Как найти десятичную дробь примеры

Как найти десятичную дробь

Представление о дробях учащиеся школ получают еще на начальном этапе обучения. Не забывают про дроби и в старших классах, но вычислять их разрешается на калькуляторе, а потому забывается сам принцип возникновения дроби. На практике решать задачи при помощи основного свойства дробей проще, чем наугад набирать кнопки на калькуляторе

Вам понадобится

• – Учебник математики за 5ый класс.

Инструкция

Итак, давайте разберемся, с определением части от целого. Для этого сделайте рисунок квадрата или прямоугольника, лучше всего на листке в клеточку. Разделите квадрат по клеточкам, это будут доли, равные части одного целого.

Дроби бывают разными, например, обыкновенные – 1/2, 3/7, 1/4, смешанные – 1 ½, 2 ½

5 ¼ , десятичные дроби – 0,25, 0,5, 0,7.

Все дроби зависят от основного свойства дробей – сокращенные дроби, решайте задачи без калькулятора.

Дроби можно переводить из одного вида в другой. Например, дробь 25/100 можно записать как 0,25. Дробь можно сократить, получится ¼. Бывает, что десятичную дробь не нужно сокращать. Например, 0,3 так и останется 3/10 – эта дробь не сокращается. Но учтите, не все обыкновенные дроби можно представить в виде десятичных. Не найти десятичную дробь из 1/3, 6/7, 1/7, и таких не переводимых дробей много.

Попробуйте найти десятичную дробь из 3/20. Для начала разложите знаменатель этой дроби на простые множители, например 5*2*2. Запишите пример так: 3/20 = 3/20*5/5=15/100=0,15.

Таким образом, чтобы найти десятичную дробь, разложите знаменатель обыкновенной дроби на множители, уравняйте количество пятерок и двоек, выберите единственный множитель. Закрепите знание – найдите десятичную дробь из 3/50. Разложите знаменатель на множители 50=2*5*5, значит, двойку нужно представлять в виде дроби 2/2. 3/50*2/2=6/100=0,06.

Чтобы найти десятичную дробь из обыкновенной дроби разделите её числитель на знаменатель. Например, возьмите 5/8, разделите 5 на 8, получите 0,625. Десятичная дробь может быть бесконечной. Например, 18/7 в точную десятичную дробь превратить нельзя, потому что если 18 разделить на семь получится бесконечное число.

Видео по теме

Обратите внимание

Бесконечные дроби можно округлить, но это значение будет не точным.

Полезный совет

Если вы задумались над решением примера со смешанными дробями – (3/4+0,5)*(1 1/5–0,7). Найдите десятичные дроби из ¾ -0,75 и из 1 1/5 -1,2, решите пример, используя десятичные дроби.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Десятичные дроби и действия с ними

Десятичная дробь – это дробь, имеющая в знаменателе 10, 100, 1000 и т.д.

Такие дроби принято записывать в строчку, а не как обыкновенную дробь.

ЗАПИСЬ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ:

1. Сначала выделяют целую часть, ставят запятую, а потом записывают числитель дробной части.

Например:

(7frac{38}{100} = 7,38)

1. Если дробь правильная, то целая часть равна 0:

Например:

(frac{6}{10} = 0,6)

1. После запятой должно стоять столько цифр, сколько нулей стоит после единицы в знаменателе дроби. Например, если в знаменателе 10, то после запятой будет одна цифра.

2. Если в знаменателе 1000, то после запятой должно быть три цифры. Если в числителе дроби цифр меньше, чем нулей в знаменателе, тогда после запятой ставят нужное количество нулей, а уже потом записывают числитель:

Например:

(frac{56}{1000})

в знаменателе три нуля, а в числителе только две цифры. Чтобы уравнять количество цифр и нулей, представим дробь как

(frac{056}{1000})

Ноль в начале числителя никак на него не влияет, но помогает нам записать дробь в виде десятичной. Получается, что:

(frac{56}{1000} = frac{056}{1000} = 0,056)

ЧТЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ:

1. Читают десятичные дроби в соответствии с количеством цифр после запятой. Если цифра одна, то знаменатель соответствует числу 10. Тогда мы говорим, что доля десятичная. Если цифры две, то знаменатель соответствует числу 100, доля такой дроби – сотая. Так же называют тысячную долю, десятитысячную, миллионную и так далее.

Например:

(19frac{32}{100} = 19,32) – девятнадцать целых, 32 сотых;

(2frac{9}{1000} = 2frac{009}{1000} = 2,009) – две целых, 9 тысячных;

(frac{3}{10} = 0,3) – три десятых.

1. Если приписать или убрать ноль в конце дроби, то она не изменится.

Например:

(0,80 = 0,8) (80 сотых = 8 десятых);

(0,0780 = 0,078) (780 десятитысячных = 78 тысячных).

СРАВНЕНИЕ ДСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ:

Чтобы сравнить дроби, их нужно привести к одинаковому количеству знаков после запятой.

Например:

Сравним 0,07 и 0,5.

У первой дроби после запятой две цифры, у второй только одна. Значит второй дроби нужно ее добавить так, чтобы дробь не изменилась. Мы можем приписать ноль в конце дроби.

Получим 0,07 и 0,50. Теперь мы сравниваем две дроби со знаменателем 100. Становится понятно, что 7<50, значит 0,07<0,50, значит 0,07<0,5.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ:

Сложим две десятичные дроби:

(1,8 + 3,062)

СПОСОБ 1:

1. Чтобы найти сумму или разность десятичных дробей, можно представить их как обыкновенные.

