Как найти диагональ в четырехугольнике егэ

Многоугольник. Нахождение диагоналей вписанного четырехугольника. Теорема Птоломея.

Обозначим стороны вписанного четырехугольника ABCD через a, b, с, d и его диагонали через x и y .Проведем AK ^ BС и СL ^ AD.

Так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 2d, то, если угол B острый, угол D должен быть тупым.

Поэтому из треугольников ABС и ADС можем написать:

x 2 = a 2 + b 2 – 2b . BK [1];

x 2 = с 2 + d 2 + 2d . DL [2].

Прямоугольные треугольники ABK и СDL подобны, т.к. они содержат по равному острому углу (углы B и СDL равны, потому что каждый из них служит дополнением до 2d к углу ADС).

Из их подобия выводим:

откуда BK . с = DL . a [3].

Таким образом, мы получим три уравнения с тремя неизвестными x, BK и DL.

Чтобы исключить BK и DL , уравняем в первых двух уравнениях последние члены, для чего умножим уравнение [1] на сd , а уравнение [2] на ab .

Сложив затем результаты и, приняв во внимание уравнение [3], найдем:

(ab + сd)x 2 = a 2 сd + b 2 сd + с 2 ab + d 2 ab =aс(ad + bс) + bd(bс+ad)=(aс + bd)(ad+bс),

.

Заметим, что в числителе подкоренной величины первый множитель – сумма произведений противоположных сторон, а второй – сумма произведений сторон, сходящихся в концах определяемой диагонали, знаменатель же представляет сумму произведений сторон, сходящихся в концах другой диагонали.

После этого мы можем, по аналогии, написать следующую формулу для диагонали y:

.

Следствие 1.

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Действительно, перемножив выражения, выведенные для x и для y, получим:

.

Это предложение известно под именем теоремы Птоломея.

Следствие 2.

Отношение диагоналей вписанного четырехугольника равно отношению суммы произведений сторон, сходящихся в концах первой диагонали, к сумме произведений сторон, сходящихся в концах второй диагонали.

Действительно, разделив те же два равенства, найдем:

.

Эти два следствия удобны для запоминания. Из них можно обратно вывести формулы для x и y (перемножением или делением равенств, определяющих xy и x/y).

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Определение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

На рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь

1. Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
2. Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
4. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
5. Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

1. Диагонали квадрата равны (BD=AC).
2. Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
4. Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
5. Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры	3	5	1	7

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазина	Расход краски	Масса краски в одной банке	Стоимость одной банки краски	Стоимость доставки заказа
1	0,25 кг/кв.м	6 кг	3000 руб.	500 руб.
2	0,4 кг/кв.м	5 кг	1900 руб.	800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Как найти диагональ в четырехугольнике егэ

Источник задания: Решение 5351. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.

Задание 16. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 9, ВС = CD = 11, AD = 15 и диагональю АС =16.

а) Докажите, что около него можно описать окружность.

б) Найдите диагональ BD.

а) Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов будет равна 180 градусов. Это необходимое и достаточное условие для доказательства этого положения. Докажем, что сумма углов . Рассмотрим треугольник ABC, в котором известны все стороны, тогда угол можно найти по теореме косинусов как

Аналогично для угла из треугольника ADC, имеем:

Таким образом, косинусы углов отличаются только знаком, следовательно, можно записать, что

то есть вокруг данного четырехугольника можно описать окружность.

б) Рассмотрим треугольник ABD и по теореме косинусов можно записать:

Также диагональ BD можно вычислить по теореме косинусов из треугольника BCD:

Вычтем (1) и (2), получим:

Подставим это значение в (2), найдем BD:

.

Ответ: .

[spoiler title=”источники:”]

http://self-edu.ru/ege2016_30.php?id=30_16

[/spoiler]

Прочитайте внимательно текст и выполните задания №1-5.

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

---

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж – 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры	3	5	1	7

Записываем ответ: 3517

---

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Ответ: 11

---

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Ответ: 4

---

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина – 6 м (3 клетки).

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Ответ: 48

---

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазина	Расход краски	Масса краски в одной банке	Стоимость одной банки краски	Стоимость доставки заказа
1	0,25 кг/кв.м	6 кг	3000 руб.	500 руб.
2	0,4 кг/кв.м	5 кг	1900 руб.	800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: 30500

Ответ: см. решение

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

Рассмотрим теоремы о вписанных и описанных четырехугольниках и их свойствах.

