Как найти деление матриц

Краткое резюме

1. Делить матрицы нельзя. Вместо деления одну матрицу умножают на матрицу, обратную второй матрице. «Деление» двух матриц [A] ÷ [B] записывается так: [A] * [B]^-1 или [B]^-1 * [A].
2. Если матрица [B] не является квадратной или если ее определитель равен 0, запишите «однозначного решения нет». В противном случае найдите определитель матрицы [B] и перейдите к следующему шагу.
3. Найдите обратную матрицу: [B]^-1.
4. Перемножьте матрицы, чтобы найти [A] * [B]^-1 или [B]^-1 * [A]. Имейте в виду, что порядок перемножения матриц влияет на конечный результат (то есть результаты могут быть разными).

1. 

   1

   Разберитесь с «делением» матриц. На самом деле матрицы делить нельзя. Нет такой математической операции, как «деление одной матрицы на другую».^[2]
   Деление заменяется умножением одной матрицы на матрицу, обратную второй матрице. То есть запись [A] ÷ [B] не верна, поэтому ее заменяют такой записью: [A] * [B]^-1. Так как обе записи являются равнозначными в случае скалярных величин, теоретически можно говорить о «делении» матриц, но все-таки лучше пользоваться правильной терминологией.

2. 

   2

   Убедитесь, что матрица, на которую вы «делите» другую матрицу, является квадратной. Чтобы инвертировать матрицу (найти обратную матрицу), она должна быть квадратной, то есть с одинаковым количеством строк и столбцов. Если инвертируемая матрица не является обратной, однозначного решения нет.^[3]
   

   • Опять же, здесь матрицы не «делятся». В операции [A] * [B]^-1 описанное условие относится к матрице [B]. В нашем примере это условие относится к матрице
   • Матрица, которую можно инвертировать, называется невырожденной или регулярной. Матрица, которую нельзя инвертировать, называется вырожденной или сингулярной.

3. 

   3

   Проверьте, можно ли перемножить две матрицы. Чтобы перемножить две матрицы, количество столбцов первой матрицы должно равняться количеству строк второй матрицы.^[4]
   Если это условие не соблюдается в записи [A] * [B]^-1 или [B]^-1 * [A], решения нет.

   • Например, если размер матрицы [А] равен 4 х 3, а размер матрицы [B] равен 2 х 2, решения нет. Нельзя перемножить [A] * [B]^-1, потому что 4 ≠ 2, и нельзя перемножить [B]^-1 * [A], так как 2 ≠ 3.
   • Обратите внимание, что у обратной матрицы [B]^-1 всегда то же количество строк и столбцов, что и у исходной матрицы [B]. Нет необходимости находить обратную матрицу, чтобы проверить, что две матрицы можно перемножить.
   • В нашем примере размер обеих матриц 2 х 2, поэтому их можно перемножить в любом порядке.

4. 

   4

   Найдите определитель матрицы 2 × 2. Запомните: инвертировать матрицу можно только в том случае, если ее определитель не равен нулю (в противном случае инвертировать матрицу нельзя). Вот как найти определитель матрицы 2 х 2:

5. 

   5

   Найдите определитель большей матрицы. Если размер матрицы равен 3 х 3 или больше, вычисление определителя немного усложняется.

   • Матрица 3 х 3: выберите любой элемент и зачеркните строку и столбец, в которых он находится. Найдите определитель получившееся матрицы 2 × 2, а затем умножьте его на выбранный элемент; знак определителя уточните в специальной таблице. Повторите описанный процесс для двух других элементов, которые находятся в одной строке или столбце с выбранным элементом. Затем найдите сумму полученных (трех) определителей. Прочитайте эту статью, чтобы получить дополнительную информацию о том, как находить определитель матрицы 3 х 3.
   • Большие матрицы: определитель таких матриц лучше искать при помощи графического калькулятора или программного обеспечения. Метод аналогичен методу нахождения определителя матрицы 3 × 3, но применять его вручную довольно утомительно.^[6]
     Например, чтобы найти определитель матрицы 4 х 4, нужно найти определители четырех матриц 3 х 3.

6. 

   6

   Продолжите вычисления. Если матрица не является квадратной или если ее определитель равен нулю, напишите «однозначного решения нет», то есть процесс вычисления завершен. Если же матрица является квадратной и ее определитель не равен нулю, перейдите к следующему разделу.

   Реклама

1. 

   1

   Поменяйте местами элементы главной диагонали матрицы 2 х 2. Если дана матрица 2 × 2, воспользуйтесь быстрым методом нахождения обратной матрицы.^[7]
   Для начала поменяйте местами верхний левый элемент и нижний правый элемент. Например:

2. 

   2

   Оставшиеся два элемента местами не меняйте, но измените их знак. То есть верхний правый элемент и нижний левый элемент умножьте на -1:

3. 

   3

   Найдите число, обратное значению определителя. Определитель этой матрицы был найден в предыдущем разделе, поэтому не будем вычислять его еще раз. Обратное значение определителя записывается так: 1 / (определитель):

   • В нашем примере определитель равен 13. Обратное значение: .

