Как найти диагональ многоугольника формула

Как найти диагональ многоугольника формула


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Нахождение числа диагоналей является важнейшим навыком, который пригодится при решении геометрических задач. Это не так сложно, как кажется – просто нужно запомнить формулу. Диагональ – это отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины многоугольника.[1]
 Многоугольник – это любая фигура с как минимум тремя сторонами. При помощи несложной формулы можно найти количество диагоналей в любом многоугольнике, например, с 4 сторонами или с 4000 сторон.

  1. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 1

    1

    Запомните названия многоугольников. Сначала нужно найти число сторон многоугольника. Это можно сделать по названию любого многоугольника. Вот названия самых распространенных многоугольников:[2]

    • Четырехугольник: 4 стороны
    • Пятиугольник: 5 сторон
    • Шестиугольник: 6 сторон
    • Семиугольник: 7 сторон
    • Восьмиугольник: 8 сторон
    • Девятиугольник: 9 сторон
    • Десятиугольник: 10 сторон
    • Обратите внимание, что у треугольника диагоналей нет.[3]

  2. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 2

    2

    Нарисуйте многоугольник. Чтобы найти число диагоналей в квадрате, нарисуйте его. Самый простой способ найти число диагоналей – это нарисовать правильный многоугольник (в таком многоугольнике все стороны равны) и посчитать количество диагоналей. Запомните: неправильный многоугольник будет иметь такое же количество диагоналей, что и правильный (при одинаковом числе сторон).[4]

    • Чтобы нарисовать многоугольник, воспользуйтесь линейкой; нарисуйте замкнутую фигуру со сторонами одинаковой длины.
    • Если вы не знаете, как выглядит многоугольник, поищите картинки в интернете. Например, знак «Стоп» – это восьмиугольник.

  3. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 3

    3

    Нарисуйте диагонали. Диагональ – это отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины многоугольника.[5]
     Из одной (любой) вершины многоугольника проведите диагонали к другим (несмежным) вершинам.

    • В квадрате проведите одну диагональ из нижнего левого угла в правый верхний угол, а вторую – из нижнего правого угла в левый верхний угол.
    • Нарисуйте диагонали разных цветов, чтобы быстрее посчитать их.[6]
    • Обратите внимание, что применять этот метод к многоугольникам, у которых больше 10 сторон, довольно сложно.

  4. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 4

    4

    Посчитайте диагонали. Можно считать диагонали во время того, как вы рисуете их, или после того, как они нарисованы. Отмечайте диагонали, которые уже посчитаны, чтобы не запутаться (особенно когда диагоналей много и они пересекаются).

    • У квадрата всего две диагонали – по одной на каждые две вершины.[7]
    • У шестиугольника 9 диагоналей: по три диагонали на каждые три вершины.
    • У семиугольника 14 диагоналей. Если у многоугольника больше семи сторон, посчитать диагонали довольно сложно, потому что их слишком много.

  5. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 5

    5

    Каждую диагональ считайте только один раз. Из каждой вершины выходит несколько диагоналей, но это не значит, что число диагоналей равно произведению числа вершин на число диагоналей, выходящих из каждой вершины. Поэтому аккуратно считайте диагонали.[8]

    • Например, у пятиугольника (5 сторон) только 5 диагоналей. Из каждой вершины выходит 2 диагонали; если умножить число вершин на число диагоналей, выходящих из каждой вершины, получите 10. Это неверный ответ, как если бы вы посчитали каждую диагональ дважды.

  6. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 6

    6

    Попрактикуйтесь в определении числа диагоналей на некоторых примерах. Нарисуйте разные многоугольники и посчитайте их диагонали. Этот метод применим и к неправильным многоугольникам. В случае вогнутого многоугольника некоторые диагонали лежат вне границ фигуры.[9]

    • У шестиугольника 9 диагоналей.
    • У семиугольника 14 диагоналей.

    Реклама

  1. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 7

    1

    Запишите формулу. Формула для вычисления числа диагоналей многоугольника: d = n(n-3)/2, где d – число диагоналей, n – число сторон многоугольника.[10]
     Используя распределительное свойство, эту формулу можно записать так: d = (n2 – 3n)/2. Можно пользоваться любой формой представленной формулы.