(1frac{8}{10} + 3frac{62}{1000})

1. Если дроби имеют разные знаменатели, приведем их к одному. Проще всего приписать к одной дроби (и к числителю, и к знаменателю) одинаковое количество недостающих нулей:

(1frac{800}{1000} + 3frac{62}{1000})

1. Теперь сложим дроби как смешанные:

(1frac{800}{1000} + 3frac{62}{1000} = 4frac{800 + 62}{1000} = 4frac{862}{1000})

1. Переведем дробь обратно в десятичную:

(4frac{862}{1000} = 4,862)

СПОСОБ 2:

1. Сумму или разность десятичных дробей можно найти столбиком. Запишем одно число под другим так, чтобы запятая одной дроби находилась по запятой другой:

1. Уравняем количество знаков (чисел) после запятой:

1. Сложим числа в столбик не обращая внимание на запятую.

1. Поставим запятую суммы под запятыми слагаемых:

СПОСОБ 3:

Можно воспользоваться тем фактом, что число состоит из целой и дробной частей и сложить сначала одно, потом другое.

1. Представим дроби в ином виде:

(1,8 = 1 + 0,8)

(3,062 = 3 + 0,062)

1. Сложим целые части:

(1 + 3 = 4)

1. Сложим дробные части:

(0,8 + 0,062 = 0,862)

1. Сложим полученные значения:

(4 + 0,862 = 4,862)

УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ:

Умножение десятичной дроби на натуральное число:

Например:

(1,81 bullet 3)

1. Чтобы умножить десятичную дробь на число, нужно найти их произведение в столбик, не обращая внимания на запятую:

2. В полученном произведении отделить запятой столько знаков справа, сколько отделено у дроби:

Умножение десятичной дроби на десятичную дробь:

Например:

(1,81 bullet 0,03)

1. Чтобы умножить десятичную дробь на десятичную, нужно найти их произведение в столбик, не обращая внимания на запятую:

1. В полученном произведении отделить запятой столько знаков справа, сколько в сумме отделено у множителей:

Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.:

Чтобы умножить десятичную дробь на такое число, нужно в десятичной дроби перенести запятую на столько знаков вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Например:

(2,34 bullet 10 = 23,4)

(0,687 bullet 1000 = 687)

(7,095 bullet 100 = 709,5)

Умножение десятичной дроби на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.:

Чтобы умножить десятичную дробь на такое число, нужно в десятичной дроби перенести запятую на столько знаков влево, сколько знаков отделяет запятая в множителе:

(183,7 bullet 0,01 = 1,837)

(0,22 bullet 0,1 = 0,022)

(619 bullet 0,001 = 0,619)

ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ:

Деление десятичной дроби на число:

Например:

(2,52 : 4)

1. Найдем частное в столбик, не обращая внимание на запятую:

1. В полученном частном отделим запятой столько знаков справа, сколько отделяется в делимом:

Деление десятичной дроби на десятичную дробь:

Например:

(0,252 : 0,4)

1. В делителе и делимом перенести вправо запятую на столько знаков, сколько их после запятой в делителе.

(0,252 : 0,4 = 2,52 : 4)

1. Выполнить деление на натуральное число.

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.:

Чтобы разделить десятичную дробь на такое число, нужно в десятичной дроби перенести запятую на столько знаков влево, сколько знаков отделяет запятая в множителе.

• Разделить на 10 = умножить на 0,1

• Разделить на 100 = умножить на 0,01

• Разделить на 1000 = умножить на 0,001

Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.:

Чтобы разделить десятичную дробь на такое число, нужно в десятичной дроби перенести запятую на столько знаков вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

• Разделить на (0,1 =) умножить на 10

• Разделить на( 0,01 =) умножить 100

• Разделить на (0,001 = )умножить на 1000

Десятичные дроби — для чайников

Действия с десятичными дробями – деление умножение, сложение, вычитание, сравнение. Разбор примеров.

Все это здесь.

Между прочим, большинство ошибок на экзаменах происходят как раз из-за незнания простейших действий вроде этих.

Так что читай эту статью и отрабатывай скиллы.

Десятичные дроби — коротко о главном

1. Определение

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени.

2. Конечная и бесконечная десятичная дробь

Десятичная дробь может быть:

• конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}));
• бесконечной, в том числе периодичной, если конечное число цифр определить не определено (( 0,05882352941…));
• периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр (( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right)))

3. Свойства десятичных дробей

• Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули ( displaystyle frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000)и т.д.;
• Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби: ( 0,014330000=0,01433);
• Десятичная дробь возрастает в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо: ( 0,0125cdot 100=1,25) (перенесли запятую на ( 2) знака вправо – умножили на ( 100) и дробь возросла в ( 100) раз);
• Десятичная дробь уменьшается в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево: ( 124,56:100=1,2456) (перенесли запятую на ( 2) знака влево – разделили на ( 100) и дробь уменьшилась в ( 100) раз).

4. Сложение десятичных дробей

Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в складываемых числах.

5. Вычитание десятичных дробей

Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком»:

6. Умножение десятичных дробей

Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.

Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.

7. Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число

• Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую в делимом (то число, которое мы делим на какое-либо другое число)
• Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.

Деление десятичных дробей друг на друга

• Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
• Умножаем и делимое, и делитель на 10, 100 или 1000 и т.д., в зависимости от того, сколько мы насчитали знаков в первом пункте. Умножать необходимо, чтобы превратить десятичную дробь в целое число.

Десятичные дроби — подробнее

Конечно, ты знаешь, что такое обыкновенная дробь. Например, ( displaystyle frac{1}{3}, frac{1}{4},frac{5}{112}).

Наравне с приведенными выше дробями существуют дроби ( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}) и т.д.

