Как найти действующее значение напряжения по закону

Что такое действующее, среднеквадратичное, эффективное напряжение или ток

Среднее значение переменного синусоидального напряжения или тока

Говоря о величине, изменяющейся по синусоидальному (гармоническому) закону, можно за половину периода определить ее среднее значение. Поскольку ток в сети у нас в подавляющем большинстве случаев синусоидальный, то для этого тока также легко может быть найдена средняя его величина (за половину периода), достаточно прибегнуть к операции интегрирования, установив пределы от 0 до Т/2. В результате получим:

Подставив Пи = 3,14, найдем среднюю, за половину периода, величину синусоидального тока в зависимости от его амплитуды. Аналогичным образом находится среднее значение синусоидальной ЭДС или синусоидального напряжения U:

Действующее значение тока I или напряжения U

Однако среднее значение не так широко применяется на практике, как действующее значение синусоидального тока или напряжения. Действующее значение синусоидально меняющейся во времени величины — есть среднеквадратичное, другими словами — эффективное ее значение.

Эффективное (или действующее) значение тока или напряжения находится так же, путем интегрирования, но уже по отношению к квадратам, и с последующим извлечением квадратного корня, причем пределы интегрирования теперь — целый период синусоидальной функции.

Итак, для тока будем иметь:

Подставив значение корня из 2, получим формулу для нахождения эффективного (действующего, среднеквадратичного) значения тока, напряжения, ЭДС — по отношению к амплитудному значению. Эту формулу можно встретить очень часто, ее используют всюду в расчетах, связанных с цепями переменного синусоидального тока:

С практической точки зрения, если сравнить тепловое действие тока переменного синусоидального с тепловым действием тока постоянного непрерывного, на протяжении одного и того же периода времени, на одной и той же активной нагрузке, то выяснится, что выделенная за период синусоидального переменного тока теплота окажется равна выделенной за это же время теплоте от тока постоянного, при условии, что величина постоянного тока будет меньше амплитуды тока переменного в корень из 2 раз:

Это значит, что действующее (эффективное, среднеквадратичное) значение синусоидального переменного тока численно равно такому значению постоянного тока, при котором тепловое действие (выделяемое количество теплоты) этого постоянного тока на активном сопротивлении за один период синусоиды равно тепловому действию данного синусоидального тока за тот же период.

Аналогичным образом находится действующее (эффективное, среднеквадратичное) значение синусоидального напряжения или синусоидальной ЭДС.

Подавляющее большинство современных портативных измерительных приборов, измеряя переменный ток или переменное напряжение, показывают именно действующее значение измеряемой величины, то есть среднеквадратичную величину, а не ее амплитуду и не среднее значение за полпериода.

Если других уточняющих настроек на приборе нет, а стоит значок

U – измерены будут действующие значения тока и напряжения. Обозначения для конкретно амплитуды или конкретно действующего — Im (m — maximum – максимум, амплитуда) или Irms (rms — Root Mean Square – среднеквадратичное значение).

Источник

Действующие значения тока и напряжения

Переменный синусоидальный ток в течение периода имеет различные мгновенные значения. Естественно поставить вопрос, какое же значение тока будет измеряться амперметром, включенным в цепь?

При расчетах цепей переменного тока, а также при электрических измерениях неудобно пользоваться мгновенными или амплитудными значениями токов и напряжений, а их средние значения за период равны нулю. Кроме того, об электрическом эффекте периодически изменяющегося тока (о количестве выделенной теплоты, о совершенной работе и т. д.) нельзя судить по амплитуде этого тока.

Наиболее удобным оказалось введение понятий так называемых действующих значений тока и напряжения . В основу этих понятий положено тепловое (или механическое) действие тока, не зависящее от его направления.

Действующее значение переменного тока — это значение постоянного тока, при котором за период переменного тока в проводнике выделяется столько же теплоты, сколько и при переменном токе.

Для оценки действия, производимого переменным током, мы сравним его действия с тепловым эффектом постоянного тока.

Мощность Р постоянного тока I , проходящего через сопротивление r , будет Р = Р 2 r .

Мощность переменного тока выразится как средний эффект мгновенной мощности I 2 r за целый период или среднее значение от ( Im х sin ω t ) 2 х r за то же время.

Пусть среднее значение t2 за период будет М. Приравнивая мощность постоянного тока и мощность при переменном токе, имеем: I 2 r = Mr, откуда I = √ M ,

Величина I называется действующим значением переменного тока.

Среднее значение i2 при переменном токе определим следующим образом.

Построим синусоидальную кривую изменения тока. Возведя в квадрат каждое мгновенное значение тока, получим кривую зависимости Р от времени.

Обе половины этой кривой лежат выше горизонтальной оси, так как отрицательные значения тока (- i ) во второй половине периода, будучи возведены в квадрат, дают положительные величины.

Построим прямоугольник с основанием Т и площадью, равной площади, ограниченной кривой i 2 и горизонтальной осью. Высота прямоугольника М будет соответствовать среднему значению Р за период. Это значение за период, вычисленное при помощи высшей математики, будет равно 1/2I 2 m . Следовательно, М = 1/2I 2 m

Так как действующее значение I переменного тока равно I = √ M , то окончательно I = Im / √ 2

Аналогично зависимость между действующим и амплитудным значениями для напряжения U и Е имеет вид:

Действующие значения переменных величин обозначаются прописными буквами без индексов ( I , U, Е).

На основании сказанного выше можно сказать, что действующее значение переменного тока равно такому постоянному току, который, проходя через то же сопротивление, что и переменный ток, за то же время выделяет такое же количество энергии.

Электроизмерительные приборы (амперметры, вольтметры), включенные в цепь переменного тока, показывают действующие значения тока или напряжения.

При построении векторных диаграмм удобнее откладывать не амплитудные, а действующие значения векторов. Для этого длины векторов уменьшают в √ 2 раз. От этого расположение векторов на диаграмме не изменяется.

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Подписывайтесь на наш канал в Telegram!

Просто пройдите по ссылке и подключитесь к каналу.

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Источник

Электрический ток. Закон Ома для цепей постоянного и переменного тока.

Онлайн расчёт электрических величин напряжения, тока и мощности для участка цепи,
полной цепи, цепи с резистивными, ёмкостными и индуктивными элементами.
Теория и практика для начинающих.

Начнём с терминологии.
Электрический ток — это направленное движение заряженных частиц, при котором происходит перенос заряда из одной области электрической цепи в другую.
Силой электрического тока (I) является величина, которая численно равна количеству заряда Δq, протекающего через заданное поперечное сечение проводника S за единицу времени Δt: I = Δq/Δt.
Напряжение электрического тока между точками A и B электрической цепи — физическая величина, значение которой равно работе эффективного электрического поля, совершаемой при переносе единичного пробного заряда из точки A в точку B.
Омическое (активное) сопротивление — это сопротивление цепи постоянному току, вызывающее безвозвратные потери энергии постоянного тока.
Теперь можно переходить к закону Ома.

Закон Ома был установлен экспериментальным путём в 1826 году немецким физиком Георгом Омом и назван в его честь. По большому счёту, Закон Ома не является фундаментальным законом природы и может быть применим в ограниченных случаях, определяющих зависимость между электрическими величинами, такими как: напряжение, сопротивление и сила тока исключительно для проводников, обладающих постоянным сопротивлением. При расчёте напряжений и токов в нелинейных цепях, к примеру, таких, которые содержат полупроводниковые или электровакуумные приборы, этот закон в простейшем виде уже использоваться не может.

Тем не менее, закон Ома был и остаётся основным законом электротехники, устанавливающим связь силы электрического тока с сопротивлением и напряжением.
Формулировка закона Ома для участка цепи может быть представлена так: сила тока в проводнике прямо пропорциональна напряжению (разности потенциалов) на его концах и обратно пропорциональна сопротивлению этого проводника и записана в следующем виде:
I=U/R,

где
I – сила тока в проводнике, измеряемая в амперах [А];
U – электрическое напряжение (разность потенциалов), измеря- емая в вольтах [В];
R – электрическое сопротивление проводника, измеряемое в омах [Ом].

