Свойства параллелограмма:
1. Противоположные стороны равны и параллельны
2. Противоположные углы равны
3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам
1. Длина диагонали параллелограмма через стороны, известную диагональ и угол.
a, b – стороны параллелограмма
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α, β – углы параллелограмма
Формулы диагонали через стороны и углы параллелограмма (по теореме косинусов), (D, d):
Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), (D, d):
2. Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α, β – углы между диагоналями
S – площадь параллелограмма
Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, (D, d):
Формулы площади параллелограмма
Формула периметра параллелограмма
Все формулы по геометрии
- Подробности
-
Опубликовано: 03 ноября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Параллелограмм представляет собой геометрическую фигуру, где лежащие напротив друг друга ребра
взаимно параллельны.
В задачах по геометрии иногда нужно найти длину его диагонали. В некоторых из них это прямой вопрос,
а в некоторых диагональ нужно вычислить, чтобы потом через нее вычислять другие геометрические
объекты. Например, используя значения длины отрезков, соединяющих вершины, ребер этой геометрической
фигуры, ее углов, вычисляется значение ее площади, другая диагональ. Если в параллелограмме
неизвестны его углы, но известны стороны и угол между диагоналями, то из этих значений узнаются
через расчет углы параллелограмма.
- Длинная диагональ параллелограмма через две стороны и тупой
угол - Короткая диагональ параллелограмма через две стороны и
тупой угол - Длинная диагональ параллелограмма через две стороны и
острый угол - Короткая диагональ параллелограмма через две стороны и
острый угол - Диагональ параллелограмма через две стороны и другую
известную диагональ - Диагональ параллелограмма через площадь, другую известную
диагональ и угол между диагоналями
Длинная диагональ через две стороны и тупой угол
В параллелограмме для вычисления длины наибольшей диагонали при имеющихся данных о его ребрах и тупом
угле между ними следует рассчитать квадрат ребер, суммировать эти значения. После этого умножить
значение одного ребра на другое, на косинус тупого угла между ними, на два. Затем от первой суммы
отнять это произведение и найти из этой разности квадратный корень.
D = √(a² + b² – 2 * a * b * cosβ
где D – диагональ этой геометрической фигуры, a, b – ее ребра, cos β – косинус тупого угла между
ребрами этой фигуры
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Значения ребер этого четырехугольника 2 и 4, а косинус тупого угла (120
градусов) между ними -0,5. Диагональ равна: D = √(2²+ 4² – 2 * 2 * 4 * (-0,5)) = √(4+16 – 16 *( -0,5)) = √(20 + 8) = 5,3
(ответ округлен)
Диагональ через две стороны и другую известную диагональ
В параллелограмме для вычисления длины проведенной в нем диагонали через его стороны и другую
диагональ следует возвести в квадрат каждую его сторону и умножить на 2 оба результата, затем
сложить полученные значения (это первый результат). Потом следует возвести в квадрат значение длины
другой диагонали (это второй результат). Затем из первого результата вычесть второй и найти из
полученного значения квадратный корень.
D = √(2 * a² + 2 * b² – d²)
где D – диагональ параллелограмма, a, b – его стороны, d – другая диагональ параллелограмма
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть стороны параллелограмма 2 и 4, а одна из диагоналей 4. Тогда вторая
диагональ равна: D = √(2 * 2²+ 2 * 4² – 4²) = √(8 + 32 – 16) = √24 = 4,9 (ответ
округленный)
Короткая диагональ через две стороны и тупой угол
Для нахождения наименьшего отрезка соединяющего противоположные вершины в этой геометрической фигуре
через его ребра и тупой угол между ними возводятся в квадрат длины его ребер, складываются
полученные числа (один результат). Далее перемножаются значения длины ребер, косинус тупого угла,
удваивается полученное число (это другой результат). К одному результату прибавляется другой и
находится из полученного значения квадратный корень.
D = √(a² + b² + 2 * a * b * cosβ)
где D – диагональ параллелограмма, a, b – его стороны, cos β – косинус тупого угла между ребрами.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Если ребра этой геометрической фигуры 1 и 3, а косинус тупого угла (120)
между ними -0,5. Тогда диагональ равна: D = √(1²+ 3² + 2 * 1 * 3 * (-0,5)) = √(1 + 9 + 6 * (-0,5)) = √(10 – 3) = 2,6
(ответ округлен)
Длинная диагональ через две стороны и острый угол
В этом четырехугольнике для расчета значения протяженности большего отрезка, соединяющего в нем
расположенные друг напротив друга вершины, через два его ребра и острый угол нужно сначала возвести
в квадрат значение длины его ребер, потом складываются результаты этого вычисления (это первое
слагаемое для последующего сложения). Затем умножаются длины ребер друг на друга, на косинус острого
угла, найденное произведение еще на 2 (это второе слагаемое). Затем оба слагаемых складываются и из
суммы вычисляется квадратный корень.