Такие дроби можно записать намного удобнее и более кратко, то есть:

( displaystyle frac{8}{10}=0,8)

( displaystyle frac{13}{100}=0,13)

( displaystyle frac{49}{1000}=0,049)

Данного вида дроби называются десятичными. Иными словами:

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени (первый пример – ( 10) в первой степени, второй – ( 10) во второй степени и т.д.).

Ты наверняка знаешь, что каждая цифра после запятой имеет свое название. На всякий случай напомню тебе про них, чтобы в дальнейшем мы говорили на одном языке:

Это огромное число читается по следующему алгоритму:

1. Сначала читается число, стоящее до запятой и добавляется слово «целых»: ««( 46) целых»;
2. Затем читается как обыкновенное число слева после запятой и добавляется слово, обозначающее название самой последней цифры. В нашем случае – «одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные».

А теперь прочитаем все вместе – «( 46) целых одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные». Разобрался? Переходим к визуализации полученных знаний!

Итак, небольшая тренировка на понимание, что такое эта десятичная дробь! Нарисуй квадрат ( 10) на ( 10) и закрась какую-нибудь его часть равную:

• ( 0,05;)
• ( 0,4;)
• ( 0,27;)
• ( 0,245)

Справился? Проверяем, что у тебя получилось.

Во-первых, квадрат ( 10) на ( 10) состоит из ( 100) клеточек. Соответственно, ( 0.05) – ( 5) клеточек из ( 100); ( 0,4) – ( 40) клеточек из ( 100) и так далее.

Наверняка, наибольшее затруднение составило последнее число – ( -0,245). На картинке это необходимо отразить как 24,5 клетки.

В общем, смотри:

С понятиями разобрались, теперь научимся переводить из десятичной дроби в обыкновенную и обратно.

Перевод из десятичной дроби в обыкновенную и обратно

Попробуй перевести:

• ( 0,136)
• ( 0,2436)
• ( 0,0456)
• ( 0,21)

Сравним ответы:

• ( displaystyle 0,136=frac{136}{1000})
• ( displaystyle 0,2436=frac{2436}{10000})
• ( displaystyle 0,0456=frac{456}{10000})
• ( displaystyle 0,21=frac{21}{100})

Уверена, что ты с легкостью справился! А как насчет обратного перевода? Из обыкновенных в десятичные?

Попробуй свои силы на вот этих дробях:

• ( displaystyle frac{2}{10})
• ( displaystyle frac{3}{100})
• ( displaystyle frac{4}{1000})
• ( displaystyle frac{4562}{100})

А вот и ответы:

• ( displaystyle frac{2}{10}=0,2)
• ( displaystyle frac{3}{100}=0,03)
• ( displaystyle frac{4}{1000}=0,004)
• ( displaystyle frac{4562}{100}=45frac{62}{100}=45,62)

Если ты со всем справился, можешь пропускать следующий абзац, а если где-то допустил ошибку, внимательно прочти о том, как легко и 100% правильно переводить дроби из обыкновенных в десятичные.

1. Смотрим на дробь и определяем, есть ли у нее целая часть? Если есть, выделяем целую часть, записываем ее, и ставим запятую.
2. После запятой должно быть столько знаков, сколько нулей стоит в знаменателе. Например, дробь ( displaystyle frac{4}{1000}) — ( 3) нуля в знаменателе, соответственно, мы как бы мысленно выделяем ( 3) ячейки.
3. Затем записываем числитель – ( 4), но выравниваем его по правому краю, а в пустые ячейки вставляем нули.

Разобрался? Посмотри еще раз эту маленькую «инструкцию»:

Я думаю, ты во всем-всем разобрался! Потренируемся? Попробуй поработать еще с вот этими дробями:

• ( displaystyle frac{26}{10})
• ( displaystyle frac{43}{100})
• ( displaystyle frac{99}{1000})
• ( displaystyle frac{3562}{100})

А теперь ответы:

• ( displaystyle frac{26}{10}=2,6)
• ( displaystyle frac{43}{100}=0,43)
• ( displaystyle frac{99}{1000}=0,099)
• ( displaystyle frac{3562}{100}=35,62)

Виды десятичных дробей

Десятичная дробь может быть:

• конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}));
• бесконечной, в том числе периодичной, если конечное число цифр определить не определено (( 0,05882352941…));
• периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр (( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right))).

Поговорим сначала о конечных дробях.

Конечная десятичная дробь

Само собой понятно, что дроби ( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}) являются конечными, ведь знаменатель дроби уже представлен как единица с последующими нулями, и поэтому мы сразу можем сказать, что данную обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную. А что ты скажешь насчет этой дроби: ( displaystyle frac{1}{4})? Ее знаменатель далеко не единица с последующими нулями, но ты четко знаешь, что у нее есть десятичный «аналог»:

( displaystyle frac{1}{4}=frac{1cdot 25}{4cdot 25}=frac{25}{100}=0,25)

То есть, чтобы определить, можно ли перевести дробь в десятичную, необходимо умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, такое, чтобы знаменатель стал равен ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее.

Усвоил? Постарайся представить в виде конечной десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:

• ( displaystyle frac{1}{5})
• ( displaystyle frac{1}{8})
• ( displaystyle frac{3}{5})
• ( displaystyle frac{1}{16})

Сравним наши ответы:

• ( displaystyle frac{1cdot 2}{5cdot 2}=frac{2}{10}=0,2)
• ( displaystyle frac{125}{1000}=0,125)
• ( displaystyle frac{3}{5}=frac{6}{10}=0,6)
• ( displaystyle frac{1}{16}=frac{625}{10000}=0,0625)

Справился? Молодец. Выходим на новый уровень и переходим к бесконечным десятичным дробям.

