Как найти диагональ параллелепипеда через синус

Геометрический калькулятор для прямоугольного параллелепипеда можно запустить также, зная два из трех ребер тела и его диагональ. Поскольку диагональ параллелепипеда равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадратов всех трех его ребер, то из этого выражения алгебраически можно вывести формулу для третьего неизвестного ребра. (рис.22.4)
d_4=√(a^2+b^2+c^2 )
b=√(a^2+c^2-〖d_4〗^2 )

Имея возможность вычислить неизвестное ребро параллелепипеда, можно следом найти все остальные диагонали его боковых граней. (рис.22.1, 22.2, 22.3)
d_1=√(a^2+c^2 )
d_2=√(a^2+b^2 )=√(a^2+a^2+c^2-〖d_4〗^2 )=√(2a^2+c^2-〖d_4〗^2 )
d_3=√(b^2+c^2 )=√(a^2+c^2-〖d_4〗^2+c^2 )=√(a^2+2c^2-〖d_4〗^2 )

Чтобы найти угол α между диагональю прямоугольного параллелепипеда и диагональю его основания, необходимо воспользоваться отношением синуса – известного бокового ребра а к диагонали параллелепипеда. (рис.22.5)
sin⁡α=a/d_4

Периметр прямоугольного параллелепипеда равен учетверенной сумме ребер, составляющих параллелепипед. Для неизвестного ребра в формулу подставляется полученное из теоремы Пифагора выражение через диагональ параллелепипеда.
P=4(a+b+c)

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда через диагональ также можно вычислить посредством замены неизвестной переменной на соответствующее выражение. Изначально площадь параллелепипеда равна удвоенной сумме попарных произведений его ребер.
S=2(ab+bc+ac)=2((a+c) √(a^2+c^2-〖d_4〗^2 )+ac)

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, зная диагональ, нужно умножить два известных ребра параллелепипеда на квадратный корень из разности квадрата диагонали от суммы квадратов этих ребер.
V=abc=ac√(a^2+c^2-〖d_4〗^2 )

Вновь поступил вопрос про прямоугольный параллелепипед. И вопрос этот не простой, смотрите сами:

Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите площадь его поверхности. Подскажите, как это переварить?

Вопрос, конечно, не простой — что такое прямоугольный параллелепипед, как и с чем его едят? В частности, как найти рецепт приготовления площади поверхности этого то ли фрукта, то ли овоща? Так, для начала давайте посмотрим, что это вообще такое — прямоугольный параллелепипед? Вот картинка прямоугольного параллелепипеда.

Как видите, прямоугольный параллелепипед — это, собственно, обыкновенный кирпич. Кстати, если бы Ньютону на голову упала не сфера в виде яблока, а прямоугольный параллелепипед в виде кирпича, то в школе мы вряд ли бы учили его законы. Прямоугольная комната — это тоже прямоугольный параллелепипед, который позволяет вам совершить обзорную экскурсию по его достопримечательностям прямо изнутри. Если вы хотите произвести внешний осмотр достопримечательностей сего математического чуда, тогда возьмите в руки коробку из-под обуви и можете вертеть её, сколько душе угодно.

И так, прямоугольный параллелепипед на картинке дает нам возможность увидеть вершины, ребра и диагонали. Вершины мы можем потрогать пальцем, ребра мы можем измерять, диагональ можем высчитать. Нам сейчас диагональ не нужна. Закон движения учеников в классе знаете? Если леди-учитель покидает класс, класс движется быстрее. Закон решения задач очень похож: чем меньше всякой ерунды нам нужно искать, тем проще задача.

Первая проблема, с которой мы сталкиваемся в задаче, это проблема сленга. Задача сформулирована на бытовом сленге, а все формулы и определения в математике формулируются на математическом сленге. Поэтому нам самим предстоит выполнить перевод. Приступаем к поэтапному переводу, по фразам.

«Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины …» — собственно, здесь говорится о тех ребрах, которые позволяют нам определить размеры прямоугольного параллелепипеда и на основании этих размеров выполнить все необходимые вычисления. На картинке это ребра a, b и c. Кто бы сомневался, что именно эти три ребра нам дадут по условию, но только не я. Ни один математик вам этого не скажет (не потому, что они этого не знают, а из боязни нарваться на очень неудобные вопросы), но если в условии задачи дать две длины параллельных ребер и одного перпендикулярного им, то нашу задачу в принципе решить будет невозможно. В прямоугольном параллелепипеде из любой вершины всегда выходит три взаимно перпендикулярных ребра. Вот по этому в нашей задаче прямо говорится об этом. Если верить Священным Писаниям разных религий, то именно из одного такого ребра сотворены все прямоугольные параллелепипеды, задачи о которых решает вся прекрасная половина человечества.

Следующая фраза «… равны 1, 2, 3» обозначает, что нам не нужно искать этот злополучный прямоугольный параллелепипед и свою линейку, чтобы измерить длины его граней, как это показано на рисунке. Тот, кто эту задачу придумал, уже сам всё измерил (или выдумал эти размеры, что в данном случае принципиального значения не имеет). Кто есть кто в этом списке чисел? Где длина, ширина, высота нашего параллелепипеда? Нам это без разницы. Как бы мы этот прямоугольный параллелепипед не крутили, площадь его поверхности всегда будет оставаться неизменной. Предыдущие поколения математиков этот факт не единожды проверили. Когда мы доберемся до решения, мы сами в этом убедимся.

Теперь вопрос, в чём же конкретно измеряется наш прямоугольный параллелепипед и площадь его поверхности? В каких единицах измерения? Ответ довольно прост — в любых единицах измерения длины. Англичане и американцы любят дюймы, футы, мили. Мы предпочитаем сантиметры, метры, километры. В чем измеряют длину инопланетяне? Мы вообще не знаем. Да нам эти единицы измерения и не важны. В чем бы мы не измеряли длину граней, циферки возле длин и площади будут одинаковыми. Циферки остаются, единицы измерения меняются. Вот два способа получения результата в математике.

разные числа + одинаковые единицы измерения = разный результат

одинаковые числа + разные единицы измерения = разный результат

Приблизительно, как в этом счетчике. Крутим одно колесико — меняются числа. Крутим другое колесико — меняются единицы измерения. Так устроена настоящая математика, маленький кусочек которой мы сейчас рассматриваем.

Это уже не детская математика, придуманная специально для того, чтобы мучить нас задачками. Это взрослая математика, одинаковая для всех.

В нашей задаче мы измеряем всё в абстрактных единицах измерения длины. Соответственно, полученная нами площадь будет измеряться в этих же единицах измерения, возведенных в квадрат.

Теперь нам осталось только достать из глубокого кармана шпаргалку с формулами для прямоугольного параллелепипеда и посмотреть, чего полезного для нас там имеется.

Что вообще есть в этой шпаргалке? Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда, формула объема. Есть несколько формул для площади поверхности: полная, основания, боковая. Вот одна из этих формул нам как раз нужна. Разберемся в площадях на примере коробки для обуви. Площадь основания — это площадь донышка или крышки коробки. Площадь боковой поверхности — это боковые стеночки коробки без донышка и крышки. Полная площадь — это боковые стеночки вместе с донышком и крышкой.

Теперь смотрим в условие задачи и определяем, «чё тебе надобно, старче?». А надобно ему (ей, им) «площадь поверхности». Если уточнений типа «боковой» или «основания» нет, значит искать нужно полную площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Длины трех граней у нас есть, формула тоже, можно произвести расчет. Заморачиваться с основаниями и боками нам нет смысла.

Как видим, полная площадь поверхности нашего прямоугольного параллелепипеда получилась равной 22 единицы в квадрате. Какие именно единицы? А какие вам не жалко или какие вы больше всего любите.

По просьбе учащихся добавляю картинку про сумму длин ребер прямоугольного параллелепипеда.

