Как найти диагональ правильного пятиугольника - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Improve Article

Save Article

Like Article

Read

Discuss

Improve Article

Save Article

Like Article

Given an integer a which is the side of a regular pentagon, the task is to find and print the length of its diagonal.

Examples:

Input: a = 6
Output: 7.32
Input: a = 9
Output: 10.98

Approach: We know that the sum of interior angles of a polygon = (n – 2) * 180 where, n is the no. of sides in the polygon.
So, sum of interior angles of pentagon = 3 * 180 = 540 and each interior angle will be 108.
Now, we have to find BC = 2 * x. If we draw a perpendicular AO on BC, we will see that the perpendicular bisects BC in BO and OC, as triangles AOB and AOC are congruent to each other.
So, in triangle AOB, sin(54) = x / a i.e. x = 0.61 * a
Therefore, diagonal length will be 2 * x i.e. 1.22 * a.
Below is the implementation of the above approach:

C++

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

float pentdiagonal(float a)

{

if (a < 0)

return -1;

float d = 1.22 * a;

return d;

}

int main()

{

float a = 6;

cout << pentdiagonal(a) << endl;

return 0;

}

Java

class GFG

{

static double pentdiagonal(double a)

{

if (a < 0)

return -1;

double d = 1.22 * a;

return d;

}

static public void main (String args[])

{

double a = 6;

System.out.println(pentdiagonal(a));

}

Python3

def pentdiagonal(a) :

if (a < 0) :

return -1

d = 1.22 * a

return d

if __name__ == "__main__" :

a = 6

print(pentdiagonal(a))

C#

using System;

public class GFG{

static double pentdiagonal(double a)

{

if (a < 0)

return -1;

double d = 1.22 * a;

return d;

}

static public void Main (){

double a = 6;

Console.WriteLine(pentdiagonal(a));

}

PHP

<?php

function pentdiagonal($a)

{

if ($a < 0)

return -1;

$d = 1.22 * $a;

return $d;

}

$a = 6;

echo pentdiagonal($a);

?>

Javascript

<script>

function pentdiagonal(a)

{

if (a < 0)

return -1;

let d = 1.22 * a;

return d;

}

let a = 6;

document.write(pentdiagonal(a));

</script>

Time Complexity: O(1)

Auxiliary Space: O(1)

Last Updated :
25 Jun, 2022

Like Article

Save Article

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 28 ноября 2020 года; проверки требуют 22 правки.

Иное название этого понятия — «Пентагон»; см. также другие значения.

Пятиугольник
Правильный пятиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	5
Символ Шлефли	{5}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D₅)
Площадь	${displaystyle {frac {t^{2}{sqrt {25+10{sqrt {5}}}}}{4}}=}$ ${displaystyle {frac {5R^{2}}{4}}{sqrt {frac {5+{sqrt {5}}}{2}}};}$
Внутренний угол	108°
Свойства
выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный^[en], изотоксальный
Медиафайлы на Викискладе

Правильный пятиугольник (или пентагон от греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Свойства[править | править код]

У правильного пятиугольника угол равен

$alpha ={frac {(n-2)}{n}}cdot 180^{circ }={frac {3}{5}}cdot 180^{circ }=108^{circ }$

Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:

$S={frac {5}{4}}t^{2}{mathop {{mathrm {ctg}}}},{frac {pi }{5}}={frac {{sqrt 5}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}={frac {5}{12}}Rd={frac {5}{2}}R^{2}sin {frac {2pi }{5}}=5r^{2}{mathop {{mathrm {tg}}}},{frac {pi }{5}}$

где

— радиус описанной окружности,

— радиус вписанной окружности,

— диагональ,

— сторона.

Высота правильного пятиугольника:

${displaystyle h={frac {operatorname {tg} ,72^{circ }}{2}}t={frac {sqrt {5+2{sqrt {5}}}}{2}}tapprox 1{,}5388417685876268t}$

Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу ${frac {1+{sqrt {5}}}{2}}$ .

