Здравствуйте, дорогие читатели! Как посчитать, сколько делителей у какого-нибудь числа? Если это число маленькое, то никаких сложностей не возникает. Например, для числа 10, мы легко можем найти все делители и посчитать их количество простым перебором. А вот как узнать, на какое количество различных чисел делится, например, число 720? Можно, конечно, опять же перебрать все делители, но это будет довольно трудоемко. При чем, 720 – еще и довольно маленькое число.
Сегодня, я Вам расскажу, как находить количество делителей любого натурального числа, зная всего лишь одну простую формулу.
На самом деле, наша сегодняшняя формула будет даже проще, чем те, которые изображены на картинке выше)
Вы находитесь на канале Trifler, где я разбираю интересные математические задачи, а также рассуждаю на некоторые околоматематические темы. Если Вы искренне увлечены математикой, но еще не подписаны на этот канал, то самое время это исправить! Подписаться
Чудо-формула
Ну что ж, пора переходить от разговоров к делу.
Мы знаем, что любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел, которые являются его делителями. Так как один и тот же простой делитель может встречаться несколько раз, то любое натуральное числа можно записать так:
Если не совсем понятно, о чем идет речь, то потом посмотрите пример ниже. На самом деле, все очень просто.
Так вот, после того, как мы найдем такое представление числа n, количество его делителей можно будет посчитать по формуле:
Посмотрим, как все это считается на примере
Пример
Раскладываем это число на простые множители, чтобы получить нужное представление:
Теперь, запишем число 720 в каноническом виде:
Ну и все, остается только применить чудо-формулу:
Вот и все, получили, что у числа 720 имеется 30 различных натуральных делителей. Стоит сделать замечание:
По этой формуле мы считаем количество делителей вместе с единицей и самим числом.
Если Вам понравилась статья, то обязательно ставьте лайки и комментируйте ее. Это поспособствует тому, чтобы ее увидело много людей!
Читайте также ТОП-3 статьи, выпущенные в этом месяце на моем канале:
- Quincy: робот, который обучит Ваших детей математике, английскому и рисованию
- Почему вторая степень это квадрат, а третья – куб
- Необычное тригонометрическое уравнение
Разложение многочлена на множители. Часть 3. Теорема Безу и схема Горнера
Разложение многочлена на множители. Теорема Безу и схема Горнера
При решении уравнений и неравенств нередко возникает необходимость разложить на множители многочлен, степень которого равна трем или выше. В этой статье мы рассмотрим, каким образом это сделать проще всего.
Как обычно, обратимся за помощью к теории.
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена 
на двучлен 
равен 
.
Но для нас важна не сама теорема, а следствие из нее:
Если число 
является корнем многочлена , то многочлен 
делится без остатка на двучлен .
Перед нами стоит задача каким-то способом найти хотя бы один корень многочлена, потом разделить многочлен на , где – корень многочлена. В результате мы получаем многочлен, степень которого на единицу меньше, чем степень исходного. А потом при необходимости можно повторить процесс.
Эта задача распадается на две: как найти корень многочлена , и как разделить многочлен на двучлен.
Остановимся подробнее на этих моментах.
1. Как найти корень многочлена.
Сначала проверяем, являются ли числа 1 и -1 корнями многочлена.
Здесь нам помогут такие факты:
Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число 
является корнем многочлена.
Например, в многочлене 
сумма коэффициентов равна нулю: 
. Легко проверить, что 
является корнем многочлена.
Если сумма коэффициентов многочлена при четных степенях 
равна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число 
является корнем многочлена. Свободный член считается коэффициентом при четной степени, поскольку 
, а 
– четное число.
Например, в многочлене 
сумма коэффициентов при четных степенях : 
, и сумма коэффициентов при нечетных степенях : 
. Легко проверить, что 
является корнем многочлена.
Если ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена, то двигаемся дальше.
Для приведенного многочлена степени 
(то есть многочлена, в котором старший коэффициент – коэффициент при 
– равен единице) справедлива формула Виета:
, где 
– корни многочлена 
.
Если многочлен не является приведенным, то его можно сделать таковым, разделив на старший коэффициент.
Есть ещё формул Виета, касающихся остальных коэффициентов многочлена, но нас интересует именно эта.
Из этой формулы Виета следует, что если корни приведенного многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.
Исходя из этого, нам надо разложить свободный член многочлена на множители, и последовательно, от меньшего к большему, проверять, какой из множителей является корнем многочлена.
Рассмотрим, например, многочлен 
.
Для этого многочлена произведение корней равно 
Делители числа 
: 
; 
; 
Сумма всех коэффициентов многочлена равна 
, следовательно, число 1 не является корнем многочлена.
