Как найти диагональ прямоугольника через синус

Определение.

Прямоугольник – это четырехугольник у которого две противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковы.

Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.

Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую – шириной прямоугольника.

Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.

Основные свойства прямоугольника

Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.

Стороны прямоугольника

Формулы определения длин сторон прямоугольника

Диагональ прямоугольника

Формулы определения длины диагонали прямоугольника

Периметр прямоугольника

Формулы определения длины периметру прямоугольника

Площадь прямоугольника

Формулы определения площади прямоугольника

Окружность описанная вокруг прямоугольника

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника

Угол между стороной и диагональю прямоугольника

Формулы определения угла между стороной и диагональю

Угол между диагоналями прямоугольника

Формулы определения угла между диагоналями прямоугольника

Формула диагонали прямоугольника

  Так как диагональ делит прямоугольник на два одинаковых труегольника и является их гипотенузой, то длина и ширина прямоугольника будут катетами образованного треугольника. Поэтому для расчёта диагонали мы применяем теорему Пифагора:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b²

Отсюда, формула для расчётадиагонали прямоугольника выглядит следующим образом:

a b d

d = sqrt{a^2 + b^2} d — диагональ прямоугольника a — длина прямоугольника b — ширина прямоугольника

Видео

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

или

.

(1)

Из равенства (1) найдем d:

.

(2)

Пример 1. Стороны прямоугольника равны . Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя в (2), получим:

Ответ:

Угол между стороной и диагональю прямоугольника

Формулы определения угла между стороной и диагональю

1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:

2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями: α  = β 2

Стороны прямоугольника

Определение. Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.

Формулы определения длин сторон прямоугольника

1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:

a = √d² — b²

b = √d² — a²

2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:

3. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через периметр и другую сторону:

4. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол α:

a = d sinα

b = d cosα

5. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол β : a  = d sin  β 2 b  = d cos  β 2

Сведения о прямоугольнике

Прямоугольником называется фигура с прямыми внутренними углами между смежными сторонами, у которой противоположные стороны равны. Его частным случаем, как говорят математики, является квадрат. У него все стороны равны, а углы также являются прямыми. Не каждый может правильно определить тип фигуры, поскольку от этого шага зависит правильность вычислений какого-либо параметра.

Для каждого геометрического тела существуют определенные критерии, по которым можно узнать его принадлежность. Эти критерии называются признаками. Некоторые новички путают признаки и свойства, но существует главное отличие, которое заключено в определении терминов «признак» и «свойство». Кроме того, специалисты предлагают простой способ, позволяющий избежать путаницы между терминами.

Идентификация или признаки

Признак — некоторые критерии, по которым можно отнести фигуру к определенному типу. Свойствами называются некоторые аксиомы и утверждения, полученные при доказательстве теорем. Идентифицировать прямоугольник можно с помощью теоремы из эвклидовой геометрии. Она имеет такую формулировку: если три угла фигуры являются прямыми, то она является прямоугольником. Для доказательства нужно выполнить такие действия:

• Вычислить значение четвертого угла: D = 360 — (90 * 3) = 90 (градусов).
• Сопоставить сведения, полученные при вычислении, с определением.

Существуют также и другие признаки, по которым можно идентифицировать фигуру. По одному из них можно определить ее принадлежность к прямоугольнику. К признакам можно отнести такие:

• Равенство сторон, которые противоположны между собой.
• Внутренние углы между собой равны, а их градусная мера соответствует 90 градусам.
• Диагонали равны между собой.
• Сумма квадратов двух сторон, которые не противоположны, равна квадрату одной диагонали. Это следует из теоремы Пифагора, по которой находится одна из сторон прямоугольного треугольника.
• Если прямоугольник не является квадратом, то его стороны не равны одному значению.

Первый и второй признаки получаются из основного определения фигуры. Третий признак является следствием доказательства теоремы, формулировка которой является следующей: диагонали прямоугольника равны. Она еще называется теоремой о диагоналях прямоугольника.

Для ее доказательства нужно начертить произвольный прямоугольник ABCD и провести в нем диагонали AC и BD. Они будут пересекаться в некоторой точке X. Они образуют прямоугольные треугольники ABC и ABD. В этом случае нужно доказать равенство треугольников. Они равны между собой: сторона АВ — общая, угол А равен В и сторона BC = AD (по равенству противоположных сторон). Из этого следует, что треугольники равны. Следовательно, их гипотенузы, которые также являются и диагоналями, равны.

Четвертый признак также доказывается. Следует рассматривать прямоугольный треугольник ABC. Используя теорему Пифагора, нужно выразить гипотенузу, которая является диагональю фигуры, через катеты (стороны фигуры): AC ² = AB ² + BC ². Таким способом доказывается данный признак. Последнее утверждение получается из частного случая: если у прямоугольника все стороны равны, то он является квадратом.

