Как найти дельта потенциал

Дельтообра́зный потенциа́л в ква́нтовой меха́нике — общее название профилей потенциальной энергии частицы, задаваемых выражениями с дельта-функцией Дирака. Такими профилями моделируется физическая ситуация, когда наличествуют очень узкие и острые максимумы или минимумы потенциала.

Простыми примерами подобных профилей являются дельтообразный туннельный барьер и дельтообразная квантовая яма вида , где — некая константа (Джкгм), положительная для барьера и отрицательная для ямы, — декартова координата, а — масса частицы. Ставится вопрос о коэффициенте прохождения частицы, а также о существовании и энергиях связанных состояний.

В большинстве случаев при рассмотрении поведения частицы ищется решение одномерного стационарного уравнения Шрёдингера с соответствующим потенциалом. Обычно предполагается, что частица перемещается только вдоль направления , а движения в перпендикулярной плоскости нет.

Подход к решению уравнения Шрёдингера[править | править код]

Стационарное одномерное уравнение Шрёдингера для волновой функции имеет вид

,

где — гамильтониан, — постоянная Планка, — полная энергия частицы и . После интегрирования этого уравнения по узкому участку вблизи нуля

получится

.

Крупные значки и обозначают области левее и правее барьера или ямы (от англ. left, right). В точке должны быть выполнены условие непрерывности волновой функции

и условие непрерывности плотности потока вероятности

.

Эти два условия актуальны вне зависимости от того, идёт ли речь о дельтообразном барьере или яме, а также (для ямы) от того, больше или меньше нуля величина энергии (для барьера вариант невозможен).

Коэффициенты прохождения и отражения[править | править код]

В этом разделе предполагается, что , и рассматривается прохождение частицы через барьер или над ямой.

Барьер или яма делит пространство на две части (). В обеих этих областях решение уравнения Шрёдингера представляет собой плоские волны и может быть записано в виде их суперпозиции:

,

,

где — волновой вектор. Маленькие индексы и при коэффициентах и указывают на направление волнового вектора вправо и влево. Связь между этими коэффициентами может быть найдена из условий для и при , выписанных в конце предыдущего раздела:

,

.

Пусть падающая частица приближается к барьеру слева ( и ), тогда коэффициенты и , определяющие вероятность отражения и прохождения соответственно, имеют вид:

.

В классическом случае частица с конечной энергией не может преодолеть бесконечный потенциальный барьер, а над ямой она проходит гарантированно. При квантовом же подходе ситуация иная: коэффициенты прохождения и отражения составляют

,

.

Здесь сразу три неожиданных, с классической точки зрения, результата. Во-первых, имеется ненулевая вероятность прохождения (коэффициент прохождения) для бесконечно высокого барьера. Во-вторых, поскольку формула вполне применима к отрицательным , вероятность надъямного прохождения отлична от единицы. В-третьих, значение не меняется при смене знака , то есть вероятности туннелирования частицы с энергией через барьер и надъямного прохождения той же частицы совпадают в числе.

Дискретное состояние в дельтообразной яме[править | править код]

В этом разделе предполагается, что , и рассматривается только яма (), а именно определяется энергия дискретного состояния частицы в ней.

В обеих областях решение уравнения Шрёдингера, как и выше, может быть записано в виде суммы экспонент

,

,

где . Но теперь является мнимой величиной, и поэтому в записи следует оставить только те экспоненты, которые затухают, а не возрастают, на плюс и минус бесконечности:

,

,

Из условий для и при вытекает и, уже с учётом этого требования, . Отсюда

,

то есть в дельтообразной яме существует ровно один уровень с выписанной энергией.

Практическая релевантность дельта-модели[править | править код]

Ситуация туннелирования через дельтообразный потенциал является предельным случаем туннелирования через прямоугольный барьер ширины и высоты , в котором стремление к нулю, а к происходит так, что произведение постоянно и равно некоей константе .

Задача о туннелировании через дельтообразный барьер является стандартной модельной задачей квантовой механики. Она возникает, например, при описании токопереноса между двумя проводящими областями, на стыке которых самопроизвольно образуется тонкая окисная плёнка. Если толщина плёнки и её химический состав примерно известны, можно использовать модель прямоугольного или трапецеидального барьера. Однако в ряде случаев единственным выходом является привлечение модели дельтообразного потенциала.

Аналогично с задачей о дельтообразной яме: модель может использоваться в качестве грубого приближения. Значение служит подгоночным параметром как для барьера, так и для ямы.

Литература[править | править код]

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.

From Wikipedia, the free encyclopedia

In quantum mechanics the delta potential is a potential well mathematically described by the Dirac delta function – a generalized function. Qualitatively, it corresponds to a potential which is zero everywhere, except at a single point, where it takes an infinite value. This can be used to simulate situations where a particle is free to move in two regions of space with a barrier between the two regions. For example, an electron can move almost freely in a conducting material, but if two conducting surfaces are put close together, the interface between them acts as a barrier for the electron that can be approximated by a delta potential.

The delta potential well is a limiting case of the finite potential well, which is obtained if one maintains the product of the width of the well and the potential constant while decreasing the well’s width and increasing the potential.

This article, for simplicity, only considers a one-dimensional potential well, but analysis could be expanded to more dimensions.