Сумма коэффициентов при четных степенях : 
Сумма коэффициентов при нечетных степенях : 
, следовательно, число -1 также не является корнем многочлена.
Проверим, является ли число 2 корнем многочлена: 
, следовательно, число 2 является корнем многочлена. Значит, по теореме Безу, многочлен делится без остатка на двучлен 
.
2. Как разделить многочлен на двучлен.
Многочлен можно разделить на двучлен столбиком.
Разделим многочлен на двучлен столбиком:
Есть и другой способ деления многочлена на двучлен – схема Горнера.
Посмотрите это видео, чтобы понять, как делить многочлен на двучлен столбиком, и с помощью схемы Горнера.
Замечу, что если при делении столбиком какая-то степень неизвестного в исходном многочлене отсутствует, на её месте пишем 0 – так же, как при составлении таблицы для схемы Горнера.
Итак, если нам нужно разделить многочлен на двучлен и в результате деления мы получаем многочлен 
, то коэффициенты многочлена 
мы можем найти по схеме Горнера:
Мы также можем использовать схему Горнера для того, чтобы проверить, является ли данное число корнем многочлена: если число является корнем многочлена , то остаток от деления многочлена на равен нулю, то есть в последнем столбце второй строки схемы Горнера мы получаем 0.
Используя схему Горнера, мы “убиваем двух зайцев”: одновременно проверяем, является ли число корнем многочлена и делим этот многочлен на двучлен .
Пример. Решить уравнение:
1. Выпишем делители свободного члена, и будем искать корни многочлена среди делителей свободного члена.
Делители числа 24: 
2. Проверим, является ли число 1 корнем многочлена.
Сумма коэффициентов многочлена 
, следовательно, число 1 является корнем многочлена.
3. Разделим исходный многочлен на двучлен 
с помощью схемы Горнера.
А) Выпишем в первую строку таблицы коэффициенты исходного многочлена.
Так как член, содержащий 
отсутствует, в том столбце таблицы, в котором должен стоять коэффициент при пишем 0. Слева пишем найденный корень: число 1.
Б) Заполняем первую строку таблицы.
В последнем столбце, как и ожидалось, мы получили ноль, мы разделили исходный многочлен на двучлен без остатка. Коэффициенты многочлена, получившегося в результате деления изображены синим цветом во второй строке таблицы:
Будем делить дальше. Нам нужно найти корни многочлена 
. Корни также ищем среди делителей свободного члена, то есть теперь уже числа -24.
Легко проверить, что числа 1 и -1 не являются корнями многочлена
В) Продолжим таблицу. Проверим, является ли число 2 корнем многочлена :
Так степень многочлена, который получается в результате деления на единицу меньше степени исходного многочлена, следовательно и количество коэффициентов и количество столбцов на единицу меньше.
В последнем столбце мы получили -40 – число, не равное нулю, следовательно, многочлен делится на двучлен 
с остатком, и число 2 не является корнем многочлена.
Идем дальше.
В) Проверим, является ли число -2 корнем многочлена . Так как предыдущая попытка оказалась неудачной, чтобы не было путаницы с коэффициентами, я сотру строку, соответствующую этой попытке:
Отлично! В остатке мы получили ноль, следовательно, многочлен разделился на двучлен 
без остатка, следовательно, число -2 является корнем многочлена. Коэффициенты многочлена, который получается в результате деления многочлена на двучлен в таблице изображены зеленым цветом.
В результате деления мы получили квадратный трехчлен 
, корни которого легко находятся по теореме Виета: 
Итак, корни исходного уравнения :
{
}
Ответ: {
}
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Число называется делителем (или множителем) другого числа в том случае, если при делении на него получается целый результат без остатка.[1]
Для малого числа (например, 6) определить количество делителей довольно легко: достаточно выписать все возможные произведения двух целых чисел, которые дают заданное число. При работе с большими числами определить количество делителей становится сложнее. Тем не менее, если вы разложите целое число на простые множители, то легко сможете определить число делителей с помощью простой формулы.
-
1
Запишите заданное целое число вверху страницы. Вам понадобится достаточно места для того, чтобы расположить ниже числа дерево множителей. Для разложения числа на простые множители можно использовать и другие методы, которые вы найдете в статье Как разложить число на множители.
- Например, если вы хотите узнать, сколько делителей, или множителей имеет число 24, запишите вверху страницы.
- Например, если вы хотите узнать, сколько делителей, или множителей имеет число 24, запишите
-
2
Найдите два числа (помимо 1), при перемножении которых получается заданное число. Таким образом вы найдете два делителя, или множителя данного числа. Проведите от данного числа две ветки вниз и запишите на их концах полученные множители.