Свойства фигуры

Необходимо отметить, что квадрат — правильный четырехугольник, поскольку у него все стороны равны. Результирующая формула диагонали прямоугольника будет выглядеть таким образом: d = (AB² + BC²)^(½). При решении задач применяются свойства прямоугольника:

• Каждый из углов равен 90 градусам.
• Стороны, которые являются противолежащими и параллельными, равны.
• Сумма углов внутри фигуры составляет 360.
• Пересечение диагоналей в точке, которая делит их пополам, также является центром окружности, описанной вокруг фигуры и центром симметрии.
• Треугольники, полученные в результате проведения диагоналей, равны.
• Суммарное значение квадратичных значений всех сторон эквивалентно двойному квадрату диагонали.
• Большой и маленький треугольники, образованные диагоналями, подобны. Следует обратить внимание на коэффициент подобия.
• Диагональ эквивалентна диаметру окружности, описанной около фигуры.
• Геометрическая характеристика фигуры (сумма противоположных углов составляет 180) позволяет описать вокруг нее окружность.
• Вписать круг в прямоугольник можно тогда, когда он является правильным, т. е. ширина эквивалентна длине (квадрат).
• Угол между смежными сторонами равен 90.
• В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, когда он является квадратом.
• Диагонали, пересекаясь между собой, образуют не разносторонние, а прямоугольные и равносторонние треугольники.
• Половина диагонали, проведенная из любой вершины фигуры, является медианой и высотой.
• Диагональ является биссектрисой (прямоугольник — квадрат).
• Средняя линия прямоугольника проходит через точку пересечения диагоналей.

Однако при решении задач свойств недостаточно. Для этого применяются специальные соотношения и формулы. Некоторые из них были получены из свойств фигуры. Во всех формулах будет браться радиус описанной окружности — R и ее диаметр — D, а также функция «sqrt», которая эквивалентна квадратному корню (x^(1/2) = x^(0.5)).

Периметр и площадь

Для удобства необходимо ввести некоторые обозначения. Диагонали следует обозначить литерой d, а противолежащие стороны — a и b, соответственно. Периметр — характеристика, соответствующая суммарному значению сторон фигуры. Очень часто ее обозначают литерой P. Существует также базовая формула: Р = 2а + 2b. Соотношение можно править таким способом: Р = 2 (a + b). Кроме того, существуют другие соотношения для определения P, когда известны некоторые параметры:

• Величина площади и сторона, которая известна: P = (2S + 2a ² ) / a или P = (2S + 2b ² ) / b.
• Диагональ и a (b): P = 2(a + (d ² — a ² )^(0.5)) = 2(b + (d ² — b ² )^(0.5)).
• a (b) и R: P = 2(a + (4 * R ² — a ² )^(0.5)) = 2(b + (4 * R ² — b ² )^(0.5)).
• D и a (b): P = 2(a + sqrt(D ² — a ² )) = 2(b + sqrt(D ² — b ² )).

Площадь — характеристика размерности двумерной фигуры. Ее обозначают литерой S, и измеряют в метрических единицах в квадрате (мм ², см ², м ² и т. д.). Следует отметить, что она вычисляется интегральным методом. Однако для частных случаев существуют соотношения. Формула, которая является основанием для всех остальных соотношений, называется базовой. Она имеет такой вид: S = a * b. Площадь находится в зависимости от параметров, которые известны:

• P и a (b): S = [(P * a) — 2a ² ] / 2 = [(P * b) — 2b ² ] / 2.

• a (b) и d: S = a * sqrt[d ² — a ² ] = b * sqrt[d ² — b ² ].

• Синус острого угла (Y) между двумя d и d: S = d ² * sin (Y) / 2.

• R и a (b): S = a * sqrt[4 * R ² — a ² ] = b * sqrt[4 * R ² — b ² ].

• D и a (b): S = a * sqrt[D ² — a ² ] = b * sqrt[D ² — b ² ].

Для решения различных задач также могут быть полезны и другие соотношения, позволяющие найти не только диагонали, но и стороны прямоугольника.

Диагонали и стороны

Для оптимизации решения нужно знать формулы, с помощью которых можно находить одну из сторон или диагональ прямоугольника. Необходимо разобрать основные соотношения, по которым находятся стороны фигуры, когда известны следующие параметры:

• d и a (b): a = sqrt[d ² — b ² ] и b = sqrt[d ² — a ² ].
• S и a (b): a = S / b и b = S / a.
• P и a (b): a = (P — 2b) / 2 и b = (P — 2a) / 2.

Для нахождения диагонали также есть некоторые формулы. Для их применения следует знать такие параметры фигуры:

• a и b: d = [a ² + b ² ]^(1/2).

• S и a (b): d = (S ² + a ⁴ )^(1/2) / a= (S ² + b ⁴ )^(1/2) / b.

• P и a (b): d = (P ² — 4Pa + 8a ² )^(1/2) / 2 = (P ² — 4Pb + 8b ² )^(1/2) / 2.

• R и D: d = 2R и d = D.

Однако это не все соотношения. В некоторых случаях разрешается описывать окружность вокруг фигуры. С помощью такого «геометрического хода» можно существенно упростить решение задачи. Это позволяет воспользоваться другими формулами.

Другие соотношения

Для решения задач используются и другие соотношения, которые позволяют найти параметры окружности, которая описана. Пусть дана окружность с радиусом R и диаметром D. Кроме того, известны некоторые параметры фигуры (a, b, d, P и S). С помощью формул можно найти D и R окружности при известных некоторых величинах:

• a и b: R = (a ² + b ² )^(1/2) / 2.

• P и a (b): R = (P ² — 4Pa + 8a ² )^(1/2) / 4 = (P ² — 4Pb + 8b ² )^(1/2) / 4.

• S и a (b): R = (S ² + a ⁴ )^(1/2) / 2a = (S ² + b ⁴ )^(1/2) / 2b.

• d: R = d / 2.
• sin(F), прилегающего к диагонали и стороне, и a: R = a / 2sin (F).
• cos(F) и b: R = b / 2cos (F).

Для нахождения угла F следует воспользоваться такой формулой: sin (F) = a / d и cos (F) = b / d. Острый угол между двумя диагоналями определяется при помощи такого соотношения: sin (Y) = 2S / d ² .

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Теги