Single delta potential[edit]

The time-independent Schrödinger equation for the wave function ψ(x) of a particle in one dimension in a potential V(x) is

where ħ is the reduced Planck constant, and E is the energy of the particle.

The delta potential is the potential

where δ(x) is the Dirac delta function.

It is called a delta potential well if λ is negative, and a delta potential barrier if λ is positive. The delta has been defined to occur at the origin for simplicity; a shift in the delta function’s argument does not change any of the following results.

Solving the Schrödinger equation^[1][edit]

The potential splits the space in two parts (x < 0 and x > 0). In each of these parts the potential is zero, and the Schrödinger equation reduces to

this is a linear differential equation with constant coefficients, whose solutions are linear combinations of e^ikx and e^−ikx, where the wave number k is related to the energy by

In general, due to the presence of the delta potential in the origin, the coefficients of the solution need not be the same in both half-spaces:

where, in the case of positive energies (real k), e^ikx represents a wave traveling to the right, and e^−ikx one traveling to the left.

One obtains a relation between the coefficients by imposing that the wavefunction be continuous at the origin:

A second relation can be found by studying the derivative of the wavefunction. Normally, we could also impose differentiability at the origin, but this is not possible because of the delta potential. However, if we integrate the Schrödinger equation around x = 0, over an interval [−ε, +ε]:

In the limit as ε → 0, the right-hand side of this equation vanishes; the left-hand side becomes

because

Substituting the definition of ψ into this expression yields

The boundary conditions thus give the following restrictions on the coefficients

Bound state (E < 0)[edit]

In any one-dimensional attractive potential there will be a bound state. To find its energy, note that for E < 0, k = i√2m|E|/ħ = iκ is imaginary, and the wave functions which were oscillating for positive energies in the calculation above are now exponentially increasing or decreasing functions of x (see above). Requiring that the wave functions do not diverge at infinity eliminates half of the terms: A_r = B_l = 0. The wave function is then

From the boundary conditions and normalization conditions, it follows that

from which it follows that λ must be negative, that is, the bound state only exists for the well, and not for the barrier. The Fourier transform of this wave function is a Lorentzian function.

The energy of the bound state is then

Scattering (E > 0)[edit]

For positive energies, the particle is free to move in either half-space: x < 0 or x > 0. It may be scattered at the delta-function potential.

The quantum case can be studied in the following situation: a particle incident on the barrier from the left side (A_r). It may be reflected (A_l) or transmitted (B_r).
To find the amplitudes for reflection and transmission for incidence from the left, we put in the above equations A_r = 1 (incoming particle), A_l = r (reflection), B_l = 0 (no incoming particle from the right) and B_r = t (transmission), and solve for r and t even though we do not have any equations in t.
The result is

Due to the mirror symmetry of the model, the amplitudes for incidence from the right are the same as those from the left. The result is that there is a non-zero probability

for the particle to be reflected. This does not depend on the sign of λ, that is, a barrier has the same probability of reflecting the particle as a well. This is a significant difference from classical mechanics, where the reflection probability would be 1 for the barrier (the particle simply bounces back), and 0 for the well (the particle passes through the well undisturbed).

The probability for transmission is

Remarks and application[edit]

The calculation presented above may at first seem unrealistic and hardly useful. However, it has proved to be a suitable model for a variety of real-life systems.

One such example regards the interfaces between two conducting materials. In the bulk of the materials, the motion of the electrons is quasi-free and can be described by the kinetic term in the above Hamiltonian with an effective mass m. Often, the surfaces of such materials are covered with oxide layers or are not ideal for other reasons. This thin, non-conducting layer may then be modeled by a local delta-function potential as above. Electrons may then tunnel from one material to the other giving rise to a current.

The operation of a scanning tunneling microscope (STM) relies on this tunneling effect. In that case, the barrier is due to the air between the tip of the STM and the underlying object. The strength of the barrier is related to the separation being stronger the further apart the two are. For a more general model of this situation, see Finite potential barrier (QM). The delta function potential barrier is the limiting case of the model considered there for very high and narrow barriers.

The above model is one-dimensional while the space around us is three-dimensional. So, in fact, one should solve the Schrödinger equation in three dimensions. On the other hand, many systems only change along one coordinate direction and are translationally invariant along the others. The Schrödinger equation may then be reduced to the case considered here by an Ansatz for the wave function of the type .

Alternatively, it is possible to generalize the delta function to exist on the surface of some domain D (see Laplacian of the indicator).^[2]

The delta function model is actually a one-dimensional version of the Hydrogen atom according to the dimensional scaling method developed by the group of Dudley R. Herschbach^[3]
The delta function model becomes particularly useful with the double-well Dirac Delta function model which represents a one-dimensional version of the Hydrogen molecule ion, as shown in the following section.

Double delta potential[edit]

The double-well Dirac delta function models a diatomic hydrogen molecule by the corresponding Schrödinger equation:

where the potential is now

where is the “internuclear” distance with Dirac delta-function (negative) peaks located at x = ±R/2 (shown in brown in the diagram). Keeping in mind the relationship of this model with its three-dimensional molecular counterpart, we use atomic units and set . Here is a formally adjustable parameter. From the single-well case, we can infer the “ansatz” for the solution to be

Matching of the wavefunction at the Dirac delta-function peaks yields the determinant

Thus, is found to be governed by the pseudo-quadratic equation

which has two solutions . For the case of equal charges (symmetric homonuclear case), λ = 1, and the pseudo-quadratic reduces to

The “+” case corresponds to a wave function symmetric about the midpoint (shown in red in the diagram), where A = B, and is called gerade. Correspondingly, the “−” case is the wave function that is anti-symmetric about the midpoint, where A = −B, and is called ungerade (shown in green in the diagram). They represent an approximation of the two lowest discrete energy states of the three-dimensional and are useful in its analysis. Analytical solutions for the energy eigenvalues for the case of symmetric charges are given by^[4]

where W is the standard Lambert W function. Note that the lowest energy corresponds to the symmetric solution . In the case of unequal charges, and for that matter the three-dimensional molecular problem, the solutions are given by a generalization of the Lambert W function (see Lambert W function § Generalizations).

One of the most interesting cases is when qR ≤ 1, which results in . Thus, one has a non-trivial bound state solution with E = 0. For these specific parameters, there are many interesting properties that occur, one of which is the unusual effect that the transmission coefficient is unity at zero energy.^[5]

See also[edit]

• Free particle
• Particle in a box
• Finite potential well
• Lambert W function
• Particle in a ring
• Particle in a spherically symmetric potential
• Quantum harmonic oscillator
• Hydrogen atom or hydrogen-like atom
• Ring wave guide
• Particle in a one-dimensional lattice (periodic potential)
• Hydrogen molecular ion
• Holstein–Herring method
• Laplacian of the indicator
• List of quantum-mechanical systems with analytical solutions

References[edit]

• Griffiths, David J. (2005). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. pp. 68–78. ISBN 978-0-13-111892-8.
• For the 3-dimensional case look for the “delta shell potential”; further see K. Gottfried (1966), Quantum Mechanics Volume I: Fundamentals, ch. III, sec. 15.

External links[edit]

• Media related to Delta potential at Wikimedia Commons

В квантовой механике потенциал дельты является потенциальной ямой математически описывается дельта – функция Дирака – это обобщенная функция . Качественно он соответствует потенциалу, который везде равен нулю, кроме одной точки, где он принимает бесконечное значение. Это можно использовать для моделирования ситуаций, когда частица может свободно перемещаться в двух областях пространства с барьером между двумя областями. Например, электрон может почти свободно перемещаться в проводящем материале, но если две проводящие поверхности расположены близко друг к другу, граница раздела между ними действует как барьер для электрона, который можно аппроксимировать дельта-потенциалом.

Потенциал дельты также является предельным случаем из конечного потенциала скважины , которое получается , если один поддерживает продукт ширины скважины и потенциальные постоянная при уменьшении ширины колодца и увеличения потенциала.

В этой статье для простоты рассматривается только одномерная потенциальная яма, но анализ можно расширить до других измерений.

Единый дельта-потенциал

Не зависящее от времени уравнение Шредингера для волновой функции ψ ( x ) частицы в одном измерении в потенциале V ( x ) имеет вид

где ħ – приведенная постоянная Планка , а E – энергия частицы.

Дельта-потенциал – это потенциал

где δ ( x ) – дельта-функция Дирака .

Это называется дельта-потенциальной ямой, если λ отрицательно, и дельта-потенциальным барьером, если λ положительно. Для простоты определено, что дельта возникает в начале координат; сдвиг аргумента дельта-функции не меняет никаких результатов обработки.

Решение уравнения Шредингера

Потенциал разделяет пространство на две части ( x  <0 и x  > 0). В каждой из этих частей потенциальная энергия равна нулю, и уравнение Шредингера сводится к

это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами , чьи решения являются линейными комбинациями из электронной ^IKX и е ^{– IKX} , где волновое число K связан с энергией по

В общем, из-за наличия дельта-потенциала в начале координат коэффициенты решения не обязательно должны быть одинаковыми в обоих полупространствах:

где в случае положительных энергий (действительное k ) e ^ikx представляет волну, бегущую вправо, а e ^{– ikx} – волну, бегущую влево.

Связь между коэффициентами получается, предполагая, что волновая функция непрерывна в начале координат:

Второе соотношение можно найти, изучая производную волновой функции. Обычно мы могли бы также наложить дифференцируемость в начале координат, но это невозможно из-за дельта-потенциала. Однако, если мы проинтегрируем уравнение Шредингера вокруг x  = 0 на интервале [- ε , + ε ]:

В пределе ε  → 0 правая часть этого уравнения обращается в нуль; левая часть становится

потому что

Подставляя определение ψ в это выражение, получаем

Таким образом, граничные условия дают следующие ограничения на коэффициенты

Связанное состояние ( E <0)

В любом одномерном притягивающем потенциале будет связанное состояние . Чтобы найти его энергию, заметим, что для E  <0, k  =  i √ 2 m | E | / ħ  =  iκ является мнимым, и волновые функции, которые колебались при положительных энергиях в приведенном выше вычислении, теперь являются экспоненциально возрастающими или убывающими функциями x (см. выше). Требование, чтобы волновые функции не расходились на бесконечности, исключает половину членов: A _r  = B _l  = 0. Тогда волновая функция равна

Из граничных условий и условий нормировки следует, что

откуда следует, что λ должно быть отрицательным, т. е. связанное состояние существует только для ямы, а не для барьера. Преобразование Фурье этой волновой функции является функцией Лоренца .

