Как найти диагональ равнобедренного прямоугольного треугольника

Как найти диагональ равнобедренного прямоугольного треугольника

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для гипотенузы (с):
    • длины катетов a и b
    • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
  • для катета:
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
    • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
    • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √ 5² – 4² = √ 25 – 16 = √ 9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c – стороны произвольного треугольника

α , β , γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β , γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 274.

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 274.

И равнобедренный, и прямоугольный треугольник достаточно привычны любому, кто знаком с геометрией. Сочетание этих признаков встречается довольно редко и плохо поддается визуальному восприятию. Не всегда можно представить полный набор свойств такого треугольника, поэтому поговорим о нем более подробно.

Определение

Равнобедренный треугольник – это треугольник, боковые стороны которого равны. Прямоугольный треугольник содержит в себе прямой угол. Значит равнобедренный прямоугольный треугольник – это прямоугольный треугольник, катеты которого равны.

Гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше катета. Это следует из теоремы о соотношениях сторон и углов треугольника. Значит, в прямоугольном треугольнике только гипотенуза может быть основанием, а величина гипотенузы будет соответствовать длине основания.

Свойства

Поговорим подробнее о свойствах и формулах. Не совсем ясно, как будут проходить высоты в таком треугольнике, все привыкли пользоваться свойством, которое говорит о том, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике такая высота всегда будет направлена из прямого угла к гипотенузе. А две другие высоты будут совпадать с катетами.

Рис. 2. Высота прямоугольного равнобедренного треугольника

Если к гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника провести высоту, то она разделит треугольник на два, равных между собой, равнобедренных прямоугольных треугольника.

Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника выглядит немного упрощенной:

Квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату катета. Это значительно упрощает решение.

Вообще, любые задачи, связанные с прямоугольными равнобедренными треугольниками, решаются очень просто. Любого значения достаточно, чтобы определить все остальное. Значения любого из катетов достаточно, чтобы определить гипотенузу через упрощенную теорему Пифагора, а затем найти периметр и площадь прямоугольного равнобедренного треугольника.

Через гипотенузу можно найти катет и через тригонометрическую функцию, так как все углы прямоугольного равнобедренного треугольника заранее известны: один угол 90 градусов и два по 45.

Рис. 3. Углы прямоугольного равнобедренного треугольника

Разберем подробно, почему известны все углы. В любом прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам. Это следует из общей суммы углов в треугольнике, которая всегда равна 180 градусам.

При этом углы при основании равнобедренного треугольника, а в нашем случае это всегда гипотенуза, всегда равны. Значит, чтобы найти каждый из острых углов при гипотенузе, нужно их сумму, т.е. 90 градусов, разделить пополам. Получается, что каждый из углов при гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника будет равен 45 градусам.

Можно рассмотреть это свойство и с другой стороны: если сумма двух углов треугольника равняется 90 градусам и эти углы равны между собой, то этот треугольник является равнобедренным и прямоугольным.

Из этого же свойства вытекает равенство синусов и косинусов острых углов прямоугольного равнобедренного треугольника между собой, а также равенство их тангенсов и котангенсов.

То есть, синус любого острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника равен косинусу любого острого угла данного треугольника и равен $$<sqrt<2>over2>$$. Тангенс любого острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника равен котангенсу любого острого угла данного треугольника и равен 1.

Что мы узнали?

Мы подробно поговорили о всех взаимосвязях свойств прямоугольного и равнобедренного треугольника. А также о том, как эти связи проявляются в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Разобрали в подробностях, почему любые задачи на нахождение параметров прямоугольного равнобедренного треугольника легко решаются и выделили основную и единственную проблему в решениях таких задач: трудность визуального восприятия.

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/2011-10-09-11-08-41

http://obrazovaka.ru/matematika/ravnobedrennyy-pryamougolnyy-treugolnik-ploschad.html

[/spoiler]

Источник

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы равны 90 градусов, т. е. прямые.

Диагональ прямоугольника — прямая проложенная из противоположных вершин прямоугольника.

Диагонали прямоугольника равны и они делят прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Чтобы найти диагональ прямоугольника необходимо вспомнить теорему Пифагора, ведь диагональ — это гипотенуза прямоугольного треугольника, а стороны (длина и ширина) прямоугольника являются катетами треугольника.