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

Сторона:

${displaystyle t=R{sqrt {frac {5-{sqrt {5}}}{2}}}approx 1{,}1755705045849463~R}$

Радиус вписанной окружности:

${displaystyle r={frac {{sqrt {5}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{10}}tapprox 0{,}6881909602355869~t}$

Радиус описанной окружности:

${displaystyle R={frac {{sqrt {1}}0{sqrt {5+{sqrt {5}}}}}{10}}tapprox 0{,}85065080835204~t}$

Диагональ:

${displaystyle d={sqrt {Phi {sqrt {5}}}}R={frac {{sqrt {5}}+1}{2}}tapprox 1{,}9021130325903073~Rapprox 1{,}618033988749895~t}$

Площадь:

${displaystyle S={frac {{sqrt {5}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}approx 1{,}7204774005889671~t^{2}}$

Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)

${displaystyle {frac {S}{s}}=Phi ^{4}=3Phi +2={frac {3{sqrt {5}}+7}{2}}approx 6{,}854101966249685}$

где

— отношение золотого сечения.

Построение[править | править код]

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
Постройте точку C посередине между O и B.
Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Построение правильного пятиугольника
Построение правильного пятиугольника
Построение правильного пятиугольника
Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

Получение с помощью полоски бумаги[править | править код]

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

Узел из полоски бумаги, образующий пятиугольник

В природе[править | править код]

В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника, но исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K
показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.^[1]
Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская.
Пентасимметрией обладают иглокожие (например морские звёзды) и некоторые растения. См. также Закономерности в природе.

Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как мушмула германская

Интересные факты[править | править код]

Этот раздел представляет собой неупорядоченный список разнообразных фактов о предмете статьи.

Пожалуйста, приведите информацию в энциклопедический вид и разнесите по соответствующим разделам статьи. Списки предпочтительно основывать на вторичных обобщающих авторитетных источниках, содержащих критерий включения элементов в список. (24 июля 2020)

Здание Министерства обороны США, известное как Пентагон

Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
Правильный пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией правильного пятиячейника (4-симплекса).
Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.

См. также[править | править код]

Золотое сечение
Пятиугольник
Пентаэдр
Пентаграмма
Государственный знак качества СССР

Примечания[править | править код]

↑ A one-dimensional ice structure built from pentagons. Nature Materials. 8 March 2009 Архивная копия от 22 апреля 2009 на Wayback Machine (англ.)

Источник

Пятиугольник, виды, свойства и формулы.

Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.

Пятиугольник, выпуклый и невыпуклый пятиугольник

Правильный многоугольник

Свойства правильного пятиугольника

Построение правильного пятиугольника

Формулы правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник в природе, технике и культуре

Пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник

Пятиугольник, выпуклый и невыпуклый пятиугольник:

Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.

Пятиугольник – фигура, состоящая из пяти углов (вершин), которые образуются пятью отрезками (сторонами).

Пятиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 1. Выпуклый пятиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 540°.

Невыпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого одна часть его точек лежат по одну сторону, а другая часть – по другую от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 2. Невыпуклый пятиугольник

Звёздчатый пятиугольник (пентаграмма) – пятиугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного семиугольника многоугольника. Стороны звёздчатого пятиугольника могут пересекаться между собой.

Правильный многоугольник:

Правильный пятиугольник (пентагон) – это правильный многоугольник с пятью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный пятиугольник – это пятиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 108°.

Рис. 3. Правильный пятиугольник

Правильный пятиугольник имеет 5 сторон, 5 углов и 5 вершин.

Углы правильного семиугольника образуют семь равнобедренных треугольников.

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны.

Свойства правильного пятиугольника:

1. Все стороны правильного пятиугольника равны между собой.

a₁ = a₂ = a₃ = a₄= a₅.

2. Все углы равны между собой и каждый угол равен 108°.

α₁ = α₂ = α₃ = α₄ = α₅ = 108°.

Рис. 4. Правильный пятиугольник

3. Сумма внутренних углов правильного пятиугольника равна 540°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного пятиугольника O.

Рис. 5. Правильный пятиугольник

5. Количество диагоналей правильного пятиугольника равно 5.

Рис. 6. Правильный пятиугольник

6. Центр вписанной окружности O₁ совпадает с центром описанной окружности O₂, что и образуют центр пятиугольника O.

Рис. 7. Правильный пятиугольник

7. Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.

Рис. 8. Правильный пятиугольник

8. Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.

a / c ≈ 5 / 8 ≈ 0,618.

Рис. 9. Правильный пятиугольник

Построение правильного пятиугольника:

Метод построения правильного пятиугольника вписыванием его в заданную окружность:

1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O.

2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.

3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.

4. Постройте точку C посередине между O и B.

5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.

6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.

7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.

8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.

9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Формулы правильного пятиугольника:

Пусть a – сторона пятиугольника, r – радиус окружности, вписанной в пятиугольник, R – радиус описанной окружности пятиугольника, S – площадь пятиугольника, h – высота пятиугольника, d – диагональ пятиугольника, Ф – отношение золотого сечения.

