Как найти диагональ в параллелограме

Параллелограмм представляет собой геометрическую фигуру, где лежащие напротив друг друга ребра
взаимно параллельны.

В задачах по геометрии иногда нужно найти длину его диагонали. В некоторых из них это прямой вопрос,
а в некоторых диагональ нужно вычислить, чтобы потом через нее вычислять другие геометрические
объекты. Например, используя значения длины отрезков, соединяющих вершины, ребер этой геометрической
фигуры, ее углов, вычисляется значение ее площади, другая диагональ. Если в параллелограмме
неизвестны его углы, но известны стороны и угол между диагоналями, то из этих значений узнаются
через расчет углы параллелограмма.

Длинная диагональ через две стороны и тупой угол

В параллелограмме для вычисления длины наибольшей диагонали при имеющихся данных о его ребрах и тупом
угле между ними следует рассчитать квадрат ребер, суммировать эти значения. После этого умножить
значение одного ребра на другое, на косинус тупого угла между ними, на два. Затем от первой суммы
отнять это произведение и найти из этой разности квадратный корень.

D = √(a² + b² – 2 * a * b * cosβ

где D – диагональ этой геометрической фигуры, a, b – ее ребра, cos β – косинус тупого угла между
ребрами этой фигуры

Пример. Значения ребер этого четырехугольника 2 и 4, а косинус тупого угла (120
градусов) между ними -0,5. Диагональ равна: D = √(2²+ 4² – 2 * 2 * 4 * (-0,5)) = √(4+16 – 16 *( -0,5)) = √(20 + 8) = 5,3
(ответ округлен)

Диагональ через две стороны и другую известную диагональ

В параллелограмме для вычисления длины проведенной в нем диагонали через его стороны и другую
диагональ следует возвести в квадрат каждую его сторону и умножить на 2 оба результата, затем
сложить полученные значения (это первый результат). Потом следует возвести в квадрат значение длины
другой диагонали (это второй результат). Затем из первого результата вычесть второй и найти из
полученного значения квадратный корень.

D = √(2 * a² + 2 * b² – d²)

где D – диагональ параллелограмма, a, b – его стороны, d – другая диагональ параллелограмма

Пример. Пусть стороны параллелограмма 2 и 4, а одна из диагоналей 4. Тогда вторая
диагональ равна: D = √(2 * 2²+ 2 * 4² – 4²) = √(8 + 32 – 16) = √24 = 4,9 (ответ
округленный)

Короткая диагональ через две стороны и тупой угол

Для нахождения наименьшего отрезка соединяющего противоположные вершины в этой геометрической фигуре
через его ребра и тупой угол между ними возводятся в квадрат длины его ребер, складываются
полученные числа (один результат). Далее перемножаются значения длины ребер, косинус тупого угла,
удваивается полученное число (это другой результат). К одному результату прибавляется другой и
находится из полученного значения квадратный корень.

D = √(a² + b² + 2 * a * b * cosβ)

где D – диагональ параллелограмма, a, b – его стороны, cos β – косинус тупого угла между ребрами.

Пример. Если ребра этой геометрической фигуры 1 и 3, а косинус тупого угла (120)
между ними -0,5. Тогда диагональ равна: D = √(1²+ 3² + 2 * 1 * 3 * (-0,5)) = √(1 + 9 + 6 * (-0,5)) = √(10 – 3) = 2,6
(ответ округлен)

Длинная диагональ через две стороны и острый угол

В этом четырехугольнике для расчета значения протяженности большего отрезка, соединяющего в нем
расположенные друг напротив друга вершины, через два его ребра и острый угол нужно сначала возвести
в квадрат значение длины его ребер, потом складываются результаты этого вычисления (это первое
слагаемое для последующего сложения). Затем умножаются длины ребер друг на друга, на косинус острого
угла, найденное произведение еще на 2 (это второе слагаемое). Затем оба слагаемых складываются и из
суммы вычисляется квадратный корень.