D = √(a² + b² + 2 * a * b * cos α)
где D – диагональ этой геометрической фигуры, a, b – его ребра, cos α – косинус острого угла
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Если ребра этого четырехугольника 2 и 5, а косинус острого угла (60
градусов) 0,5. Тогда диагональ рассчитывается: D = √(2²+ 5² + 2 * 2 * 5 * 0,5) = √(4 + 25 + 20 * 0,5 = √(29 + 10) = 6,2
(округленно)
Короткая диагональ через две стороны и острый угол
В параллелограмме для вычисления длины наименьшей проведенной в нем диагонали через его стороны и
острый угол между ними следует возвести в квадрат каждую его сторону, затем сложить полученные
значения (это первый результат). Потом следует перемножить между собой стороны, косинус тупого угла
между ними, удвоить полученное значение (это второй результат). Затем из первого результата вычесть
второй и найти из полученного значения квадратный корень.
D = √(a² + b²– 2 * a * b * cosα)
где D – диагональ параллелограмма, a, b – его стороны, cos α – косинус острого угла между сторонами
параллелограмма
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть стороны параллелограмма 2 и 4, а косинус острого угла (60) между ними
0,5. Тогда диагональ равна: D = √(2²+ 4² – 2 * 2 * 4 * 0,5) = √(4 + 16 – 16 * 0,5) = √(20 — 8) = 3,5
(ответ округлен)
Диагональ через площадь, другую известную диагональ и угол между диагоналями
В параллелограмме для вычисления длины проведенного в нем отрезка, соединяющего противоположные
вершины, используя значение его площади, другой диагонали и угол между диагоналями, следует удвоить
значение его площади (это первый результат). Потом следует умножить значение длины другого отрезка,
соединяющего противоположные вершины, на синус угла между диагоналями (это второй результат). Затем
следует разделить первый результат на второй.
D = (2 * S) / (d * sin α)
где D – диагональ параллелограмма, S – площадь параллелограмма, d – вторая диагональ этой
геометрической фигуры, sinα – синус угла между диагоналями параллелограмма
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Значение площади составляет 30, одна из диагоналей 4, синус угла (30
градусов) между диагоналями 0,5. Тогда другая диагональ равна: D = 2 * 30 / 4 * 0,5 = 60 / 2 = 30
Согласно теореме косинусов, сторона треугольника во второй степени равна сумме квадратов двух других его сторон и их удвоенному произведению на косинус угла между ними. Так как любая диагональ параллелограмма делит его на два конгруэнтных треугольника, то вычислить диагональ можно, зная стороны параллелограмма и угол между ними. Нужно учитывать, что угол и диагональ должны находиться в одном и том же треугольнике, иначе нужно рассчитать необходимый угол, отняв известный из 180 градусов по принципу дополнительных углов. Применяя для параллелограмма теорему косинусов, получаем следующее выражение:
d2=a2+b2-2ab cosα
Как найти диагональ в параллелограмме
Вычислить диагональ параллелограмма бывает необходимо не только при подготовке домашнего задания. Это может понадобиться, например, в бумажной пластике или при создании архитектурного проекта.
Вам понадобится
- Оборудование Бумага Линейка Карандаш Транспортир Таблица синусов и косинусов Математические понятия: Свойства параллелограмма Свойства высоты треугольника Извлечение квадратного корня Теоремы синусов и косинусов
Инструкция
Постройте параллелограмм с заданными параметрами. В условиях должны быть заданы длины сторон параллелограмма и хотя бы один угол.
Вспомните, чему равна сумма квадратов диагоналей параллелограмма. Она равна удвоенной сумме квадратов его сторон, которые вам известны.
Обозначьте параллелограмм АBCD. Стороны параллелограмма обозначьте как a и b. Диагонали обозначьте как d1 и d2. Из угла В к стороне АD опустите высоту и обозначьте точку ее пересечения со стороной AD как Е. Внутри параллелограмма у вас получился прямоугольный треугольник АВЕ.
Найдите высоту BЕ. Вам известен угол А и гипотенуза АВ. AE = a*sinА
Вычислите длину отрезка АЕ. Он равен AE=a*cosA.
Вычислите отрезок ЕD, который равен разности стороны AD и отрезка AE.
Вычислите гипотенузу прямоугольного треугольника BED, которая одновременно является диагональю d1. Она будет равна квадратному корню из суммы квадратов сторон BE и ED.
Найдите квадрат второй диагонали. Он будет равняться удвоенной сумме квадратов сторон минус квадрат уже известной диагонали. Извлеките квадратный корень.
Обратите внимание
При построении параллелограмма строго следуйте заданным параметрам и пользуйтесь инструментами. При расчетах пользуйтесь таблицами синусов и косинусов.
Полезный совет
В прямоугольнике и квадрате диагонали равны. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон. В квадрате диагональ равна квадратному корню, извлеченному из удвоенного квадрата стороны. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
