме, т.е. проверяем, что Vx, у G V3 и Vo: G R
А{х + у) = Ах + Ау,
А{ах) = аАх.
|
56 |
Гл. 2. Линейная алгебра |
2. Строим по определению матриц^^ оператора А. Для этого на ходим образы базисных векторов г, j , fc и записываем их координаты в базисе i^j^k. Столбцы искомой матрицы — это столбцы координат образов базисных векторов.
3. Раходим образ, ранг, ядро и дефект оператора А, исходя из их определений.
ПРИМЕР. Доказать линейность, найти матрицу (в базисе i,j,^), образ, ядро, ранг и дефект оператора проецирования пространства геометрических векторов Vs на плоскость XOY.
РЕШЕНИЕ.
1.Докажем по определению линейность оператора проецирова ния. Пусть в базисе г, j , fc имеем произвольный вектор х = {^i, Х2, жз}. Тогда его образ (проекция) есть Рх = {ж1,а:2,0}.
По правилам операций с геометрическими векторами в коорди натной форме Vf ={xi,X2,xs} е Уз, Уу = {у1,2/2,2/з} G Vs и Va G R имеем
Р{х + ^) = {xi Н- 2/1, Х2 Ч- 2/2,0} = {жх, д;2,0} + {2/1,2/2,0} = Рх + Ру,
Р{ах) = {axi,ax2,0} = Q:{xi,X2,0} = аРх.
2. Так как по определению матрицы оператора ее столбцы — это столбцы координат образов базисных векторов, найдем образы базисных векторов г, jf, fc и запишем их координаты в базисе г, j , /с:
Р? = ? = {1,0,0}, P j = j = {0,1,0}, Pfc=:6= {0,0,0}.
Таким образом, матрица оператора проецирования Р есть
3. Находим образ, ранг, ядро и дефект оператора А, исходя из определений. ^
Образ оператора проецирования Р — это множество векторов, лежащих в плоскости XOY, следовательно, в базисе г, j , к
lmgP = {iy: у = аг + Рз, а,/ЗеМ}.
Отсюда R g P = 2.
|
2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора |
57 |
КегР — это множество векторов, коллинеарных оси 0 Z , следова тельно, в базисе г, j , ^
КегР = {Ух: x = jk, 7 ^ Щ-
Отсюда Def Р = 1.
Заметим, что Rg Р + Def Р = 2 + 1 = dim V3
Ответ. Оператор Р линеен. Его матрица в базисе i^j^k есть
|
ImgP = {Vy: |
y = ai^-^pl |
а,(ЗеШ}, R g P = 2, |
|
KerP=:{Vf: |
x = jk, 7 G R}, DefP = 1. |
Условия ЗАДАЧ. Доказать линейность, найт,и матрицу (в ба зисе i^j^k), образ, ядро, ранг и дефект оператора.
1.Оператор проецирования на ось ОХ.
2.Оператор отражения относительно плоскости YOZ.
3.Оператор поворота относительно оси ОХ на угол тг/З в поло жительном направлении.
4.Оператор отражения относительно плоскости х — z = 0.
5.Оператор проецирования на плоскость у — z = 0.
6.Оператор поворота относительно оси 0Z на угол тг/б в поло жительном направлении.
7.Оператор проецирования на плоскость х –у = 0.
8.Оператор отражения относительно плоскости у — z = 0.
9.Оператор проецирования на плоскость л/Зу + z = 0.
10.Оператор поворота относительно оси 0Y на угол 7г/4 в поло жительном направлении.