    • Эта формула для вычисления числа диагоналей многоугольника.
    • Обратите внимание, что эта формула не применима к треугольникам, потому что у треугольников диагоналей нет.[11]

  2. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 8

    2

    Определите число сторон многоугольника. Чтобы использовать приведенную формулу, нужно знать число сторон многоугольника. Число сторон можно выяснить по названию многоугольника. Ниже приведены части названий многоугольников.[12]

    • Четырех (4), пяти (5), шести (6), семи (7), восьми (8), девяти (9), десяти (10), одиннадцати (11), двенадцати (12), тринадцати (13 ), четырнадцати (14), пятнадцати (15) и так далее.
    • Если сторон слишком много, то в название многоугольника включается цифра. Например, если у многоугольника 44 стороны, он называется 44-угольником.
    • Если дан рисунок многоугольника, просто посчитайте его стороны.

  3. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 9

    3

    Подставьте число сторон в формулу. Сделайте это после того, как найдете число сторон многоугольника. Число сторон подставьте вместо n.[13]

    • Например. У двенадцатиугольника 12 сторон.
    • Запишите формулу: d = n(n-3)/2
    • Подставьте число сторон: d = (12(12 – 3))/2

  4. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 10

    4

    Решите уравнение. Для этого не забудьте про определенный порядок выполнения математических операций. Начните с вычитания, затем умножьте, а потом разделите. В итоге вы получите число диагоналей многоугольника.[14]

    • Например: (12(12 – 3))/2
    • Вычитание: (12*9)/2
    • Умножение: (108)/2
    • Деление: 54
    • У двенадцатиугольника 54 диагонали.

  5. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 11

    5

    Попрактикуйтесь на других примерах. Чем больше задач вы решите, тем лучше уясните процесс вычисления. Также вы наверняка запомните формулу для вычисления числа диагоналей, что пригодится на экзамене. Не забывайте, что представленная формула применима к многоугольнику, у которого больше трех сторон.

    • Шестиугольник (6 сторон): d = n(n-3)/2 = 6(6-3)/2 = 6*3/2 = 18/2 = 9 диагоналей.
    • Десятиугольник (10 сторон): d = n(n-3)/2 = 10(10-3)/2 = 10*7/2 = 70/2 = 35 диагоналей.
    • Двадцатиугольник (20 сторон): d = n(n-3)/2 = 20(20-3)/2 = 20*17/2 = 340/2 = 170 диагоналей.
    • 96-угольник (96 сторон): 96(96-3)/2 = 96*93/2 = 8928/2 = 4464 диагоналей.

    Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 176 260 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Polygon can be defined as a closed figure which is formed by joining the straight lines. So it is easy to see that to make a polygon at least three lines are needed. There are polygons known with different names depending on the number of lines by which it is formed.

Diagonals of a Polygon 

The diagonal of a polygon can be defined as a line that joins the end of two adjacent sides of any polygon and it is generally inside a polygon.

Example: A polygon formed from 3 lines is Triangle, Polygon with 4 lines is a quadrilateral, Polygon with 5 lines is a pentagon, and so on.

Formula of Diagonals of a polygon

Diagonals = (n × (n – 3))/2         

Where n is the number of sides of a polygon

Proof 

For making a diagonal in a polygon we need two vertices. Let’s consider an N-sided polygon, now each vertex can be connected to the other in nC2 different ways but in this, the number of sides which is n is taken twice so subtract n from the total number of ways.

Hence number of diagonals = nC2 – n

= (n!)/(n – 2)! × (2!) – n

= n(n – 1)(n – 2)!/(n – 2)! × (2!) – n

= n(n – 1)/2 – n

= (n(n – 1) – 2n)/2

= n(n – 3)/2

Example 1: Triangle

Take triangle and find the number of diagonals in it.

So a triangle has 3 sides so n = 3

Using formula, diagonals = (n × (n – 3))/2  

Put n =3

Diagonals = (3 × (3 – 3))/2  

= 0

Hence a triangle has zero diagonals.

Example 2: Square

Take Square and find the number of diagonals in it.

So a Square has 4 sides so n = 4

Using formula, diagonals = (n×(n-3))/2  

Put n = 4

Diagonals = (4 × (4 – 3))/2  

= 2

Hence a square has two diagonals.

Example 3: Pentagon

Take pentagon and find the number of diagonals in it.

So a pentagon has 5 sides so n = 5

Using formula, diagonals = (n × (n – 3))/2  

Put n = 5

Diagonals = (5 × (5 – 3))/2  

= 5

Hence a pentagon has five diagonals.

Sample Problems

Question 1: How many diagonals do a hexagon has, find using the diagonal of a polygon formula.

Solution:

Hexagon is a polygon that is formed by six straight lines

So a hexagon has 6 sides so n = 6

Using formula, diagonals = (n × (n – 3))/2  

Put n = 6

Diagonals = (6 × (6 – 3))/2  

= 9

Hence a hexagon has nine diagonals.