Бесконечная десятичная дробь

Итак, бери калькулятор и дели ( 1) на ( 17). Поделил? Ты получил ( 0,05882352941) и дальше окошко калькулятора не показывает… Это тоже является десятичной дробью, только данная десятичная дробь является бесконечной. Ты сейчас скажешь, а как же наше определение?

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени (первый пример – ( 10) в первой степени, второй – ( 10) во второй степени и т.д.).

Все очень просто и никаких противоречий с определением нет. В данном случае нам необходимо привести наш знаменатель к ( {{10}^{n}}), с учетом, что ( n) это какое-либо бесконечное число, которое мы не можем «обозреть» взглядом», или иными словами – ( nto +infty )

Таким образом:

Бесконечной десятичной дробью называется обыкновенная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.

Как правило, в задачах, где встречаются бесконечные десятичные дроби, просят указать ответ либо с округлением (например, до десятых, или до сотых), либо записать в виде обыкновенной дроби, то есть как ( displaystyle frac{1}{17}).

Подумай, какой самый популярный пример можно привести на тему «бесконечная десятичная дробь»? Правильно! Число ( pi ) является бесконечной десятичной дробью. Во всем мире люди договорились, что для решения математических задач принято, что ( pi =3,14), но это далеко не так. Число ( pi ) не имеет определенного завершения. Оно настолько бесконечно, что ежегодно в мире проводятся соревнования по запоминанию числа ( pi ). Мировой рекорд по запоминанию знаков числа ( pi ) после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки! Все 67 890 знаков после запятой мы приводить не будем, а приведем несколько сокращенную запись:

( pi =3,1415926535text{ }8979323846text{ }2643383279text{ }5028841971)

Думаю, этого хватит, чтобы оценить «масштабы» данного числа.

Наравне с бесконечными десятичными дробями существуют периодические десятичные дроби. Они так же не имеют конца, но последующие числа в них повторяются, например, попробуй перевести в десятичную дробь ( displaystyle frac{1}{3}). Что у тебя получилось?

( displaystyle frac{1}{3}=0,333333333….)

Чтобы не повторять число ( 3) много много раз, решили говорить «ноль целых и три в периоде», так как тройка будет повторяться после запятой бесконечное число раз. Из этого умозаключения следует определение:

Дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр.

Чтобы кратко записать такую дробь, период (повторяющиеся цифры после запятой) пишут в скобках:

( displaystyle frac{1}{3}=0,underbrace{3}_{период}33333333….=0,left( 3 right))

( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right))

Важно, что период не может начинаться слева от запятой:

( displaystyle frac{100}{7}=underbrace{14,2857}_{не период}1428571428571…=14,left( 285714 right)).

Свойства десятичных дробей

Существует четыре свойства десятичных дробей. Они очень простые, и ты 100% знаешь о всех них, но давай их перечислим и вспомним:

1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули

( displaystyle frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000)и т.д.

2. Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби:

( 0,014330000=0,01433)

ВНИМАНИЕ!!! Нельзя удалять нули, расположенные не в конце десятичной дроби!!!!

( 0,014330000ne 0,1433)

3. Десятичная дробь возрастает в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо:

( 0,0125cdot 100=1,25) (перенесли запятую на ( 2) знака вправо – умножили на ( 100) и дробь возросла в ( 100) раз)

4. Десятичная дробь уменьшается в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево:

( 124,56:100=1,2456) (перенесли запятую на ( 2) знака влево – разделили на ( 100) и дробь уменьшилась в ( 100) раз)

Последние два свойства позволяют быстро умножать и делить десятичные дроби на ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. о чем подробнее мы поговорим чуть ниже.

Действия с десятичными дробями

Десятичные дроби – это обычные числа. Мы можем складывать их, вычитать из одной другую, умножать и делить.

Очень важно уметь правильно производить с ними математические действия, так как зачастую именно от арифметических ошибок зависит твоя оценка на экзамене.

Несомненно, ты знаешь, как все это делать, но на всякий случай, дам тебе краткую инструкцию к применению.

Как складывать десятичные дроби

При сложении десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.

Разберемся на примере:

Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставится четко на том же месте, как и в складываемых числах.

Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.

Если при сложении в сумме мы получаем больше ( 10), то одна единица прибавляется к сумме при сложении цифр следующего разряда.

Решим наш пример, учтя все правила:

Разобрался? Посчитай в столбик самостоятельно:

• ( 0,0125+0,141)
• ( 2,4225+0,34)
• ( 122,4355+1,34)
• ( 2,435+12,3)

Сравним ответы:

• ( 0,0125+0,141=0,1535)
• ( 2,4225+0,34=2,7625)
• ( 122,4355+1,34=123,7755)
• ( 2,435+12,3=14,735)

Как вычитать десятичные дроби

Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения.

Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.

Вычитание происходит, как и вычитание натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в числах, с которыми мы работаем.

Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.

Если при вычитании получается, что мы из меньшего числа вычитаем большее, то мы как бы занимаем десяток у более высокого разряда (при вычитании сотых частей, берем десяток у десятых, при вычитании десятых – у единиц и так далее), не забывая уменьшить вычитаемое число у заимствованного разряда.

Посмотрим подробно на примере:

Думаю, с рисунком тебе стало все понятно. Попробуй посчитать в столбик следующие выражения:

• ( 0,0125-0,141)
• ( 2,4225-0,34)
• ( 122,4355-1,34)
• ( 12,435-12,3)

Сравним полученные ответы:

• ( 0,0125-0,141=-0,1285)
• ( 2,4225-0,34=2,0825)
• ( 122,4355-1,34=121,0955)
• ( 12,435-12,3=0,135)

Как умножать десятичные дроби

Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.

Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.

Мы начинаем запись числа, получающего при перемножении, под тем разрядом второго числа, на который умножаем. Далее мы суммируем полученные числа и только затем ставим запятую.

Чтобы определить, между какими числами должна стоять запятая, мы должны посмотреть, сколько чисел стоит после знака запятой у первого множителя, сколько у второго, сложить их и отсчитать справа данное количество чисел.

Непонятно? Смотри:

Как ты видишь, при перемножении мы будем складывать столько слагаемых, сколько разрядов содержится во втором множителе, поэтому удобней записывать числа так, чтобы первый множитель был по количеству чисел больше, чем второй.

Таким способом мы значительно снизим вероятность ошибок.

Не веришь? Смотри:

Если при умножении мы получаем число, которое больше ( 9), например ( 12), то единицу мы прибавляем к значению, полученному при умножении последующих чисел следующего десятка.

Соответственно, если получаем, например, ( 24), то прибавляем ( 2).

Проиллюстрируем данное правило:

Разобрался? Дорешай данный пример самостоятельно.

Сколько у тебя получилось? У меня ( 10,33911).

А теперь пора приступить к некоторым очень важным моментам, которые помогут сохранить время на экзамене.

Как делить десятичные дроби

Теперь ты знаешь о десятичных дробях почти все. Осталось только разобраться с тем, как их делить друг на друга.

Если ты отлично это представляешь, смело пропускай данный подраздел. Если нет – смотри инструкцию к применению.

Итак. Мы рассмотрим два вида деления:

• деление десятичной дроби на натуральное число;
• деление десятичной дроби на десятичную дробь.

Начнем с деления десятичной дроби на натуральное число.

Чтобы делить десятичную дробь на натуральное число, необходимо пользоваться следующими правилами:

1. Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую в делимом (то число, которое мы делим на какое-либо другое число)
2. Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.

Важно!!!

Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном ставим ( 0) целых. Логично, правда?

Рассмотрим на конкретном примере:

Усвоил? Раздели столбиком следующие числа:

• ( 135,2:5)
• ( 16,4:2)
• ( 158,14:4)
• ( 2,456:2)
• ( 0,626:2)

Сравним наши ответы:

• ( 135,2:5=27,04)
• ( 16,4:2=8,2)
• ( 158,14:4=39,535)
• ( 2,456:2=1,228)
• ( 0,626:2=0,313)

Вспомни теперь свойства десятичных дробей, описанные ранее: если нам необходимо разделить дробь на ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее, нет необходимости делать это в столбик – мы можем просто перенести запятую на столько цифр влево, сколько нулей у нас в делителе.

Например: ( 135,2:10=13,52).

А теперь попробуй самостоятельно:

• ( 135,2:100)
• ( 16,4:10)
• ( 158,14:1000)
• ( 2,456:10)

Перенес? Смотри, что у меня получилось:

• ( 135,2:100=1,352)
• ( 16,4:10=1,64)
• ( 158,14:1000=0,15814)
• ( 2,456:10=0,2456)

Молодец! Переходим к делению десятичных дробей друг на друга.

Деление десятичных дробей друг на друга

Итак, для того чтобы это делать существует три правила:

1. Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
2. Умножаем и делимое, и делитель на ( 10), ( 100) или ( 1000) и т.д., в зависимости от того, сколько мы насчитали знаков в первом пункте. Умножать необходимо, чтобы превратить десятичную дробь в целое число.
3. Делим числа как натуральные.

ВАЖНО!!! При умножении мы смотрим, в каком из чисел, участвующих в делении, присутствует наибольшее количество знаков после запятой? Ориентируясь именно на это число мы умножаем на ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее.

Рассмотрим на примере ( 16,4:0,02)

В каком числе у нас стоит наибольшее количество знаков после запятой? Правильно, во втором, то есть в делителе: после нуля стоит два знака. Что из этого следует? Что мы умножаем и делимое и делитель на ( 100)!

Что дальше? Мы получаем следующий пример: ( 1640:2) Посчитай, сколько это будет самостоятельно. У меня получилось ( 820).

Рассмотрим примерчик посложнее: ( 5,31:0,3)

Самое большое количество знаков после запятой содержится в первом числе – их два, соответственно, умножаем оба числа, участвующего в делении на ( 100). Получаем: ( 531:30).

А теперь делим в столбик:

Ты видишь, что нацело разделить не получилось, мы «снесли» еще один ноль, и только тогда пришли к ответу, поэтому сразу после окончания деления нашего делимого, мы ставим запятую.

Теперь ты полностью готов совершать любые действия с десятичными дробями. Молодец! Рассмотрим только, как их сравнивать, хотя я думаю, ты уже и сам с этим справишься!

Как сравнивать десятичные дроби

Мы можем сравнивать десятичные дроби двумя способами.

Способ первый – поразрядно.

Допустим, нам необходимо сравнить ( 5,365 V 5,36)

1. Смотрим, одинаковое ли количество знаков после запятой стоит у каждой дроби? Нет? Значит дописываем справа необходимое количество нулей (ты же помнишь, что от дописывания нулей дробь неизменна, правда?)

Что у нас получилось? Верно: ( 5,365 V 5,360)

2. Начинаем сравнивать слева направо: целую часть с целой, десятые части с десятыми и так далее. Когда одна из частей дроби оказывается больше аналогичной части другой, эта дробь и больше.

Перейдем к нашему примеру: целые части у нас одинаковы – их значение ( 5). Десятые тоже – ( 3). Сотые – ( 6), а вот тысячные у первой дроби ( 5), а у второй ( 0). Что больше: ( 5) или ( 0)? Верно, ( 5), соответственно:

( 5,365 > 5,360)

Способ второй – с помощью умножения.

Внимательно смотрим на дроби. На сколько нам нужно умножить два числа, чтобы сравнивать целые числа? Смотрим на ту дробь, у которой знаков после запятой больше, то есть на первую. У нее после запятой ( 3) знака, соответственно, чтобы сделать из нее целое число, необходимо умножить на ( 1000) Умножаем обе дроби на это значение:

( 5,365cdot 1000 V 5,36cdot 1000)

( 5365 V 5360)

Эти числа ты сравнишь без проблем:

( 5365 > 5360)

Заметь, результат получился одинаковый. Теперь попробуй сравнить дроби самостоятельно любым наиболее удобным для тебя способом:

• ( 21,34 V 20,34)
• ( 0,34 V 0,341)
• ( 120,15 V 1210,16)
• ( 10,565 V 10,465)

Справился? Смотри что вышло:

• ( 21,34 > 20,34)
• ( 0,34 < 0,341)
• ( 120,15 < 1210,16)
• ( 10,565 > 10,465)

Вот теперь ты усвоил дроби полностью!

Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж — c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
• отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Определение

Десятичная дробь — дробь, которая представляет собой способ представление числа в виде записи числа с запятой, где цифры перед запятой называются целой частью, а цифры после запятой – дробной частью (десятичной частью).

Десятичные дроби получают из записи обыкновенных дробей со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Например, десятичные дроби:

4,56 – четыре целых пятьдесят шесть сотых
18,234 – восемнадцать целых двести тридцать четыре тысячных
78,6 – семьдесят восемь целых шесть десятых

Чтение десятичных дробей

Чтение десятичной части (десятых, сотых и так далее) зависит от количества цифр после запятой. Если цифра одна, то читают – десятых (в числе десять – один нуль, это соответствует одной цифре). Если две цифры после запятой, то читают – сотых (в сотне два нуля).

Десятичные дроби получаются из обыкновенных дробей:

Сложение (вычитание) десятичных дробей

Пример №1. Запись, где запятая под запятой и соответствующий разряд под соответствующим.

34,145 + 5,678 = 39,823

34,145
  5,678
39,823

Пример №2. Запись, где также запятая под запятой, а во втором числе дописан нуль, чтобы уравнять количество знаков после запятой.

9,235 – 2,34 = 6,895

9,235
2,340
6,895

Пример №3. В первом слагаемом нет десятичной части, поэтому, после числа 56 поставили запятую и добавили нужное количество нулей.

56 + 12,74 = 68,74

56,00
12,74
68,74

Умножение десятичных дробей

Пример №4. Запись выполнена так, что цифры по правому краю записаны ровно одна под одной, то есть как при обычном умножении чисел в столбик. Умножение выполнено без учета запятой. В ответе справа отделены 4 цифры запятой, так как в первом множителе их 3 после запятой, а во втором – одна, в двух множителях вместе – четыре.

0,125 × 2,3

  0,125
^×    2,3
00375
0250
0,2875

Пример №5. Здесь показано умножение десятичной дроби и целого числа. Умножение выполнено без учета запятой. В ответе отделена справа запятой только одна цифра, так как  только в первом множителе есть десятичная часть с одной цифрой после запятой.

34,2 × 8

  34,3
^×     8
274,4

Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000…

Алла Василевская | Просмотров: 10.1k

Данный материал мы посвятим такой важной теме, как десятичные дроби. Сначала определимся с основными определениями, приведем примеры и остановимся на правилах десятичной записи, а также на том, что из себя представляют разряды десятичных дробей. Далее выделим основные виды: конечные и бесконечные, периодические и непериодические дроби. В финальной части мы покажем, как точки, соответствующие дробным числам, расположены на оси координат.

Что такое десятичная запись дробных чисел

Так называемая десятичная запись дробных чисел может быть использована как для натуральных, так и для дробных чисел. Она выглядит как набор из двух и более цифр, между которыми есть запятая.

Десятичная запятая нужна для того, чтобы отделять целую часть от дробной. Как правило, последняя цифра десятичной дроби не бывает нулем, за исключением случаев, когда десятичная запятая стоит сразу после первого же нуля.

Какие можно привести примеры дробных чисел в десятичной записи? Это может быть 34,21, 0,35035044, 0,0001, 11 231 552,9 и др.

В некоторых учебниках можно встретить использование точки вместо запятой (5.67, 6789.1011 и др.) Это вариант считается равнозначным, но он более характерен для англоязычных источников.

Определение десятичных дробей

Основываясь на указанном выше понятии десятичной записи, мы можем сформулировать следующее определение десятичных дробей:

Десятичные дроби представляют собой дробные числа в десятичной записи.

Для чего нам нужна запись дробей в такой форме? Она дает нам некоторые преимущества перед обыкновенными, например, более компактную запись, особенно в тех случаях, когда в знаменателе стоят 1000, 100, 10 и др. или смешанное число. Например, вместо 610 мы можем указать 0,6, вместо 2510000 – 0, 0023, вместо 5123100 –  512,03.

О том, как правильно представить в десятичном виде обыкновенные дроби с десятками, сотнями, тысячами в знаменателе, будет рассказано в рамках отдельного материала.

Как правильно читать десятичные дроби

Существуют некоторые правила чтения записей десятичных дробей. Так, те десятичные дроби, которым соответствуют их правильные обыкновенные эквиваленты, читаются почти так же, но с добавлением слов «ноль десятых» в начале. Так, запись 0,14, которой соответствует 14100, читается как «ноль целых четырнадцать сотых».