Как найти диагональ прямоугольника

Воспользуемся теоремой Пифагора и формулой

d= sqrt{a^2 + b^2}

d — диагональ квадрата

a — длина прямоугольника

b — ширина прямоугольника

Подставив в формулу вместо a длину прямоугольника, а вместо b — ширину прямоугольника и произведя расчет мы получим диагональ прямоугольника. Следует помнить, что у прямоугольника две диагонали и они равны между собой.

Диагональ прямоугольника онлайн калькулятор

Чтобы найти диагональ с помощью калькулятора введите длину и ширину прямоугольника и нажмите кнопку Рассчитать. В результате вы получите ответ и подробное решение.

Нахождение диагонали прямоугольника используется в различных жизненных ситуациях. К примеру, при проектировании фундамента дома необходимо проверить его диагонали — они должны быть равны между собой. Также на сайте можно рассчитать диагональ квадрата.

Ваша оценка

[Оценок: 170 Средняя: 3.1]

Диагональ прямоугольника Автор admin средний рейтинг 3.1/5 – 170 рейтинги пользователей

Источник

Одна из основных фигур курса математики – прямоугольник.
Впервые о нем заговорили еще в Древнем Египте, а позже и в
Древней Греции. Именно свойства его диагоналей помогают
решить многие задания учебного курса. Подход, который
сейчас используется в геометрии разработал Евклид. Формулы,
представленные в данной статье, пригодятся как при решении
домашних упражнений, так и на ЕГЭ. Именно такие задачки
помогают набрать недостающие баллы, поэтому ими не стоит пренебрегать.

  • Диагональ прямоугольника через его стороны
  • Диагональ прямоугольника через площадь и известную сторону
  • Диагональ прямоугольника через периметр и сторону
  • Диагональ прямоугольника через диаметр описанной окружности
  • Диагональ прямоугольника через радиус описанной окружности
  • Диагональ прямоугольника через площадь и острый угол между диагоналями
  • Диагональ прямоугольника через угол прилегающей диагонали и длину стороны прилегающей к этому углу
  • Диагональ прямоугольника через угол прилегающей диагонали и длину стороны противоположной этому углу
  • Что такое диагональ прямоугольника, когда требуется ее вычисление

Диагональ прямоугольника через его стороны

Рис 1

Если заданы хотя бы 2 стороны, то вычислить линию, соединяющую противоположные вершины, будет довольно просто. Применяется классическая теорема Пифагора. Достаточно подставить приведенные в дано числовые параметры в виде суммы квадратов под корнем:

Где a, b – это стороны, а d – прямая, которую мы ищем.

Цифр после запятой:

Результат в:

Диагональ прямоугольника через площадь и известную сторону

Рис 2

Когда в дано есть S и одна сторона, то узнать искомое значение можно используя следующее равенство:

Где D – это прямая, которую необходимо найти, a и b – любая заданная сторона, а S – площадь.

Цифр после запятой:

Результат в:

Диагональ прямоугольника через периметр и сторону

Рис 3

Когда задан периметр (сумма сторон) и, хотя бы одна сторона, отрезок, соединяющий несмежные точки высчитывают так:

Где P – сумма сторон, a и b – любая заданная сторона.

Рассчитать искомый отрезок можно и через соотношение сторон и площадь.

Цифр после запятой:

Результат в:

Диагональ прямоугольника через диаметр описанной окружности

Рис 5

Поиск отрезка через описанную окружность еще более прост, здесь даже не придется проводить расчеты: D = d

Где d – это обозначенный диаметр.

Различить вписанную/описанную окружность легко. Когда геометрическое тело вписано куда-то, то оно всегда будет находиться в другой фигуре. Когда окружность описана, то она находится снаружи, она как бы описывает другое геометрическое тело. Описанные фигуры задевают собой точки, а вписанные – касаются сторон.

Цифр после запятой:

Результат в:

Диагональ прямоугольника через радиус описанной окружности

Рис 4

Для расчета искомого отрезка через описанную окружность нужно провести вычисления, где: D = 2R

Где R – это заданный радиус.

Цифр после запятой:

Результат в:

Диагональ прямоугольника через площадь и острый угол между диагоналями

Рис 8

Если необходимо узнать прямую, соединяющую вершины 4-хугольника, это можно осуществить с помощью двух диагоналей. Для получения ответа к задаче понадобится sin β между ними и S (произведение длины и ширины).
Расчет проводится с равенством:

Где соответственно S – это площадь, а sin β – это острый угол, расположенный внутри фигуры (меж пересекающимися прямыми).

Если в 4-хугольнике расчертить 2 отрезка, объединяющие несмежные вершины, то они будут равны меж собой (все 4 отрезка), а точка пересечения разделит их пополам.