-
3
Поищите простые множители. Простым множителем называется такое число, которое делится без остатка лишь на само себя и на 1.[2]
Например, число 7 является простым множителем, так как оно делится без остатка лишь на 1 и 7. Для удобства обводите найденные простые множители кружком.- Например, 2 является простым числом, поэтому обведите кружком.
- Например, 2 является простым числом, поэтому обведите
-
4
Продолжайте раскладывать составные (не простые) числа на множители. Проводите следующие ветки от составных чисел до тех пор, пока все множители не станут простыми. Не забывайте обводить простые числа кружками.
-
5
Представьте каждый простой множитель в степенной форме. Для этого подсчитайте, сколько раз встречается каждый простой множитель в нарисованном дереве множителей. Это число и будет степенью, в которую необходимо возвести данный простой множитель.[3]
-
6
Запишите разложение числа на простые множители. Первоначально заданное число равно произведению простых множителей в соответствующих степенях.
- В нашем примере .
Реклама
- В нашем примере
-
1
-
2
Подставьте в формулу величины степеней. Будьте внимательны и используйте степени при простых множителях, а не сами множители.
-
3
Сложите величины в скобках. Просто прибавьте 1 к каждой степени.
-
4
Перемножьте полученные величины. В результате вы определите количество делителей, или множителей данного числа
.
Реклама
Советы
- Если число представляет собой квадрат целого числа (например, 36 является квадратом числа 6), то оно имеет нечетное количество делителей. Если же число не является квадратом другого целого числа, количество его делителей четно.
Реклама
Похожие статьи
Об этой статье
Эту страницу просматривали 120 713 раз.
Была ли эта статья полезной?
Нахождение всех делителей числа
- Все делители числа
- Калькулятор нахождения всех делителей
Все делители числа
Все делители, на которые данное число делится нацело, можно получить из разложения числа на простые множители.
Нахождение всех делителей числа выполняется следующим образом:
- Сначала нужно разложить данное число на простые множители.
- Выписываем каждый полученный простой множитель (без повторов, если какой-то множитель повторяется).
- Далее, находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой и добавляем их к выписанным простым множителям.
- В конце добавляем в качестве делителя единицу.
Например, найдём все делители числа 40. Раскладываем число 40 на простые множители:
40 = 23 · 5.
Выписываем (без повторов) каждый полученный простой множитель — это 2 и 5.
Далее находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой:
| 2 · 2 = 4, |
| 2 · 2 · 2 = 8, |
| 2 · 5 = 10, |
| 2 · 2 · 5 = 20, |
| 2 · 2 · 2 · 5 = 40. |
Добавляем в качестве делителя 1. В итоге получаем все делители, на которые число 40 делится без остатка:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
Других делителей у числа 40 нет.
Калькулятор нахождения всех делителей
Данный калькулятор поможет вам получить все делители числа. Просто введите число и нажмите кнопку “Вычислить”.
В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.
Как найти все делители числа
Чтобы понять материал, изложенный в данном пункте, нужно хорошо знать, что вообще из себя представляют кратные числа и делители. Здесь мы поговорим только о поиске делителей натуральных чисел, т.е. целых положительных. Этим можно ограничиться, поскольку свойство делимости гласит, что делители целого отрицательного числа аналогичны делителям целого положительного, которое будет противоположным по отношению к этому числу. Также сразу уточним, что у нуля есть бесконечно большое число делителей, и находить их смысла не имеет, поскольку в итоге все равно получится 0.
Если речь идет о простом числе, то его можно разделить только на единицу и на само себя. Значит, у любого простого числа a есть всего 4 делителя, два из которых больше 0 и два меньше: 1, -1, a, -a. Возьмем простое число 7: у него есть делители 7, -7, 1 и -1, и все. Еще один пример: 367 – тоже простое число, которое можно разделить лишь на 1, -1, 367 и -367.
Сложнее определить все делители составного числа. Сформулируем теорему, которая лежит в основе данного действия.
Допустим, у нас есть выражение, означающее каноническое разложение числа на простые множители, вида a=p1s1·p2s2·…·pnsn. Тогда натуральными делителями числа a будут следующие числа: d=p1t2·p2t2·…·pntn, где t1=0, 1, …, s1, t2=0, 1, …, s2, …, tn=0, 1, …, sn.
Перейдем к доказательству этой теоремы. Зная основное определение делимости, мы можем утверждать, что a можно разделить на d, если есть такое число q, что делает верным равенство a=d·q, т.е. q=p1(s1−t1)·p2(s2-t2)·…·pn(sn-tn).