Производные от этой формулы приобретают такой же незамысловатый вид: R=U/I и U=R×I.

Зная любые два из трёх приведённых параметров можно произвести и расчёт величины мощности, рассеиваемой на резисторе.
Мощность является функцией протекающего тока I(А) и приложенного напряжения U(В) и вычисляется по следующим формулам, также являющимся производными от основной формулы закона Ома:
P_(Вт) = U_(В)×I_(А) = I 2 _(А)×R_(Ом) = U 2 _(В)/R_(Ом)

Формулы, описывающие закон Ома, настолько просты, что не стоят выеденного яйца и, возможно, вообще не заслуживают отдельной крупной статьи на страницах уважающего себя сайта.

Не заслуживают, так не заслуживают. Деревянные счёты Вам в помощь, уважаемые дамы и рыцари!
Считайте, учитывайте размерность, не стирайте из памяти, что:

Единицы измерения напряжения: 1В=1000мВ=1000000мкВ;
Единицы измерения силы тока:1А=1000мА=1000000мкА;
Единицы измерения сопротивления:1Ом=0.001кОм=0.000001МОм;
Единицы измерения мощности:1Вт=1000мВт=100000мкВт.

Ну и так, на всякий случай, чисто для проверки полученных результатов, приведём незамысловатую таблицу, позволяющую в онлайн режиме проверить расчёты, связанные со знанием формул закона Ома.

ТАБЛИЦА ДЛЯ ПРОВЕРКИ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЁТОВ ЗАКОНА ОМА.

Вводить в таблицу нужно только два имеющихся у Вас параметра, остальные посчитает таблица.

Все наши расчёты проводились при условии, что значение внешнего сопротивления R значительно превышает внутреннее сопротивление источника напряжения r_внутр .
Если это условие не соблюдается, то под величиной R следует принять сумму внешнего и внутреннего сопротивлений: R = R_внешн + r_внутр , после чего закон приобретает солидное название — закон Ома для полной цепи:
I=U/(R+r) .

Для многозвенных цепей возникает необходимость преобразования её к эквивалентному виду:

Значения последовательно соединённых резисторов просто суммируются, в то время как значения параллельно соединённых резисторов определяются исходя из формулы: 1/R_ll = 1/R₄+1/R₅ .
А онлайн калькулятор для расчёта величин сопротивлений при параллельном соединении нескольких проводников можно найти на странице ссылка на страницу.

Теперь, что касается закона Ома для переменного тока.
Если внешнее сопротивление у нас чисто активное (не содержит ёмкостей и индуктивностей), то формула, приведённая выше, остаётся в силе.
Единственное, что надо иметь в виду для правильной интерпретации закона Ома для переменного тока — под значением U следует понимать действующее (эффективное) значение амплитуды переменного сигнала.

А что такое действующее значение и как оно связано с амплитудой сигнала переменного тока?
Приведём диаграммы для нескольких различных форм сигнала.

Слева направо нарисованы диаграммы синусоидального сигнала, меандра (прямоугольный сигнал со скважностью, равной 2), сигнала треугольной формы, сигнала пилообразной формы.
Глядя на рисунок можно осмыслить, что амплитудное значение приведённых сигналов — это максимальное значение, которого достигает амплитуда в пределах положительной, или отрицательной (в наших случаях они равны) полуволны.

Рассчитываем действующее значение напряжение интересующей нас формы:

Для синуса U = Uд = Uа/√2;
для треугольника и пилы U = Uд = Uа/√3;
для меандра U = Uд = Uа.

Теперь посмотрим, как будет выглядеть формула закона Ома при наличии индуктивности или ёмкости в цепи переменного тока.
В общем случае смотреться это будет так:

А формула остаётся прежней, просто в качестве сопротивления R выступает полное сопротивление цепи Z, состоящее из активного, ёмкостного и индуктивного сопротивлений.
Поскольку фазы протекающего через эти элементы тока не одинаковы, то простым арифметическим сложением сопротивлений этих трёх элементов обойтись не удаётся, и формула приобретает вид:
Реактивные сопротивления конденсаторов и индуктивностей мы с Вами уже рассчитывали на странице ссылка на страницу и знаем, что величины эти зависят от частоты, протекающего через них тока и описываются формулами: X_C = 1/(2πƒС) , X_L = 2πƒL .

Нарисуем таблицу для расчёта полного сопротивления цепи для переменного тока.
Количество вводимых элементов должно быть не менее одного, при наличии индуктивного или емкостного элемента — необходимо указать значение частоты f !

КАЛЬКУЛЯТОР ДЛЯ ОНЛАЙН РАСЧЁТА ПОЛНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ЦЕПИ.

Теперь давайте рассмотрим практический пример применения закона Ома в цепях переменного тока и рассчитаем простенький бестрансформаторный источник питания.

Токозадающими цепями в данной схеме являются элементы R1 и С1.

Допустим, нас интересует выходное напряжение Uвых = 12 вольт при токе нагрузки 100 мА.
Выбираем стабилитрон Д815Д с напряжением стабилизации 12В и максимально допустимым током стабилизации 1,4А.
Зададимся током через стабилитрон с некоторым запасом — 200мА.
С учётом падения напряжения на стабилитроне, напряжение на токозадающей цепи равно 220в — 12в = 208в.
Теперь рассчитаем сопротивление этой цепи Z для получения тока, равного 200мА: Z = 208в/200мА = 1,04кОм.
Резистор R1 является токоограничивающим и выбирается в пределах 10-100 Ом в зависимости от максимального тока нагрузки.
Зададимся номиналами R1 — 30 Ом, С1 — 1 Мкф, частотой сети f — 50 Гц и подставим всё это хозяйство в таблицу.
Получили полное сопротивление цепи, равное 3,183кОм. Многовато будет — надо увеличивать ёмкость С1.
Поигрались туда-сюда, нашли нужное значение ёмкости — 3,18 Мкф, при котором Z = 1,04кОм.

Всё — закон Ома выполнил свою функцию, расчёт закончен, всем спать полчаса!

Источник

Всем доброго времени суток! В прошлой статье я рассказал, как рассчитать индуктивность катушки выполненной на разомкнутом сердечнике (например, ферритовой антенны, контурных катушек радиоприёмников, катушек с построечными сердечниками и т. д.). Сегодняшняя статья посвящена переменному напряжению и параметрам, которые его характеризуют.

Что такое переменное напряжение?

Как известно электрическим током называется упорядоченное движение заряженных частиц, которое возникает под действием разности потенциалов или напряжения. Одной из основных характеристик любого типа напряжения является его зависимость от времени. В зависимости от данной характеристики различают постоянной напряжение, значение которого с течением времени практически не изменяется и переменное напряжение, изменяющееся во времени.

Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.

Переменное напряжение в свою очередь бывает периодическим и непериодическим. Периодическим называется такое напряжение, значения которого повторяются через равные промежутки времени. Непериодическое напряжение может изменять своё значение в любой период времени. Данная статья посвящена периодическому переменному напряжению.

Постоянное (слева), периодическое (в центре) и непериодическое (справа) переменное напряжение.

Минимальное время, за которое значение переменного напряжения повторяется, называется периодом. Любое периодическое переменное напряжение можно описать какой-либо функциональной зависимостью. Если время обозначить через t, то такая зависимость будет иметь вид F(t), тогда в любой период времени зависимость будет иметь вид

где Т – период.

Величина обратная периоду Т, называется частотой f. Единицей измерения частоты является Герц, а единицей измерения периода является Секунда

Наиболее часто встречающаяся функциональная зависимость периодического переменного напряжения является синусоидальная зависимость, график которой представлен ниже

Синусоидальное переменное напряжение.

Из математики известно, что синусоида является простейшей периодической функцией, и все другие периодические функции, возможно, представить в виде некоторого количества таких синусоид, имеющих кратные частоты. Поэтому необходимо изначально рассмотреть особенности синусоидального напряжения.

Таким образом, синусоидальное напряжение в любой момент времени, мгновенное напряжение, описывается следующим выражением

где U_m – максимальное значение напряжения или амплитуда,

ω –угловая частота, скорость изменения аргумента (угла),

φ – начальная фаза, определяемая смещением синусоиды относительно начала координат, определяется точкой перехода отрицательной полуволны в положительную полуволну.

Величина (ωt + φ) называется фазой, характеризующая значение напряжения в данный момент времени.

Таким образом, амплитуда U_m, угловая частота ω и начальная фаза φ являются основными параметрами переменного напряжения и определяют его значение в каждый момент времени.

Обычно, при рассмотрении синусоидального напряжения считают, что начальная фаза равна нулю, тогда

В практической деятельности, довольно часто, используют ещё ряд параметров переменного напряжения, такие как, действующее напряжение, среднее напряжение и коэффициент формы, которые мы рассмотрим ниже.

Что такое действующее напряжение переменного тока?

Как я писал выше, одним из основных параметров переменного напряжения является амплитуда U_m, однако использовать в расчётах данную величину не удобно, так как временной интервал в течение, которого значение напряжения u равно амплитудному U_m ничтожно мал, по сравнению с периодом Т напряжения. Использовать мгновенное значение напряжения u, также не очень удобно, вследствие больших объёмов расчётов. Тогда возникает вопрос, какое значение переменного напряжения использовать при расчётах?

Для решения данного вопроса необходимо обратиться к энергии, которая выделяется под воздействием переменного напряжения, и сравнить её с энергией, которая выделяется под воздействием постоянного напряжения. Для решения данного вопроса обратимся к закону Джоуля – Ленца для постоянного напряжения

Для переменного напряжения мгновенное значение выделяемой энергии составит

где u – мгновенное значение напряжения

Тогда количество энергии за полный период от t₀ = 0 до t₁ = T составит

Приравняв выражения для количества энергии при переменном напряжении и постоянном напряжении и выразив полученное выражение через постоянное напряжение, получим действующее значение переменного напряжения

Получившееся выражение, позволяет вычислить действующее значение напряжение U для периодического переменного напряжения любой формы. Из выше изложенного можно сделать вывод, что действующее значение переменного напряжения называется такое постоянное напряжение, которое за такое же время и на таком же сопротивлении выделяет такую же энергию, которая выделяется данным переменным напряжением.

Действующее значение синусоидального напряжения.

Вычислим действующее значение синусоидального напряжения

Стоит отметить, все напряжения электротехнических устройств определяются, как правило, действующим значением напряжения.

Для определения амплитудного значения синусоидального напряжения необходимо преобразовать полученное выражение

Таким образом если в розетке у нас U = 230 В, следовательно, амплитудное значение данного напряжения

Действующее напряжение также имеет название эффективного напряжения и среднеквадратичного напряжения.

С действующим напряжением разобрались, теперь рассмотрим среднее значение напряжение.

Что такое среднее значение переменного напряжения?

Ещё одним параметром переменного напряжения, который его характеризует, является средним значением переменного напряжения. В отличие от действующего значения переменного напряжения, которое характеризует работу переменного напряжения, среднее значение напряжения характеризует количество электричества, которое перемещается из одной точки цепи в другую, под действием переменного напряжения. Среднее значение напряжения за период определяется следующим выражением

где Т – период переменного напряжения,

f_u(t) – функциональная зависимость напряжения от времени.

Таким образом, среднее значение переменного напряжения численно будет равно высоте прямоугольника с основанием T, площадь которого равна площади, ограниченной функцией f_u(t) и осью Ox за период Т.

Среднее значение переменного напряжения.

В случае синусоидальной функции, можно говорить только о среднем значении за полупериод, так как в течение всего периода положительная полуволна компенсируется отрицательной полуволной, и тогда среднее за период напряжение будет равно нулю.

Таким образом, среднее за полупериод Т/2 значение переменного напряжения синусоидальной формы будет равно

где U_m – максимальное значение напряжения или амплитуда,

ω –угловая частота, скорость изменения аргумента (угла).

Какие коэффициенты, характеризуют переменное напряжение?

Иногда возникает необходимость охарактеризовать форму переменного напряжения. Для этой цели существует ряд параметров данного переменного напряжения:

1. Коэффициент формы переменного напряжения k_ф – показывает как относится действующее значение переменного напряжения U к его среднему значению U_cp.

Так для синусоидального напряжения коэффициент формы составит

2. Коэффициент амплитуды переменного напряжения k_а – показывает как относится амплитудное значение переменного напряжения U_m к его действующему значению U

Так для синусоидального напряжения коэффициент амплитуды составит

На сегодня всё, в следующей статье я рассмотрю прохождение переменного напряжения через сопротивление, индуктивность и емкость.

RIR=UR; 1ωCIC=UC; ωLIL=UL.

Указанные выше формулы внешне могут напоминать закон Ома  на участке цепи постоянного тока, но стоит заметить, что в этом случае вместо величин постоянных токов и напряжений на участке цепи, в них входят амплитудные значения напряжений и переменных токов.

Формулы, указанные выше, выражают собой закон Ома для переменного тока, который содержит один из элементов R, L и C.

Движение переменного тока по участку цепи провоцирует электромагнитное поле выполнять работу, благодаря чему выделяется джоулево тепло.

Мгновенной мощностью в цепи называется произведение мгновенных значений тока и напряжения: p=J·u.

Прикладной интерес у нас вызывает среднее значение мощности за некоторый период переменного тока:

P=Pcα=I0U0cos ωt cos ωt+φ.

В приведенной выше формуле I0 и U0 являются амплитудными значениями тока и напряжения на выбранном участке цепи, а φ – фазовым сдвигом между током и напряжением. Черта же представляет собой символ усреднения. В случае, когда цепь содержит только резистор с сопротивлением R, то фазовый сдвиг φ будет равен нулю: 

PR=IRURcos2ωt=IRUR2=IR2R2.

Действующие значения силы тока и напряжения

Мощность переменного тока на участке цепи

Если в цепи содержится лишь конденсатор емкости C, то φ=π2. Отсюда, справедливо следующее выражение:

PC=ICUCcos ωt cosωt+π2=ICUCcos ωt-sin ωt=0.

Таким же способом можно проиллюстрировать, что PL=0.

Исходя из описанного выше получим следующие определение.

Мощность в цепи переменного тока выделяется только на активном сопротивлении, а среднее значение мощности переменного тока на конденсаторе и катушке индуктивности равняется нулю.

Теперь стоит рассмотреть электрическую цепь, включающую последовательно соединенные резистор, конденсатор и катушки, и подключенную к источнику переменного тока некой частоты ω. Следует выделить, что на всех участках цепи, соединенных последовательно, проходит один и тот же ток. Между напряжением внешнего источника e(t) и током J(t) проявляется фазовый сдвиг на определенный угол φ.

Исходя из приведенных выше фактов, мы можем записать:

J(t)=I0cos ωt; e(t)=δ0cos ωt+φ.

Данные формулы мгновенных значений тока и напряжения подходят к построениям, выполненным на векторной диаграмме (рис. 2.3.2).

Рисунок 2.3.2. Гармонические колебания A cos (ωt+φ1), B cos (ωt+φ2) и их суммы C cos (ωt+φ) на векторной диаграмме.

Средняя величина мощности, развиваемой источником переменного тока, может быть найдена из следующего выражения:

P=I0δ0cos ωt cos ωt+φ=I0δ02cos φ=IДδД cos φ.

Исходя из данных векторной диаграммы можно заявить, что UR=δ0·cos φ, следовательно,
P=I0UR2, а вся мощность, которую развивает источник питания, теряется в виде джоулева тепла на резисторе.

В прошлых темах нами было получено выражение, являющееся соотношением амплитуд тока I0 и напряжений δ0 в условиях последовательной RLC-цепи: 

I0=δ0R2+ωL-1ωC2

Z=R2+ωL-1ωC2– это величина, имеющая название полное сопротивление цепи переменного тока.

Закон Ома в условиях параллельной RLC-цепи

В различных расчетах, связанных с работой над цепями переменного тока, очень важное место занимает понятие полного сопротивления. Для его определения в цепи в большей части случаев практично использовать метод векторных диаграмм. В качестве примера, приведем параллельный подключенный к внешнему источнику переменного тока (рис. 2.4.1) RLC-контур:

Рисунок 2.4.1. Параллельный RLC-контур.

При построении диаграммы важно учесть, что в условиях параллельного соединения напряжение на всех элементах R, C и L идентично и равняется напряжению внешнего источника питания. Ток, текущий в разных ветвях цепи, различается не только по значениям амплитуд, но и по фазовым сдвигам относительно приложенного напряжения. Следовательно, полное сопротивление цепи невозможно вычислить опираясь на законы параллельного соединения цепей постоянного тока. Векторную диаграмму для параллельного RLC-контура можно увидеть на рис. 2.4.2.

Рисунок 2.4.2. Векторная диаграмма для параллельного RLC-контур.

Исходя из вида диаграммы, следует:

I0=δ01R2+ωL-1ωC2.

Содержание:

Электрические цепи синусоидального тока:

В общем случае цепь переменного тока характеризуется тремя параметрами: активным сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью С. В технике часто применяются цепи переменного тока, в которых преобладает один или два из этих параметров.

При анализе работы и расчетах цепей исходят из того, что для мгновенных значений переменного тока можно использовать все правила и законы постоянного тока.

Цепь с активным сопротивлением

Активным сопротивлением R обладают элементы, которые нагреваются при прохождении через них тока (проводники, лампы накаливания, нагревательные приборы и т.д.).

Если к активному сопротивлению R (рис. 11.1) приложено синусоидальное напряжение

где 

Ток в цепи с активным сопротивлением совпадает по фазе с напряжением, так как начальные фазы их равны ( = 0). Векторная диаграмма для цепи с активным сопротивлением изображена на рис. 11.16, временная диаграмма изображена на рис. 11.1в.

Математическое выражение закона Ома для цепи переменного тока с активным сопротивлением имеет вид:

Это вытекает из выражения (11.1), если левую и правую части уравнения разделить на =1,41.

Таким образом, действующее значение синусоидального тока I пропорционально действующему значению синусоидального напряжения U и обратно пропорционально сопротивлению R участка цепи, к которому приложено напряжение U. Такая интерпретация закона Ома справедлива как для мгновенных, так и для действующих и амплитудных значений синусоидального тока.

Активная мощность

Мгновенная мощность в цепи с активным сопротивлением определяется произведением мгновенных значений напряжения ка, т. е. р = ui. Это действие производится над кривыми тока и ряжения в определенном масштабе (рис. 11.1в). В результате учена временная диаграмма мгновенной мощности р. Как видно из временной диаграммы, мощность в цепи с активным сопротивлением изменяется по величине, но не изменяется по направлению (рис. 11.1в). Эта мощность (энергия) необратима. От источника она поступает на потребитель и полностью преобразуется в другие виды мощности (энергии), т.е. потребляется. Такая потребляемая мощность называется активной.

Поэтому и сопротивление R, на котором происходит подобное образование, называется активным сопротивлением, цепи с активным сопротивлением мгновенная мощность характеризует скорость преобразования электрической энергии в другие виды энергии.

Количественно мощность в цепи с активным сопротивлением определяется следующим образом:

Мгновенная мощность в цепи синусоидального тока с активным сопротивлением представляет собой сумму двух величин -постоянной мощности UI и переменной , изменяющейся с двойной частотой.

Средняя за период мощность, равная постоянной составляющей мгновенной мощности UI, является активной мощностью Р. Среднее за период значение переменной составляющей, как и всякой синусоидальной величины, равно нулю, то есть

Таким образом, величина активной мощности в цепи синусоидального тока с активным сопротивлением с учетом закона Ома определяется выражением:

где U- действующее значение напряжения; I— действующее значение тока.

Единицей активной мощности является ватт:

Поверхностный эффект и эффект близости

Сопротивление проводника постоянному току называют омическим сопротивлением и определяют выражением (2.8)  Сопротивление проводника переменному току R называют активным.

Оказывается, что сопротивление проводника переменному току больше его омического сопротивления за счет так называемого поверхностного эффекта и эффекта близости, т. е.

Увеличение активного сопротивления вызвано неодинаковой плотностью тока в различных сечениях проводника (рис. 11.2а).

На рис. 11.2а изображено магнитное поле проводника цилиндрического сечения. Если по проводнику проходит переменный ток, то он создает переменный магнитный поток внутри и вне проводника. Этот поток в различных сечениях проводника индуктирует ЭДС самоиндукции, которая, согласно правилу Ленца. противодействует изменению тока как причине создания ЭДС Очевидно, центр проводника охвачен большим количеством магнитных линий (большее потокосцепление), чем слои, близкие к поверхности. Следовательно, в центре проводника ЭДС (сопротивление) больше, чем на поверхности проводника. Плотность на поверхности больше, чем в центре. Поэтому это явление и называется поверхностным эффектом.

Таким образом, поверхностный эффект уменьшает сечение проводника для переменного тока, а следовательно, увеличивает активное сопротивление R.

Отношение активного сопротивления проводника к его сопротивлению определяет коэффициент поверхностного эффекта (кси)

График зависимости коэффициента поверхностного эффекта от параметра проводника d, его удельной проводимости , магнитной проницаемости материала проводника и частоты переменного тока , проходящего по проводнику, показан на рис. 11.26.

При токах большой частоты (радиочастотах) ток в центре проводника отсутствует. Поэтому такие проводники делают трубчатыми, т.е. полыми.

На величину активного сопротивления проводника R оказывает влияние и эффект близости.

Если токи в двух параллельных проводах, расположенных близко друг к другу, направлены в одну сторону, то элементы сечения водников, удаленных на большее расстояние друг от друга, цепляются с меньшим магнитным потоком и имеют большую плотность тока (заштриховано на рис. 11.3а), чем элементы сечения проводников, расположенные близко друг к другу.

Если же токи в близко расположенных параллельных проводах направлены в различные стороны, то большая плотность тока на-дается в элементах сечения проводников, расположенных ближе друг к другу (заштриховано на рис. 11.36).

Таким образом, эффект близости в проводниках также влияет активное сопротивление проводников за счет наведения в различных элементах сечений проводников различных ЭДС взаимоиндукции, направление которых определяется правилом Ленца.

Цепь с идеальной индуктивностью

Идеальной называют индуктивность L такой катушки, активным сопротивлением R и емкостью С которой можно пренебречь, т.е. R= О и С=0.

Если в цепи идеальной катушки индуктивностью L (рис. 11.4а) проходит синусоидальный ток , то этот ток создает в катушке синусоидальный магнитный поток , который индуктирует в катушке ЭДС самоиндукции, равную согласно (9.11)

так как

Очевидно, эта ЭДС достигает своего амплитудного значения тогда, когда :

Тогда 

Таким образом, ЭДС самоиндукции в цепи с идеальной индуктивностью L, как и ток, вызвавший эту ЭДС, изменяется по синусоидальному закону, но отстает от тока по фазе на угол 90° = (рис. 11.46, в).   

По второму закону Кирхгофа для мгновенных значений можно записать

Откуда

Тогда напряжение, приложенное к цепи с идеальной индуктивностью (см. (11.5)):

Очевидно, напряжение достигает своего амплитудного значения U_m тогда, когда :

Следовательно, 

Таким образом, напряжение, приложенное к цепи с идеальной ин-ивностью, как и ток в этой цепи, изменяется по синусоидально-жону, но опережает ток по фазе на угол 90°= (рис. 11.46, в).

Резюмируя все вышесказанное, можно сделать вывод: для существования тока в цепи с идеальной индуктивностью необходимо ожить к цепи напряжение, которое в любой момент времени но по величине, но находится в противофазе с ЭДС, вызванной таким током (рис. 11.46, в).