Сумма ребер прямоугольного параллелепипеда

Сумму длин всех ребер параллелепипеда я обозначил через букву «P», поскольку она очень похожа на периметр прямоугольника. Кстати, в формуле длин всех ребер я этого не записал, но если мы возьмем три фигурообразующие грани прямоугольного параллелепипеда, которыми являются прямоугольники, то сумма длин всех ребер параллелепипеда будет равна сумме периметров этих прямоугольников.

Материал урока.

Прежде чем
приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, какую фигуру мы
назвали параллелепипедом, основные свойства параллелепипеда.

Напомним, что параллелепипедом
мы назвали поверхность, составленную из двух равных параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ и четырех параллелограммов ABB₁A₁, BCC1B₁,
CDD₁C₁, DAA₁D₁.

Повторим свойства
параллелепипеда. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и
равны. Например, в параллелепипеде, который
показан на рисунке грань ABCD равна и параллельна грани
A₁B₁C₁D₁, грань AA₁B₁B равна и параллельна грани DD₁C₁D, грань AA₁D₁D равна и параллельна грани BB₁C₁C.

Диагонали
параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Эти свойства мы уже
доказывали.

Когда мы изучали
тему «Параллелепипед», мы говорили, что, если все боковые ребра параллелепипеда
перпендикулярны к плоскостям его оснований, т. е. боковые грани –
прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямым. Если же и
основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то такой параллелепипед
называется прямоугольным.

Сегодня на уроке мы
познакомимся с прямоугольным параллелепипедом поближе.

Форму
прямоугольного параллелепипеда  имеют многие предметы.

 Давайте посмотрим
на рисунок.

Основаниями этого
прямоугольного параллелепипеда служат прямоугольники ABCD
и A₁B₁C₁D₁, боковые
рёбра AA₁, BB₁,
CC₁, DD₁ перпендикулярны
к основаниям. То есть можно записать, что AA₁
перпендикулярно AB, то есть боковая грань AA₁B₁B – прямоугольник. Аналогично, можно показать, что все
боковые грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. Таким
образом, мы обосновали свойство прямоугольного параллелепипеда.

Сформулируем его. В
прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.

Полуплоскости, в
которых расположены смежные грани параллелепипеда, образуют двугранные углы,
которые называются двугранными углами параллелепипеда.

Рассмотрим,
например, двугранный угол с ребром AB, то есть
двугранный угол между плоскостями ABB₁ и ABC.

По другому этот
угол можно записать так: угол A₁ABD.

Возьмем на ребре AB, например, точку А. AA₁
– перпендикуляр к ребру AB в плоскости ABB₁, АD– перпендикуляр к
ребру АB в плоскости ABC.
Значит, угол A₁AD – линейный угол двугранного
угла. Это прямой угол, значит, двугранный угол при ребре AB
– прямой.

Аналогично
доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда
прямые. Это утверждение является еще одним свойством прямоугольного
параллелепипеда.

Длины трех ребер,
имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Например, у параллелепипеда, который изображен на рисунке в качестве измерений
можно взять длины ребер AB, АD
и AA₁.

Понятно, что если
мы говорим, например, о размерах коробки, которая имеет форму прямоугольного
параллелепипеда, то мы вместо слова измерения используем слова: длина, ширина и
высота.

Давайте вспомним,
что в прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов смежных сторон.
Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника. Тогда это
утверждение можно переформулировать так: квадрат диагонали прямоугольника равен
сумме квадратов двух его измерений.

Аналогичным
свойством обладает и прямоугольный параллелепипед.

Сформулируем теорему.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех
его измерений.

Пусть дан
прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Тогда нам надо доказать, что, например,  .

Доказательство.

Поскольку
параллелепипед прямоугольный, то ребро CC₁ перпендикулярно
к основанию ABCD. А, значит, угол ACC₁
– прямой.

Рассмотрим
треугольник ACC₁. Это прямоугольный
треугольник, значит, по теореме Пифагора можно записать, что .