Если же десятичной дроби можно поставить в соответствие смешанное число, то она читается тем же образом, как и это число. Так, если у нас есть дробь 56,002, которой соответствует 5621000, мы читаем такую запись как «пятьдесят шесть целых две тысячных».

Что такое разряды в десятичных дробях

Значение цифры в записи десятичной дроби зависит от того, на каком месте она расположена (так же, как и в случае с натуральными числами). Так, в десятичной дроби 0,7 семерка – это десятые доли, в 0,0007 – десятитысячные, а в дроби 70 000,345 она означает семь десятков тысяч целых единиц. Таким образом, в десятичных дробях тоже существует понятие разряда числа.

Названия разрядов, расположенных до запятой, аналогичны тем, что существуют в натуральных числах. Названия тех, что расположены после, наглядно представлены в таблице:

Разберем пример.

У нас есть десятичная дробь 43,098. У нее в разряде десятков находится четверка, в разряде единиц тройка, в разряде десятых – ноль, сотых – 9, тысячных – 8.

Принято различать разряды десятичных дробей по старшинству. Если мы движемся по цифрам слева направо, то мы будем идти от старших разрядов к младшим. Получается, что сотни старше десятков, а миллионные доли младше, чем сотые. Если взять ту конечную десятичную дробь, которую мы приводили в качестве примера выше, то в ней старшим, или высшим будет разряд сотен, а младшим, или низшим – разряд 10-тысячных.

Любую десятичную дробь можно разложить по отдельным разрядам, то есть представить в виде суммы. Это действие выполняется так же, как и для натуральных чисел.

Если мы вспомним свойства сложения, то сможем представить эту дробь и в других видах, например, как сумму 56+0,0455, или 56,0055+0,4 и др.

Что такое конечные десятичные дроби

Все дроби, о которых мы говорили выше, являются конечными десятичными дробями. Это означает, что количество цифр, расположенное у них после запятой, является конечным. Выведем определение:

Конечные десятичные дроби представляют собой вид десятичных дробей, у которых после знака запятой стоит конечное число знаков.

Примерами таких дробей могут быть 0,367, 3,7, 55,102567958, 231 032,49 и др.

Любую из этих дробей можно перевести либо в смешанное число (если значение их дробной части отличается от нуля), либо в обыкновенную дробь (при нулевой целой части). Тому, как это делается, мы посвятили отдельный материал. Здесь просто укажем пару примеров: так, конечную десятичную дробь 5,63 мы можем привести к виду 563100, а 0,2 соответствует 210 (или любая другая равная ей дробь, например, 420 или 15.)

Но обратный процесс, т.е. запись обыкновенной дроби в десятичном виде, может быть выполнен не всегда. Так, 513 нельзя заменить на равную дробь с знаменателем 100, 10 и др., значит, конечная десятичная дробь из нее не получится.

Основные виды бесконечных десятичных дробей: периодические и непериодические дроби

Мы указывали выше, что конечные дроби называются так потому, что после запятой у них стоит конечное число цифр. Однако оно вполне может быть и бесконечным, и в этом случае сами дроби также будут называться бесконечными.

Бесконечными десятичными дробями называются такие, у которых после запятой стоит бесконечное количество цифр.

Очевидно, что полностью такие числа записаны быть просто не могут, поэтому мы указываем лишь часть из них и дальше ставим многоточие. Это знак говорит о бесконечном продолжении последовательности знаков после запятой. Примерами бесконечных десятичных дробей могут быть 0,143346732…, 3,1415989032…, 153,0245005…, 2,66666666666…, 69,748768152…. и т.д.

В «хвосте» такой дроби могут стоять не только случайные на первый взгляд последовательности цифр, но постоянное повторение одного и того же знака или группы знаков. Дроби с чередованием после десятичной запятой называются периодическими.

Периодическими десятичными дробями называются такие бесконечные десятичные дроби, у которых после запятой повторяется одна цифра или группа из нескольких цифр. Повторяющаяся часть называется периодом дроби.

К примеру, для дроби 3,444444…. периодом будет цифра 4, а для 76, 134134134134… – группа 134.

Какое же минимальное количество знаков допустимо оставить в записи периодической дроби? Для периодических дробей достаточно будет записать весь период один раз в круглых скобках. Так, дробь 3,444444…. правильно будет записать как 3,(4), а 76, 134134134134…– как 76,(134).

В целом записи с несколькими периодами в скобках будут иметь точно такой же смысл: к примеру, периодическая дробь 0,677777 – это то же самое, что 0,6(7) и 0,6(77) и т.д. Также допустимы записи вида 0,67777(7), 0,67(7777) и др.

Во избежание ошибок введем однообразие обозначений. Условимся записывать только один период (максимально короткую последовательность цифр), который стоит ближе всего к десятичной запятой, и заключать его в круглые скобки.

То есть для указанной выше дроби основной будем считать запись 0,6(7), а, например, в случае с дробью 8,9134343434 будем писать 8,91(34).

Если знаменатель обыкновенной дроби содержит простые множители, не равные 5 и 2, то при переводе в десятичную запись из них получатся бесконечные дроби.

В принципе, любую конечную дробь мы можем записать в виде периодической. Для этого нам просто нужно добавить справа бесконечно много нулей. Как это выглядит в записи? Допустим, у нас есть конечная дробь 45,32. В периодическом виде она будет выглядеть как 45,32(0). Это действие возможно потому, что добавление нулей справа в любую десятичную дробь дает нам в результате равную ей дробь.