Временная диаграмма (рис. 11.4в) еще раз иллюстрирует правило Ленца: ЭДС противодействует изменению тока.

Если уравнение (11.10) разделить на =1,41, то получается =, откуда

Это уравнение (11.12а) и есть математическое выражение закона Ома для цепи синусоидального тока с идеальной индуктивностью. Очевидно, знаменатель этого уравнения есть не что иное, как сопротивление, которое называют индуктивным сопротивлением X_L.

Таким образом,

Закон Ома для этой цепи можно записать иначе:

Индуктивное сопротивление X_L — это противодействие, которое ЭДС самоиндукции e_L оказывает изменению тока.

Реактивная мощность в цепи с индуктивностью

Мгновенная мощность для цепи синусоидального тока с идеальной катушкой равна произведению мгновенных значений напряжения и тока

где

Следовательно,

Полученное уравнение умножают и делят на 2:

Таким образом, мощность в цепи синусоидального тока с идеальной катушкой индуктивности изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой.

Следовательно, среднее значение этой мощности за период Яс, как и любой синусоидальной величины, т. е. активная потребляемая мощность, в этой цепи равна нулю, Р= 0.

Временная диаграмма (рис. 11,4в) подтверждает этот вывод. На диаграмме видно, что мгновенная мощность () в рассматриваемой цепи изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой.

То есть в 1-ю и 3-ю четверти периода мощность (энергия) источника накапливается в магнитном поле индуктивности. Максимальное значение накапливаемой в магнитном поле идеальной катушки энергии по (9.12) равно

Во 2-ю и 4-ю четверти периода эта мощность (энергия) из магнитного поля идеальной катушки возвращается к источнику.

Таким образом, в цепи переменного тока с идеальной катушки мощность не потребляется (Р= 0), а колеблется между источником и магнитным полем индуктивности, загружая источник и провода.

Такая колеблющаяся мощность (энергия), в отличие от активной, потребляемой, называется реактивной.

Обозначается реактивная мощность буквой Q и измеряется в варах, т.е. [Q]=вар (вольт-ампер реактивный).

Величина реактивной мощности в рассматриваемой цепи определяется выражением

Так как реактивная мощность Q_L имеет место в цепи с индуктивным сопротивлением, то индуктивное сопротивление считается реактивным сопротивлением X индуктивного характера, т. е. X_L.

Цепь с емкостью

Если конденсатор емкостью С подключить к источнику с постоянным напряжением U (рис. 11.5а), то ток зарядки конденсатора ходит в цепи очень короткое время, пока напряжение на конденсаторе U_c не станет равным напряжению источника U.

Ток в рассматриваемой цепи (рис. 11.5а) практически отсутствует (амперметр А покажет I=0).

Если же конденсатор подключить к источнику с синусоидальным напряжением (рис. 11.56), то ток в цепи конденсатора существует все время, пока цепь замкнута, и амперметр А покажет этот ток. Ток в цепи конденсатора, подключенного к источнику с синусоидальным напряжением, имеет место потому, что напряжена конденсаторе U_c отстает по фазе от напряжения источника и зарядке, и при разрядке конденсатора. Например, пока напряжение на конденсаторе достигает значения 1, напряжение источника достигнет значения 2 (рис. 11.5в), т. е. конденсатор заряжается; пока конденсатор зарядится до напряжения 2, напряжение источника уменьшится до напряжения 3 – конденсатор разряжается на источник и т.д. Однако ток проходит только в цепи конденсатора. Через диэлектрик конденсатора ток не проходит.

Таким образом, если к конденсатору емкостью С приложено синусоидальное напряжение , то в цепи конденсатора проходит ток i (рис. 11.6а):

где q= Си согласно (6.3).

Очевидно, ток в цепи конденсатора достигает амплитудного значения тогда, когда :

Тогда 

Как видно, ток в цепи конденсатора, как и напряжение, приложенное к его обкладкам, изменяется по синусоидальному закону, однако опережает это напряжение по фазе на угол 90°=

Следовательно, напряжение отстает по фазе от тока на 90° = (рис. 11.66). 

Если уравнение (11.17) разделить на = 1,41, то получится равенство или

Это равенство (11.19а) и является математическим выражением закона Ома для цепи переменного тока с емкостью.

Очевидно, знаменатель этого равенства является сопротивлением конденсатора Х_с, которое называется емкостным сопротивлением:

Когда закон Ома для цепи с конденсатором можно записать:

Емкостное сопротивление – это противодействие, которое оказывает напряжение заряженного конденсатора напряжению, приложенному к нему (рис. 11,5а).

Реактивная мощность в цепи с конденсатором

Если в цепи конденсатора емкостью = 0 (рис. 11.6а) проходит ток i, изменяющийся по синусоидальному закону:

Напряжение и, приложенное к этому конденсатору (рис. 11.6), будет равно

Мгновенная мощность в цепи с конденсатором

Мощность в цепи с конденсатором, подключенным к источнику с синусоидальным напряжением, изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой (рис. 11.6в).

Следовательно, активная мощность Р в рассматриваемой цепи 1С. 11.6а), равная среднему значению мгновенной мощности за период, имеет нулевое значение, Р= 0.

Это следует и из временной диаграммы (рис. 11.6в). На временной диаграмме видно, что изменение мгновенной мощности р по синусоидальному закону происходит с двойной частотой: 2-ю и 4-ю четверти периода мощность (энергия) источника накапливается в электрическом поле конденсатора.

Максимальное значение энергии, накапливаемой в электрическом поле конденсатора, равно

В 1-ю и 3-ю четверти периода эта мощность (энергия) из электрического поля конденсатора возвращается к источнику.

Таким образом, в цепи переменного тока с конденсатором происходит колебание мощности (энергии) между источником и электрическим полем конденсатора. Такая колеблющаяся, но не потребляемая мощность называется реактивной мощностью.

Величина реактивной мощности в цепи конденсатора определяется выражением

Из временных диаграмм (рис. 11.4в, 11.6в) видно, что реактивная мощность в цепи конденсатора изменяется в противофазе с реактивной мощностью в цепи с идеальной катушкой. Отсюда и знак «минус» в уравнении (11.21) – аналитическом выражении мгновенной мощности в цепи с конденсатором.

Так как реактивная мощность Qc имеет место в цепи с емкостным сопротивлением, то это емкостное сопротивление считается реактивным сопротивлением Х емкостного характера (Х_с).

Расчет линейных электрических цепей синусоидального тока

Расчет электрических цепей синусоидального тока производится преимущественно с помощью векторных диаграмм. В нашей главе рассматривается расчет неразветвленных цепей синусоидального тока, содержащих активное сопротивление R, активность L и емкость С в различных сочетаниях.

Цепь с активным сопротивлением и индуктивностью

Если по цепи с реальной катушкой, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L, проходит синусоидальный ток (рис. 12.1а), то этот ток создает падение напряжения на активном сопротивлении проводников катушки и индуктивном сопротивлении катушки

Следовательно, по второму закону Кирхгофа, для мгновенных значений, приложенное к реальной катушке напряжение можно записать

Это равенство справедливо для неразветвленной цепи синусоидального тока с последовательно включенными активным сопротивлением R и индуктивным сопротивлением X_L (рис. 12.16).

Активное напряжение (рис. 11.16) совпадет по фазе с током и может быть записано . Индуктивное напряжение опережает ток на угол 90° = .

Мгновенное значение напряжения, приложенного к цепи, определяется алгебраической суммой мгновенных значений напряжений согласно (12.1). А действующее значение этого напряжения U определяется геометрической суммой их действующих значений

Это равенство лежит в основе построения векторной диаграммы (рис. 12.1 в).

Из векторной диаграммы (рис. 12.1 в) видно, что напряжение U, приложенное к реальной катушке, опережает по фазе ток на угол ф. Мгновенное значение этого напряжения может быть записано:

где ф — это международное обозначение угла сдвига фаз между током и напряжением для любой цепи переменного тока.