Теорема 1. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны

Теорема 2. Четырёхугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Теорема 3. Диагонали вписанного четырёхугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.

Теорема 4. (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Теорема 5. Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра четырёхугольника на радиус вписанной в него окружности.

Теорема 6. Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Теорема 7. Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Теорема 8. Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.

Теорема 9. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

Теорема 10. В любой ромб можно вписать окружность.

Теорема 11. В любой квадрат можно вписать окружность.

Теорема 12. В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом.

Теорема 13. В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

Теорема 14. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований.

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

Задача 1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны  и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол  равен . Тогда напротив него лежит угол в  градусов. Если угол  равен , то угол  равен .

Ответ: 122.

Задача 2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Решение:

Пусть сторона  равна ,  равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что  равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .

Ответ: 12.

Задача 3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Решение:

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны  и , а боковые стороны —  и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .

Ответ: 10.

Задача 4.  Угол A четырехугольника , вписанного в окружность, равен . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырехугольник вписан в окружность. Значит, сумма его противоположных углов равна

Поэтому 

Ответ: 148.

Задача 5.  Углы четырехугольника  относятся как . Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть 

Сумма всех углов четырехугольника равна

А сумма каждой пары противоположных углов равна (т.к. четырехугольник вписан в окружность).

Запишем эти два условия в виде двух уравнений с двумя неизвестными:

Подставляем второе уравнение в первое и получаем 

Ответ: 90.

Задача 6. Стороны четырехугольника   и   стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна .

Поэтому

Угол А – вписанный, опирается на дугу , равную сумме дуг и , т.е. 

Тогда вписанный угол А равен половине дуги , т.е. 

Ответ: 107.

Задача 7. Точки расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги и градусные величины которых относятся соответственно как Найдите угол A четырехугольника Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол А – вписанный, опирается на дугу равную сумме дуг и Найдем дуги и

Обозначим градусные величины дуг и как согласно заданному соотношению между дугами.

Тогда  или

Сумма дуг и составляет

Вписанный угол А равен половине дуги т.е. 

Ответ: 15.

Задача 8.  Радиус окружности, описанной около квадрата, равен   Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Тогда диагональ квадрата равна 

Выразим сторону квадрата через его диагональ: 

Ответ: 32.

Задача 9. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Решение:

Если правильный шестиугольник вписан в окружность, то радиус окружности равен стороне шестиугольника. Поэтому сторона равна 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение:

Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная.

Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями 

Тогда боковые стороны 

Проведем параллельно Тогда треугольник – равнобедренный, т.к. и равносторонний, т.к. Поэтому

– параллелограмм по построению, но , поэтому – ромб, и

Получаем, что О – центр описанной окружности с радиусом, равным меньшему основанию –

Ответ: 6.

Задача 11. Найти диагональ параллелограмма, вписанного в окружность радиусом 6 см.

Решение:

Согласно одной из теорем, окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру, см.

Ответ: 12.

Задача 12. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Поэтому сумма оснований

Сумму боковых сторон найдем как разность между периметром и суммой оснований:

Трапеция вписана в окружность, следовательно, трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: 

Ответ: 5.

Задача 13. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и 

Решение:

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру окружности.

В то же время по теореме Пифагора диагональ найдем как 

Радиус окружности равен половине диаметра:

Ответ: 9.

Задача 14. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. Поэтому

Ответ: 8.

Задача 15. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Решение:

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна 11 (половине периметра).

Боковая сторона тогда боковая сторона

Радиус вписанной окружности равен половине т.е. 2.

Ответ: 2.

Задача 16. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.

Решение:

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности:

Ответ: 28.

Задача 17. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

Ответ: 16.

Задача 18. Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 16. Найдите его площадь.

Решение:

Площадь описанного многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности: 

Ответ: 16.

Задача 19. В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, диагонали взаимно перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 12. Найти радиус вписанной окружности.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.

Рассмотрим равнобедренную трапецию

Проведем Треугольник – прямоугольный (с прямым углом С) и равнобедренный. Его гипотенуза равна сумме оснований трапеции (т.к. – параллелограмм, и ),

Высота трапеции является также высотой и медианой, проведенной из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника .

Радиус вписанной окружности

Ответ: 6.