D = √(a² + b² + 2 * a * b * cos α)

где D – диагональ этой геометрической фигуры, a, b – его ребра, cos α – косинус острого угла

Пример. Если ребра этого четырехугольника 2 и 5, а косинус острого угла (60
градусов) 0,5. Тогда диагональ рассчитывается: D = √(2²+ 5² + 2 * 2 * 5 * 0,5) = √(4 + 25 + 20 * 0,5 = √(29 + 10) = 6,2
(округленно)

Короткая диагональ через две стороны и острый угол

В параллелограмме для вычисления длины наименьшей проведенной в нем диагонали через его стороны и
острый угол между ними следует возвести в квадрат каждую его сторону, затем сложить полученные
значения (это первый результат). Потом следует перемножить между собой стороны, косинус тупого угла
между ними, удвоить полученное значение (это второй результат). Затем из первого результата вычесть
второй и найти из полученного значения квадратный корень.

D = √(a² + b²– 2 * a * b * cosα)

где D – диагональ параллелограмма, a, b – его стороны, cos α – косинус острого угла между сторонами
параллелограмма

Пример. Пусть стороны параллелограмма 2 и 4, а косинус острого угла (60) между ними
0,5. Тогда диагональ равна: D = √(2²+ 4² – 2 * 2 * 4 * 0,5) = √(4 + 16 – 16 * 0,5) = √(20 — 8) = 3,5
(ответ округлен)

Диагональ через площадь, другую известную диагональ и угол между диагоналями

В параллелограмме для вычисления длины проведенного в нем отрезка, соединяющего противоположные
вершины, используя значение его площади, другой диагонали и угол между диагоналями, следует удвоить
значение его площади (это первый результат). Потом следует умножить значение длины другого отрезка,
соединяющего противоположные вершины, на синус угла между диагоналями (это второй результат). Затем
следует разделить первый результат на второй.

D = (2 * S) / (d * sin α)

где D – диагональ параллелограмма, S – площадь параллелограмма, d – вторая диагональ этой
геометрической фигуры, sinα – синус угла между диагоналями параллелограмма

Пример. Значение площади составляет 30, одна из диагоналей 4, синус угла (30
градусов) между диагоналями 0,5. Тогда другая диагональ равна: D = 2 * 30 / 4 * 0,5 = 60 / 2 = 30

Так как каждая диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника, именно их свойства и будут использованы для выведения формулы диагонали параллелограмма.

В любом треугольнике угол и сторона, лежащие напротив, пропорциональны друг другу. Для параллелограмма это будет значить, что более длинная диагональ будет лежать напротив тупого угла, а более короткая диагональ – напротив острого.С учетом того, что стороны треугольников, полученных в результате проведения диагоналей, одинаковы – это стороны параллелограмма, значение градусной меры угла между данными сторонами определяет чему будет равна длина диагонали,вычисленной по формуле. Другими словами, если в формулудиагонали подставить значение острого угла параллелограмма, то калькулятор вычислит длину короткой диагонали, а если подставить значение тупого угла – то длинной.

Для того чтобы перейти от одного угла к другому, используется разность 180 градусов и заданного угла, таким образом калькулятор одновременно может вычислить обе диагонали.

α=180°-β

Чтобы вывести формулу диагонали параллелограмма, используется теорема косинусов в треугольнике, который диагональ образует со сторонами. В любом из подобных треугольников, диагональ является стороной, противолежащей углу параллелограмма и, соответственно, ее квадрат равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (сторон параллелограмма, в данном случае) за вычетом удвоенного произведения тех же сторон на косинус приведенного угла. Чтобы найти длину диагонали параллелограмма, калькулятор вычисляет квадратный корень из данного выражения.

Согласно теореме косинусов, сторона треугольника во второй степени равна сумме квадратов двух других его сторон и их удвоенному произведению на косинус угла между ними. Так как любая диагональ параллелограмма делит его на два конгруэнтных треугольника, то вычислить диагональ можно, зная стороны параллелограмма и угол между ними. Нужно учитывать, что угол и диагональ должны находиться в одном и том же треугольнике, иначе нужно рассчитать необходимый угол, отняв известный из 180 градусов по принципу дополнительных углов. Применяя для параллелограмма теорему косинусов, получаем следующее выражение:
d²=a²+b²-2ab cos⁡α

A parallelogram is defined as a quadrilateral that has equal pairs of opposite sides and angles. One of its pairs of opposite sides is parallel to each other. The interior angles lying on the supplementary in nature, that is, their sum is 180 degrees. The diagonals of a parallelogram bisect each other, that is, they divide each other in two equal parts. The sum of all interior angles of a parallelogram is 360 degrees.

The above figure depicts a parallelogram ABCD with sides AB, BC, CD and AD and diagonals AC and BD. Here the lengths of opposite sides AB and CD are equal to each other. Similarly, the lengths of BC and AD are the same. The pairs of opposite angles, that is, ∠A and ∠C and ∠B and ∠D are equal to each other.

Diagonal of Parallelogram Formula

The formula for the length of a diagonal of a parallelogram is equal to the magnitude of the resultant of any two adjacent sides.

x = √(a² + b² – 2ab cos A) = √(a² + b² + 2ab cos B)

y = √(a² + b² + 2ab cos A) = √(a² + b² – 2ab cos B)

where,

x and y are the lengths of diagonals,

a and b are adjacent side lengths,

A and B are the angles formed between the sides.

The diagonal lengths and sides of a parallelogram have a relation between each other. The sum of squares of diagonals is equal to twice the sum of squares of two adjacent sides.

x² + y² = 2(a² + b²)

where,

x and y are diagonal lengths,

a and b are adjacent side lengths.

Sample Problems

Problem 1. Calculate the length of the diagonals of a parallelogram of side lengths 5 m and 10 m, if one of the interior angles is 60°.

Solution:

We have,

a = 5

b = 10

∠A = 60°

∠B = 120°

We have to find the diagonal lengths x and y.

Using the formula we get,

x = √(a² + b² – 2ab cos A)

= √(5² + 10² – 2 (5) (10) cos 60°)

= √75

= 8.66 m

y = √(a² + b² + 2ab cos A)

= √(5² + 10² + 2 (5) (10) cos 60°)

= √175

= 13.22 m

Problem 2. Calculate the length of the diagonals of a parallelogram of side lengths 4 m and 7 m, if one of the interior angles is 30°.

Solution:

We have,

a = 4

b = 7

∠A = 30°

We have to find the diagonal lengths x and y.

Using the formula we get,

x = √(a² + b² – 2ab cos A)

= √(4² + 7² – 2 (4) (7) cos 30°)

= √16.48

= 4.06 m

y = √(a² + b² + 2ab cos A)

= √(4² + 7² + 2 (4) (7) cos 30°)

= √73.63

= 8.5 m

Problem 3. Calculate the length of one of the diagonals of a parallelogram of side lengths 5 m and 9 m, if one of the interior angles is 25°.

Solution:

We have,

a = 5

b = 9

∠A = 25°

We have to find the diagonal length.

Using the formula we get,

x = √(a² + b² – 2ab cos A)

= √(5² + 9² – 2 (5) (9) cos 25°)

= √24.40

= 4.06 m

Problem 4. Calculate the length of one of the diagonals of a parallelogram of side lengths 12 m and 16 m, if one of the interior angles is 37°.

Solution:

We have,

a = 12

b = 16

∠A = 37°

We have to find the diagonal length.

Using the formula we get,

x = √(a² + b² – 2ab cos A)

= √(12² + 16² – 2 (12) (16) cos 37°)

= √93.315

= 9.66 m

Problem 5. Calculate the length of one of the diagonals of a parallelogram of side lengths 4 m and 6 m, if the other diagonal is 8 m.

Solution:

We have,

a = 4

b = 6

x = 8

Using the formula we get,

x² + y² = 2(a² + b²)

=> 8² + y² = 2 (4² + 6²)

=> 64 + y² = 2 (16 + 36)

=> 64 + y² = 104

=> y² = 40

=> y = 6.32 m

Problem 6. Calculate the length of one of the diagonals of a parallelogram of side lengths 8 m and 12 m, if the other diagonal is 14 m.

Solution:

We have,

a = 8

b = 12

x = 14

Using the formula we get,

x² + y² = 2(a² + b²)

=> 14² + y² = 2 (8² + 12²)

=> 196 + y² = 2 (16 + 144)

=> 196 + y² = 320

=> y² = 124

=> y = 11.13 m

Problem 7. Calculate the length of one of the diagonals of a parallelogram of side lengths 7 m and 9 m, if the other diagonal is 11 m.

Solution:

We have,

a = 7

b = 9

x = 11

Using the formula we get,

x² + y² = 2(a² + b²)

=> 11² + y² = 2 (7² + 9²)

=> 121 + y² = 2 (49 + 81)

=> 121 + y² = 260

=> y² = 139

=> y = 11.78 m

Last Updated :
30 Apr, 2022

Like Article

Save Article