Любое число, делящее a, будет иметь именно такой вид, поскольку, согласно свойствам делимости, других простых множителей, кроме p1, p2, …, pn, оно иметь не может, а их показатели в данном случае не превысят s1, s2, …, sn.
Учитывая доказательство этой теоремы, мы можем сформировать схему нахождения всех положительных делителей данного числа.
Для этого нужно выполнить следующие действия:
- Выполнить каноническое разложение на простые множители и получить выражение вида a=p1s1·p2s2·…·pnsn.
- Найти все значения d=p1t2·p2t2·…·pntn, где числа t1, t2, …, tn будут принимать независимо друг от друга каждое из значений t1=0, 1, …, s1, t2=0, 1, …, s2, …, tn=0, 1, …, sn.
Самым трудным в таком расчете является именно перебор всех комбинаций указанных значений. Разберем подробно решения нескольких задач, чтобы наглядно показать применение данной схемы на практике.
Условие: найти все делители 8.
Решение
Разложим восьмерку на простые множители и получим 8=2·2·2. Переведем разложение в каноническую форму и получим 8=23. Следовательно, a=8, p1=2, s1=3.
Поскольку все делители восьмерки будут значениями p1t1=2t1, то t1 может принять значения нуля, единицы, двойки, тройки. 3 будет последним значением, ведь s1=3. Таким образом, если t1=0, то 2t1=20=1, если 1, то 2t1=21=2, если 2, то 2t1=22=4, а если 3, то 2t1=23=8.
Для нахождения делителей удобно все полученные значения оформлять в виде таблицы:
| t1 | 2t1 |
| 0 | 20=1 |
| 1 | 21=2 |
| 2 | 22=4 |
| 3 | 23=8 |
Значит, положительными делителями восьмерки будут числа 1, 2, 4 и 8, а отрицательными −1, −2, −4 и −8.
Ответ: делителями данного числа будут ±1, ±2, ±4, ±8.
Возьмем пример чуть сложнее: в нем при разложении числа получится не один, а два множителя.
Условие: найдите все делители числа 567, являющиеся натуральными числами.
Решение
Начнем с разложения данного числа на простые множители.
56718963217133337
Приведем разложение к каноническому виду и получим 567=34·7. Затем перейдем к вычислению всех натуральных множителей. Для этого будем присваивать t1 и t2 значения 0, 1, 2, 3, 4 и 0, 1, вычисляя при этом значения 3t1·7t2. Результаты будем вносить в таблицу:
| t1 | t2 | 3t1·7t2 |
| 0 | 0 | 30·70=1 |
| 0 | 1 | 30·71=7 |
| 1 | 0 | 31·70=3 |
| 1 | 1 | 31·71=21 |
| 2 | 0 | 32·70=9 |
| 2 | 1 | 32·71=63 |
| 3 | 0 | 33·70=27 |
| 3 | 1 | 33·71=189 |
| 4 | 0 | 34·70=81 |
| 4 | 1 | 34·71=567 |
Ответ: натуральными делителями 567 будут числа 27, 63, 81, 189, 1, 3, 7, 9, 21 и 567.
Продолжим усложнять наши примеры – возьмем четырехзначное число.
Условие: найти все делители 3 900, которые будут больше 0.
Решение
Проводим разложение данного числа на простые множители. В каноническом виде оно будет выглядеть как 3 900=22·3·52·13. Теперь приступаем к нахождению положительных делителей, подставляя в выражение 2t1·3t2·5t3·13t4 значения t1, равные 0, 1 и 2, t2=0,1, t3=0, 1, 2, t4=0, 1. Результаты представляем в табличном виде:
| t1 | t2 | t3 | t4 | 2t1·3t2·5t3·13t4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 20·30·50·130=1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 20·30·50·131=13 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 20·30·51·130=5 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 20·30·51·131=65 |
| 0 | 0 | 2 | 0 | 20·30·52·130=25 |
| 0 | 0 | 2 | 1 | 20·30·52·131=325 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 20·31·50·130=3 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 20·31·50·131=39 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 20·31·51·130=15 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 20·31·51·131=195 |
| 0 | 1 | 2 | 0 | 20·31·52·130=75 |
| 0 | 1 | 2 | 1 | 20·31·52·131=975 |
| t1 | t2 | t3 | t4 | 2t1·3t2·5t3·13t4 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 21·30·50·130=2 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 21·30·50·131=26 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 21·30·51·130=10 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 21·30·51·131=130 |
| 1 | 0 | 2 | 0 | 21·30·52·130=50 |
| 1 | 0 | 2 | 1 | 21·30·52·131=650 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 21·31·50·130=6 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 21·31·50·131=78 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 21·31·51·130=30 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 21·31·51·131=390 |
| 1 | 1 | 2 | 0 | 21·31·52·130=150 |
| 1 | 1 | 2 | 1 | 21·31·52·131=1950 |
| t1 | t2 | t3 | t4 | 2t1·3t2·5t3·13t4 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 22·30·50·130=4 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 22·30·50·131=52 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 22·30·51·130=20 |
| 2 | 0 | 1 | 1 | 22·30·51·131=260 |
| 2 | 0 | 2 | 0 | 22·30·52·130=100 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 22·30·52·131=1300 |
| 2 | 1 | 0 | 0 | 22·31·50·130=12 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 22·31·50·131=156 |
| 2 | 1 | 1 | 0 | 22·31·51·130=60 |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 22·31·51·131=780 |
| 2 | 1 | 2 | 0 | 22·31·52·130=300 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 22·31·52·131=3900 |
Ответ: делителями числа 3 900 будут:195, 260, 300, 325, 390, 650, 780, 975, 75, 78, 100, 130, 150, 156, 13,15, 20, 25, 26, 30, 39, 50,52, 60, 65, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 1 300, 1 950, 3 900
Как определить количество делителей конкретного числа
Чтобы узнать, сколько положительных делителей у конкретного числа a, каноническое разложение которого выглядит как a=p1s1·p2s2·…·pnsn, нужно найти значение выражения (s1+1) ·(s2+1) ·…·(sn+1). О количестве наборов переменных t1, t2, …, tn мы можем судить по величине записанного выражения.
Покажем на примере, как это вычисляется. Определим, сколько будет натуральных делителей у числа 3 900, которое мы использовали в предыдущей задаче. Каноническое разложение мы уже записывали: 3 900=22·3·52·13. Значит, s1=2, s2=1, s3=2, s4=1. Теперь подставим значения s1, s2, s3 и s4 в выражение (s1+1) ·(s2+1) ·(s3+1) ·(s4+1) и вычислим его значение. Имеем (2+1)·(1+1)·(2+1)·(1+1)=3·2·3·2=36. Значит, это число имеет всего 36 делителей, являющихся натуральными числами. Пересчитаем то количество, что у нас получилось в предыдущей задаче, и убедимся в правильности решения. Если учесть и отрицательные делители, которых столько же, сколько и положительных, то получится, что у данного числа всего будет 72 делителя.
Условие: определите, сколько делителей имеет 84.
Решение
Раскладываем число на множители.
844221712237
Записываем каноническое разложение: 84=22·3·7. Определяем, сколько у нас получится положительных делителей: (2+1)·(1+1)·(1+1) =12. Для учета отрицательных нужно умножить это число на 2:2·12=24.
Ответ: всего у 84 будет 24 делителя – 12 положительных и 12 отрицательных.
Как вычислить общие делители нескольких чисел
Зная свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что количество делителей некоторого набора целых чисел будет совпадать с количеством делителей НОД тех же чисел. Это будет справедливо не только для двух чисел, но и для большего их количества. Следовательно, чтобы вычислить все общие делители нескольких чисел, надо определить их наибольший общий множитель и найти все его делители.
Разберем пару таких задач.
Условие: сколько будет натуральных общих делителей у чисел 140 и 50? Вычислите их все.
Решение
Начнем с вычисления НОД (140, 50).
Для этого нам потребуется алгоритм Евклида:
140=50·2+40, 50=40·1+10, 40=10·4, значит, НОД (50, 140)=10.
Далее выясним, сколько положительных делителей есть у десяти. Разложим его на простые множители и получим 20·50=1, 20·51=5, 21·50=2 и 21·51=10. Значит, все натуральные общие делители исходного числа – это 1, 2, 5 и 10, а всего их четыре.
Ответ: данные числа имеют четыре натуральных делителя, равные 10, 5, 2 и 1.
Условие: выясните, сколько общих положительных делителей есть у чисел 585, 315, 90 и 45.
Решение
Вычислим их наибольший общий делитель, разложив число на простые множители. Поскольку 90=2·3·3·5, 45=3·3·5, 315=3·3·5·7 и 585=3·3·5·13, то таким делителем будет 5: НОД (90, 45, 315, 585) =3·3·5=32·5.
Чтобы узнать количество этих чисел, нужно выяснить, сколько положительных делителей имеет НОД.
Считаем:
НОД (90, 45, 315, 585) =32·5:(2+1)·(1+1) =6.
Ответ: у данных чисел шесть общих делителей.