Задача 20. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть О – центр описанной окружности. Проведем высоту проходящую через точку О. Тогда (радиусы окружности),

Треугольники и – прямоугольные. Применяя теорему Пифагора, найдем:

Ответ: 7.

Это были задачи по теме «Вписанные и описанные четырехугольники» из первой части ОГЭ и ЕГЭ. Покажем более сложную задачу, из второй части ОГЭ по математике.

Задача 21. В четырёхугольник можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен 5, а

Решение:

Обозначим  Тогда 

Обозначим также 

Вписать окружность в четырехугольник можно тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.

Значит, Отсюда 

Пусть О – точка пересечения диагоналей четырёхугольника

При пересечении и образуется четыре прямоугольных треугольника. Это 

Пусть 

Запишем для каждого из этих треугольников теорему Пифагора:

Из 

Из 

Из 

Из 

Мы получили систему уравнений.

Сложив первое и третье из них и выразив  как  получим: 

Кроме того,  Это мы нашли в самом начале.

Из системы уравнений

находим: 

Значит, 

Перестроим чертеж. Это надо сделать обязательно. Появились новые данные – рисуем новый чертеж. По условию, четырехугольник вписан в окружность.

Треугольники и равны по трем сторонам. Значит, углы и равны.

Четырехугольник вписан в окружность, поэтому сумма углов и равна 180 градусов. Мы получили, что углы и – прямые. Тогда – диаметр окружности.

По условию, , тогда 

опирается на диаметр.

 – прямоугольный,  – его гипотенуза.

По теореме Пифагора для :

Отсюда 

Ответ: 40.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Четырехугольники

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.

$АВ=CD;BC=AD$

$∠А=∠С; ∠В=∠D$.

2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

$∆ABD=∆BCD.$

3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

$BO=OD; AO=OC.$

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

$BD^2+AC^2=2(AB^2+AD^2)$

5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник.

$∆АВК$ – равнобедренный.

6. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), пересекаются под углом в $90°$.

Площадь параллелограмма:

1. Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними. $S=a·b·sinα$, где $а$ и $b$ – длины сторон параллелограмма, а $α$ – угол между этими сторонами.
2. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. $S=h_a·a$, где $a$ – сторона параллелограмма, $h_a$ – высота, проведенная к стороне $a$.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника:

1. Все свойства параллелограмма (Так как прямоугольник – это тот же параллелограмм, только особенный, поэтму у него присутствуют все свойства параллелограмма).
2. Диагонали прямоугольника равны. $BD=AC$.

Площадь прямоугольника равна половине произведения смежных (соседних) сторон.

$S=a·b$, где $а$ и $b$ – смежные стороны.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

1. Все свойства параллелограмма.
2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. $BD⊥AC$.
3. Диагонали ромба являются биссектрисами углов.

Площадь ромба:

1. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. $S={d_1·d_2}/2$, где $d_1$ и $d_2$ – диагонали ромба
2. Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус острого угла ромба. $S=a^2·sinα$, где $а$ – длина стороны ромба, а $α$ – угол между соседними сторонами.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

1. Все свойства прямоугольника.
2. Все свойства ромба.

Площадь квадрата:

1. $S=a^2$, где $а$ – сторона квадрата.
2. $S={d^2}/{2}$, где $d$ – диагональ квадрата.

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Параллельные стороны называются основаниями: $ВС$ и $AD$ – основания.

Непараллельные стороны называются боковыми сторонами: $АВ$ и $CD$ – боковые стороны.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Свойства средней линии трапеции:

1. Средняя линия параллельна основаниям трапеции.

$MN││BC; MN││AD.$

2. Средняя линия равна полусумме оснований.

$MN={BC+AD}/{2}$

3. Диагональ делит среднюю линию на две части, каждая из которых является средней линией получившихся треугольников.

$МК$ – средняя линия треугольника $ABD; MK={AD}/{2}$.

$KN$ – средняя линия треугольника $BCD; KN={BC}/{2}$.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Углы при основаниях равны.

$∠А=∠D; ∠B=∠C.$

2. Диагонали в равнобедренной трапеции равны.

$BD=AC.$

3. Основание высоты равнобедренной трапеции, опущенной из меньшего основания, делит другое основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований.

$АС_1={BC+AD}/{2}.$

4. Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований.

$BC=B_1C_1;$

$AB_1=C_1 D={AD-BC}/{2}.$

5. Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность.