Question 2: There are 20 diagonals in a polygon, find a number of sides it has?

Solution:

Using diagonals formula = (n × (n – 3))/2  

So 20 = (n × (n – 3))/2  

20 × 2 = (n × (n – 3))

40 = n2 – 3 × n

n2 – 3 × n – 40 = 0 

n2 – 8n + 5n – 40 =0

n(n – 8) + 5(n- 8) = 0

(n – 8)(n + 5) = 0

So n = 8

Hence the polygon is the octagon.

Question 3: How many diagonals do a decagon has, find using the diagonal of a polygon formula.

Solution:

A decagon has 10 sides so n = 10

Using formula, diagonals = (n × (n – 3))/2  

Put n = 10

Diagonals = (10 × (10 – 3))/2  

= 35

Hence a decagon has 35 diagonals.

Question 4: There are 27 diagonals in a polygon, find the number of sides it has?

Solution:

Using diagonals formula = (n × (n – 3))/2  

So 27 = (n × (n – 3))/2  

27 × 2 = (n × (n – 3))

54 = n2 – 3 × n

n2 – 3 × n – 54 = 0

n2 – 9n + 6n – 54 =0

n(n – 9) + 6(n- 9) = 0

(n – 9)(n + 6) = 0

So n = 9

Hence the polygon is Nonagon.

Question 5: How many diagonals does a polygon have if sides are 20?

Solution:

Put n = 20 in diagonals formula

Diagonals = (20 × (20 – 3))/2  

= 170

Hence there will be 170 diagonals in a 20 sided polygon.

Question 6: There are 405 diagonals in a polygon, find the number of sides it has?

Solution:

Using diagonals formula = (n × (n – 3))/2  

So 405 = (n × (n – 3))/2  

405 × 2 = (n × (n – 3))

810 = n2 – 3 × n

n2 – 3 × n – 810 = 0

n2 – 30n + 27n – 810 =0

n(n – 30) + 27(n – 30) = 0

(n – 30)(n + 27) = 0

So n = 30

Hence the polygon has 30 sides.

Question 7: How many diagonals does a polygon have if sides are 40?

Solution:

Put n = 40 in diagonals formula

Diagonals = (40 × (40 – 3))/2  

= 740

Hence there will be 740 diagonals in a 40 sided polygon.

Last Updated :
01 Feb, 2022

Like Article

Save Article

Источник

Нахождение числа диагоналей является важнейшим навыком, который пригодится при решении геометрических задач. Это не так сложно, как кажется – просто нужно запомнить формулу. Диагональ – это отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины многоугольника. Многоугольник – это любая фигура с как минимум тремя сторонами. При помощи несложной формулы можно найти количество диагоналей в любом многоугольнике, например, с 4 сторонами или с 4000 сторон.

Рисование диагоналей

  1. Запомните названия многоугольников. Сначала нужно найти число сторон многоугольника. Это можно сделать по названию любого многоугольника. Вот названия самых распространенных многоугольников:

    • Четырехугольник: 4 стороны
    • Пятиугольник: 5 сторон
    • Шестиугольник: 6 сторон
    • Семиугольник: 7 сторон
    • Восьмиугольник: 8 сторон
    • Девятиугольник: 9 сторон
    • Десятиугольник: 10 сторон
    • Обратите внимание, что у треугольника диагоналей нет.

  2. Нарисуйте многоугольник. Чтобы найти число диагоналей в квадрате, нарисуйте его. Самый простой способ найти число диагоналей – это нарисовать правильный многоугольник (в таком многоугольнике все стороны равны) и посчитать количество диагоналей. Запомните: неправильный многоугольник будет иметь такое же количество диагоналей, что и правильный (при одинаковом числе сторон).

    • Чтобы нарисовать многоугольник, воспользуйтесь линейкой; нарисуйте замкнутую фигуру со сторонами одинаковой длины.
    • Если вы не знаете, как выглядит многоугольник, поищите картинки в интернете. Например, знак «Стоп» – это восьмиугольник.

  3. Нарисуйте диагонали. Диагональ – это отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины многоугольника. Из одной (любой) вершины многоугольника проведите диагонали к другим (несмежным) вершинам.

    • В квадрате проведите одну диагональ из нижнего левого угла в правый верхний угол, а вторую – из нижнего правого угла в левый верхний угол.
    • Нарисуйте диагонали разных цветов, чтобы быстрее посчитать их.
    • Обратите внимание, что применять этот метод к многоугольникам, у которых больше 10 сторон, довольно сложно.