Отдельно следует остановиться на периодических дробях с периодом 9, например, 4,89 (9), 31,6(9). Они являются альтернативной записью схожих дробей с периодом 0, поэтому их часто заменяют при письме именно дробями с нулевым периодом. При этом к значению следующего разряда добавляют единицу, а в круглых скобках указывают (0). Равенство получившихся чисел легко проверить, представив их в виде обыкновенных дробей.

К примеру, дробь 8,31(9) можно заменить на соответствующую ей дробь 8,32(0). Или 4,(9)=5,(0)=5.

Бесконечные десятичные периодические дроби относятся к рациональным числам. Иначе говоря, любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной, и наоборот.

Существуют и дроби, у которых после запятой бесконечно повторяющаяся последовательность отсутствует. В таком случае их называют непериодическими дробями.

К непериодическим десятичным дробям относятся те бесконечные десятичные дроби, в которых после запятой не содержится периода, т.е. повторяющейся группы цифр.

Иногда непериодические дроби выглядят очень похожими на периодические. Например, 9,03003000300003… на первый взгляд кажется имеющей период, однако подробный анализ знаков после запятой подтверждает, что это все же непериодическая дробь. С такими числами надо быть очень внимательным.

Непериодические дроби относятся к иррациональным числам. В обыкновенные дроби их не переводят.

Основные действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить следующие действия: сравнение, вычитание, сложение, деление и умножение. Разберем каждое из них отдельно.

Сравнение десятичных дробей может быть сведено к сравнению обыкновенных дробей, которые соответствуют исходным десятичным. Но бесконечные непериодические дроби свести к такому виду нельзя, а перевод десятичных дробей в обыкновенные зачастую является трудоемкой задачей. Как же быстро произвести действие сравнения, если нам нужно сделать это по ходу решения задачи? Удобно сравнивать десятичные дроби по разрядам таким же образом, как мы сравниваем натуральные числа. Этому методу мы посвятим отдельную статью.

Чтобы складывать одни десятичные дроби с другими, удобно использовать метод сложения столбиком, как для натуральных чисел. Чтобы складывать периодические десятичные дроби, необходимо предварительно заменить их обыкновенными и считать по стандартной схеме. Если же по условиям задачи нам надо сложить бесконечные непериодические дроби, то нужно перед этим округлить их до некоторого разряда, а потом уже складывать. Чем меньше разряд, до которого мы округляем, тем выше будет точность вычисления. Для вычитания, умножения и деления бесконечных дробей предварительное округление также необходимо.

Нахождение разности десятичных дробей обратно действию сложения. По сути, с помощью вычитания мы можем найти такое число, сумма которого с вычитаемой дробью даст нам уменьшаемую. Подробнее об этом расскажем в рамках отдельного материала.

Умножение десятичных дробей производится так же, как и для натуральных чисел. Для этого тоже подходит метод вычисления столбиком. Это действие с периодическими дробями мы опять же сводим к умножению обыкновенных дробей по уже изученным правилам. Бесконечные дроби, как мы помним, надо округлить перед подсчетами.

Процесс деления десятичных дробей является обратным процессу умножения. При решении задач мы также пользуемся подсчетами в столбик.

Положение десятичных дробей на оси координат

Можно установить точное соответствие между конечной десятичной дробью и точкой на оси координат. Выясним, как отметить точку на оси, которая будет точно соответствовать необходимой десятичной дроби.

Мы уже изучали, как построить точки, соответствующие обыкновенным дробям, а ведь десятичные дроби можно привести к такому виду. Например, обыкновенная дробь 1410 – это то же самое, что и 1,4, поэтому соответствующая ей точка будет удалена от начала отсчета в положительном направлении ровно на такое же расстояние:

Можно обойтись без замены десятичной дроби на обыкновенную, а взять на основу метод разложения по разрядам. Так, если нам надо отметить точку, координата которой будет равна 15,4008, то мы предварительно представим это число в виде суммы 15+0,4+,0008. Для начала отложим от начала отсчета 15 целых единичных отрезков в положительном направлении, потом 4 десятых доли одного отрезка, а потом 8 десятитысячных долей одного отрезка. В итоге мы получим точку координат, которой соответствует дробь 15,4008.

Для бесконечной десятичной дроби лучше пользоваться именно этим способом, поскольку он позволяет приблизиться к нужной точке сколь угодно близко. В некоторых случаях можно построить и точное соответствие бесконечной дроби на оси координат: так, 2=1,41421…, и с этой дробью может быть соотнесена точка на координатном луче, удаленная от 0 на длину диагонали квадрата, сторона которого будет равна одному единичному отрезку.

Если мы находим не точку на оси, а десятичную дробь, соответствующую ей, то это действие называется десятичным измерением отрезка. Посмотрим, как правильно это сделать.

Допустим, нам нужно попасть от нуля в заданную точку на оси координат (или максимально приблизиться в случае с бесконечной дробью). Для этого мы постепенно откладываем единичные отрезки от начала координат, пока не попадем в нужную точку. После целых отрезков при необходимости отмеряем десятые, сотые и более мелкие доли, чтобы соответствие было максимально точным. В итоге мы получили десятичную дробь, которая соответствует заданной точке на оси координат.

Выше мы приводили рисунок с точкой M. Посмотрите на него еще раз: чтобы попасть в эту точку, нужно отмерить от нуля один единичный отрезок и четыре десятых доли от его, поскольку этой точке соответствует десятичная дробь 1,4.

Если мы не можем попасть в точку в процессе десятичного измерения, то значит, что ей соответствует бесконечная десятичная дробь.