Воспользовавшись теоремой Пифагора для определения гипотенузы прямоугольного треугольника, по векторной диаграмме (рис. 12.1 в) определяется напряжение

Откуда

Равенство (12.4) является математическим выражением закона Ома для цепи синусоидального тока с активным R и индуктивным XL сопротивлениями в неразветвленной цепи.

Знаменатель этого равенства является сопротивлением этой цепи, которое называется полным, или кажущимся, сопротивлением цепи синусоидального тока. Обозначается кажущееся (полное) сопротивление любой цепи переменного тока буквой Z:

где Z_k — полное, или кажущееся, сопротивление реальной катушки.

Тогда закон Ома для любой цепи переменного тока в общем виде можно записать

где Z — кажущееся сопротивление этой цепи.

Треугольники напряжений, сопротивлений, мощностей

Треугольник, все стороны которого изображены векторами напряжений, называется треугольником напряжений. Пользуясь векторной диаграммой для неразветвленной цепи с активным и индуктивным сопротивлениями (рис. 12.1в), выделяем треугольник напряжений (рис. 12.2а).

Связь между напряжениями в данной цепи можно рассматривать как соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника:

Если все стороны треугольника напряжений разделить на ве-1ину тока в цепи, то получится подобный прямоугольный треугольник, все стороны которого в определенном масштабе изображают сопротивления цепи, т. е. получится треугольник составлений (рис. 12.16). Сопротивления не являются векторными величинами. Из треугольника сопротивлений можно определить:

Обычно тригометрические функции угла ф определяются из треугольника сопротивлений отношением (12.9).

Если все стороны треугольника напряжений умножить на величину тока цепи, то получится подобный прямоугольный треугольник, все стороны которого в определенном масштабе изображают мощности цепи, т.е. получится треугольник мощностей (рис. 12.2в).

Произведение напряжения и тока цепи характеризует полную мощность цепи

которая измеряется в вольт-амперах, т.е.

Однако потребляется в цепи только часть полной мощности – активная мощность

где cos ф показывает, какая часть полной мощности потребляется в цепи, поэтому cos ф называют коэффициентом мощности:

Полная мощность цепи S называется кажущейся. Из того же треугольника мощностей (рис. 12.2в) записать:

Построив треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для любой цепи синусоидального тока, по выражениям (12.7)—(12.14) можно рассчитать параметры этой цепи.

Цепь с активным сопротивлением и емкостью

Если в цепи с последовательно включенными активным сопротивлением R и емкостью С протекает синусоидальный ток , то он создает падение напряжения на активном сопротивлении и на емкостном сопротивлении . Векторная диаграмма для этой цепи изображена на рис. 12.36.

Напряжение цепи изменяется, как и ток, по синусоидальному закону и отстает по фазе от тока на угол ф < 90°, т. е.

Действующее значение напряжения U, приложенного к этой цепи, определяется по векторной диаграмме (рис. 12.3):

Откуда математическое выражение закона Ома для этой цепи:

Пример 12.1

К цепи с последовательно включенными сопротивлениями R= 8 Ом и Х_с= 6 Ом (рис. 12.3а) приложено напряжение U= 220 В. Определить ток цепи I, напряжение на активном и реактивном U_p участках, полную S, активную Р и реактивную Q мощности.

Решение

Для определения тока вычислим полное сопротивление цепи

Тогда ток будет равен

Напряжения на участках:

Полная мощность 

Активная мощность

Реактивная мощность

Неразветвленная цепь с активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью

Если в неразветвленной цепи с R, L и С (рис. 12.4а) протекает синусоидальный ток , то он создает падение напряжения на всех участках цепи: и .

Мгновенное значение напряжения цепи определяется по формуле

Так как в рассматриваемой цепи включены два реактивных сопротивления X_L и Х_с, то возможны три режима работы цепи:

Векторная диаграмма цепи для режима изображена на рис. 12.46.

Знак перед углом сдвига фаз ф зависит от режима работы цепи Если в рассматриваемой цепи преобладает индуктивное напряжение (сопротивление), т. е. , то цепь имеет индуктивный характер и напряжение U опережает по фазе ток .

Если в цепи преобладает емкостное напряжение (сопротивление), т.е. , то цепь имеет емкостной характер и напряжение U отстает по фазе от тока I (—ф).

Из векторной диаграммы (рис. 12.46) следует:

Сопротивление R может включать в себя сопротивление самостоятельного резистора или активное сопротивление реальной катушки и конденсатора.

Математическое выражение закона Ома для неразветвленной цепи с активным сопротивлением, индуктивностью и емкость:

где Z — полное (или кажущееся) сопротивление неразветвленной цепи с R, L и С, т. е.

На рис. 12.5 изображены треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для рассматриваемой цепи.

Знак и значение угла ф можно определить из треугольника сопротивлений (рис. 12.56):

или

Из выражений (12.20) и (12.21) видно, что если , то угол ф положителен (+ф), если , то угол ф отрицательный (—ф).

Из треугольника мощностей (рис. 12.5в) видно, что в цепи с R, L и С кроме активной мощности имеется реактивная мощность . Кроме того, в цепи происходит колебание мощности (меньшей из двух реактивных, в нашем случае U_c) между электрическим полем конденсатора С и магнитным полем катушки индуктивности L, так как мощности Q_L и Q_c изменяются в противофазе. Но эта мощность (1—2 на рис. 12.5в) не считается реактивной, так как она не загружает источник и провода.

Из треугольника мощностей (рис. 12.5в) видно, что реактивная мощность, которая загружает источник и провода, Q= Q_L– Q_c. Эта реактивная мощность (энергия) колеблется между источником и магнитным полем катушки индуктивности, так как

Полная мощность цепи определяется по формуле

Колебательный контур

Электрические цепи, в которых происходят периодические изменения токов, напряжений, энергии называются колебательными.

Для того чтобы исследовать резонансные явления, необходимо иметь представления о процессах в колебательном контуре, состоящем из идеальной катушки и конденсатора без потерь.

Если конденсатор емкостью С зарядить до напряжения U_m, то в электрическом поле этого конденсатора накопится энергия, максимальное значение которой согласно выражению (6.21):

Если к заряженному конденсатору подключить индуктивность L замыканием ключа К (рис. 12.6), то конденсатор будет

разряжаться через индуктивность переменным током i. При этом в индуктивности L создается ЭДС самоиндукции e_L, и в магнитном поле ее накапливается энергия, максимальное значение которой (9.12):

    

Источником энергии в этом контуре является конденсатор. Ток в контуре, состоящем из индуктивности L и конденсатора С, не прекращается даже когда конденсатор полностью разрядится. За счет ЭДС самоиндукции и энергии, накопившейся в магнитном поле индуктивности, конденсатор будет заряжаться, и энергия магнитного поля индуктивности переходит в электрическое поле конденсатора. При этом источником энергии в этом контуре является индуктивность. Дальше процесс повторяется.

Таким образом, в замкнутом контуре, состоящем из индуктивности и емкости, происходит колебание энергии между электрическим полем конденсатора С и магнитным полем индуктивности L. Поэтому такой замкнутый контур называется колебательным контуром.

Колебание энергии в колебательном контуре происходит с определенной частотой , которую называют частотой собственных колебаний контура. Частоту собственных колебаний со0 определяют из условия равенства энергии электрического и магнитного полей:

так как из (11.19) в цепи переменного тока с емкостью

Откуда

Таким образом, частота собственных колебаний колебательного контура определяется параметрами этого контура L и С.

Если в колебательном контуре отсутствуют потери (идеальный контур), то колебания в нем будут незатухающими с неизменной амплитудой. Если в колебательном контуре имеется активное сопротивление, т.е. возникают потери, то колебания энергии в нем будут затухающие, с уменьшающейся амплитудой, если эти потери не компенсируются.

Резонанс напряжений

Если в цепи синусоидального тока с последовательно соединенными конденсатором емкостью С и катушкой с сопротивлением R И индуктивностью L (рис. 12.7а) равны реактивные сопротивления, то в цепи наступает резонанс напряжений. Равенство реактивных сопротивлений является условием резонанса напряжений.