|
58 |
Гл. 2. Линейнал алгебра |
|
|
Ответы. |
||
|
1 0 |
0 |
|
|
1. Р = I О |
О О |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
ImgP = {Vy : у = аг, |
аеЩ, |
R g P = 2, ^ |
||||||
|
KerP=:{Vf: |
f = ^J+7fc, 13,’у еЩ, |
DefР = 1. |
||||||
|
– 1 0 |
0 |
|||||||
|
2. |
Р = I |
0 |
1 0 |
|||||
|
О |
О |
1 |
||||||
|
ImgP = {Vy: y = ai + /3j+jk, |
а,Р,^еЩ, |
R g P = 3, |
||||||
|
K e r P = { 6 } , DefP = 0. |
||||||||
|
/ |
1 |
0 |
О |
|||||
|
3. |
P = |
О |
1/2 |
– /3/2 |
; |
|||
|
0 |
/3/2 |
1/2 |
/ |
|||||
|
ImgP = {Vy: у = аг + р]+’гк, |
а,0,’у |
еЩ, |
R g P = 3, |
|||||
|
KerP = {6}, DefP = 0. |
||||||||
|
0 |
0 |
1 |
||||||
|
4. |
P = I |
0 |
1 |
0 |
||||
|
1 |
0 |
0 |
||||||
|
ImgP = {Vy: y = ai + l3j+jk, |
a,l3,’r |
еЩ, |
R g P = 3, |
|||||
|
KerP = {6}, DefP = 0. |
||||||||
|
/ 1 |
0 |
0 |
||||||
|
5. |
P = |
0 |
1/2 |
– 1/2 |
; |
|||
|
V 0 |
– 1 / 2 |
1 / 2 ; |
|
ImgP = {Vir: y = ai + l3j-0k, |
a,/3GE}, |
RgP^=2, |
||
|
KerP = {Vx: x^jn, |
n = {0,1,1}, 7 £ K}, |
DefP = 1. |
||
|
1/2 |
– У З / 2 |
0 |
||
|
6. P = ( уД/2 |
1/2 |
0 |
I ; |
|
|
0 |
0 |
1 |
Соседние файлы в предмете Вычислительная математика
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Пусть 
– линейный оператор действующий в линейном пространстве V (комплексном или вещественном)
Определение: Совокупность всевозможных векторов вида 
называется образом оператора A и обозначается ImA. Таким образом 
.
Определение: Совокупность всевозможных векторов 
для которых 
называется ядром оператора A и обозначается KerA. Таким образом 
.
Утверждение: образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами линейного пространства V.
Доказательство: В самом деле в силу линейности оператора А имеем:
1) 
тогда 
и т. к 
то 
и т. к. 
, то 
является подпространством пространства V.
2) 
отсюда 
.
является подпространством пространства V. #
Пример:
Пусть V – n мерное комплексное или вещественное линейное пространство.
1) Тождественный оператор 
, при этом Ax = Ix = X, тогда ImA=ImI=V, KerA=KerI={θ}
/ ядро состоит из единственного нулевого элемента / 
2) Нулевой оператор
, тогда 
3) Рассмотрим оператор дифференцирования 
на пространстве 
многочленов степени не выше N, тогда 
отсюда
. Видно, что во всех приведенных примерах справедливо:
, что не является случайным.
Теорема (о сумме размерностей образа и ядра линейного оператора) :
Пусть A – линейный оператор, действующий в линейном пространстве V. Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора равна размерности данного линейного пространства, т. е. 
Доказательство:
Пусть , причем 
Выберем в пространстве V произвольный базис 
. Поскольку по определению 
, то можно записать, что 
линейная оболочка, порождаемая совокупностью образов базисных векторов 
, причем 
, где R – максимальное число л. н.з. векторов в системе. Но координаты именно этих векторов стоят в столбцах матрицы 
линейного оператора А в базисе, поэтому 
.
Рассмотрим ядро оператора А: 
.
В выбранном базисе равенству соответствует однородная СЛАУ:
, которая, как известно, имеет (N–R) л. н.з. решений, образующих ФСР. Поскольку неизвестными данной системы являются координаты векторов, составляющих KerA, то отсюда заключаем, что dim(KerA)=N–R. В результате получаем, что 
Определение: Размерность образа оператора называется рангом оператора, размерность ядра оператора называется дефектом оператора.
Определение: Линейный оператор называется невырожденным, если в произвольном базисе (E) данного линейного пространства V Оператор А имеет невырожденную матрицу 
.
Следствие: Если А – невырожденный линейный оператор, то его образ совпадает со всем пространством, в котором этот оператор действует.
Доказательство: Если , то по предыдущей теореме запишем 
. По Свойству 40 невырожденных операторов (докажем позже в параграфе 12 главе 7) равенство возможно только при 
отсюда 
откуда 
. Т. к. , то отсюда следует, что 
.
Определение: Подпространство L пространства V называется инвариантным относительно линейного оператора А, если 
.
Теорема (об инвариантности образа и ядра линейного оператора):
Образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами инвариантными относительно оператора А.
Доказательство:
1) Пусть 
, т. к. то 
и поэтому 
, т. е. подпространство ImA является инвариантным относительно оператора А.
2) Пусть 
. Тогда
, т. у. 
а значит подпространство KerA инвариантно относительно оператора А.
| Следующая > |
|---|
Задача №1. В арифметическом пространстве [math]mathbb{R}^4[/math] линейный оператор [math]displaystyle varphi[/math] задан матрицей
[math]A= left(!!begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 1 & 3\ -2 & 5 & 6 & -12 \ 5 & 9 & 13 & 9 \ -1 & 3 & 7 & -9 end{array}!!right)[/math]
Найти базисы ядра и образа, ранг и дефект линейного оператора. Найти операторы, индуцированныe в ядре и образе.
Решение.
1) По определению ядро линейного оператора [math]displaystyle varphi[/math] ([math]displaystyle ker varphi[/math]) есть множество всех векторов [math]displaystyle x[/math], которые [math]displaystyle varphi[/math] переводит в нулевой вектор. Это означает, что [math]displaystyle ker varphi[/math] состоит из векторов, координаты которыx [math]displaystyle x_1, x_2, x_3, x_4[/math] (в некотором базисе [math]displaystyle { e_1, e_2, e_3, e_4 }[/math]) удовлетворяет условию:
[math]begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 3\ -2 & 5 & 6 & -12 \ 5 & 9 & 13 & 9 \ -1 & 3 & 7 & -9 end{pmatrix}!!! begin{pmatrix} x_1\ x_2 \ x_3 \ x_4 end{pmatrix}!=! begin{pmatrix} 0\ 0 \ 0 \ 0 end{pmatrix}[/math]. То есть, [math]kervarphi[/math] cooтветствует пространству [math]L[/math] решений системы [math]begin{cases}x_1-2x_2+x_3+3x_4=0,\ -2x_1+5x_2+6x_3-12x_4=0,\ 5x_1+9x_2+13x_3+9x_4=0,\ -x_1+3x_2+7x_3-9x_4=0.end{cases}[/math]
Общим решением системы является семейство векторов [math]left(-frac{15}{4}C , 0, frac{3}{4}C, C right)[/math]. Полагая [math]C=4[/math], находим базис [math]ker varphi[/math]: [math](-15,,0,,3,,4)[/math].
2) Дефектом линейного оператора называется размерность его ядра ([math]dim ker varphi[/math]). Здесь [math]dim ker varphi=1[/math], т.к. в ядре существует лишь один линейно независимый вектор.
Верны ли мои рассуждения?
3) Не знаю, как найти образ линейного отображения [math]varphi[/math] ([math]im varphi[/math]). Подскажите идею.
4) Рангом линейного отображения [math]varphi[/math] называется размерность его образа ([math]dim im varphi[/math]). Здесь всё ясно.
5) Что такое операторы, индуцированные в ядре и образе?
Задача №2. Найти матрицу, область значений и ядро оператора [math]A[/math] проектирования на плоскость [math]x-z=0[/math]. Если [math]x={x_1, x_2, x_3 }[/math], то [math]Ax={x_1-x_2-x_3, -2x_1+3x_2, x_2- x_3 }[/math].
1) Cовершенно не знаю, как найти матрицу. И что означает проектирование на плоскость?
2) Если найду матрицу, то можно найти ядро.
3) Область значений – это синоним образа или что-то другое?
И ещё один вопрос общего характера. Существует ли какое-то обозначение для базиса линейного пространства (как, например, для ядра или размерности)?
