Как найти диагонали квадрата по координатам

Задача 31272 Известна точка пересечения диагоналей.

Условие

Известна точка пересечения диагоналей квадрата К( 1,5; 2,5) и уравнение одной из его сторон х-4у = 0. Найти координаты вершин квадрата и составить уравнения его диагоналей.

Все решения

Уравнение стороны запишем в виде
y=(1/4)x
k=1/4
tg α =1/4

Уравнение диагонали в общем виде:
y=k_(1)x+b

(Диагонали квадрата являются биссектрисами прямых углов квадрата, значит угол между стороной и диагональю квадрата равен 45^(o))

Так как
tg( β – α )=(tg β -tg α )/(1+tg β *tg α )
и

y=(5/3)x+b – уравнение диагонали

Подставим координаты точки К

Диагонали взаимно перпендикулярны.
Значит уравнение второй диагонали
y=(-3/5)x+b
Подставим координаты точки К
2,5=(-3/5)*1,5+b
b=3,4

Координаты одной вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у=0 и диагонали у=(5/3)х
<х-4у=0
<у=(5/3)х

Координаты второй вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у+24=0 и диагонали у=(-3/5)х+3,4
<х-4у=0 ⇒ y=(1/4)x
<у=(-3/5)х+3,4

Координаты двух других точек можно найти из симметрии.

Уравнение квадрата в декартовой системе координат.

Проанализируем расположение квадрата на координатной плоскости.

В общем случае уравнение квадрата в декартовой (прямоугольной) системе координат принимает вид:

где точка О`(a;b) – точка пересечения диагоналей квадрата;

d – длина диагонали квадрата.

В частном случае, когда точка О(0;0) – начала координат, является одновременно и точкой пересечения диагоналей квадрата, уравнение квадрата принимает вид:

где d– длина диагонали квадрата.

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Свойства квадрата

• Длины всех сторон квадрата равны.
• Все углы квадрата прямые.
• Диагонали квадрата равны.
• Диагонали пересекаются под прямым углом.
• Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

.

(1)

Из равенства (1) найдем d:

.

(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Ответ:

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Ответ:

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

(5)

Из формулы (5) найдем R:

(6)

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

.

(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Ответ:

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

.

(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

(9)

где − сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:

Ответ:

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Из (13) следует, что

(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).

[spoiler title=”источники:”]

http://www.calc.ru/Uravneniye-Kvadrata-V-Dekartovoy-Sisteme-Koordinat.html

http://matworld.ru/geometry/kvadrat.php

[/spoiler]

Знаете ответ?

Сообщения без ответов | Активные темы

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Комплексные координаты вершин квадрата в форуме Алгебра	nick088	3	73	14 апр 2023, 18:16
Найти полярные координаты вершин квадрата в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Miracle	6	504	26 дек 2016, 15:10
Формулы для нахождения вершин,диагоналей в фигурах в форуме Геометрия	Fsq	1	5144	04 июн 2013, 21:14
Координаты вершин ∆ABC в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	vermihel	1	126	04 дек 2021, 23:11
Координаты вершин пирамиды в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Aliona	1	603	22 дек 2013, 21:26
Координаты вершин пирамиды в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	FCJUVENTUS	1	467	02 ноя 2013, 12:07
Координаты вершин пирамиды в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	pest123	7	612	11 ноя 2013, 18:20
Даны координаты вершин треугольника ABC в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	colomatina	2	1523	13 дек 2013, 00:22
Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Ivan73	6	3510	25 ноя 2014, 17:14
Даны координаты вершин пирамиды в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	alena1994	2	872	12 янв 2014, 19:06

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Квадрат
Квадрат со стороной и диагональю
Рёбра	4
Символ Шлефли	{4}
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D4)
Площадь	a2
Внутренний угол	90°
Свойства
Выпуклый многоугольник, Изогональная фигура, изотоксальная фигура
Медиафайлы на Викискладе

Квадра́т (от лат. quadratus, четырёхугольный^[1]) — правильный четырёхугольник, то есть плоский четырёхугольник, у которого все углы и все стороны равны. Каждый угол квадрата — прямой ^[2].

Варианты определения[править | править код]

Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами^[3][4].

• Четырёхугольник, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны, причём точка пересечения делит их пополам.
• Четырёхугольник, являющийся одновременно прямоугольником и ромбом.
• Прямоугольник, у которого длины двух смежных сторон равны.
• Прямоугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом.
• Ромб, у которого диагонали равны.
• Ромб, у которого два соседних угла равны.
• Ромб, один из углов которого — прямой (прочие углы, как легко доказать, тогда также прямые).
• Параллелограмм, у которого длины двух смежных сторон равны, а угол между ними — прямой.
• Параллелограмм, у которого диагонали равны, а угол между ними — прямой.
• Дельтоид, все углы которого прямые.