AC
– диагональ прямоугольника ABCD. Значит, по свойству
диагоналей прямоугольника можно записать, что . Кроме
того, мы знаем, что ребро CC₁ равно AA₁. Тогда подставив все в выражение для , получим,
что .

Что и
требовалось доказать.

Теперь давайте
сформулируем и докажем следствие из этой теоремы.

Диагонали
прямоугольного параллелепипеда равны.

Это следствие легко
доказать, если мы посмотрим на доказательство теоремы. Мы могли взять вместо
диагонали AC₁, например, диагональ CA₁ или диагонали BD₁
или DB₁, но мы бы получили то же самое
выражение.

Если мы обозначим
измерения прямоугольного параллелепипеда буквами a, b, c, тогда можно записать, что .

Если все измерения
прямоугольного параллелепипеда равны, то такой прямоугольный параллелепипед
называется кубом.

Поскольку все
измерения куба равны, значит, все грани куба – квадраты.

Решим несколько
задач.

Задача. Измерения
прямоугольного параллелепипеда равны .
Найти длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

Решение.

Воспользуемся
следствием из теоремы и запишем, что все диагонали прямоугольного
параллелепипеда равны.

Теперь применим
теорему и запишем, что диагонали равны корню квадратному из суммы квадратов измерений
прямоугольного параллелепипеда.

Поскольку мы знаем,
что все диагонали параллелепипеда равны, при решении задач мы будем изображать
только одну диагональ параллелепипеда, если условие задачи не потребует
изобразить больше диагоналей.

Ответ.

Решим еще одну
задачу.

Задача. В
прямоугольном параллелепипеде измерения равны , , . Найти
диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю параллелепипеда и
плоскостью его основания.

Решение.

Ответ. ; .

А теперь давайте решим
одну задачу, которую очень часто решают люди, которые делают ремонт.

Задача. Измерения
комнаты равны , , .
Подсчитать площадь пола, потолка, и стен комнаты.

Решение.

Каждая из граней
прямоугольного параллелепипеда – прямоугольник. Для того, чтобы найти площадь
каждой грани, достаточно перемножить соответствующие измерения каждого
прямоугольника.

Ответ. 20м²;
15 м²; 12 м²

Решим еще одну
задачу.

Задача. Диагональ
прямоугольного параллелепипеда равна ,
а два измерения равны соответственно  и . Найти
третье измерение прямоугольного параллелепипеда.

Решение.

Запишем формулу,
связывающую квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда и квадраты
измерений прямоугольного параллелепипеда.

(Очевидно, что
измерение прямоугольного параллелепипеда не может быть отрицательным числом).

Ответ. 4

Решим еще одну
задачу.

Задача. Диагональ
прямоугольного параллелепипеда равна ,
, . Найти
третье измерение прямоугольного параллелепипеда.

Решение.

Ответ. 8

Решим еще одну задачу.

Задача. Измерения
параллелепипеда равны ,
, . На ребре
 прямоугольного
параллелепипеда, изображенного на рисунке, дана точка  такая,
что отношение . На ребре
 отмечена
точка  так, что . На
отрезке  отмечена
точка , которая
является серединой отрезка . Найти
длину отрезка .

Решение.

Сначала построим
плоскость, в которой будет лежать отрезок МК. Для этого достаточно из точки Е
опустить перпендикуляр на грань ABCD. Получим точку E₁. Тогда в плоскости EE₁C и будет лежать искомый отрезок КМ.

Найдем длину
отрезка KC₁.Рассмотрим треугольник EB₁C₁.

Теперь из
треугольника MKC₁ определим МК.

Подведем итоги
урока.

Сегодня на уроке мы
повторили определение параллелепипеда, повторили основные свойства
параллелепипеда. Дали определение прямоугольному параллелепипеду, измерениям
прямоугольного параллелепипеда, рассмотрели свойства прямоугольного
параллелепипеда. Решили несколько задач.