Формулы площади правильного пятиугольника:

Формулы высоты правильного пятиугольника:

Формулы стороны правильного пятиугольника:

Формулы диагонали правильного пятиугольника:

Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный пятиугольник:

Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника:

Правильный пятиугольник в природе, технике и культуре:

Пентасимметрию можно наблюдать в некоторых фруктах (например, у мушмулы германской), у иглокожих (например, у морских звёзд) и у некоторых растений.

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100-140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.

Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.

Паркет, тротуарная плитка, мозайки и т.п. может выкладываться элементами, которые имеют вид пятиугольников.

Государственный знак качества СССР имеет форму пятиугольника с выпуклыми сторонами.

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Пятиугольник

Шестиугольник

Семиугольник

Восьмиугольник

Коэффициент востребованности
9 618

Источник

Какую фигуру образуют диагонали правильного пятиугольника?

Правильный пятиугольник или пентагон (англ. regular pentagon) — это пятиугольник, все стороны и все углы которого равны между собой.

Формулы для правильного пятиугольника:

Величина α внутренних углов правильного пятиугольника (n=5) составляет:
α = (n – 2)/n · 180° = (3/5) · 180° = 108°.
Площадь правильного пятиугольника со стороной a рассчитывается по формуле:
S = (5/4) a² ctg(π/5) = (1/4) √5 √(5 + 2√5) a² ≈ 1,720 a².
Площадь правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса R рассчитывается по формуле:
S = (5/2) R² sin(2π/5) = (5√2/8) √(5 + √5) R² ≈ 2,378 R².
Площадь правильного пятиугольника, описанного вокруг окружности радиуса r рассчитывается по формуле:
S = 5 r² tg(π/5) = 5 √(5 – 2√5) r² ≈ 3,633 r².
Высота правильного пятиугольника со стороной a составляет:
h = (1/2) a tg 72° = (1/2) √(5 + 2√5) a² = 1,539 a.
Отношение диагонали d правильного пятиугольника к его стороне a равно золотому сечению:
d/a = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618.
Радиус r окружности, вписанной в правильный пятиугольник со стороной a составляет:
r = (1/10) √5 √(5 + 2√5) a ≈ 0,688 a.
Радиус R окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника со стороной a составляет:
R = (1/10) √10 √(5 + √5) a ≈ 0,851 a.
Радиус R окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника, можно найти по радиусу r вписанной в него окружности по формуле:
R = (√5 – 1) r ≈ 1,236 r.

Факты о правильном пятиугольнике:

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Впервые это построение описал Евклид в своих «Началах» около 300 года до н.э.
Все диагонали правильного пятиугольника равны между собой. Вместе они образуют пятиконечную звезду, называемую также пентаграммой. Отношение длины диагонали к длине стороны правильного пятиугольника равно золотому сечению.
Правильными пятиугольниками нельзя замостить плоскость без промежутков и наложений. Это наименьший по числу сторон правильный многоугольник, который обладает таким свойством.
Додекаэдр — единственный правильный многогранник, грани которого представляют собой правильные пятиугольники. Правильный пятиугольник — наибольший по числу сторон правильный многоугольник, из которых можно собрать правильный многогранник.
В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника. Однако, при формировании водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K на поверхности сначала возникают цепочки молекул шириной около 1 нм пентагональной структуры.
Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги, а затем сплющив узел.
Пентагоном называют министерство обороны США, поскольку оно размещается в здании, имеющем в плане форму правильного пятиугольника (пентагона).

Источники:

ru.wikipedia.org — Википедия: Правильный пятиугольник
wolframalpha.com — Wolfram|Alpha: regular pentagon (англ. яз.)

Дополнительно на Геноне:

Какой величины углы у правильного треугольника?
Что такое пентаграмма?
Сколько диагоналей у пятиугольника?
Кто такой Евклид?
Почему у здания Пентагона пять углов?

Последнее редактирование ответа: 20.10.2011

Оставить отзыв

Оставить отзыв

Вы можете написать свои замечания к ответу, предложения об улучшении или просто поблагодарить автора. Комментарий, после проверки, увидят автор и редактор ответа. Будьте, пожалуйста, вежливыми. Спасибо!

Если Вы хотите получить уведомление об
исправлении ответа укажите свой e-mail:

Неправильный формат адреса электронной почты