Как найти диагонали параллелограмма по двум сторонам и углу между ними.Мне нужна формула…
Ученик
(170),
закрыт
13 лет назад
Лариса Ларина
Мудрец
(11881)
13 лет назад
Можно найти по теореме косинусов. Диагональ со сторонами образует треугольник, при этом лежит против угла параллелограмма. Пусть а и в стороны, С-угол между ними, с – диагональ. Тогда с^2=a^2+b^2-2abcosC. Подставить, посчитать, не забыть извлечь квадр. корень. Две разные диагонали получаются потому, что cos острого угла положительный, а тупого – отрицательный.
Свойства параллелограмма:
1. Противоположные стороны равны и параллельны
2. Противоположные углы равны
3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам
1. Длина диагонали параллелограмма через стороны, известную диагональ и угол.
a, b – стороны параллелограмма
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α, β – углы параллелограмма
Формулы диагонали через стороны и углы параллелограмма (по теореме косинусов), (D, d):
Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), (D, d):
2. Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α, β – углы между диагоналями
S – площадь параллелограмма
Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, (D, d):
Формулы площади параллелограмма
Формула периметра параллелограмма
Все формулы по геометрии
- Подробности
-
Опубликовано: 03 ноября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого по определению противоположные стороны параллельны и равны. Как следствие, противоположные углы параллелограмма также будут между собой равны, а так как сумма всех углов в четырехугольнике равна 360 градусам, то можно сделать вывод, что сумма двух последовательных углов будет равна 180 градусам. Данное свойство будет играть существенную роль для нахождения диагоналей параллелограмма, с учетом того, что они разной длины.
Так как каждая диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника, именно их свойства и будут использованы для выведения формулы диагонали параллелограмма.
В любом треугольнике угол и сторона, лежащие напротив, пропорциональны друг другу. Для параллелограмма это будет значить, что более длинная диагональ будет лежать напротив тупого угла, а более короткая диагональ – напротив острого.С учетом того, что стороны треугольников, полученных в результате проведения диагоналей, одинаковы – это стороны параллелограмма, значение градусной меры угла между данными сторонами определяет чему будет равна длина диагонали,вычисленной по формуле. Другими словами, если в формулудиагонали подставить значение острого угла параллелограмма, то калькулятор вычислит длину короткой диагонали, а если подставить значение тупого угла – то длинной.
Для того чтобы перейти от одного угла к другому, используется разность 180 градусов и заданного угла, таким образом калькулятор одновременно может вычислить обе диагонали.
α=180°-β
Чтобы вывести формулу диагонали параллелограмма, используется теорема косинусов в треугольнике, который диагональ образует со сторонами. В любом из подобных треугольников, диагональ является стороной, противолежащей углу параллелограмма и, соответственно, ее квадрат равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (сторон параллелограмма, в данном случае) за вычетом удвоенного произведения тех же сторон на косинус приведенного угла. Чтобы найти длину диагонали параллелограмма, калькулятор вычисляет квадратный корень из данного выражения.
Диагонали параллелограмма
Диагональ
Четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны друг другу и равны, называется параллелограммом. Противоположные углы параллелограмма также равны. Отрезок, соединяющий две противолежащие вершины параллелограмма, является его диагональю. В параллелограмме две диагонали, одна из них — длинная, другая — короткая. Обе диагонали в точке пересечения делятся пополам. Зная стороны (a,b) и угол между ними, можно найти величину диагонали d1, противолежащую этому углу. Для этого воспользуемся теоремой косинусов.
d1 = √a2 + b2 — 2ab cosα
Т.е. диагональ d1 равняется корню квадратному из суммы квадратов сторон (a,b) параллелограмма и разности удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Сумма двух углов параллелограмма, прилегающих к любой стороне равна 180°. Чтобы найти другую диагональ, находим противолежащий ей угол путем вычитания из 180 градусов величину первого угла, прилежащего к той же стороне параллелограмма. Находим вторую диагональ d2, используя теорему косинусов.
d2 = √a2 + b2 — 2ab cos (180°-β)
Рассчитать диагонали параллелограмма зная стороны и угол
Согласно теореме косинусов, сторона треугольника во второй степени равна сумме квадратов двух других его сторон и их удвоенному произведению на косинус угла между ними. Так как любая диагональ параллелограмма делит его на два конгруэнтных треугольника, то вычислить диагональ можно, зная стороны параллелограмма и угол между ними. Нужно учитывать, что угол и диагональ должны находиться в одном и том же треугольнике, иначе нужно рассчитать необходимый угол, отняв известный из 180 градусов по принципу дополнительных углов. Применяя для параллелограмма теорему косинусов, получаем следующее выражение:
d2=a2+b2-2ab cosα
