Как найти диагональ квадрата решение

Была ли эта статья полезной?

Квадрат принадлежит к рангу правильных многоугольников, то есть это равносторонний четырехугольник. Являясь синтезом ромба и прямоугольника, каждый из которых в свою очередь представляет собой производную фигуру от, параллелограмма, квадрат объединяет в себе все свойства вышеперечисленных фигур.

Как это поможет найти диагональ квадрата? Рассмотрим два его основных свойства:
– Все стороны квадрата равны (от ромба)
– Все углы квадрата являются прямыми, то есть равны 90 градусам (от прямоугольника)

Если провести диагональ квадрата, то она образует с его сторонами не просто прямоугольный треугольник (как в прямоугольнике), но равнобедренный прямоугольный треугольник, который по теореме Пифагора будет связывать всего два параметра – диагональ квадрата и его сторону. Стороны квадрата будут катетами для треугольника, а диагональ гипотенузой.

a²+b²=c²
a²+b²=d²
2a²=d²

Чтобы из данного тождества вывести формулу диагонали, нужно поместить удвоенный квадрат стороны под квадратный корень, и так как сторона квадрата также возведена во вторую степень, ее можно будет сразу вынести из под корня. В итоге формула диагонали квадрата через сторону будет выглядеть как сторона квадрата, умноженная на корень из двух:

d=√(2a²)
d=a√2

Данная формула применима ко всем случаям, когда необходимо найти диагональ квадрата. При этом в задаче может быть дан не сам квадрат, а форма квадрата как осевое сечение цилиндра, например, тогда длина диагонали квадрата равна диагонали сечения.

Следует также учитывать, что точка пересечения диагоналей делит их на две равные части (свойство параллелограмма), соответственно каждый отрезок, полученный в результате пересечения диагоналей, будет равен половине диагонали квадрата.

Формулы диагонали квадрата через площадь, периметр

Из школьного курса математики мы знаем, что квадрат — это четырёхугольник у которого все углы прямые, а все стороны равны.

Диагональ — отрезок, соединяющий две противоположные вершины квадрата. Задача нахождения диагонали квадрата может встретиться и после окончания школы. К примеру, при постройке дома у которого фундамент должен быть квадратным. Когда размечается фундамент, мало убедиться, что все 4 стороны равны. Ведь у ромба тоже все стороны равны. И получить ромбовидный фундамент вряд ли кто захочет.

В этом случае, чтобы убедиться в том, что фундамент действительно представляет собой квадрат, вычисляют диагональ квадрата и измеряют обе диагонали фундамента. Если все 4 стороны равны между собой и две диагонали также имеют одинаковую длину — фундамент точно будет квадратным. Для вычисления длины диагонали квадрата достаточно знать длину его стороны и простую формулу.

Как найти диагональ квадрата

d=a cdot sqrt{2}

d — диагональ квадрата

a — сторона квадрата

Достаточно подставить в формулу длину стороны квадрата вместо a.

А можно воспользоваться нашим калькулятором. Просто введите длину стороны и тут же получите длину диагонали квадрата. У нас также можно найти диагональ прямоугольника.

Диагональ квадрата онлайн

Примеры нахождения диагонали квадрата

Найдем диагональ квадрата со стороной 3 см.

Подставим в формулу вместо a число 3 и получим d=3 cdot sqrt{2} = sqrt{3^2 cdot 2} = sqrt{18} = 4,24264

Найдем диагональ квадрата со сторонами 2 на 2 см.

Подставим в формулу вместо a число 3 и получим d=2 cdot sqrt{2} = sqrt{2^2 cdot 2} = sqrt{8} = 2,828427

Диагональ квадрата формула и расчет Автор admin средний рейтинг 2.9/5 – 287 рейтинги пользователей

При решении задач по школьной математике часто требуется определить, чему равняется диагональ заданного квадрата. При кажущейся некоторой сложности, эта задача является весьма простой и имеет несколько несложных способов решения. Рассмотрим их, для начала введём некоторые понятия и определения.

Определения и соглашения

1. Квадрат — это четырёхугольник с равными сторонами, все углы которого являются прямыми, то есть равны 90 градусов. Данная фигура одновременно и ромб, и прямоугольник, поэтому сохраняет все их свойства.
2. Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В статье её будем обозначать буквой d.
3. Противоположными называются вершины, не лежащие на одной стороне.
4. Корень квадратный из числа, это такое число, которое при умножении само на себя даст исходное. В геометрии используются только положительные значения квадратного корня. В статье его будем обозначать сокращением rad (от латинского radical — корень).
5. Сторону квадрата будем обозначать буквой a.

Как понятно из вышеизложенного, у квадрата только две диагонали. Поскольку квадрат является прямоугольником и сохраняет его свойства, то они равны между собой. Рассмотрим различные методы нахождения её длины.

Вычисление диагонали квадрата по известной стороне

Самым простым способом является вычисление диагонали, если известна сторона квадрата. Здесь действует широко известная теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Запишем эту формулу: c^2 = a^2+b^2.

Отметим, что в нашем случае диагональ квадрата есть гипотенуза треугольника с равными катетами. Перепишем формулу исходя из наших условий: d^2 = a^2+a^2. Преобразуем, получим: d^2 = 2*a^2. Следующим шагом извлечём квадратный корень, получится: d = rad2*a. Это и есть наша конечная формула.

Рассмотрим вычисление на примере. Пусть a = 64. Подставим наше значение в формулу. Получим d = 64*rad2. Это и есть ответ.

Вычисление диагонали квадрата по известной площади

Пусть нам дана площадь квадрата, её обозначают латинской буквой S, найдём его диагональ.

Используем свойства прямоугольника и запишем формулу его площади.

S = a*b. Перепишем для b = a. Получим: s = a^2. Отсюда найдём сторону: a = radS. Итак, нам удалось выразить сторону через площадь. Подставим полученное выражение в конечную формулу из предыдущей части. Формула примет вид: d = rad2*a = rad2*radS.

Пример: допустим, площадь равна 32 квадратных метра. Подставим это число. Получим rad2*rad32 = rad2*4*rad2 = 4*2 = 8 метров.

Вычисление диагонали по известному периметру

Пусть нам известен периметр. В дальнейшем его будем записывать латинской буквой P, найдём его d. Воспользуемся свойствами прямоугольника и запишем формулу его периметра.

P = два*(a + b). Перепишем для b = a. У нас получится: P = два*(a + a) = 2*2a = 4*a. Выразим из последней формулы сторону. Имеем: a = P/4. Воспользуемся тем, что: d = rad2*a. Выразим сторону через периметр. Наша формула примет видd = rad2*P/4.

Примере: пусть периметр равен 128 метров. Проведём несложный расчёт. Имеем, rad =d2*128/4 = 32*rad2 метров.

Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности

Ещё один способ, который на само деле очень простой. Радиус описанной окружности будем обозначать латинской буквой R, радиус вписанной окружности будем обозначать латинской буквой r.

Сначала разберёмся с описанной окружностью. В данной ситуации её радиус составляет ровно половину диагонали (это нетрудно убедиться с использованием построения), таким образом: R = 1/2*d. отсюда имеем: d = два*R. Снова поясним наши рассуждения на примере. Пусть R = 45 километров. Получим, d = два*45 = 90 километров.

И, наконец, рассмотрим метод, связанный с радиусом вписанной окружности. Опять-таки из построения чётко видно, что диаметр вписанной окружности равняется стороне квадрата. Таким образом, её радиус вдвое меньше стороны. Запишем это в виде формулы: r = 1/2*a. Отсюда следует, a = 2*r. Снова воспользуемся формулой из первого метода, подставим вместо стороны её выражение через радиус вписанной окружности. Выражение примет вид: d = rad2*a = rad2*2*r.

Ещё раз воспользуемся помощью примера. Пусть r = 98 метров. Тогда имеем, d = rad2*2*98 = 196*rad2.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели в статье пять принципиально различных методов вычисления диагонали квадрата. Если, на первый взгляд, задача казалась сложной, то после проведённых нами рассуждений стало очевидно, что особых проблем здесь нет. Сведём все полученные нами формулы в одну таблицу.

1. d = rad2*a;
2. d = rad2*radS;
3. d = rad2*P/4;
4. d = 2*R;
5. d = rad2*2*r.

Хочется ещё отметить, что с помощью первой из наших формул очень легко построить отрезок, равный корню квадратному из двух. Для этого строим квадрат со стороной единица, его диагональ и будет равняться искомому отрезку.

Если на полученной диагонали мы построим прямоугольник, используя её как длину, а ширину возьмём равной единице, то получим отрезок равный ещё одному иррациональному числу корень квадратный из трёх.

Продолжая нашу цепочку и далее, мы научимся строить отрезки равные любому иррациональному числу.

Видео

Из видео вы узнаете, как найти диагональ квадрата, если известна его площадь.

Квадрат – это четырёхугольник, у которого все стороны и углы раны. Он обладает следующими
свойствами:

• все углы равны между собой и равняются 90;
• смежные стороны перпендикулярны друг другу;
• квадрат имеет только две равные диагонали;
• диагонали в точке пересечения делятся пополам;
• диагонали перпендикулярны друг другу и являются биссектрисами улов квадрата;
• радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата;
• диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата.

Через длину стороны

Чтобы найти диагональ квадрата через длину стороны, необходимо значение стороны а умножить на
квадратный корень из двух. Данная формула выводится из теоремы Пифагора для прямоугольных
треугольников, так как диагональ делит квадрат на два прямоугольных треугольника. Сама диагональ
является гипотенузой данных треугольников. Теорема записывается c² = a² + b², и в данном случае вместо c выступает диагональ d, а вместо
b выступает а, так как катеты равны. Преобразуем: d² = a² + a²; d² = a² * 2. Теперь необходимо извлечь квадратный корень:

D = √(a² * 2)

где D – диагональ квадрата, а – длина стороны.

Пример. Необходимо найти диагональ квадрата d, если сторона квадрата a = 10 см.
Необходимая формула: D = √(a² * 2). Вместо а подставляем значение
10: D = √(10² * 2). После того как находим квадратный корень из двух,
производится умножение и получившееся значение округляем до нужного знака после запятой: D ~ 14,14
см.

Через периметр квадрата

Диагональ квадрата равна отношению периметра P квадрата к произведению четырех на квадратный корень
из двух.

D = P / 4√2

где d – диагональ квадрата, S – периметр квадрата

Пример.Необходимо найти диагональ квадрата d, если периметр P = 20 см. Необходимая
формула: D = P / 4√2. Вместо P подставляем значение 20: D = 20 / 4√2.  Получившееся значение округляем до нужного знака после
запятой: D ~ 3,54 см.

Через площадь квадрата

Чтобы найти диагональ квадрата через площадь S, нужно вычислить квадратный корень из произведения S ×
2 . Сама площадь S для прямоугольника имеет формулу S = a * b. Так как
квадрат — это прямоугольник с равными сторонами, формула для площади квадрата S = a². Если
выразить сторону через площадь, формула будет иметь вид: а = √S.

D = √(S * 2)

где D – диагональ квадрата, S – площадь квадрата.

Пример. Необходимо найти диагональ квадрата d, если площадь S = 10 см². Необходимая
формула: D = √(S * 2) Вместо S подставляем значение 10: D = √(10 * 2).  Получившееся значение округляем до нужного знака после
запятой: D ~ 4,47 см.

Через диаметр вписанной окружности

Диагональ квадрата равна произведению диаметра вписанной окружности D на квадратный корень из
двух.

D = d * √2

где D – диагональ квадрата, d – диаметр вписанной окружности.

Пример. Необходимо найти диагональ квадрата d, если диаметр вписанной окружности d =
10 см. Необходимая формула: D = d * √2. Вместо R подставляем значение 10:
d = 10 * √2. Диагональ равна 14,14 см.

Диагональ квадрата через диаметр описанной окружности

Диагональ квадрата равна диаметру d описанной окружности.

D = d

где D – диагональ квадрата, d – радиус описанной окружности.

Пример. Необходимо найти диагональ квадрата d, если диаметр описанной окружности d =
10 см. Необходимая формула: d = D. Вместо d подставляем значение
10. Диагональ равна 10 см.

Через радиус описанной окружности

Диагональ квадрата равна радиусу описанной окружности, умноженному на два.

D = 2R

где D – диагональ квадрата, R – радиус описанной окружности.

Пример. Необходимо найти диагональ квадрата D, если радиус описанной окружности R =
10 см. Необходимая формула: Вместо R подставляем значение 10: D = 2 * 10.
Получившееся значение округляем до нужного знака после запятой: D = 20 см.

Через радиус вписанной окружности

Диагональ квадрата равна произведению удвоенного радиуса вписанной окружности R на квадратный корень
из двух.

D = 2R√2

где D – диагональ квадрата, R– радиус вписанной окружности.

Пример. Необходимо найти диагональ квадрата D, если радиус описанной окружности D =
10 см. Необходимая формула: D = 2R√2. Вместо R подставляем значение 10:
d = 2 * 10 * √2. Диагональ равна 28,28 см.

Через линию, которая выходит из угла на середину стороны квадрата

Диагональ квадрата равна произведению квадратного корня из восьми пятых и линии C, выходящей из угла
на середину стороны квадрата.

D = √(8/5) * C

где D – диагональ квадрата, C – линия, выходящая из угла на середину квадрата.

Пример. Необходимо найти диагональ квадрата D, если линия, которая проходит из угла
на середину стороны квадрата С = 10 см. Необходимая формула: D = √(8/5) * C. Вместо R подставляем значение 10: D = √(8/5) * 10. Диагональ
равна 12,64 см.