Из (12.25) следует , тогда частота резонанса опреляется выражением

Из (12.26) следует, что резонанс напряжений имеет место в неразветвленной цепи с L и С тогда, когда частота вынужденных колебаний (частота источника) будет равна частоте собственных колебаний резонансного контура . Следовательно, добиться резонанса напряжений можно изменением частоты источника или изменением параметров колебательного контура L или С. т. е. изменением частоты собственных колебаний .

Полное (кажущееся) сопротивление цепи (рис. 12.7а) при резонансе напряжений определяется по формуле

так как X_L-X_c=0.

То есть полное сопротивление неразветвленной цепи при резонансе напряжений  становится минимальным и равным активному сопротивлению цепи R.

Следовательно, ток в неразветвленной цепи при резонансе напряжений максимальный:

Реактивные сопротивления при резонансе напряжений равны между собой, т. е.
(12.29)

Таким образом, реактивные сопротивления при резонансе напряжений равны (каждое) волновому сопротивлению , которое называют характеристическим сопротивлением:

Напряжения на индуктивности U_L и на емкости U_c при резонансе напряжений равны между собой, так как равны сопротивления, см. (12.25).

Равенство (12.31) определяет название «резонанс напряжений».

Так как U_L и U_c изменяются в противофазе, то напряжение в резонансном режиме равно напряжению на активном сопротивлении , т. е. , что видно на векторной диаграмме (рис. 12.76).

При резонансе напряжений каждое из реактивных напряжений U_L и U_c может оказаться большим, чем напряжение цепи U.

где Q — добротность резонансного контура.

Добротность контура Q показывает, во сколько раз напряжение на индуктивности U_L и емкости U_c (каждое) больше напряжения цепи U.

Высокая добротность резонансного контура (при малом активном сопротивлении контура) нашла широкое применение в радиотехнике, в частности в антенном контуре.

Из векторной диаграммы (рис. 12.76) видно, что при резонансе напряжение цепи U совпадает по фазе с током , угол между и U ф = 0 и cos ф = 1. Следовательно, кажущаяся мощность цепи S при резонансе вся потребляется, т. е. является активной:

Колеблющаяся между магнитным полем индуктивности и электрическим полем емкости мощность () не является реактивной, так как не загружает источник и провода.

Из выражения (12.33) следует, что при отсутствии активной Мощности Р (активного сопротивления R) резонансный контур становится при резонансе идеальным колебательным контуром. Следовательно, при наличии активного сопротивления R источник расходует свою мощность на компенсацию потерь в контуре, за счет чего колебания в цепи будут незатухающими.

Кроме активного сопротивления R резонансной цепи и напряжения, приложенного к ней, все параметры резонансной цепи () изменяются с изменением частоты сети .

Эти изменения параметров резонансной цепи наглядно иллюстрируются резонансными кривыми, изображенными на рис. 12.8.

На резонансных кривых четко просматриваются значения этих параметров при частоте резонанса .

Общий случай неразветвленной цепи

Для неразветвленной цепи, содержащей несколько активных и реактивных сопротивлений различного характера (рис. 12.9а), справедливо геометрическое равенство напряжений (баланс напряжений)

которое лежит в основе построения векторной диаграммы (рис. 12.96).

Таким образом, напряжение цепи равно геометрической сумме напряжений на всех участках этой цепи.

Из векторной диаграммы следует (рис. 12.96)

где — активное напряжение цепи равно арифметической сумме напряжений на активных участках цепи; — реактивное напряжение цепи равно алгебраической сумме напряжений на реактивных участках цепи.

Те же рассуждения можно отнести и к сопротивлениям:

– полное сопротивление цепи ;

– активное сопротивление цепи ;

– реактивное сопротивление цепи

Напряжение на каком-либо участке неразветвленной цепи (рис. 12.9а), например на участке АВ, определяется так:_

Вектор напряжения U_AB показан на векторной диаграмме (рис. 12.96).

Пример 12.2

Напряжение, приложенное к неразветвленной цепи (рис. 12.10) U=220 В, частота тока сети f = 50 Гц. Начальная фаза тока = 0.

Сопротивление участков цепи:

Требуется:

1. Вычислить ток цепи I и записать его мгновенное значение.

2. Записать мгновенное значение напряжения цепи иАЕ, определив предварительно угол ср и характер цепи.

3. Определить напряжение между точками АВ и CD.

4. Построить в масштабе векторную диаграмму цепи, определив едварительно напряжение на каждом сопротивлении.

5. Определить мощности S, Р и Q цепи.

6. Определить частоту, при которой в цепи наступит резонанс напряжений, и ток при резонансе.

7. Определить максимальную энергию, запасенную в магнитном поле катушек W_mL и электрическом поле конденсаторов W_mC. Как нужно изменить емкость конденсаторов, чтобы в цепи пил резонанс напряжений при частоте f = 50 Гц?

Решение

1. Для определения тока цепи I необходимо вычислить полное сопротивление цепи:

Действующее значение тока = 8,8 А, а амплитудное значение тока

Угловая частота рад/с.

Мгновенное значение тока цепи:

2. Угол сдвига фаз ф и характер цепи определяется через tg ф:

Таким образом, угол ф = 37° (из таблицы), характер цепи индуктивный (+ф).

Тогда мгновенное значение напряжения цепи

где

3. Напряжение на участках:

4. Для построения векторной диаграммы определяются напряжения:

Векторная диаграмма цепи (отображает только характер участков, но не величины напряжений на них) изображена на рис. 12.11.

5. Полная мощность цепи  активная мощность Р= (так как ), реактивная мощность вар, (так как ).

6. Для определения частоты резонанса вычисляется индуктивность L и емкость С цепи:

Тогда

Ток цепи при резонансе А.

7. Максимальная энергия, запасенная в магнитном поле катушек:

Максимальная энергия, запасенная в электрическом поле конденсаторов:

8. Условие резонанса X_L = X_C.

По условию задачи , а Ом. Этому Х_с соответствует емкость С = Ф при f = 50 Гц. Для того чтобы выполнить условие резонанса при сохранении частоты 50 Гц, необходимо Х_с увеличить до 38 Ом. Чтобы емкостное сопротивление равнялось 38 Ом, величина емкости С должна быть равна

т. е. емкость конденсаторов нужно уменьшить на

Разветвленная цепь синусоидального тока

Активный и реактивный токи:

Для расчета разветвленных цепей синусоидального тока вводятся расчетные величины активного и реактивного токов цепи.

Если к цепи, содержащей активное сопротивление R и индуктивное X_L (рис. 13.1а), приложено синусоидальное напряжение , то синусоидальный ток в цепи, вызванный этим напряжением, отстает от него по фазе на угол ф (рис. 12.1 в), .

Векторная диаграмма в этом случае изображена на рис. 13.16.

Ток цепи I (рис. 13.16) раскладывается на две составляющие, одна из которых совпадает по фазе с напряжением, другая — сдвинута на 90°. Составляющая тока , совпадающая по фазе с напряжением, называется активной составляющей, или активным током. Составляющая тока , имеющая относительно напряжения сдвиг по фазе на угол 90°, называется реактивной составляющей, или реактивным током.

Активный и реактивный токи физического смысла не имеют. Они являются расчетными величинами, так как в неразветвленной цепи (рис. 13.1а) ток на всех участках имеет одинаковое значение. Однако понятия активный и реактивный токи значительно облегчают расчет разветвленных цепей синусоидального тока. Соотношения между токами определяются из треугольника токов (рис. 13.16)

13.2. Проводимости

Из треугольника токов для рассматриваемой цепи (рис. 13.16) следует: .

С другой стороны, известно, что  (см. (12.6)), a  и  (см. (12.9)).

Тогда

где g — активная проводимость цепи, равная

Величина, на которую умножают напряжение, чтобы получить ток, называют проводимостью.

А так как g определяет активный ток , то ее и называют активной проводимостью.

Таким образом, активная проводимость g определяется величиной активного сопротивления, деленного на квадрат полного (кажущегося) сопротивления цепи.

