Как найти диагональ куба решение

Куб является базовым геометрическим телом, когда речь заходит об объеме и объемных телах. Недаром третья степень, которая получается умножением трех одинаковых чисел друг на друга (как при нахождении объема куба – трех его измерений одинаковых измерений) названа в его честь.

Основным и единственным параметром куба является его ребро a,так как все ребра у куба конгруэнтны, и представляют собой одновременно и длину, и ширину, и высоту. Соответственно, всего одно значение определяет все возможные характеристики куба, связанные с его измерениями.

Помимо ребер, вершины куба можно соединить диагоналями. Диагонали могут проходить через грани куба, тогда они будут просто диагональю основания или диагональю квадрата в плоскости, либо диагонали могут быть проведены внутри самого куба, соединяя противоположные основания в крайних точках (вершинах).

Чтобы найти диагональ куба через его ребро, необходимо сначала провести дополнительное построение в виде диагонали одного из соединяемых оснований, тогда диагональ куба станет гипотенузой новоиспеченного прямоугольного треугольника, катетами которого являются ребро куба и диагональ основания. Если ребро куба задано условиями задачи, то диагональ квадрата в основании придется сначала вычислить по формуле:
d=a√2

Тогда диагональ куба можно будет выразить через теорему Пифагора, и она примет следующий вид:

Куб или как его еще называют гексаэдр – это правильный многогранник, каждая из граней которого имеет форму квадрата. Куб – это частный случай призмы и параллелепипеда.

Разные дисциплины используют значение этого термина по отношению к различным свойствам геометрического прототипа. Например, в аналитике применяют аналитические многомерные кубы, которые позволяют наглядно сопоставить данные из разных таблиц.

Свойства куба

• В куб можно вписать тетраэдр двумя вариантами, причем вершины тетраэдра, а их четыре, будут совпадать с четырьмя вершинами куба. Все шесть ребер тетраэдра будут располагаться на всех шести гранях куба и будут равны диагонали грани квадрата.
• Четыре сечения куба это правильные шестиугольники, они проходят по центру куба перпендикулярно четырем диагоналям.
• В куб вписывается октаэдр, причем все шесть вершин октаэдра совместятся с центрами шести граней куба.
• Куб вписывается в октаэдр, причем все восемь вершин куба расположатся в центрах восьми граней октаэдра.
• В куб можно вписать икосаэдр, так, что шесть взаимно параллельных ребер икосаэдра расположатся на шести гранях куба, остальные двадцать четыре ребра внутри куба, все 12 вершин икосаэдра лягут по шести граням куба.

Формулы для куба

• Поверхность куба: A = 6*a2
• Объем куба: V = a3
• Диагональ куба: d = a*√3

A cube is defined as a 3D solid object which has six square faces and all sides equal to each other. It is one of the five platonic solids and is also known as a regular hexahedron. Six square faces, eight vertices, and twelve edges make up the cube. Its length, breadth and height all are same as it is a square with all sides of the same length. The common line between any two faces of a cube is called its edge. It acts as a boundary line between two faces.

Diagonal of a cube

A cube’s diagonal is the line segment connecting any two non-adjacent vertices of the cube. There are two types of cube diagonals, that is, face diagonal and body diagonal. A face diagonal joins two non-adjacent vertices via a single face while a body diagonal does the same by passing through the body of the cube. There are 12 face diagonals and 4 body diagonals possible inside a cube.

Face diagonal formula

Length of face diagonal of cube = √2a

where,

a is the side length of cube.

Body diagonal formula

Length of body diagonal of cube = √3a

where,

a is the side length of cube.

Derivation

Suppose we have a cube with side length a, face diagonal d and body diagonal D.

Now it is known that face diagonal is the hypotenuse of the right triangle it forms with two side lengths. 

So, using Pythagoras theorem we get,

d² = a² + a²

d² = 2a²

d = √2a   …….. (1)

Also, the face diagonal and one side length form a right triangle with body diagonal as hypotenuse.

Again using Pythagoras theorem we get,

D² = a² + d²

Using (1) we get,

D² = a² + (√2a)²

D² = a² + 2a²

D² = 3a²

D = √3a

This derives the formulas for face diagonals and body diagonals of a cube.

Sample Problems

Problem 1. Calculate the face diagonal of a cube of side length 2 m.

Solution:

We have,

a = 2

Using the formula we get,

d = √2a

= √2 (2)

= (1.414) (2)

= 2.83 m

Problem 2. Calculate the face diagonal of a cube of side length 5 m.

Solution:

We have,

a = 5

Using the formula we get,

d = √2a

= √2 (5)

= (1.414) (5)

= 7.07 m

Problem 3. Calculate the body diagonal of a cube of side length 3 m.

Solution:

We have,

a = 3

Using the formula we get,

D = √3a

= √3 (3)

= (1.732) (3)

= 5.196 m

Problem 4. Calculate the body diagonal of a cube of side length 7 m.

Solution:

We have,

a = 7

Using the formula we get,

D = √3a

= √3 (7)

= (1.732) (7)

= 12.12 m

Problem 5. Calculate the side length if the face diagonal of a cube is 6 m.

Solution:

We have,

d = 6

Using the formula we get,

d = √2a

=> a = d/√2

= 6/√2

= 4.24 m

Problem 6. Calculate the side length if the body diagonal of a cube is 13√3 m.

Solution:

We have,

D = 13√3

Using the formula we get,

D = √3a

=> a = D/√3

= 13√3/√3

= 13 m

Problem 7. Calculate the body diagonal of a cube if its face diagonal is 9√2 m.

Solution:

We have,

d = 9√2

Find the side length.

d = √2a

=> a = d/√2

= 9√2/√2

= 9 m

Now using the formula we get,

D = √3a

= √3 (9)

= 15.58 m

Last Updated :
15 May, 2022

Like Article

Save Article