Тогда энергия связанного состояния равна

Рассеяние ( E > 0)

Для положительных энергий частица может свободно перемещаться в любом полупространстве: x  <0 или x  > 0. Она может рассеиваться на потенциале дельта-функции.

Квантовый случай можно изучить в следующей ситуации: частица, падающая на барьер с левой стороны ( A _r ) . Он может отражаться ( A _l ) или передаваться ( B _r ) . Чтобы найти амплитуды отражения и прохождения при падении слева, мы подставляем в приведенные выше уравнения A _r  = 1 (падающая частица), A _l  =  r (отражение), B _l  = 0 (нет падающей частицы справа) и B _r  =  t (передача), и решите относительно r и t, даже если у нас нет никаких уравнений относительно t . Результат

Из-за зеркальной симметрии модели амплитуды падения справа такие же, как и слева. В результате существует ненулевая вероятность

для отражения частицы. Это не зависит от знака λ , то есть барьер имеет такую ​​же вероятность отражения частицы, как и яма. Это существенное отличие от классической механики, где вероятность отражения будет равна 1 для барьера (частица просто отскакивает назад) и 0 для ямы (частица проходит через яму без помех).

Таким образом, вероятность передачи равна

Замечания и применение

Представленный выше расчет на первый взгляд может показаться нереальным и малополезным. Однако она оказалась подходящей моделью для множества реальных систем.

Один из таких примеров касается границ раздела двух проводящих материалов. В объеме материалов движение электронов квазисвободно и может быть описано кинетическим членом в приведенном выше гамильтониане с эффективной массой m . Часто поверхности таких материалов покрыты оксидными слоями или не идеальны по другим причинам. Этот тонкий непроводящий слой можно затем смоделировать с помощью локального дельта-потенциала, как указано выше. Затем электроны могут туннелировать из одного материала в другой, вызывая ток.

Работа сканирующего туннельного микроскопа (СТМ) основана на этом туннельном эффекте. В этом случае барьер возникает из-за наличия воздуха между концом СТМ и нижележащим объектом. Прочность барьера связана с тем, что разделение тем сильнее, чем дальше друг от друга они находятся. Для более общей модели этой ситуации см. Конечный потенциальный барьер (QM) . Дельта-функция потенциального барьера является предельным случаем рассматриваемой здесь модели для очень высоких и узких барьеров.

Вышеупомянутая модель одномерная, а пространство вокруг нас – трехмерное. Таким образом, фактически следует решать уравнение Шредингера в трех измерениях. С другой стороны, многие системы изменяются только в одном направлении координат и трансляционно инвариантны в других направлениях. Тогда уравнение Шредингера может быть сведено к рассматриваемому здесь случаю с помощью анзаца для волновой функции данного типа .

В качестве альтернативы можно обобщить дельта-функцию, чтобы она существовала на поверхности некоторой области D (см. Лапласиан индикатора ).

Дельта – функция модель фактически является одномерной версия атома водорода в соответствии с размерным масштабированием метода , разработанного группой Дадли Р. Herschbach
дельты – функция модели становится особенно полезная при двухъямных моделях функции Дирака Delta , которая представляет собой одну -размерная версия иона молекулы водорода , как показано в следующем разделе.

Двойной дельта-потенциал

Двухъямная дельта-функция Дирака моделирует двухатомную молекулу водорода с помощью соответствующего уравнения Шредингера:

где потенциал сейчас

где – «межъядерное» расстояние с пиками дельта-функции Дирака (отрицательными), расположенными в точке x  = ± R / 2 (показано коричневым цветом на диаграмме). Принимая во внимание связь этой модели с ее трехмерным молекулярным аналогом, мы используем атомные единицы и набор . Вот формально регулируемый параметр. Из случая одной лунки мы можем вывести ” анзац ” для решения

Согласование волновой функции на пиках дельта-функции Дирака дает определитель

Таким образом, оказывается, что он определяется псевдоквадратичным уравнением

который имеет два решения . В случае равных зарядов (симметричный гомоядерный случай) λ  = 1, и псевдоквадратичный сводится к

Случай «+» соответствует волновой функции, симметричной относительно средней точки (показанной красным на диаграмме), где A  =  B , и называется gerade . Соответственно, случай «-» – это волновая функция, которая антисимметрична относительно средней точки, где A = – B , и называется ungerade (показана зеленым на диаграмме). Они представляют собой приближение двух низших дискретных энергетических состояний трехмерного объекта и полезны при его анализе. Аналитические решения для собственных значений энергии для случая симметричных зарядов даются формулами

где W является стандартным Ламберта W функция . Обратите внимание, что самая низкая энергия соответствует симметричному решению . В случае неравных зарядов, и в этом отношении трехмерной молекулярной проблемы, решения даются путем обобщения W- функции Ламберта (см. Раздел об обобщении W-функции Ламберта и ссылки здесь).

Один из самых интересных случаев – это когда qR  ≤ 1, что приводит к . Таким образом, имеется нетривиальное решение для связанного состояния с E  = 0. Для этих конкретных параметров возникает много интересных свойств, одним из которых является необычный эффект, заключающийся в том, что коэффициент передачи равен единице при нулевой энергии.

Смотрите также

• Бесплатная частица
• Частица в коробке
• Конечная потенциальная яма
• W функция Ламберта
• Частица в кольце
• Частица в сферически-симметричном потенциале
• Квантовый гармонический осциллятор
• Атом водорода или водородоподобный атом
  
• Кольцевой волновод
• Частица в одномерной решетке (периодический потенциал)
• Молекулярный ион водорода
• Метод голштинской селедки.
• Лапласиан индикатора
• Список квантово-механических систем с аналитическими решениями

использованная литература

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. С. 68–78. ISBN 978-0-13-111892-8.
• Для трехмерного случая ищите «потенциал дельта-оболочки»; далее см. K. Gottfried (1966), Quantum Mechanics Volume I: Fundamentals , ch. III, сек. 15.

внешние ссылки

• СМИ, связанные с потенциалом дельты на Викискладе?

Задача о туннелировании через дельтообразный барьер это стандартная проблема из задачников по квантовой механике. Задача состоит в решении одномерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака.

Решение

Стационарное одномерное уравнение Шрёдингера для волновой функции записывается в виде

где – гамильтониан, – постоянная Планка, – масса, – энергия частицы и

дельтообразный потенциальный барьер с энергией . Позиция потенциала в начале системы координат взята для удобства последующих вычислений. Сдвиг ничего не поменяет в ответе.

Барьер делит пространство на две части (). В обеих этих областях решение уравнения Шрёдингера представляет собой плоские волны и может быть записано в виде их суперпозиции

,

где волновой вектор выражается из энергии как Индексы r/l при коэффициентах A и B обозначают направление волнового вектора. Эти коэффициенты могут быть найдены из условия на волновйю функцию при :

,

.

Второе из этих уравнений задаёт условие на разрыв производной при (см. Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера). Тогда граничные условия дают следующие уравнения связи для коэффициентов

Коэффициенты прохождения и отражения

Здесь можно сравнить ситуацию с классическим случаем. в обоих случаях мы имеем свободную частицу, но в классическом случае частица с конечной энергией не может преодолеть бесконечный потенциальный барьер. Для дальнейшего решения квантовой задачи определим ситуацию следующим образом: частица на барьер падает слева (). Она может отразиться () или пройти ().

Для определения амплитуд прохождения и отражения положим (падающая частица), (отражённая), =0 (нет падающей частицы справа) и (прохождение) и найдём решение для . Результат:

Неожиданный результат с классической точки зрения, то что имееется ненулевая вероятность или ненулевой коэффициент прохождения) для бесконечно высококо барьера

Этот эффект называется туннелированием.

В заключении приведём коэффициент отражения:

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Туннелирование через дельтообразный потенциал. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---

Модель энергетического потенциала в квантовой механике

В квантовой механике дельта-потенциал представляет собой потенциальную яму, математически описываемую дельта-функцией Дирака – обобщенной функцией. Качественно он соответствует потенциалу, который везде равен нулю, кроме единственной точки, где он принимает бесконечное значение. Это можно использовать для моделирования ситуаций, когда частица может свободно перемещаться в двух областях пространства с барьером между двумя областями. Например, электрон может почти свободно перемещаться в проводящем материале, но если две проводящие поверхности расположены близко друг к другу, граница раздела между ними действует как барьер для электрона, который можно аппроксимировать дельта-потенциалом.

Дельта-потенциальная яма – это предельный случай конечной потенциальной ямы, который получается, если выдерживать произведение ширины ямы и постоянной потенциала при уменьшении ширины ямы и увеличении потенциала.

В этой статье для простоты рассматривается только одномерная потенциальная яма, но анализ можно расширить до других измерений.

Содержание

• 1 Единичный дельта-потенциал
  • 1.1 Решение уравнения Шредингера
  • 1.2 Связанное состояние (E < 0)
  • _0) “>1.3 Рассеяние (E>0)
  • 1.4 Замечания и применение
• 2 Двойной дельта-потенциал
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Одинарный дельта-потенциал

Не зависящее от времени уравнение Шредингера для волновой функции ψ (x) частицы в одном измерении в потенциале V (x) равно

– ℏ 2 2 md 2 ψ dx 2 (x) + V (x) ψ (x) Знак равно Е ψ (х), { Displaystyle – { гидроразрыва { hbar ^ {2}} {2m}} { гидроразрыва {d ^ {2} psi} {dx ^ {2}}} (х) + V (x) psi (x) = E psi (x) ~,}

где ħ – приведенная постоянная Планка, а E – энергия частицы

Дельта-потенциал – это потенциал

V (x) = λ δ (x), { displaystyle displaystyle V (x) = lambda delta (x) ~,}

где δ (x) – дельта-функция Дирака..

Это называется дельта-потенциальной ямой, если λ отрицательно, и дельта-потенциальным барьером, если λ положительно. оштрафован на происхождение для простоты; сдвиг аргумента дельта-функции не меняет никаких результатов обработки.

Решение уравнения Шредингера

Потенциал разделяет пространство на две части (x < 0 and x>0). В каждой из этих частей потенциальная энергия равна нулю, и уравнение Шредингера сводится к

d 2 ψ d x 2 = – 2 m E ℏ 2 ψ; { displaystyle { frac {d ^ {2} psi} {dx ^ {2}}} = – { frac {2mE} { hbar ^ {2}}} psi ~;}

это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, решениями которого являются линейные комбинации e и e, где волновое число k связано с энергии на

k = 2 m E ℏ. { displaystyle k = { frac { sqrt {2mE}} { hbar}} ~.}

В общем, из-за наличия дельта-потенциала в начале координат коэффициенты решения не обязательно должны быть то же самое в обоих полупространствах:

ψ (x) = {ψ L (x) = A reikx + A le – ikx, если x < 0 ; ψ R ( x) = B r e i k x + B l e − i k x, if x>0, { displaystyle psi (x) = { begin { case} psi _ { mathrm {L}} (x) = A _ { mathrm {r}} e ^ {ikx} + A _ { mathrm {l}} e ^ {- ikx}, { text { if}} x <0;\psi _{mathrm {R} }(x)=B_{mathrm {r} }e^{ikx}+B_{mathrm {l} }e^{-ikx},{text{ if }}x>0, end {cases}}}

где в случае положительных энергий (действительный k), e представляет волну, бегущую вправо, а e – влево..

Можно получить соотношение между коэффициентами, наложив, что волновая функция будет непрерывной в начале координат,

ψ (0) = ψ L (0) = ψ R (0) = A r + A l Знак равно В р + В l, { Displaystyle psi (0) = psi _ {L} (0) = psi _ {R} (0) = A_ {r} + A_ {l} = B_ {r} + B_ {l} ~,}

Второе отношение ca n можно найти, изучая производную волновой функции. Обычно мы также можем наложить дифференцируемость в начале координат, но это невозможно из-за дельта-потенциала. Однако, если мы проинтегрируем уравнение Шредингера вокруг x = 0, на интервале [−ε, + ε]:

– ℏ 2 2 m ∫ – ϵ + ϵ ψ ″ (x) dx + ∫ – ϵ + ϵ V (x) ψ (x) dx = E ∫ – ϵ + ϵ ψ (x) dx. { displaystyle – { frac { hbar ^ {2}} {2m}} int _ {- epsilon} ^ {+ epsilon} psi ” (x) , dx + int _ {- epsilon } ^ {+ epsilon} V (x) psi (x) , dx = E int _ {- epsilon} ^ {+ epsilon} psi (x) , dx.}

В предел при ε → 0, правая часть этого уравнения обращается в нуль; левая сторона становится

– ℏ 2 2 m [ψ R ′ (0) – ψ L ′ (0)] + λ ψ (0), { displaystyle textstyle – { frac { hbar ^ { 2}} {2m}} [ psi ‘_ {R} (0) – psi’ _ {L} (0)] + lambda psi (0),}

потому что

∫ – ϵ + ϵ ψ ″ (x) dx = [ψ ′ (+ ϵ) – ψ ′ (- ϵ)]. { displaystyle int _ {- epsilon} ^ {+ epsilon} psi ” (x) , dx = [ psi ‘({+ epsilon}) – psi’ ({- epsilon}) ].}

Подставляя определение ψ в это выражение, получаем

– ℏ 2 2 mik (- A r + A l + B r – B l) + λ (A r + A l) = 0. { displaystyle – { frac { hbar ^ {2}} {2m}} ik (-A_ {r} + A_ {l} + B_ {r} -B_ {l}) + lambda (A_ {r} + A_ {l}) = 0 ~.}

Таким образом, граничные условия дают следующие ограничения на коэффициенты

{A r + A l – B r – B l = 0; – A r + A l + B r – B l знак равно 2 m λ i k ℏ 2 (A r + A l). { displaystyle { begin {cases} A_ {r} + A_ {l} -B_ {r} -B_ {l} = 0; \ – A_ {r} + A_ {l} + B_ {r} – B_ {l} = { frac {2m lambda} {ik hbar ^ {2}}} (A_ {r} + A_ {l}) ~. End {ases}}}

Связанное состояние ( E < 0)

График решения волновой функции связанного состояния для потенциала дельта-функции непрерывен всюду, но его производная не определена при x = 0.

В любом одномерном потенциале притяжения будет граница состояние. Чтобы найти его энергию, обратите внимание, что для E < 0, k = i√2m|E|/ħ = iκ is imaginary and the wave functions which were oscillating for positive energies in the calculation above, are now exponentially increasing or decreasing functions of x (see above). Requiring that the wave functions do not diverge at infinity eliminates half of the terms: Ar= B l = 0. Тогда волновая функция

ψ (x) = {ψ L (x) = A le κ x, если x < 0 ; ψ R ( x) = B r e − κ x, if x>0. { displaystyle psi (x) = { begin {cases} psi _ { text {L}} (x) = A_ {l} e ^ { kappa x }, { text {if}} x <0;\psi _{text{R}}(x)=B_{r}e^{-kappa x},{text{ if }}x>0. end {cases}}}

Из граничных условий и условий нормализации следует, что

{A l = В р = κ; κ = – м λ ℏ 2; { Displaystyle { begin {case} A_ {l} = B_ {r} = { sqrt { ka ppa}}; \ kappa = – { frac {m lambda} { hbar ^ {2}}} ~; end {cases}}}

откуда следует, что λ должно быть отрицательным, что связанное состояние существует только для ямы, а не для барьера. Преобразование Фурье этой волновой функции является функцией Лоренца.

. Тогда энергия связанного состояния равна

E = – ℏ 2 κ 2 2 m = – m λ 2 2 ℏ 2. { displaystyle E = – { frac { hbar ^ {2} kappa ^ {2}} {2m}} = – { frac {m lambda ^ {2}} {2 hbar ^ {2}} }.}

Рассеяние (E>0)

Вероятность прохождения (T) и отражения (R) дельта-потенциальной ямы. Энергия E>0 выражается в единицах

м λ 2 2 ℏ 2 { displaystyle { frac {m lambda ^ {2}} {2 hbar ^ {2}}} , !}

. Пунктиром: классический результат. Сплошная линия: квантовая механика.

Для положительных энергий частица может свободно двигаться в любом полупространстве: x < 0 or x>0. Он может быть рассеян на потенциале дельта-функции.

Квантовый случай можно изучить в следующей ситуации: частица, падающая на барьер с левой стороны (A r). Он может быть отражен (A l) или передан (B r). Чтобы найти амплитуды отражения и пропускания при падении слева, мы положим в приведенные выше уравнения A r = 1 (падающая частица), A l = r (отражение), B l = 0 (нет входящей частицы справа) и B r = t (пропускание), и решите для r и t, даже если у нас нет никаких уравнений для t. Результат:

t = 1 1 – m λ i ℏ 2 k { displaystyle t = { cfrac {1} {1 – { cfrac {m lambda} {i hbar ^ {2} k}}. }} , !}

r = 1 я ℏ 2 км λ – 1 { displaystyle r = { cfrac {1} {{ cfrac {i hbar ^ {2} k} {m lambda} } -1}} , !}

Из-за зеркальной симметрии модели амплитуды падения справа такие же, как и слева. В результате существует ненулевая вероятность

R = | г | 2 знак равно 1 1 + ℏ 4 К 2 м 2 λ 2 знак равно 1 1 + 2 ℏ 2 Е м λ 2. { displaystyle R = | r | ^ {2} = { cfrac {1} {1 + { cfrac { hbar ^ {4} k ^ {2}} {m ^ {2} lambda ^ {2} }}}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {2 hbar ^ {2} E} {m lambda ^ {2}}}}}. , !}

для частица для отражения. Это не зависит от знака λ, то есть барьер имеет такую ​​же вероятность отражения частицы, как и яма. Это существенное отличие от классической механики, где вероятность отражения будет равна 1 для барьера (частица просто отскакивает) и 0 для ямы (частица проходит через яму без помех).

Таким образом, вероятность передачи составляет

T = | т | 2 знак равно 1 – R = 1 1 + м 2 λ 2 ℏ 4 К 2 = 1 1 + м λ 2 2 ℏ 2 E { displaystyle T = | t | ^ {2} = 1-R = { cfrac {1 } {1 + { cfrac {m ^ {2} lambda ^ {2}} { hbar ^ {4} k ^ {2}}}}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac { m lambda ^ {2}} {2 hbar ^ {2} E}}}} , !}.

Замечания и применение

Представленный выше расчет сначала может показаться нереалистичным и вряд ли полезным. Однако она оказалась подходящей моделью для множества реальных систем.

Один из таких примеров касается границ раздела между двумя проводящими материалами. В основной массе материалов движение электронов квазисвободно и может быть описано кинетическим членом в приведенном выше гамильтониане с эффективной массой m. Часто поверхности таких материалов покрыты оксидными слоями или не идеальны по другим причинам. Этот тонкий непроводящий слой можно затем смоделировать с помощью локального дельта-функционального потенциала, как указано выше. Затем электроны могут туннелировать из одного материала в другой, вызывая ток.

Работа сканирующего туннельного микроскопа (СТМ) основана на этом туннельном эффекте. В этом случае барьер возникает из-за наличия воздуха между концом СТМ и нижележащим объектом. Прочность барьера связана с тем, что разделение тем сильнее, чем дальше друг от друга они находятся. Для более общей модели этой ситуации см. Конечный потенциальный барьер (QM). Дельта-функция потенциального барьера является предельным случаем рассматриваемой здесь модели для очень высоких и узких барьеров.

Вышеупомянутая модель одномерна, в то время как пространство вокруг нас трехмерно. Таким образом, фактически следует решать уравнение Шредингера в трех измерениях. С другой стороны, многие системы изменяются только вдоль одного координатного направления и трансляционно инвариантны относительно других. Уравнение Шредингера затем может быть сведено к рассмотренному здесь случаю с помощью анзаца для волновой функции типа Ψ (x, y, z) = ψ (x) ϕ (y, z) { displaystyle Psi ( x, y, z) = psi (x) phi (y, z) , !}.

В качестве альтернативы можно обобщить дельта-функцию для существования на поверхности некоторой области D (см. Лапласиан индикатора ).

Модель дельта-функции на самом деле является одномерной версией атома водорода согласно методу размерного масштабирования, разработанному группой Дадли Р. Хершбаха Модель дельта-функции становится особенно полезной с двухъямной моделью дельта-функции Дирака, которая представляет одномерную версию иона молекулы водорода, как показано в следующем разделе.

Двойная дельта потенциал

Симметричные и антисимметричные волновые функции для двухъядерной модели дельта-функции Дирака с «межъядерным» расстоянием R = 2.

Двухъядерная дельта-функция Дирака моделирует диатомовые водоросли c молекулы водорода по соответствующему уравнению Шредингера:

– ℏ 2 2 md 2 ψ dx 2 (x) + V (x) ψ (x) = E ψ (x) { displaystyle – { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2} psi} {dx ^ {2}}} (x) + V (x) psi (x) = E psi (x)}

где сейчас потенциал:

V (x) = – q [δ (x + R 2) + λ δ (x – R 2)] { displaystyle V (x) = – q left [ delta left (x + { frac {R} {2}} right) + lambda delta left (x – { frac {R} {2}} right) right]}

где 0 < R < ∞ {displaystyle 0– это «межъядерное» расстояние с пиками дельта-функции Дирака (отрицательными), расположенными в точке x = ± R / 2 (показано коричневым на диаграмме). Принимая во внимание связь этой модели с ее трехмерным молекулярным аналогом, мы используем атомные единицы и устанавливаем ℏ = m = 1 { displaystyle hbar = m = 1}. Здесь 0 < λ < 1 {displaystyle 0<lambda <1}– формально настраиваемый параметр. Из случая одной скважины мы можем вывести «анзац » для решения, как:

ψ (x) = A e – d | х + R 2 | + B e – d | х – R 2 | { Displaystyle psi (х) ~ = ~ Ae ^ {- d left | x + { frac {R} {2}} right |} + Be ^ {- d left | x – { frac {R } {2}} right |}}

Согласование волновой функции на пиках дельта-функции Дирака дает определитель:

| q – d q e – d R q λ e – d R q λ – d | = 0, где E = – d 2 2. { displaystyle left | { begin {array} {cc} q-d qe ^ {- dR} \ q lambda e ^ {- dR} q lambda -d end {array}} right | = 0 quad { t_dv {where}} quad E = – { frac {d ^ {2}} {2}} ~.}

Таким образом, d { displaystyle d}определяется псевдоквадратичным уравнением:

d ± (λ) = 1 2 q (λ + 1) ± 1 2 {q 2 (1 + λ) 2 – 4 λ q 2 [1 – е – 2 d ± (λ) R]} 1/2 { displaystyle d _ { pm} ( lambda) ~ = ~ { textstyle { frac {1} {2}}} q ( lambda +1) pm { textstyle { frac {1} {2}}} left {q ^ {2} (1+ lambda) ^ {2} -4 , lambda q ^ {2} lbrack 1- e ^ {- 2d _ { pm} ( lambda) R}] right } ^ {1/2}}

, который имеет два решения d = d ± { displaystyle d = d _ { pm }}. Для случая равных зарядов (симметричный гомоядерный случай) λ = 1, и псевдоквадратичный сводится к:

d ± = q [1 ± e – d ± R] { displaystyle d _ { pm} = q [ 1 pm e ^ {- d _ { pm} R}]}

Случай “+” соответствует волновой функции, симметричной относительно средней точки (показана красным на диаграмме), где A = B и называется Герад. Соответственно, случай «-» – это волновая функция, которая антисимметрична относительно средней точки, где A = –B, называется ungerade (показана зеленым на диаграмме). Они представляют собой приближение двух низших дискретных энергетических состояний трехмерного H 2 + { displaystyle H_ {2} ^ {+}}и полезны при его анализе. Аналитические решения для собственных значений энергии для случая симметричных зарядов даются следующим образом:

d ± = q + W (± q R e – q R) / R { displaystyle d _ { pm} = q ~ + ~ W ( pm qRe ^ {- qR}) / R}

где W – стандартная функция W Ламберта. Обратите внимание, что самая низкая энергия соответствует симметричному решению d + { displaystyle d _ {+}}. В случае неравных зарядов и в этом отношении трехмерной молекулярной проблемы решения даются путем обобщения функции Ламберта W (см. Раздел об обобщении функции Ламберта и ссылки здесь).

Один из наиболее интересных случаев – это когда qR ≤ 1, что приводит к d – = 0 { displaystyle d _ {-} = 0}. Таким образом, имеется нетривиальное решение связанного состояния с E = 0. Для этих конкретных параметров проявляется много интересных свойств, одним из которых является необычный эффект, заключающийся в том, что коэффициент передачи равен единице при нулевой энергии.

См. Также

Литература

1. ^Ланге, Рутгер-Ян (2012), «Теория потенциала, интегралы по траекториям и лапласиан индикатора. “, Journal of High Energy Physics, 2012 (11): 1–49, arXiv : 1302.0864, Bibcode : 2012JHEP… 11..032L, doi : 10.1007 / JHEP11 (2012) 032
2. ^DR Гершбах, И.С. Эйвери и О. Госцински (ред.), Масштабирование размеров в химической физике, Springer, (1992). [1]
3. ^Т.К. Скотт, Дж. Ф. Бэбб, А. Далгарно и Джон Д. Морган III, «Расчет обменных сил: общие результаты и конкретные модели», Дж. Chem. Phys., 99, pp. 2841-2854, (1993). [2]
4. ^У. ван Дейк и К. А. Кирс, “Задержка в простых одномерных системах”, Am. J. Phys., 60, стр. 520-527 (1992). [3]

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. С. 68–78. ISBN 978-0-13-111892-8.
• Для трехмерного случая ищите «дельта-потенциал оболочки»; далее см. К. Готфрид (1966), Квантовая механика Том I: Основы, глава III, раздел 15.

Внешние ссылки

• Средства массовой информации, относящиеся к дельта-потенциалу на Wikimedia Commons