Величина реактивного тока определяется выражением

где b — реактивная проводимость цепи, равная

Величина полного тока цепи равна

где  так как для цепи синусоидального тока с (рис. 13.1а)

Таким образом, у — полная, или кажущаяся, проводимость цепи:

Полная (кажущаяся) проводимость цепи «у» является обратной величиной полного (кажущегося) сопротивления цепи.

Активная и реактивная проводимости являются соответственно обратными величинами активного R и реактивного X сопротивлений только в том случае, если эти сопротивления (R и X) являются единственными в цепи или ветви, т. е. и

Если же в неразветвленной цепи (или ветви) включены сопротивления то для определения проводимостей можно воспользоваться выражениями (13.2), (13.4), (13.6). Треугольник проводимостей для рассматриваемой цепи (рис. 13.1а) изображен на рис. 13.1 в. Соотношения между проводимостями определяются из этого треугольника.
 

Параллельное соединение катушки и конденсатора

Если к источнику синусоидального напряжения  подключить параллельно реальную катушку с активным сопротивлением и индуктивным и конденсатор с активным сопротивлением и емкостным (рис. 13.2а), то токи в параллельных ветвях этой цепи изменяются по синусоидальному закону:

Действующие значения этих токов будут соответственно равны

Ток в неразветвленной цепи равен геометрической сумме токов в ветвях, так как токи не совпадают по фазе:

Для определения этого тока строится векторная диаграмма цепи (рис. 13.26), из которой следует:

где 
Таким образом, ток в неразветвленной части цепи  определяется произведением напряжения U и полной проводимости цепи

Реактивные проводимости в ветвях имеют различные знаки, так как сопротивления в ветвях различного характера (индуктивное и емкостное).

Треугольник проводимостей рассматриваемой цепи изображен на рис. 13.2в.

Характер разветвленной цепи определяется так же, как и неразветвленной. Если ток цепи отстает от напряжения (как в рассматриваемом случае), то цепь индуктивного характера, если же ток опережает напряжение то цепь емкостного характера.
 

Резонанс токов

Резонанс токов в цепи (рис. 13.2а) с параллельным включением катушки и конденсатора (в различных ветвях) возникает при равенстве реактивных проводимостей в ветвях:

Выражение (13.9) является условием резонанса токов в разветвленных цепях синусоидального тока. Полная (кажущаяся) проводимость при этом условии

так как
 

Таким образом, полная проводимость цепи при резонансе токов  минимальна по величине и равна активной проводимости  Следовательно, и ток в неразветвленной части цепи при резонансе токов имеет минимальную величину

Реактивные токи в ветвях при резонансе токов равны между собой

Это равенство и определяет название «резонанс токов».

На основании равенства (13.12) строится векторная диаграмма при резонансе токов (рис. 13.3). Реактивные токи находятся в противофазе, поэтому ток в неразветвленной части цепи при резонансе токов равен активному току и совпадает по фазе с напряжением, т.е. Следовательно, вся мощность цепи 5 при резонансе токов является активной Р:

Эта активная мощность компенсирует потери на активном сопротивлении в параллельном резонансном контуре. Мощность (энергия), которая колеблется между электрическим полем конденсатора и магнитным полем индуктивности при резонансе, не является реактивной, так как не загружает источник и провода.

Частота резонанса токов в параллельном резонансном контуре может быть определена из условия резонанса токов, т. е. равенства реактивных проводимостей в ветвях

После ряда преобразований равенства (13.13) определяется частота резонанса токов

Резонансная частота зависит не только от параметров колебательного контура но и от активных сопротивлений в ветвях реального резонансного контура.

Если в резонансном контуре отсутствуют активные сопротивления в ветвях, то частота резонанса токов  становится равной частоте собственных колебаний идеального резонансного контура

Если в резонансном контуре или то резонанса токов добиться невозможно.

Резонанс токов нашел широкое применение в радиотехнике и выпрямительной технике (в резонансных фильтрах) и др.

Пример 13.1

Напряжение, приложенное к параллельно включенным катушке и конденсатору (рис. 13.4а), частота сети  Гц. Параметры цепи: Определить:

1) токи всех участков цепи:

2) углы сдвига фаз этих токов относительно напряжения:

3) полную S, активную Р и реактивную Q мощности цепи;

4) частоту, при которой наступит резонанс токов в этой цепи. Построить векторную диаграмму.

Решение

1. Сопротивление участков цепи:

где

Сопротивление 1-й ветви:

Токи в ветвях соответственно равны

Для определения тока в неразветвленной части цепи определяются проводимости:

Тогда полная проводимость цепи будет равна

Ток в неразветвленной части цепи

2. Углы сдвига фаз:

.

Знак «минус» перед значением угла параллельного контура означает, что цепь имеет емкостной характер, так как

3. Полная мощность цепи

Активная мощность цепи так как

Откуда

Для построения векторной диаграммы определяют активные и реактивные токи в ветвях:

так как в ветви с емкостью отсутствует активное сопротивление, т.е.

Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи изображена на рис. 13.46.

На векторной диаграмме видно, что ток I опережает напряжение U на угол 53°30′ (цепь емкостного характера).
 

Коэффициент мощности

Номинальные параметры, т.е. мощность источника мощность потребителя и коэффициент мощности связаны следующим соотношением

Из (13.15) следует, что чем меньше тем большую мощность должен иметь источник для питания этого потребителя, т. е. тем больше его габариты, вес, расход материалов, стоимость и др.

Ток в цепи потребителя с определенным согласно выражению (12.11) равен

Из (13.16) видно, что чем меньше , тем больше ток потребителя тем больший ток проходит по проводам линий электропередачи, тем больше потери энергии в этой линии и меньше КПД ее и всей системы (3.11). Кроме того, увеличение тока требует для его передачи проводов большего сечения, т. е. большего расхода цветных металлов.

Таким образом, низкий коэффициент мощности потребителя приводит к увеличению мощности источника, питающего этот потребитель, уменьшению КПД линии электропередачи и к увеличению сечения проводов линий электропередачи. 4В России установлен минимально допустимый коэффициент мощности не менее 0,93, т.е. должен быть равен или больше 0,93

Однако большинства электрических потребителей переменного тока меньше этой нормы. Так, например, асинхронных двигателей, в зависимости от нагрузки, составляет трансформаторов – выпрямителей – и т.д. Следовательно, коэффициент мощности этих потребителей необходимо повышать.

Так как большинство потребителей представляет собой нагрузку индуктивного характера, то для улучшения параллельно с ним подключаются конденсаторы (рис. 13.5а).

Из векторной диаграммы (рис. 13.56) видно, что с подключением конденсатора С (ключ К замкнут) появляется за счет которого уменьшается угол и увеличивается установки. При этом уменьшается ток цепи который до подключения конденсатора был равен току нагрузки

Для повышения коэффициента мощности конденсатор можно включить последовательно с потребителем индуктивного характера. Однако при этом нарушается режим работы (напряжение) потребителя. Поэтому для улучшения конденсатор подключают параллельно с нагрузкой (рис. 13.5а).

Коэффициент мощности можно повысить, увеличив активную нагрузку. При этом увеличивается потребляемая энергия, что экономически нерационально (уменьшается КПД установки).

Пример 13.2

Асинхронный двигатель, включенный в сеть с напряжением и частотой развивает на валу мощность КПД двигателя при Определить емкость конденсатора С, который необходимо включить параллельно с двигателем (рис. 13.5а), чтобы повысить установки до 0,95.

Решение

Мощность, потребляемая двигателем из сети:

Ток нагрузки т.е. ток двигателя (рис. 13.5а), равен

Реактивная составляющая тока двигателя (рис. 13.56)

(по таблице ).

Ток установки при подключении конденсатора, т. е. при будет равен

При Реактивная составляющая тока установки (рис. 13.56)

Ток конденсатора (рис. 13.56)

Емкостное сопротивление конденсаторов

Емкость конденсаторов, которые нужно подключить параллельно двигателю для улучшения до 0,95: