Как найти действительные корни биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения

теория по математике 📈 уравнения

Уравнение вида ax 4 +bx 2 +c=0, где а≠0 число, называется биквадратным уравнением (приставка «би» означает «двойной»). Для решения такого уравнения применяют метод введения новой переменной, чтобы получить квадратное уравнение, решение которого легко выполняется.

Рассмотрим на примерах решение таких уравнений.

Пример №1. Решить уравнение:

В данном уравнении заменим х 2 на переменную, например а (букву для замены можно брать любую): х 2 =а. Степень данного уравнения при этом понизится на 2, получаем квадратное уравнение:

Решаем данное уравнение, например, по теореме Виета. Тогда:

Методом подбора получаем корни квадратного уравнения 9 и 16. Проверяем, что действительно 9+16=25, 916=144. Теперь переходим к нахождению корней биквадратного уравнения, которое дано по условию. Мы заменяли х 2 на а, поэтому подставляем вместо а полученные значения – это 9 и 16:

Теперь находим корни каждого из этих неполных квадратных уравнений: х 2 =9, отсюда уравнение имеет два корня ±3; х 2 =16, отсюда имеет еще два корня ±4. Следовательно, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня: 3, -3, 4, -4.

Пример №2. Решить уравнение:

Заменим на переменную у: х 2 =у. Получим уравнение:

Найдем его корни: у₁=–1, у₂=4. Подставим корни вместо у и получим уравнения: х 2 =–1; х 2 =4. Видим, что первое неполное квадратное уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения – это ±2. Значит, данное биквадратное уравнение имеет корни ±2.

Пример №3. Решить уравнение:

Выполним замену переменной: х 2 =у. Решим уравнение:

Подбором корни найти невозможно, поэтому через дискриминант получаем, что корней нет, так как дискриминант будет отрицательный. Значит и данное биквадратное уравнение тоже не имеет корней.

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:

Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.

ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0

Как решаются биквадратные уравнения?

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
(x^<2>=t,;tgeq0)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

(t^<2>-5t+6=0)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4times1times6=25-24=1)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: (x^<2>=3)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4times1times4=16-16=0)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
(t=frac<-b><2a>=frac<-(-4)><2times1>=2)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

Выносим переменную x 2 за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить (x^<2>=4) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
(begin
&x^<2>=4\
&x_<2>=2\
&x_<3>=-2\
end)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
(x^<4>-16=0)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
(begin
&x^<2>=4\
&x_<1>=2\
&x_<2>=-2
end)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Решение уравнений четвертой степени

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид A x 4 + B = 0 .

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A – 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 – 2 B A x 2 = 0 x 2 – 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Решить уравнение четвертой степени 4 x 4 + 1 = 0 .

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4 x 4 + 1 на множители:

4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = ( 2 x 2 + 1 ) 2 – 4 x 2 = 2 x 2 – 2 x + 1 ( 2 x 2 + 2 x + 1 )

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

2 x 2 – 2 x + 1 = 0 D = ( – 2 ) 2 – 4 · 2 · 1 = – 4 x 1 = 2 + D 2 · 2 = 1 2 + i x 2 = 2 – D 2 · 2 = 1 2 – i

2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 – 4 · 2 · 1 = – 4 x 3 = – 2 + D 2 · 2 = – 1 2 + i x 4 = – 2 – D 2 · 2 = – 1 2 – i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x = 1 2 ± i и x = – 1 2 ± i .

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0

х = 0 не является корнем этого уравнения: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0 . Поэтому на x 2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0

Проведем замену переменных x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 – 2 :

A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A ( y 2 – 2 ) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C – 2 A = 0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Найти все комплексные корни уравнения 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x 2 :

2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0

2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0

Проведем замену переменной x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 – 2

2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 – 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0

Решим полученное квадратное уравнение:

D = 2 3 + 2 2 – 4 · 2 · 6 = 12 + 4 6 + 2 – 8 6 = = 12 – 4 6 + 2 = 2 3 – 2 2 y 1 = – 2 3 – 2 + D 2 · 2 = – 2 3 – 2 + 2 3 – 2 4 = – 2 2 y 2 = – 2 3 – 2 – D 2 · 2 = – 2 3 – 2 – 2 3 + 2 4 = – 3

Вернемся к замене: x + 1 x = – 2 2 , x + 1 x = – 3 .