Пересечение всегда происходит в геометрическом центре самой фигурки. Этот же центр является центром описанной окружности.

Площадь (S):

Цифр после запятой:

Результат в:

Диагональ прямоугольника через угол прилегающей диагонали и длину стороны прилегающей к этому углу

Рис 7

Когда одна из сторон 4-хугольника прилегает к углу, то просчитать отрезок, соединяющий вершины тоже возможно:

Где b – это сторона, прилегающая к углу, а cos a – это тот самый угол.

Косинус угла в треугольнике с прямым углом рассчитывается по формуле – длина соседней стороны, разделенная на гипотенузу. Синус – это противолежащий катет, разделенный на гипотенузу. Либо можно поступить еще проще, подсмотрев в таблицу Брадиса.

Цифр после запятой:

Результат в:

Диагональ прямоугольника через угол прилегающей диагонали и длину стороны противоположной этому углу

Рис 6

Чтобы найти нужный отрезок внутри четырехугольника, должен быть задан угол, прилегающий к искомому отрезку и сторона, противоположная углу:

Где a – это сторона четырехугольника, а sin a – это прилегающий угол.

Длинная сторона 4-хугольника– это длина, а короткая – его ширина. Помните, что каждая сторона одновременно является высотой.

Цифр после запятой:

Результат в:

Что такое диагональ прямоугольника, когда требуется ее вычисление

Прямоугольник – это частный случай параллелограмма. Иначе 4-хугольник с попарно равными сторонами, параллельными друг другу, а также равными прямыми углами по 90⁰. Сумма углов четырехугольника составляет 360⁰.

Диагональ разделяет фигуру на два новых элемента – треугольники с прямым углом. Это прямая, объединяющая противоположные вершины. Имея 2 прямоугольных треугольника, отрезок уже можно рассчитать по теореме Пифагора. По теореме гипотенуза – это квадрат из суммы катетов (обозначенных сторон треугольника), возведенных в квадрат.

Линии, соединяющие противоположные точки в четырехугольнике всегда пересекаются друг с другом.

Отрезок обозначают как d или D. Если названы все точки, то его можно называть в соответствии с ними – AC или BD.

Знания о линии, проходящей через несмежные точки 4-хугольника может понадобиться в легких геометрических упражнениях, так и в более сложных многоуровневых задачках, которые появляются на ЕГЭ. Свойства данного отрезка помогают находить важные параметры прямоугольника. Зная данные обеих линий, соединяющих противоположные углы, можно рассчитать S геометрического тела.

Перед решением любой геометрической задачки рекомендуется сделать чертеж и обозначить всю заданную информацию. Так будет значительно проще сосредоточиться на искомом значении.

Если регулярно решать тесты по геометрии, то формулы легче запомнятся, а их применение будет доведено до автоматизма.

Источник

If your teacher has asked you to calculate the diagonal of a triangle, she’s already given you some valuable information. That phrasing tells you that you’re dealing with a right triangle, where two sides are perpendicular to each other (or to say it another way, they form a right triangle) and only one side is left to be “diagonal” to the others. That diagonal is called the hypotenuse, and you can find its length using the Pythagorean Theorem.

TL;DR (Too Long; Didn’t Read)

To find the length of the diagonal (or hypotenuse) of a right triangle, substitute the lengths of the two perpendicular sides into the formula ​a2​ + ​b2​ = ​c2​, where ​a​ and ​b​ are the lengths of the perpendicular sides and ​c​ is the length of the hypotenuse. Then solve for ​c​.

Pythagoras’ Theorem

The Pythagorean Theorem – sometimes also called Pythagoras’ Theorem, after the Greek philosopher and mathematician who discovered it – states that if ​a​ and ​b​ are the lengths of the perpendicular sides of a right triangle and ​c​ is the length of the hypotenuse, then:

a^2 + b^2 = c^2

In real-world terms, this means that if you know the length of any two sides of a right triangle, you can use that information to find out the length of the missing side. Note that this only works for right triangles.

Solving for the Hypotenuse

Assuming you know the lengths of the two non-diagonal sides of the triangle, you can substitute that information into the Pythagorean Theorem and then solve for ​c.​

    Substitute the known values of ​a​ and ​b​ – the two perpendicular sides of the right triangle – into the Pythagorean Theorem. So if the two perpendicular sides of the triangle measure 3 and 4 units respectively, you’d have:

    3^2 + 4^2 = c^2

    Work the exponents (when possible – in this case you can) and simplify like terms. This gives you:

    9 + 16 = c^2

    Followed by:

    c^2 = 25

    Take the square root of both sides, the final step in solving for ​c​. This gives you:

    c = sqrt{25}= 5

    So the length of the diagonal, or hypotenuse, of this triangle is 5 units.