  4. Посчитайте диагонали. Можно считать диагонали во время того, как вы рисуете их, или после того, как они нарисованы. Отмечайте диагонали, которые уже посчитаны, чтобы не запутаться (особенно когда диагоналей много и они пересекаются).

    • У квадрата всего две диагонали – по одной на каждые две вершины.
    • У шестиугольника 9 диагоналей: по три диагонали на каждые три вершины.
    • У семиугольника 14 диагоналей. Если у многоугольника больше семи сторон, посчитать диагонали довольно сложно, потому что их слишком много.

  5. Каждую диагональ считайте только один раз. Из каждой вершины выходит несколько диагоналей, но это не значит, что число диагоналей равно произведению числа вершин на число диагоналей, выходящих из каждой вершины. Поэтому аккуратно считайте диагонали.

    • Например, у пятиугольника (5 сторон) только 5 диагоналей. Из каждой вершины выходит 2 диагонали; если умножить число вершин на число диагоналей, выходящих из каждой вершины, получите 10. Это неверный ответ, как если бы вы посчитали каждую диагональ дважды.

  6. Попрактикуйтесь в определении числа диагоналей на некоторых примерах. Нарисуйте разные многоугольники и посчитайте их диагонали. Этот метод применим и к неправильным многоугольникам. В случае вогнутого многоугольника некоторые диагонали лежат вне границ фигуры.

    • У шестиугольника 9 диагоналей.
    • У семиугольника 14 диагоналей.

Формула

  1. Запишите формулу. Формула для вычисления числа диагоналей многоугольника: d = n(n-3)/2, где d – число диагоналей, n – число сторон многоугольника. Используя распределительное свойство, эту формулу можно записать так: d = (n – 3n)/2. Можно пользоваться любой формой представленной формулы.

    • Эта формула для вычисления числа диагоналей многоугольника.
    • Обратите внимание, что эта формула не применима к треугольникам, потому что у треугольников диагоналей нет.

  2. Определите число сторон многоугольника. Чтобы использовать приведенную формулу, нужно знать число сторон многоугольника. Число сторон можно выяснить по названию многоугольника. Ниже приведены части названий многоугольников.

    • Четырех (4), пяти (5), шести (6), семи (7), восьми (8), девяти (9), десяти (10), одиннадцати (11), двенадцати (12), тринадцати (13 ), четырнадцати (14), пятнадцати (15) и так далее.
    • Если сторон слишком много, то в название многоугольника включается цифра. Например, если у многоугольника 44 стороны, он называется 44-угольником.
    • Если дан рисунок многоугольника, просто посчитайте его стороны.

  3. Подставьте число сторон в формулу. Сделайте это после того, как найдете число сторон многоугольника. Число сторон подставьте вместо n.

    • Например. У двенадцатиугольника 12 сторон.
    • Запишите формулу: d = n(n-3)/2
    • Подставьте число сторон: d = (12(12 – 3))/2

  4. Решите уравнение. Для этого не забудьте про определенный порядок выполнения математических операций. Начните с вычитания, затем умножьте, а потом разделите. В итоге вы получите число диагоналей многоугольника.

    • Например: (12(12 – 3))/2
    • Вычитание: (12*9)/2
    • Умножение: (108)/2
    • Деление: 54
    • У двенадцатиугольника 54 диагонали.

  5. Попрактикуйтесь на других примерах. Чем больше задач вы решите, тем лучше уясните процесс вычисления. Также вы наверняка запомните формулу для вычисления числа диагоналей, что пригодится на экзамене. Не забывайте, что представленная формула применима к многоугольнику, у которого больше трех сторон.

    • Шестиугольник (6 сторон): d = n(n-3)/2 = 6(6-3)/2 = 6*3/2 = 18/2 = 9 диагоналей.
    • Десятиугольник (10 сторон): d = n(n-3)/2 = 10(10-3)/2 = 10*7/2 = 70/2 = 35 диагоналей.
    • Двадцатиугольник (20 сторон): d = n(n-3)/2 = 20(20-3)/2 = 20*17/2 = 340/2 = 170 диагоналей.
    • 96-угольник (96 сторон): 96(96-3)/2 = 96*93/2 = 8928/2 = 4464 диагоналей.
Источник

Популярные ответы

  • Когда буквы е, ё, ю, я обозначают два звука?
  • Каким членом предложения может быть местоимение?
  • Как правильно произносятся слова термин, шинель, темп?
  • Как найти точки экстремума функции по графику производной?
  • Как правильно: по средам (ударение на «а» или на «е»)?
  • Какой официальный сайт Московского энергетического института (МЭИ)?
  • На какие вопросы отвечает наречие?
  • Где найти примеры сравнительных оборотов и других конструкций со словом «как»?
  • Как в физике обозначается скорость движения?
  • Где скачать задания по английскому языку олимпиады для школьников «Покори Воробьевы горы!»?

Диагональ в многоугольнике (многограннике) — отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины, то есть, вершины, не принадлежащие одной стороне многоугольника (одному ребру многогранника).

У многогранников различают диагонали граней (рассматриваемых как плоские многоугольники) и пространственные диагонали, выходящие за пределы граней. У многогранников, имеющих треугольные грани есть только пространственные диагонали.

Подсчет диагоналей

Диагоналей нет у треугольника на плоскости и у тетраэдра в пространстве, поскольку все вершины этих фигур попарно связаны сторонами (ребрами).

Количество диагоналей N у многоугольника легко вычислить по формуле:

N = n·(n – 3)/2,

где n — число вершин многоугольника. По этой формуле нетрудно найти, что

  • у треугольника — 0 диагоналей 
  • у прямоугольника — 2 диагонали
  • у пятиугольника — 5 диагоналей
  • у шестиугольника — 9 диагоналей
  • у восьмиугольника — 20 диагоналей
  • у 12-угольника — 54 диагонали
  • у 24-угольника — 252 диагонали

Количество диагоналей многогранника с числом вершин n легко подсчитать только для случая, когда в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число ребер k. Тогда можно пользоваться формулой:

N = n·(n – k – 1)/2,

которая даем сумманое число пространственных и граневых диагоналей. Отсюда можно найти, что

  • у тетраэдра (n=4, k=3) — 0 диагоналей 
  • у октаэдра (n=6, k=4) — 3 диагонали (все пространственные) 
  • у куба (n=8, k=3) — 16 диагоналей (12 граневых и 4 пространственных)
  • у икосаэдра (n=12, k=5) — 36 диагоналей (все пространственные) 
  • у додекаэдра (n=20, k=3) — 160 диагоналей (25 граневых и 135 пространственных)

Если в разных вершинах многогранника сходится разное число ребер, подсчет заметно усложняется и должен проводится индивидуально для каждого случая.

Фигуры с равными диагоналями

На плоскости существует два правильных многоугольника, у которых все диагонали равны между собой. Это квадрат и правильный пятиугольник. У квадрата две одинаковых диагонали, пересекающихся в центре под прямым углом. У правильного пятиугольника пять одинаковых диагоналей, которые вместе образуют рисунок пятиконечной звезды (пентаграммы).

Единственный правильный многогранник, у которого все диагонали равны между собой — правильный восьмигранник октаэдр. У него три диагонали, которые попарно перпендикулярно пересекаются в центре. Все диагонали октаэдра — пространственные (диагоналей граней у октаэдра нет, т.к. у него треугольные грани).

Помимо октаэдра есть еще один правильный многогранник, у которого все пространственные диагонали равны между собой. Это куб (гексаэдр). У куба четыре одинаковых пространственных диагонали, которые также пересекаются в центре. Угол между дигоналями куба состаляет либо arccos(1/3) ≈ 70,5° (для пары диагоналей, проведенных к смежным вершинам), либо arccos(–1/3) ≈ 109,5° (для пары диагоналей, проведенных к несмежным вершинам).

Ссылки: 

  • ru.wikipedia.org — Википедия: Диагональ 
  • dic.academic.ru — иллюстрация разницы между граневой и пространственной диагоналями многогранника

Дополнительно в базе данных Генона:

  • Как найти диагональ прямоугольника?
  • Сколько вершин, ребер и граней у тетраэдра?
  • Сколько вершин, ребер и граней у куба (гексаэдра)? 
Источник

формула для нахожденя диагоналей многоугольника



Знаток

(273),
на голосовании



14 лет назад

Голосование за лучший ответ

Gorkaviy70

Мыслитель

(7396)


14 лет назад

Если многоугольник произвольный, то диагонали можно находить по очереди, используя, например, теорему косинусов.
Если же многоугольник – это правильный N-угольник со стороной длины Х, то тогда задача немного упрощается. Внутренний угол при вершине
правильного N-угольника равен A=(N-2)*Pi/N.
Длина самой простой (и самой короткой) диагонали находим по теоерме косинусов, она будет равна корню квадратному из Х^2+X^2-2X*X*cosA; это выражение можно упростить, и тогда получиться, что длина этой диагонали будет равна 2*Х*sin(A/2). Для других диагоналей, наверное, можно найти итерационную формулу, которую нужно применять последовательно.

Источник

Добавить комментарий