Свойства[править | править код]

Основной источник: ^[4]

Далее в этом разделе обозначает длину стороны квадрата,  — длину диагонали,  — радиус описанной окружности,  — радиус вписанной окружности.

Стороны и диагонали[править | править код]

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали

Периметр квадрата равен:

.

Вписанная и описанная окружности[править | править код]

Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:

Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:

Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.

Площадь[править | править код]

• 

• 

  Соединив середины сторон квадрата, получаем квадрат вдвое меньшей площади

Площадь квадрата равна

.

Из формулы связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.

Квадрат имеет два замечательных свойства^[5].

1. Из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.
2. Из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.

Уравнение квадрата[править | править код]

В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде^[6]:

где  — радиус описанной окружности, равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна его диагональ равна а площадь квадрата равна

Уравнение квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть представлено в одной из следующих форм:

1. (легко получается применением поворота на 45° к предыдущему уравнению)
2. 
3. (в полярных координатах^[7])

Математические проблемы[править | править код]

С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения.

• Квадратура круга — древняя проблема построения циркулем и линейкой квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. В 1882 году Фердинанд Линдеман доказал, что это невозможно.

• Квадрирование квадрата — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов, без «дырок», причём длины сторон квадратов должны отличаться друг от друга (в идеале должны быть все различны). Найден ряд решений этой задачи.
• Долгое время математики пытались доказать, что непрерывное отображение отрезка прямой в квадрат невозможно, пока Джузеппе Пеано не построил свой контрпример.
• Гипотеза Тёплица: на всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, образующие вершины квадрата. Не доказана и не опровергнута.
• Разбиение квадрата сеткой одинаковых более мелких квадратов также приводит к множеству проблем, используемых, в частности, в теории латинских и греко-латинских квадратов, магических квадратов, в игре судоку.

Симметрия[править | править код]

Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:

• одну ось симметрии четвёртого порядка — ось, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр;
• четыре оси симметрии второго порядка (то есть относительно них квадрат отражается сам в себя), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.

Применение[править | править код]

В математике[править | править код]

Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади, а также в определении площади произвольных плоских фигур. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми.

Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.

В математической физике символ квадрата может означать «оператор Д’Аламбера» (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:

Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно)^[8].

Графы:
K₄ полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.

Орнаменты и паркеты[править | править код]

• Мозаики, включающие квадраты

• 

• 

• 

Мозаики, орнаменты и паркеты, содержащие квадраты, широко распространены.

Другие применения[править | править код]

Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат.

Квадратный флаг Лима поделён на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани, означает, что корабль находится на карантине.

Графика[править | править код]

Символы со сходным начертанием: ロ · ⼝ · ⼞

Ряд символов имеют форму квадрата.

• Символы Юникода U+25A0 — U+25CF
• U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE
• ロ (Японский иероглиф «Ро» (катакана))
• 口 (Китайский иероглиф «рот»)
• 囗 (Китайский иероглиф «ограда»)

В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции Box или square.

В HTML, чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:

• <span style=”border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;”>text</span>; результат: text.

Вариации и обобщения[править | править код]

Многомерное пространство[править | править код]

Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб.

Неевклидова геометрия[править | править код]

В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.

См. также[править | править код]

• Алгоритм «движущиеся квадраты»
• Квадрат Полибия
• Квадратная матрица
• Квадратриса
• Первая теорема Тебо
• Площадь произвольного четырёхугольника

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Каплун А. И. Математика, Учебно-практический справочник. — Ростов н/Д.: ООО “Феникс”, 2014. — 240 с. — ISBN 978-5-222-20926-3.

Ссылки[править | править код]

• Квадрат, геометрическая фигура // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

           Внимательно прочитаем задание и определим данные, которые нам понадобятся в процессе решения. Нам дан квадрат с вписанной в него окружностью и дан ее радиус. Значит нужно вспомнить  свойства данных фигур и их взаимосвязь с друг другом.

Первый способ решения

   Первый способ нахождения ответа основывается на формуле диагонали квадрата:

     Зная эту формулу алгоритм наших действий, следующий:

• -найти сторону квадрата;

• – подставить найденное значение в формулу;

• – вычислить;

• – записать ответ. 

А можно ли решить данную задачу иначе? Да, конечно! Для этого рассмотрим другой способ.