Решим первое уравнение:

x + 1 x = – 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 – 4 · 2 · 2 = – 14 x 1 = – 2 – D 2 · 2 = – 2 4 + i · 14 4 x 2 = – 2 – D 2 · 2 = – 2 4 – i · 14 4

Решим второе уравнение:

x + 1 x = – 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 – 4 · 1 · 1 = – 1 x 3 = – 3 + D 2 = – 3 2 + i · 1 2 x 4 = – 3 – D 2 = – 3 2 – i · 1 2

Ответ: x = – 2 4 ± i · 14 4 и x = – 3 2 ± i · 1 2 .

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид A x 4 + B x 2 + C = 0 . Мы можем свести такое уравнение к квадратному A y 2 + B y + C = 0 путем замены y = x 2 . Это стандартный прием.

Решить биквадратное уравнение 2 x 4 + 5 x 2 – 3 = 0 .

Решение

Выполним замену переменной y = x 2 , что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2 y 2 + 5 y – 3 = 0 D = 5 2 – 4 · 2 · ( – 3 ) = 49 y 1 = – 5 + D 2 · 2 = – 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = – 5 – D 2 · 2 = – 5 – 7 4 = – 3

Следовательно, x 2 = 1 2 или x 2 = – 3 .

Первое равенство позволяет нам получить корень x = ± 1 2 . Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x = ± i · 3 .

Ответ: x = ± 1 2 и x = ± i · 3 .

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .

Решение

Используем метод замены y = x 2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 – 4 · 16 · 9 = 20449 y 1 = – 145 + D 2 · 16 = – 145 + 143 32 = – 1 16 y 2 = – 145 – D 2 · 16 = – 145 – 143 32 = – 9

Поэтому, в силу замены переменной, x 2 = – 1 16 или x 2 = – 9 .

Ответ: x 1 , 2 = ± 1 4 · i , x 3 , 4 = ± 3 · i .

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y 0 . Это любой из корней кубического уравнения y 3 – B y 2 + A C – 4 D y – A 2 D + 4 B D – C 2 = 0 . После этого необходимо решить два квадратных уравнения x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 – B + y 0 x 2 + A 2 y 0 – C x + y 0 2 4 – D = 0 , у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Найти корни уравнения x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 – x – 6 = 0 .

Решение

Имеем А = 3 , В = 3 , С = – 1 , D = – 6 . Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y 3 – B y 2 + A C – 4 D y – A 2 D + 4 B D – C 2 = 0 y 3 – 3 y 2 + 21 y – 19 = 0

Одним из корней кубического уравнения будет y 0 = 1 , так как 1 3 – 3 · 1 2 + 21 · 1 – 19 = 0 .

Запишем два квадратных уравнения:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 – B + y 0 x 2 + A 2 y 0 – C x + y 0 2 4 – D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0

x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 или x 2 + 3 2 x + 1 2 – 1 2 x – 5 2 = 0

x 2 + 2 x + 3 = 0 или x 2 + x – 2 = 0

Корнями первого уравнения будут x = – 1 ± i · 2 , корнями второго х = 1 и х = – 2 .

Ответ: x 1 , 2 = – 1 ± i 2 , x 3 = 1 , x 4 = – 2 .

[spoiler title=”источники:”]

http://tutomath.ru/baza-znanij/bikvadratnye-uravneniya.html

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-uravnenij-chetvertoj-stepeni/

[/spoiler]

Биквадратные уравнения

Биквадратное уравнение — уравнение, которое можно привести к виду:

ax⁴ + bx² + c = 0,

где  a ≠ 0.

Для решения биквадратных уравнений  x²  заменяется на любую другую букву, например, на  y,  то есть:

если  x² = y,  то  ax⁴ + bx² + c = ay² + by + c = 0.

Следовательно, относительно  y,  уравнение является квадратным и решается по формуле корней квадратного уравнения, а затем вычисляются корни биквадратного уравнения, если они есть.

Конспект урока алгебры в 8 классе.

Тема
– «Биквадратное уравнение и его корни».

Цели
урока:

образовательная: дать
определение биквадратного уравнения, научиться решать биквадратные уравнения,
исследовать число корней биквадратного уравнения;

воспитательная: формировать
умение работать в группах, выслушивать мнение товарища, доказывать свою точку
зрения;

развивающая: развивать
навыки самостоятельной и исследовательской работы.

Тип
урока: изучение
и первичное закрепление новых знаний.

Форма
урока:
урок-исследование.

План
урока.

1.
Организационный момент.

2.
Актуализация знаний.

3.
Открытие детьми темы урока (кроссворд).

4.
Постановка детьми целей урока.

5.
Самостоятельная работа.

6.
Итог самостоятельной работы.

7.
Пример решения биквадратного уравнения.

8. 
Разминка

9.
Исследование.

10.
Итоги исследования.

11.
Задание на дом.

12.
Итог урока.

Ход
урока.

1.
Организационный момент.

–
Здравствуйте, ребята! Начинаем урок. Сегодня на уроке  вы будете
исследователями, свои исследования будете проводить в группах.  Желаю вам
удачи, хорошего настроения и взаимопонимания!  Девизом урока пусть будут
слова Л. Н. Толстого «Ум человеческий только тогда понимает общения, когда он
сам его сделал или проверил».

2.
Актуализация знаний.

– В начале для
разминки выполним устные упражнения:

1) Решить
уравнения: х² = 81, а² = 16, у² = 1, в²
= 0, с² = 23, р² = – 25, к² = – 16, х²
= . 2) Что записано на
доске? (уравнения)

6 – х = 0

–
Какое уравнение лишнее?  (лишнее уравнение . 1, 2
и 4 уравнения – квадратные)

-Как называется
первое уравнение? (неполное квадратное)

 -Назовите способ
решения (вынесение общего множителя)                                                                                                             

– Как называется
второе и четвертое  уравнения ( приведенное квадратное уравнение)

-Назовите способ
решения (по теореме Виета). Сформулируйте теорему.

                                                                                                                                                                                                     
3. Открытие темы урока.

– Для того чтобы
узнать как называется третье уравнение, давайте разгадаем кроссворд.

1.     Третья
степень числа. (Куб)

2.     Подкоренное
выражение в формуле корней квадратного уравнения. (Дискриминант)

3.     Значение
переменной, обращающее уравнение в верное равенство. (Корень)

4.    
Уравнения, имеющие одинаковые корни. (Равносильные)

5.    
Равенство с переменной. (Уравнение)

6.    
Квадратное уравнение, с первым
коэффициентом равным нулю. (Приведенное)

7.    
Многочлен в правой части квадратного
уравнения. (Трехчлен)

8.    
Равенство, содержащее числа и переменные.
(Формула)

9.    
Французский математик. (Виет)

10. Числовой
множитель – в произведении. (Коэффициент)

11. Один
из видов квадратного уравнения. (Неполное)

12.  Множество
корней уравнения. (Решения)

– Прочитайте
слово, которое получилось в выделенной горизонтальной строке.

(Биквадратное).
Третье уравнение называется биквадратным.

– Теперь вы можете
сказать, какова тема нашего урока.

(
Тема урока «Биквадратное уравнение»). Открываем
тетради, записываем число, тему урока.

4.
Постановка  целей урока.

– Какие  цели мы
можем поставить перед собой на урок? У вас на столах есть цветные треугольники,
на них вы напишите цели, какие вы определяете для своей группы на данный урок и
в этом вам поможет список целей для любого урока.

Каждая группа
озвучивает свои цели, прикрепляет на доске.

5.
Самостоятельная работа.

– Переходим к
работе, работа с учебником по определенному плану.

План
самостоятельной работы:

1.     Прочитайте 
определение БУ (учебник № 435, стр. 110)

2.     Запишите
определение в тетрадь

3.     Существенно
ли замечание, что а не равно нулю

4.     Разберите
решенное уравнение

5.     На
листе  А-3  распишите алгоритм  решения  биквадратного  уравнения.

6.     Обсудите
составленный алгоритм в группе

7.     Дайте
сигнал о готовности.

Тому,
кто закончит быстрее всех, предложить решить биквадратное уравнение.(№ 435, б)

6.
Итог самостоятельной работы.

– Итак, что же вы
узнали?

(Биквадратным
называется уравнение вида ах⁴ + вх² + с = 0, где а ≠ 0).

– Существенно ли
замечание, что а ≠ 0?

(
Да, т.к. если а будет равно 0, то уравнение будет квадратным (неполным)).

– Какой алгоритм
решения биквадратного уравнения вы записали?

(Каждая
группа проговаривает что они записали и вывешивает на доску).

Для 
проверки  ребятам  раздаются  правильный  вариант  АЛГОРИТМА     решения 
уравнения.

8. Разминка.

–
Вы, наверное устали, взбодримся. Группы учащихся становятся друг перед другом в
цепочку, взявшись за руки возле доски. В начале цепи, на равном расстоянии 
стоит ведущий (учитель)  и держит за руку участника из каждой цепи.

Все
играют молча. Ведущий одновременно сжимает руку каждого участника (подает
сигнал). Получив сигнал, он должен сжать руку своему соседу. Таким образом,
сигнал передается по всей цепи. Задача, чтобы сигнал быстрее был передан и
загорелась лампочка, последний в цепи (поднимает руку).   

9.
 Исследование.

– Сейчас мы
проведём исследование: сколько корней имеет биквадратное уравнение. Каждая группа
 получит по три  уравнение и решает их. А потом мы сделаем выводы о том,
сколько корней имеют биквадратные уравнения.(Учитель раздаёт уравнения: х⁴-10х²+9=0,
2х⁴ –х²-1=0, х⁴+5х²+4=0, 2х⁴+5х²+4=0,
 х⁴-8х²+16=0, х⁴+8х²+16=0.)

Дети
решают уравнения……………………………………………………………

– Итак, что
получилось?

1группа 
показывает решение у доски.

–
 х⁴-10х²+9=0.  У нас получился дискриминант
положительный, значит, квадратное уравнение имеет 2 корня, корни тоже
положительные, значит всего 4 корня.

–
 х⁴+5х²+4=0. Дискриминант квадратного уравнения
положительный, но корни отрицательные, значит, биквадратное уравнение не имеет
корней.

–
Уравнение х⁴+8х²+16=0 не имеет корней, т.к. хотя и Д=0,
но корень-то отрицательный.

– Вторая группа.

+
2х⁴ –х²-1=0.  Дискриминант положительный, один корень
положительный, а другой отрицательный, значит, биквадратное уравнение имеет 2
корня.

+
2х⁴+5х²+4=0. А у нас дискриминант отрицательный, поэтому
уравнение не имеет корней.

+
Уравнение х⁴-8х²+16=0 имеет 2 корня, т.к. квадратное
уравнение имеет 1 корень (Д=0).

9.
Итог исследования. Из рассмотренных примеров
видно, что биквадратное уравнение может иметь четыре, три, два, один
действительный корень, но может и не иметь корней. (Биквадратное уравнение
может иметь от 0 до 4 решений)

Итоги исследования
оформляем в таблицу.

10.
Итог урока. Метод  «Какой путь прошли?»

-Сегодня  на 
уроке  вы  самостоятельно  разобрались  с  биквадратными  уравнениями. И мы
должны подвести итог. ( Каждая
группа получает набор бумаги, вырезанной в форме ступни. Задача группы –
написать о том, что понравилось, что не понравилось на уроке, достигли ли
поставленных целей на урок?  После заполнения все ступни вывешиваются на доску
и прочитываются).

11.
Задание на дом.

-Провести
исследование может ли БУ иметь ровно 3 корня? 1 корень?

– Почему уравнения
такого вида называются биквадратными? Что означает приставка «би» к известному
термину «квадратное уравнение»?

Приложения.

1)  Кроссворд

1.         Третья
степень числа.

2.      Подкоренное выражение в формуле
корней квадратного уравнения.

3.      Значение переменной, обращающее
уравнение в верное равенство.

4.      Уравнения, имеющие одинаковые
корни.

5.      Равенство с переменной.

6.      Квадратное уравнение, с первым
коэффициентом равным нулю.

7.      Многочлен в правой части
квадратного уравнения.

8.      Равенство, содержащее числа и
переменные.

9.      Французский математик.

10.    Числовой множитель – в
произведении.

11.    Один из видов квадратного
уравнения.

12.    Множество корней уравнения.

2)     

3)