6. Если в равнобедренной трапеции диагонали пересекаются под прямым углом, то высота рана длине средней линии данной трапеции.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

$АВ+CD=BC+AD$

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность.

$∠В+∠D=180°$

$∠A+∠C=180°$

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ – коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.

Свойства биссектрисы:

1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

2. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.

$AD=DC$

3. В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.

${AB}/{AC}={BA_1}/{A_1C}$

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$AC^2+BC^2=AB^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ – противолежащий катет; $ВС$ – прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ – противолежащий катет; $АС$ – прилежащий катет.

1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

${a}/{sinα}={b}/{sin⁡β}={c}/{sinγ}=2R$, где $R$ – радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα;$

$b^2=a^2+c^2-2·a·c·cos⁡β;$

$c^2=b^2+a^2-2·b·a·cosγ.$

В этой статье мы рассмотрим все основные свойства и признаки четырехугольника.

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три точки не лежат на одной прямой.

Четырехугольники бывают выпуклые, если они расположены в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит одну из его сторон (ABCD) и невыпуклые (A₁B₁C₁D₁).

Если любые две противолежащие точки выпуклого четырёхугольника соединить между собой отрезком, то весь отрезок будет лежать внутри многоугольника. Для невыпуклого четырёхугольника это не выполняется (рисунок ниже).

Диагонали выпуклого четырёхугольника лежат внутри него и пересекаются. Одна из диагоналей невыпуклого четырёхугольника лежит снаружи, а другая внутри него, и эти диагонали не пересекаются.

Определения для четырехугольника

• Данный четырёхугольник обозначается ABCD.
• Точки A, B, C, D называются его вершинами, а отрезки AB, BC, CD, DA – его сторонами.
• Смежные стороны – соседние стороны, имеющие общую вершину. Пары смежных сторон: AB и AD, AB и BC, BC и CD, CD и AD.
• Противолежащие стороны – несмежные стороны, не имеющие общих вершин. Пары противолежащих сторон: AB и CD, BC и AD.
  Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. AC и BD – диагонали четырехугольника ABCD.

Виды четырехугольников:

Если рассмотреть схему, то каждый следующий четырехугольник обладает всеми свойствами предыдущего.  Поэтому запоминать надо совсем немного.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны. Трапеции бывают: произвольная, равносторонняя, прямоугольная.

Параллелограмм — это четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны. В параллелограмме:
— противоположные стороны и противоположные углы равны.
— диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
Соответственно, если  четырехугольник обладает этими свойствами, то он является параллелограммом.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому обладает всеми его свойствами.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб является частным случаем параллелограмма, поэтому обладает всеми его свойствами. В ромбе:
— противоположные углы равны,
— диагонали точкой пересечения делятся пополам,
— диагонали взаимно перпендикулярны,
— диагонали ромба являются биссектрисами углов.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат является частным случаем прямоугольника и частным случаем ромба, поэтому обладает всеми их свойствами. В квадрате:
— все углы равны 90 градусов,
— диагонали точкой пересечения делятся пополам,
— диагонали взаимно перпендикулярны,
— диагонали  являются биссектрисами углов,
— диагонали равны.

Свойства углов четырехугольника

• Сумма углов четырёхугольника равна 360°
• Сумма внешних углов четырехугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
• Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
• Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов.

Свойства сторон четырехугольника

• Каждая сторона четырехугольника меньше суммы всех его других сторон.
• Сумма диагоналей меньше его периметра.

Четырехугольник и окружность

Четырехугольник вокруг окружности.

• Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.
• В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны (AB+CD=AD+BC).
• Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Четырехугольник внутри окружности.

• Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной.
• Вокруг четырёхугольника можно описать окружность, если сумма двух его противоположных углов равна 180°.
• Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.
• Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон (AC*BD=AB*CD+AD*BC).

Частные случаи:

• Параллелограмм, вписанный в окружность – это прямоугольник, центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.
• Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
• Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.

Диагонали четырехугольника

• Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются в одной точке.
• Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
• Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.

Периметр и площадь четырехугольника

Периметр четырёхугольника равен сумме длин всех его сторон: где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле: где d1 и d2— диагонали четырёхугольника, a — угол между диагоналями.

Площадь вписанного четырёхугольника может быть вычислена по формуле: где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p=(a+b+c+d)/2 – его полупериметр.

Площадь описанного четырёхугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: