Как найти десятичное приближение до десятых

Представим
себе такую историю…

–
Саша, чем ты занимаешься? – поинтересовался у друга Паша.

–
Да я сегодня катался на велосипеде, – начал Саша. – Представляешь, я проехал 43
километра за 3 часа.

–
Ну ты и гоняешь! – удивился Паша.

–
Вот решил посчитать, с какой скоростью я проехал свой путь, – задумался Саша.

–
Ну, тут же нет ничего сложного, – сказал Паша. – Чтобы найти скорость, нужно
расстояние разделить на время.

–
Да, я уже поделил всё, – сказал Саша, – но число какое-то уж слишком большое
получилось.

–
И какая же скорость у тебя вышла? – спросил Паша.

–
Вот, смотри, – ответил Саша, – получилось, что я ехал со скоростью 14,333…

–
Да уж! И вправду странная скорость вышла, – задумался Паша. – Помнишь, мы
научились округлять натуральные числа и десятичные дроби? Может, и бесконечные
периодические дроби можно тоже как-нибудь округлить? Давай спросим у Мудряша.

–
Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте немного разомнёмся и
выполним устные задания, – предложил Мудряш.

–
Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было
получиться!

–
Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Выполняя
вычисления с бесконечными периодическими дробями, удобно пользоваться их
приближениями, которые получают при округлении бесконечных десятичных дробей до
определённого разряда. В результате округления получается конечная десятичная
дробь, которую называют десятичным приближением обыкновенной дроби.
Число, которое образуется после округления, тем точнее, чем больше десятичных
знаков в приближении.

–
А ты научишь нас округлять бесконечные периодические дроби? – спросили
мальчишки.

–
Конечно! – согласился Мудряш. – Но для начала давайте вспомним, как мы округляли
десятичные дроби. И давайте для примера округлим следующие десятичные дроби:  –
до десятых;  –
до сотых.

–
Первая дробь — 152,268, – начал Саша. – Нужно округлить её до десятых. Мы
помним, что для того, чтобы десятичную дробь округлить до единиц, десятых,
сотых и так далее, надо все следующие за этим разрядом цифры отбросить. Если
первая из отбрасываемых цифр равна 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя из
оставшихся цифр увеличивается на 1. Чтобы округлить до десятых, нам нужно откинуть
последние 2 цифры. Первая цифра, которую мы откинули, равна 6, значит, цифру в
разряде десятых увеличим на 1. Получим 152,3.

–
Вторая дробь — 42,35154, – продолжил Паша. – Эту дробь нам нужно округлить до
сотых. Чтобы десятичную дробь округлить до нужного разряда, надо все
следующие за этим разрядом цифры отбросить. Если при этом первая из цифр,
которые мы отбрасываем, равна 0, 1, 2, 3 или 4, то последняя из оставшихся цифр
не меняется. Итак, отбросим последние 3 цифры. Первая отбрасываемая цифра
равна 1, значит, увеличивать цифру 5 не надо. Получим 42,35.

–
Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Точно так же округляют и бесконечные
периодические десятичные дроби, «отсекая» в определённом месте «бесконечный
хвост». Чтобы разобраться, как округляют периодические дроби, давайте преобразуем
обыкновенную дробь  в
периодическую. А затем округлим полученную периодическую дробь до единиц,
десятых, сотых и тысячных.

–
Это неправильная дробь, – начал Саша, – так как числитель больше знаменателя.
Выделим целую часть. Получим смешанное число .

–
Теперь выполним деление уголком числителя на знаменатель, – продолжил Паша. – 
В результате получим периодическую дробь 1,58(3).

–
А теперь перейдём к округлению, – сказал Саша. – Сначала нам нужно эту
периодическую дробь округлить до единиц. Для этого нам нужно отбросить все
цифры, которые стоят после целой части. Первая отбрасываемая цифра равна 5,
значит, цифру в разряде единиц увеличим на 1. Получим 2.

–
Затем округлим полученную периодическую дробь до десятых, – продолжил Паша. –
Нам нужно откинуть все цифры, которые стоят после разряда десятых. Первая из
отбрасываемых цифр равна 8. Значит, цифру в разряде десятых увеличим на 1. Получим
десятичную дробь 1,6.

–
Теперь округлим нашу периодическую дробь до сотых, – сказал Саша. – Отбрасываем
все цифры, которые стоят после разряда сотых. Первая отбрасываемая цифра равна 3.
Значит, цифру в разряде сотых не меняем. Получим десятичную дробь 1,58.

–
И осталось округлить нашу периодическую дробь до тысячных, – продолжил Паша. –
Для округления нам необходимо отбросить все цифры, которые стоят после разряда
тысячных. Первая из отбрасываемых цифр равна 3. Следовательно, цифру в разряде
тысячных увеличивать не надо. Получим десятичную дробь 1,583.

–
Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Полученные числа 2; 1,6; 1,58 и 1,583 называют
десятичным приближением до единиц, десятых, сотых и тысячных
соответственно дроби .
Записывают десятичные приближения так:

–
Рассмотренный пример иллюстрируют следующее правило, – сказал Мудряш. – Запомните!
Чтобы найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного разряда,
надо:

во-первых,
выполнить деление до следующего разряда;

во-вторых,
полученную конечную десятичную дробь или бесконечную периодическую десятичную
дробь округлить до нужного разряда по обычным правилам округления. Если «отбрасываемый»
разряд содержит цифры 0, 1, 2, 3, 4, то разряд, до которого округляют, не
изменяют; если «отбрасываемый» разряд содержит цифры 5, 6, 7, 8, 9, то его
отбрасывают, а разряд, до которого округляют, увеличивают на 1.

–
А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько
заданий.

Задание
первое: найдите десятичное приближение до указанного разряда:
а)  –
до десятых;      б)  –
до десятых;       в)  –
до сотых;           г)  –
до тысячных.

Решение: первая
дробь — .
Её по условию нужно округлить до десятых. Выполним деление уголком. Достаточно
найти её значение до разряда сотых.

Получим
десятичную дробь 0,23. А теперь округлим эту дробь до десятых. Для этого
отбросим сотые. При этом отбрасываемая цифра равна 3, значит, цифру, стоящую в
десятых, увеличивать не нужно. Получим десятичную дробь нуль 0,2.

Следующая
дробь — .
Её тоже нужно округлить до десятых. Выполним деление уголком числителя на
знаменатель. Нам достаточно найти значение частного до разряда сотых.

Получим
десятичную дробь 3,14. В разряде сотых стоит 4. Значит, округляемый разряд
увеличивать не нужно. Получим дробь 3,1.

Перейдём
к следующей дроби .
Её нужно округлить до сотых. Разделим уголком четыре на тринадцать. Нам
достаточно найти значение частного до разряда тысячных.

Получим
десятичную дробь 0,307. Отбросим разряд тысячных. Так как после округляемой
цифры стоит 7, то округляемый разряд увеличиваем на 1. Получим 0,31.

И
последняя дробь — .
Её нужно округлить до тысячных. Выполним деление уголком двух на три. Нам
достаточно найти значение частного до разряда десятитысячных.

Получим
десятичную дробь 0,6666. Отбросим разряд десятитысячных. Там стоит 6, значит,
округляемый разряд нужно увеличить на 1. Получим 1,667.

Следующее
задание: найдите корень уравнения с точностью до сотых: а) ;     
б) .

Решение: первое
уравнение .
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный
множитель. Выполним деление уголком до разряда тысячных. Получим десятичную
дробь 1,315. Результат нужно округлить до сотых. В разряде тысячных стоит 5.
Значит, разряд сотых увеличим на 1. Тогда получим десятичную дробь 1,32.

Следующее
уравнение .
Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное. Выполним
деление уголком до разряда тысячных. Получим десятичную дробь 0,122. Результат
нужно округлить до сотых. В разряде тысячных стоит 2. Значит, разряд сотых не
изменяем. Тогда получим десятичную дробь 0,12.

И
последнее задание: площадь прямоугольника равна 2730 м²,
а длина одной из сторон этого прямоугольника равна 55 метрам. Найдите длину
другой стороны прямоугольника. Ответ округлите до сотых метра.

Решение: мы
знаем, что площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон.
Выразим из этой формулы неизвестную сторону. Получим, что вторая сторона равна
частному 2730 и 55. Выполним деление уголком до разряда тысячных. Получим
десятичную дробь 49,633. В разряде тысячных стоит 6. Значит, разряд сотых
увеличим на 1. Тогда получим, что вторая сторона 49,64 метра.

Математика

6 класс

Урок № 68

Приближение десятичных дробей

Перечень рассматриваемых вопросов:

1. Десятичная дробь, приближённое значение, округление.
2. Значащая цифра десятичной дроби.

Тезаурус

Округление десятичной дроби – нахождение приближённого значения.

Десятичная дробь – дробь, записанная в десятичной форме.

Значащая цифра десятичной дроби – это первая слева направо отличная от нуля цифра, а также все следующие за ней цифры.

Основная литература

Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Не всегда возможно и нужно найти точные ответы на некоторые вопросы. Например, сколько кубических метров воды содержит Каспийское море? Сколько тонн снега выпало зимой? Сколько волос на голове человека? Поэтому, вместо точных берут другие значения, близкие к искомым, приближённые.

Рассмотрим несколько чисел. 1,3; 1,5; 1,8

Все эти числа имеют целую часть – единицу, значит, находятся между соседними натуральными числами 1 и 2.

При этом 1,3 находится ближе к 1, а 1,8 ближе к 2.

Поэтому можно сказать, что 1,3 приближённо равно 1,

а 1,8 приближённо равно 2.

Число 1,5 находится точно в середине, его можно приблизить и к единице, и к двум.

1,3 ≈ 1

1,8 ≈ 2

1,5≈1; 1,5≈2

Но если следовать правилам округления чисел, то 1,5 приближённо равно 2.

Приближение десятичных дробей, которое мы выполнили, называется округлением десятичной дроби до единиц.

Округление десятичной дроби – нахождение приближённого значения.

Если число А мало отличается от числа Б, то говорят, что число А приближённо равно числу Б. А ≈ Б; ≈ – знак приближённого равенства.

Если при этом Б меньше, чем А, то Б называют приближением А с недостатком.

Если Б больше, чем А, то его называют приближением А с избытком.

Рассмотрим на примере произвольной десятичной дроби.

А = 3,42845

Оборвём эту дробь на цифре второго разряда после запятой.

3,42845

Получим число, меньшее, чем А. 3,42 < А

Если увеличить число сотых на единицу, получим число, большее, чем А. 3,43 > А

Таким образом, первоначальное число А находится между данными числами. 3,42 < А < 3,43

Поэтому получаем, что 3,42 – приближение числа А с точностью до одной сотой с недостатком.

А ≈ 3,42 с точностью до 0,01 с недостатком.

3,43 – приближение числа А с точностью до одной сотой с избытком.

А ≈ 3,43 с точностью до 0,01 с избытком.

Так как третья цифра после запятой у числа А больше пяти, то оно ближе к 3,43, чем к 3,42. Поэтому говорят, что 3,43 есть приближение А с точностью до одной сотой с округлением.

Введём понятие значащей цифры десятичной дроби. Это первая слева направо отличная от нуля цифра, а также все следующие за ней цифры.

Например,

0,403 – все цифры после запятой значащие.

0,00256 – все цифры, начиная с двойки – значащие.

Округлим некоторые числа до третьей значащей цифры. Это означает, что округляем до того разряда, где находится третья значащая цифра, заменив следующие цифры нулями.

3,14159 ≈ 3,14000 = 3,14

0,046052 ≈ 0,046100 = 0,0461

– 0,023039 ≈ – 0,023000 = – 0,0230

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Зачеркивания элементов.

Зачеркните неверный ответ.

Задание. Округлите число 1037,9301 до четырёх значащих цифр.

Варианты ответов: 1037,9; 1038

Решение. Значащие цифры – это первая отличная от нуля цифра, а также все следующие за ней. Значащими цифрами в данном числе являются все цифры, начиная с первой. Четыре значащие – это вся целая часть дроби. После запятой в разряде десятых стоит цифра 9, значит, при округлении к цифре разряда единиц мы прибавим 1. Получим 1038.

Ответ: 1038

Тип 2. Ввод с клавиатуры в пропуски в тексте.

Задание. Впишите в пропуски цифры, чтобы получилось верное округление

А) 383,_75 ≈ 383,6

Б) 2_9,746 ≈ 210

В) 548,_77 ≈ 548,18

Решение.

А) Дробь округлена до десятых. Следующая цифра после разряда десятых – 7. Значит, при округлении к цифре десятых прибавили единицу. Получилось 6. Значит, исходная цифра — 5.

Ответ: 383,575 ≈ 383,6

Б) Дробь округлена до десятков. Следующая цифра после разряда десятков – 9. Значит, при округлении к цифре десятков прибавили единицу. Получилось 1. Значит, исходная цифра десятков – 0.

Ответ: 209,746 ≈ 210

В) Дробь округлена до сотых. При этом количество десятых не менялось, и в конечном числе равно 1. Значит. И в исходном числе количество десятых – 1.

Ответ: 548,177 ≈ 548,18

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Десятичные дроби
5. Десятичная запись дробных чисел

Советуем посмотреть:

Сравнение десятичных дробей

Сложение и вычитание десятичных дробей

Приближенные значения чисел. Округление чисел

Умножение десятичных дробей

Деление десятичных дробей

Среднее арифметическое

Десятичные дроби

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 1200,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1563,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1754,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2

Номер 799,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 806,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 807,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1153,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1161,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 7,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 231,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 417,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 524,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 593,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 651,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 847,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 866,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1179,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1478,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 5,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 52,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 126,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 160,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 202,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 297,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 438,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 616,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 636,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 637,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 218,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 238,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 243,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 247,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 248,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 282,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 300,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 385,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 464,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 472,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---

ОКРУГЛИТЬ 2,5807 ДО ДЕСЯТЫХ, СОТЫХ, ТЫСЯЧНЫХ ДОЛЕ Й.

2,6

2,58

2,581

Сформулируйте правило округления десятичных дробей

Какая дробь округлена с недостатком (почему?), с избытком (почему?)

Какие десятичные дроби называют периодическими?

ПРОЧИТАЙТЕ ДРОБИ И НАЗОВИТЕ ПЕРИОД:

3,27272… (27)

0,46666… (6)

0,45 (0)

5,1333… (3)

4,057575… (57)

0,321212… (21)

ВЫПИСАТЬ В ОДИН РЯД КОНЕЧНЫЕ ДРОБИ, ВО ВТОРОЙ РЯД – БЕСКОНЕЧНЫЕ

Конечные дроби

Бесконечные дроби

КАК ОКРУГЛИТЬ ПЕРИОДИЧЕСКУЮ ДРОБЬ?

ЗАПОЛНИМ СООТВЕТСТВУЮЩУЮ ТАБЛИЦУ:

Обыкновен-

ная дробь

Десятичная запись

дроби

Десятичное

приближение

до 0,1

Округление до 0,1

0,(6) = =0,666…

0,(4) = =0,444…

По недостат-ку

По избытку

ЗАПОЛНИМ СООТВЕТСТВУЮЩУЮ ТАБЛИЦУ:

Обыкновен-

ная дробь

Десятичная запись

дроби

Десятичное

приближение

до 0,1

Округление до 0,1

0,(6) = =0,666…

0,(4) = =0,444…

По недостат-ку

0,7

0,4

По избытку

С недостатком – округляемый разряд остается без изменения (не смотря на первую отбрасываемую цифру), справа стоящие цифры обращаем в нули.

ЗАПОЛНИМ СООТВЕТСТВУЮЩУЮ ТАБЛИЦУ:

Обыкновен-

ная дробь

Десятичная запись

дроби

Десятичное

приближение

до 0,1

Округление до 0,1

0,(6) = =0,666…

0,(4) = =0,444…

По недостат-ку

0,7

0,4

0,6

0,4

По избытку

С избытком – округляемый разряд увеличивается на 1 (не смотря на первую отбрасываемую цифру), справа стоящие цифры обращаем в нули.

ЗАПОЛНИМ СООТВЕТСТВУЮЩУЮ ТАБЛИЦУ:

Обыкновен-

ная дробь

Десятичная запись

дроби

Десятичное

приближение

до 0,1

Округление до 0,1

0,(6) = =0,666…

0,(4) = =0,444…

По недостат-ку

0,7

0,4

0,6

0,4

По избытку

0,7

0,5

КАК НАЙТИ ДЕСЯТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ?

Чтобы найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного разряда, надо:

• выполнить деление числителя на знаменатель до следующего разряда;
• полученную десятичную дробь или бесконечную периодическую десятичную дробь округлить до нужного разряда.

ЗАДАЧА 1.

НА ОДНОМ ИЗ ОБЪЕКТОВ ХИМИЧЕСКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ, ГДЕ В БОЛЬШОМ КОЛИЧЕСТВЕ ИМЕЮТСЯ ЯДОВИТЫЕ ВЕЩЕСТВА, ПРОИЗОШЛА АВАРИЯ. НЕОБХОДИМО ВЫВЕЗТИ ЗА ПРЕДЕЛЫ ОПАСНОЙ ЗОНЫ 365 РАБОТНИКОВ ЗАВОДА. СКОЛЬКО ПОНАДОБИТСЯ МИКРОАВТОБУСОВ, ЧТОБЫ ЭВАКУИРОВАТЬ ВСЕХ РАБОТНИКОВ, ЕСЛИ В ОДНОМ МИКРОАВТОБУСЕ ВСЕГО 15 ПОСАДОЧНЫХ МЕСТ?

(с избытком)

ЗАДАЧА 2.

НА ПОШИВ ЗАЩИТНОГО КОСТЮМА ДЛЯ СПАСАТЕЛЯ РАСХОДУЕТСЯ 2,4 М ТКАНИ. СКОЛЬКО ЗАЩИТНЫХ КОСТЮМОВ МОЖНО СШИТЬ ИЗ 64 М ТКАНИ?

(по недостатку)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

П. 18, № 562, 567.

СОСТАВИТЬ И РЕШИТЬ СЮЖЕТНУЮ ЗАДАЧУ.