    Tips

    • What if you know the length of the triangle’s diagonal and one other side? You can use the same formula to solve for the length of the unknown side. Just substitute in the lengths of the sides you do know, isolate the remaining letter variable on one side of the equals sign, and then solve for that letter, which represents the length of the unknown side.

Источник

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый внутренний угол равен 45°:

{displaystyle alpha =beta =45^{circ }={frac {pi }{4}}!,,}

третий внутренний угол — прямой:

{displaystyle gamma =180^{circ }-2alpha =90^{circ }={frac {pi }{2}}!,,}

Внутренние углы имеют соотношение 1 : 1 : 2.

Каждая боковая сторона равна:

{displaystyle a=b={frac {c{sqrt {2}}}{2}}!,,}

а основание равно:

{displaystyle c=a{sqrt {2}}!,,}

стороны соотносятся как 1 : 1 : √2. Боковые стороны являются катетами, основание — гипотенузой.

Высота, опущенная на гипотенузу, равна её половине:

{displaystyle h_{c}={frac {a{sqrt {2}}}{2}}={frac {c}{2}}=R!,,}

где R — радиус описанной окружности.

Периметр[править | править код]

Периметр равнобедренного прямоугольного треугольника равен

{displaystyle P=a+b+c=a(2+{sqrt {2}})!,.}

Площадь[править | править код]

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна

{displaystyle S={frac {a^{2}}{2}}={frac {c^{2}}{4}}!,.}

Также площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно выразить при помощи формулы Герона:

{displaystyle S={sqrt {p(p-a)^{2}(p-a{sqrt {2}})}}!,,}

где p — полупериметр равнобедренного прямоугольного треугольника:

{displaystyle p={frac {P}{2}}=aleft(1+{frac {sqrt {2}}{2}}right)!,.}

Общие характеристики[править | править код]

Описанная и вписанная окружности[править | править код]

Равнобедренный прямоугольный треугольник, как и все треугольники, является бицентрическим. В нём:

Здесь r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, a — катеты и c — гипотенуза треугольника.

Неправильное покрытие евклидовой плоскости равнобедренными прямоугольными треугольниками

Поляболы с одним-пятью основными символами

Четыре равнобедренных прямоугольных треугольника вместе с другими семью основными фигурами образуют Бермудский треугольник, версию головоломки пазл

Расстояние между центрами вписанной и вписанной окружности d равен радиусу вписанной окружности r и задается уравнением Эйлера:

{displaystyle d^{2}=R(R-2r)={frac {a^{2}}{2}}left(3-2{sqrt {2}}right)!,}
{displaystyle d=r={frac {a}{2}}left(2-{sqrt {2}}right)=a{sqrt {{frac {1}{2}}left(3-2{sqrt {2}}right)}}approx 0,2928932,a!,.}

Равнобедренный треугольник, имеющий равные описанную и вписанную окружность и одинаковые расстояния между их центрами ({displaystyle d=r,}), имеет углы:

{displaystyle alpha =beta =operatorname {arc,tg} {frac {4-{sqrt {2}}}{{sqrt {2}}{sqrt {8{sqrt {2}}-11}}}}approx 72,968751^{circ }!,,}
{displaystyle gamma =180^{circ }-2alpha approx 34,062496^{circ }!,.}

Покрытие евклидовой плоскости[править | править код]

Прямоугольный равнобедренный треугольник является одним из трех треугольников, которые покрывают евклидову плоскость. Только равносторонними треугольниками (треугольник 60-60-60), который является правильным многоугольником, можно правильно покрыть плоскость. Третий треугольник, который неправильно покрывает плоскость, представляет собой прямоугольный треугольник 30-60-90. Эти три треугольника — треугольники Мёбиуса, что означает, что они покрывают плоскость, не перекрываясь, зеркалируя их стороны (см. Треугольная группа).

Полиформы в головоломках[править | править код]

Полиформы, основными фигурами которых являются равнобедренные прямоугольные треугольники, — это поляболы.

Пять равнобедренных прямоугольных треугольников вместе с одним квадратом и одним параллелограммом образуют головоломку пазл.

Источник

Добавить комментарий