4. 

   4

   Полученную матрицу умножьте на обратное значение определителя. Каждый элемент новой матрицы умножьте на обратное значение определителя. Конечная матрица будет обратна исходной матрице 2 х 2:

5. 

   5

   Проверьте правильность вычислений. Для этого умножьте исходную матрицу на обратную. Если вычисления правильные, произведение исходной матрицы на обратную даст единичную матрицу: . Если проверка прошла успешно, перейдите к следующему разделу.

   • В нашем примере: .
   • Чтобы получить дополнительную информацию о том, как перемножать матрицы, прочитайте эту статью.
   • Примечание: операция перемножения матриц не является коммутативной, то есть важен порядок расположения матриц. Но при умножении исходной матрицы на обратную любой порядок приводит к единичной матрице.^[8]
     

6. 

   6

   Найдите обратную матрицу для матрицы 3 х 3 (или большего размера). Если вы уже знакомы с этим процессом, лучше воспользоваться графическим калькулятором или специальным программным обеспечением. Если нужно найти обратную матрицу вручную, ниже приводится краткое описание процесса:^{[9]
   [10]}
   

   • Присоедините единичную матрицу I с правой стороны исходной матрицы. Например, [B] → [B | I ]. У единичной матрицы все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0.
   • Упростите матрицу так, чтобы привести ее левую сторону к ступенчатому виду; продолжите упрощение, чтобы левая сторона превратилась в единичную матрицу.
   • После упрощения матрица примет следующий вид: [I | B^-1]. То есть ее правая сторона является матрицей, обратной исходной матрице.

   Реклама

1. 

   1

   Запишите два возможных выражения. Операция умножения двух скаляров коммутативна, то есть 2 х 6 = 6 х 2. Это не так в случае умножения матриц, поэтому, возможно, придется решить два выражения:

   • x = [A] * [B]^-1 – это решение уравнения x[B] = [A].
   • x = [B]^-1 * [A] – это решение уравнения [B]x = [A].
   • Каждую математическую операцию выполняйте с обеих сторон уравнения. Если [A] = [C], то [B]^-1[A] ≠ [C][B]^-1, потому что [B]^-1 находится слева от [A], но справа от [C].^[11]
     

2. 

   2

   Определите размер конечной матрицы. Размер конечной матрицы зависит от размеров перемножаемых матриц. Количество строк конечной матрицы равно количеству строк первой матрицы, а количество столбцов конечной матрицы равно количеству столбцов второй матрицы.

3. 

   3

   Найдите значение первого элемента. Прочитайте эту статью или вспомните следующие основные действия:

4. 

   4

   Продолжите вычислять скалярные произведения, чтобы найти каждый элемент конечной матрицы. Например, элемент, расположенный во второй строке и первом столбце, равен скалярному произведению второй строки матрицы [A] и первого столбца матрицы [B]^-1. Попробуйте самостоятельно найти оставшиеся элементы. Вы должны получить следующие результаты:

   • 
   • Если нужно найти другое решение:

   Реклама

Советы

• Матрицу можно разделить на скаляр; для этого каждый элемент матрицы делится на скаляр.

Реклама

Предупреждения

• Калькулятор не всегда дает абсолютно точные результаты, когда дело касается матричных вычислений. Например, если калькулятор утверждает, что элемент является очень малым числом (таким как 2E^-8), скорее всего, значение равно нулю.^[12]
  

Реклама

1. 

   1

   Understand matrix “division.“ Technically, there is no such thing as matrix division. Dividing a matrix by another matrix is an undefined function.^[3]
   The closest equivalent is multiplying by the inverse of another matrix. In other words, while [A] ÷ [B] is undefined, you can solve the problem [A] * [B]^-1. Since these two equations would be equivalent for scalar quantities, this “feels” like matrix division, but it’s important to use the correct terminology.

2. 

   2

   Confirm the “divisor matrix” is square. To take the inverse of a matrix, it must be a square matrix, with the same number of rows and columns. If the matrix you’re planning to inverse is non-square, there is no unique solution to the problem.^[4]
   

   • The term “divisor matrix” is a little loose, since this is not technically a division problem. For [A] * [B]^-1, this refers to matrix [B]. In our example problem, this is .
   • A matrix that has an inverse is called “invertible” or “non-singular.” Matrices without an inverse are “singular.”

   Advertisement

3. 

   3

   Check that the two matrices can be multiplied together. To multiply two matrices together, the number of columns in the first matrix must equal the number of rows in the second matrix.^[5]
   If this does not work in either arrangement ([A] * [B]^-1 or [B]^-1 * [A]), there is no solution to the problem.

   • For example, if [A] is a 4 x 3 matrix (4 rows, 3 columns) and [B] is a 2 x 2 matrix (2 rows, 2 columns), there is no solution. [A] * [B]^-1 does not work since 3 ≠ 2, and [B]^-1 * [A] does not work since 2 ≠ 4.
   • Note that the inverse [B]^-1 always has the same number of rows and columns as the original matrix [B]. There’s no need to calculate the inverse to complete this step.
   • In our example problem, both matrices are 2 x 2s, so they can be multiplied in either order.

4. 

   4

   Find the determinant of a 2 x 2 matrix. There’s one more requirement to check before you can take the inverse of a matrix. The determinant of the matrix must be nonzero. If the determinant is zero, the matrix does not have an inverse. Here’s how to find the determinant in the simplest case, the 2 x 2 matrix:^[6]
   

5. 

   5

   Find the determinant of a larger matrix. If your matrix is 3 x 3 or larger, finding the determinant takes a bit more work:^[8]
   

   • 3 x 3 matrix: Choose any element and cross out the row and column it belongs to. Find the determinant of the remaining 2 x 2 matrix, multiply by the chosen element, and refer to a matrix sign chart to determine the sign. Repeat this for the other two elements in the same row or column as the first one you chose, then sum all three determinants. Read this article for step-by-step instructions and tips to speed this up.
   • Larger matrices: Using a graphing calculator or software is recommended. The method is similar to the 3 x 3 matrix method, but is tedious by hand.^[9]
     For example, to find the determinant of a 4 x 4 matrix, you need to find the determinants of four 3 x 3 matrices.

6. 

   6

   Continue on. If your matrix is not square, or if its determinant is zero, write “no unique solution.” The problem is complete. If the matrix is square and its determinant is non-zero, continue to the next section for the next step: finding the inverse.

Advertisement

1. 

   1

   Switch the positions of the elements on the main 2 x 2 diagonal. If your matrix is 2 x 2, you can use a shortcut to make this calculation much easier.^[10]
   The first step in this shortcut involves switching the top left element with the bottom right element. For example:

2. 

   2

   Take the opposite of the other two elements, but leave them in position. In other words, multiply the top right and bottom left elements by -1:^[11]
   

3. 

   3

   Take the reciprocal of the determinant. You found the determinant of this matrix in the section above, so there’s no need to calculate it a second time. Just write down the reciprocal 1 / (determinant):^[12]
   

   • In our example, the determinant is 13. The reciprocal of this is .

4. 

   4

   Multiply the new matrix by the reciprocal of the determinant. Multiply each element of the new matrix by the reciprocal you just found. The resulting matrix is the inverse of the 2 x 2 matrix:^[13]
   

5. 

   5

   Confirm the inverse is correct. To check your work, multiply the inverse by the original matrix. If the inverse is correct, their product will always be the identity matrix, If the math checks out, continue on to the next section to complete your problem.

   • For the example problem, multiply .
   • Here’s a refresher on how to multiply matrices.
   • Note: Matrix multiplication is not commutative: the order of the factors matters. However, when multiplying a matrix by its inverse, both options will result in the identity matrix.^[14]
     

6. 

   6

   Review matrix inversion for 3 x 3 matrices or larger. Unless you are learning this process for the first time, save yourself time by using a graphing calculator or math software for larger matrices. If you do need to calculate it by hand, here’s a quick summary of one method:^{[15]
   [16]}
   

   • Adjoin the identity matrix I to the right side of your matrix. For example, [B] → [B | I ]. The identity matrix has “1” elements along the main diagonal, and “0” elements in all other positions.
   • Perform row operations to reduce the matrix until the left side is in row-echelon form, then continue reducing until the left side is the identity matrix.
   • Once the operation is complete, your matrix will be in the form [I | B^-1]. In other words, the right side will be the inverse of the original matrix.

Advertisement

1. 

   1

   Write both possible equations. In “ordinary math” with scalar quantities, multiplication is commutative; 2 x 6 = 6 x 2. This is not true for matrices, so you may need to solve two problems:^[17]
   

   • [A] * [B]^-1 is the solution x for the problem x[B] = [A].
   • [B]^-1 * [A] is the solution x for the problem [B]x = [A].
   • If this is part of an equation, make sure you are performing the same operation on both sides. If [A] = [C], then [B]^-1[A] does not equal [C][B]^-1, because the [B]^-1 is on the left side of [A] but the right side of [C].^[18]
     

2. 

   2

   Find the dimensions of your answer. The dimensions of the final matrix are the outer dimensions of the two factors. It has the same number of rows as the first matrix, and the same number of columns as the second matrix.^[19]
   

3. 

   3

4. 

   4

   Repeat the dot product process for each position in your matrix. For example, the element at position 2,1 is the dot product of [A] row 2 and [B]^-1 column 1. Try to complete the example on your own. You should get the following answers:^[21]
   

   • 
   • If you need to find the other solution,

Advertisement

Advertisement

• You can divide a matrix by a scalar by dividing each element of the matrix by the scalar.

• Calculators are not always 100% accurate when it involves matrix calculations. For instance, if your calculator tells you an element is a very small number (2E^-8, for example), the value is most likely zero.^[22]
  

Did this summary help you?