Как найти диагонали правильного треугольника

Как найти диагонали правильного треугольника

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Свойства равностороннего треугольника

Основные свойства равностороннего треугольника непосредственно следуют из свойств равнобедренного треугольника, частным случаем которого он является.

Свойства равностороннего треугольника

2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:

AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;

BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;

CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.

Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:

Если a — сторона треугольника, то

3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:

5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан

до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:

6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:

7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.

8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

Диагональ треугольника – формула

Очень часто в начале изучения фигуры ученики путают значение диагонали прямоугольника и треугольника. Поэтому, чтобы не путаться в обозначениях, лучше разобраться в тематике раз и навсегда.

Треугольник

Треугольник – это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. Треугольник имеет три характеризующих отрезка:

Треугольник не может иметь диагональ в принципе. Дело в том, что диагонали могут быть проведены только в многоугольниках, количество сторон которых больше 3.

Почему так? Потому что диагональ это отрезок, соединяющий противоположные вершины. В треугольнике противоположных вершин нет и быть не может. Существует сторона, противоположная вершине, но сами по себе вершины всегда смежные, т.е. соединенные одной стороной. Значит, диагонали треугольника не существует

Рис. 1. Три медианы в треугольнике.

Прямоугольник

Прямоугольник – это первая фигура школьного курса математики, которая имеет диагональ. Так же, как диагональ имеет и квадрат.

Диагональ прямоугольника или квадрата всегда:

  • Делит фигуру на две равных прямоугольных треугольника.
  • В полученных треугольниках диагональ будет являться гипотенузой
  • Диагональ будет равняться корню квадратному из суммы квадратов катетов согласно теореме Пифагора

Диагоналей в любом четырехугольнике 2, а в квадрате и прямоугольнике обе диагонали равны между собой.

При этом правило не касается других четырехугольников. Например, диагонали параллелограмма всегда неравны между собой. Запомните, если перед вами произвольный четырехугольник использовать утверждение о равенстве диагоналей без доказательства нельзя. Любое утверждение в геометрии, кроме аксиом должно быть доказано.

Кроме прямоугольника и квадрата равными диагоналями обладает ромб. При этом диагонали ромба перпендикулярны друг другу и, так же, как и диагонали квадрата и прямоугольника, точкой пересечения делятся пополам.

Многоугольник

На самом деле, многоугольником может называться любая фигура с количеством углов, больше 2. По факту, любая фигура может называться многоугольником, поскольку 2 угла у замкнутой фигуры быть не может.

Рассмотрим многоугольники с количеством углов больше 4, поскольку четырехугольники мы уже рассмотрели.

Рис. 2. Диагонали многоугольника.

В многоугольнике, если он не является правильным, не получится решить задачу нахождения диагонали без дополнительных построений. В правильном многоугольнике все диагонали равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Правильным многоугольником зовется фигура, все стороны и углы которой соответственно равны между собой.

Количество диагоналей можно посчитать, прикинув количество смежных и несмежных вершин. Смежными зовутся вершины, соединенные одним отрезком.

Например, в четырехугольнике у любой вершины есть две смежные вершины. Значит, для каждой вершины есть только одна диагональ. Диагональ соединяет две противоположные вершины, всего вершин 4, значит 4:2=2 – в любом четырехугольнике 2 диагонали.

Но этот способ не подойдет, если в задаче требуется подсчитать количество диагоналей у многоугольника с 5989 сторонами. Такая фигура вполне возможна в теории. На практике начертить ее весьма утомительно, как и подсчитать диагонали на чертеже. Поэтому была выведена формула числа диагоналей многоугольника:

$P=>$ – где n это число сторон многоугольника.

Проверим для квадрата:

Рис. 3. Диагонали квадрата.

Что мы узнали?

Мы узнали, почему не существует формулы диагонали треугольника. Поговорили о том, что диагонали в принципе нет, и не может быть в многоугольниках с количеством сторон, меньше 3. Обсудили различные свойства диагоналей в различных фигурах.

[spoiler title=”источники:”]

Свойства равностороннего треугольника

http://sprint-olympic.ru/uroki/matematika-uroki/15430-diagonal-treygolnika-formyla.html

[/spoiler]

Источник

Содержание

  1. Определение правильного многоугольника
  2. Элементы правильного многоугольника
  3. Диагонали n — угольника
  4. Внешний угол многоугольника
  5. Сумма внутренних углов
  6. Сумма внешних углов
  7. Виды правильных многоугольников
  8. Основные свойства правильного многоугольника
  9. Свойство 1
  10. Свойство 2
  11. Свойство 3
  12. Свойство 4
  13. Свойство 5
  14. Свойство 6
  15. Доказательства свойств углов многоугольника
  16. Правильный n-угольник — формулы
  17. Формулы длины стороны правильного n-угольника
  18. Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника
  19. Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника
  20. Формулы площади правильного n-угольника
  21. Формула периметра правильного многоугольника:
  22. Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:
  23. Формулы правильного треугольника:
  24. Формулы правильного четырехугольника:
  25. Формулы правильного шестиугольника:
  26. Формулы правильного восьмиугольника:
  27. Сторона правильного многоугольника через радиус описанной вокруг него окружности
  28. Шаг 1
  29. Шаг 2
  30. Шаг 3

Определение правильного многоугольника

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и углы.

Правильный шестиугольник

Признаки правильного n-угольника

  • a1 = a2 = a3 = … an-1 = an
  • α1 = α2 = α3 = … αn-1 = αn

Примечание: n – количество сторон/углов фигуры.

Элементы правильного многоугольника

Для рисунка выше:

  • a – сторона/ребро;
  • α – угол между смежными сторонами;
  • O – центр фигуры/масс (совпадает с центрами описанной и вписанной окружностей);
  • β – центральный угол описанной окружности, опирающийся на сторону многоугольника.

Диагонали n — угольника

Фигура Рисунок Описание
Диагональ
многоугольника		 диагонали многоугольника Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника
Диагонали
n – угольника, выходящие из одной вершины		 диагонали многоугольника Диагонали, выходящие из одной вершины
n – угольника, делят n – угольник на
n – 2 треугольника
Все диагонали
n – угольника		 диагонали многоугольника Число диагоналейn – угольника равно
Диагональ многоугольника
диагонали многоугольника

Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника
Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины
диагонали многоугольника

Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника
Все диагонали n – угольника
диагонали многоугольника

Число диагоналей n – угольника равно

Внешний угол многоугольника

Определение 5 . Два угла называют смежными, если они имеют общую сторону, и их сумма равна 180° (рис.1).

Внешний угол многоугольника смежные углы

Рис.1

Определение 6 . Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с внутренним углом многоугольника (рис.2).

Внешний угол многоугольника смежные углы

Рис.2

Замечание. Мы рассматриваем только выпуклые многоугольники выпуклые многоугольники .

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению  180°  и количеству сторон без двух.

s = 2d(n — 2),

где  s  — это сумма углов,  2d  — два прямых угла (то есть  2 · 90 = 180°),  а  n  — количество сторон.

Если мы проведём из вершины  A  многоугольника  ABCDEF  все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

сумма внутренних углов многоугольника

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна  180°  (2d),  то сумма углов всех треугольников будет равна произведению  2d  на их количество:

s = 2d(n — 2) = 180 · 4 = 720°.

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна  360°  (или  4d).

s = 4d,

где  s  — это сумма внешних углов,  4d  — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна  180°  (2d),  так как они являются смежными углами. Например,  ∠1  и  ∠2:

Сумма внешних углов многоугольника

Следовательно, если многоугольник имеет  n  сторон (и  n  вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех  n  вершинах будет равна  2dn.  Чтобы из этой суммы  2dn  получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть  2d(n — 2):

s = 2dn — 2d(n — 2) = 2dn — 2dn + 4d = 4d.

Виды правильных многоугольников

  1. Правильный (равносторонний) треугольник
  2. Правильный четырехугольник (квадрат)
  3. Правильный пяти-, шести-, n-угольник

Основные свойства правильного многоугольника

  • Все стороны равны:
    a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an2. Все углы равны:
    α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn3. Центр вписанной окружности Oв совпадает з центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольника O4. Сумма всех углов n-угольника равна:

180° · (n — 2)

  • Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:

β1 + β2 + β3 + … + βn-1 + βn = 360°

  • Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:
  • В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:
  • Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O

Свойство 1

Внутренние углы в правильном многоугольнике (α) равны между собой и могут быть рассчитаны по формуле:

Формула расчета внутреннего угла правильного многоугольника

где n – число сторон фигуры.

Свойство 2

Сумма всех углов правильного n-угольника равняется: 180° · (n-2).

Свойство 3

Количество диагоналей (Dn) правильного n-угольника зависит от количества его сторон (n) и определяется следующим образом:

Формула расчета количества диагоналей правильного многоугольника

Свойство 4

В любой правильный многоугольник можно вписать круг и описать окружность около него, причем их центры будут совпадать, в том числе, с центром самого многоугольника.

В качестве примера на рисунке ниже изображен правильный шестиугольник (гексагон) с центром в точке O.

Площадь (S) образованного окружностями кольца вычисляется через длину стороны (a) фигуры по формуле:

Формула расчета площади кольца, образованного описанной и вписанной в правильный многоугольник окружностями

Между радиусами вписанной (r) и описанной (R) окружностей существует зависимость:

Зависимость между радиусами описанной и вписанной в правильный многоугольник окружностей

Свойство 5

Зная длину стороны (a) правильного многоугольника можно рассчитать следующие, относящиеся к нему величины:

  • Площадь (S):

Формула расчета площади правильного многоугольника через длину его стороны

  • Периметр (P):Формула расчета периметра правильного многоугольника через длину его стороны
  • Радиус описанной окружности (R):

Формула расчета радиуса описанной около правильного многоугольника окружности через длину его стороны

  • Радиус вписанной окружности (r):

Формула расчета радиуса вписанной в правильный многоугольник окружности через длину его стороны

Свойство 6

Площадь (S) правильного многоугольника можно выразить через радиус описанной/вписанной окружности:

Формула расчета площади правильного многоугольника через радиус вписанной в него окружности

Формула расчета площади правильного многоугольника через радиус описанной около него окружности

Доказательства свойств углов многоугольника

Теорема 1. В любом треугольнике сумма углов равна 180°.

Доказательство. Проведем, например, через вершину B произвольного треугольника ABC прямую DE, параллельную прямой AC, и рассмотрим полученные углы с вершиной в точке B (рис. 3).

Свойства углов треугольника доказательство

Рис.3

Углы ABD и BAC равны как внутренние накрест лежащие. По той же причине равны углы ACB и CBE. Поскольку углы ABD, ABC и CBE в сумме составляют развёрнутый угол, то и сумма углов треугольника ABC равна 180°. Теорема доказана.

Теорема 2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство. Проведём через вершину C прямую CE, параллельную прямой AB, и продолжим отрезок AC за точку C (рис.4).

Свойства углов треугольника доказательство
Свойства углов треугольника доказательство

Рис.4

Углы ABC и BCE равны как внутренние накрест лежащие. Углы BAC и ECD равны как соответственные равны как соответственные . Поэтому внешний угол BCD равен сумме углов BAC и ABC. Теорема доказана.

Замечание. Теорема 1 является следствием теоремы 2.

Теорема 3. Сумма углов  – угольникаn равна

Доказательство. Выберем внутри n – угольника произвольную точку O и соединим её со всеми вершинами n – угольника (рис. 5).

Свойства углов многоугольника

Рис.5

Получим n треугольников:

OA1A2,  OA2A3,  …  OAnA1

Сумма углов всех этих треугольников равна сумме всех внутренних углов n – угольника плюс сумма всех углов с вершиной в точке O. Поэтому сумма всех углов n – угольника равна

что и требовалось доказать.

Теорема 4. Сумма внешних углов  – угольникаn , взятых по одному у каждой вершины, равна 360°.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 6.

Свойства углов многоугольника

Рис.6

В соответствии рисунком 6 справедливы равенства

Теорема доказана.

Правильный n-угольник — формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

  • Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:
  • Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:

Формулы площади правильного n-угольника

  • Формула площади n-угольника через длину стороны:
  • Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:
  • Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула периметра правильного многоугольника:

Формула периметра правильного n-угольника:

P = na

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:

Формула угла между сторонами правильного n-угольника:

Изображение правильного треугольника с обозначениями
Рис.3

Формулы правильного треугольника:

  • Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r √3

  • Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности:

a = R√3

  • Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:
  • Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:
  • Формула площади правильного треугольника через длину стороны:
  • Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 3√3

  • Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:
  • Угол между сторонами правильного треугольника:

α = 60°

Изображение правильного четырехугольнику с обозначениями
Рис.4

Формулы правильного четырехугольника:

  • Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r

  • Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2

  • Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
  • Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
  • Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны:

S = a2

  • Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

S = 4 r2

  • Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

S =  2 R2

  • Угол между сторонами правильного четырехугольника:

α = 90°

Формулы правильного шестиугольника:

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

a = R

Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

R = a

Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:

Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 2√3

Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

8. Угол между сторонами правильного шестиугольника:

α = 120°

Формулы правильного восьмиугольника:

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r · (√2 — 1)

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2 — √2

Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны:

S = a2 2(√2 + 1)

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 8(√2 — 1)

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

S = R2 2√2

Угол между сторонами правильного восьмиугольника:

α = 135°

Сторона правильного многоугольника через радиус описанной вокруг него окружности

Сторону правильного многоугольника через радиус описанной вокруг него окружности можно найти по формуле

Где:

a – длина его стороны;

R – радиус описанной окружности;

n – число сторон многоугольника.

Формула стороны правильного многоугольника

Шаг 1

Рассмотрим правильный многоугольник А1А2А3…Аn.

Пусть его сторона будет равна a.

Опишем вокруг этого многоугольника окружность с центром в точке О и радиусом R.

Вывод формулы стороны правильного многоугольника.

Шаг 2

Соединим точку О с его вершинами. А1А2А3…Аn.

Рассмотрим треугольник ОА1А2.

Рассматриваемый треугольник будет равнобедренным, так как его стороны А1О и А2О – радиусы описанной окружности.

Проведем в треугольнике А1ОА2 высоту ОК.

Так как треугольник А1ОА2 равнобедренный, то высота будет медианой:

Вывод формулы стороны правильного многоугольника.

Шаг 3

Рассмотрим треугольник А1КО.

Этот треугольник прямоугольный, так как ОК – высота по построению.

Так как точка О – центр правильного многоугольника, то отрезки АnO являются биссектрисами углов этого многоугольника.

Таким образом, если углы многоугольника обозначим буквой α, то угол ОА1К будет равен:

По свойству углов правильного многоугольника, каждый угол равен:

Тогда угол ОА1К будет равен:

Из определения косинуса угла получим:

Отсюда:

Подставим в формулу значения, полученные выше и на шаге 2:

Умножим обе части уравнения на 2:

Воспользуемся формулами приведения

Так как А1О является радиусом описанной окружности, то сторона правильного многоугольника может быть найдена по формуле:

Вывод формулы стороны правильного многоугольника.

Источник

Правильный (равносторонний, или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Содержание

  • 1 Свойства
  • 2 Правильный сферический треугольник
  • 3 Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его
  • 4 См. также
  • 5 Примечания

Свойства[править | править код]

Правильный тетраэдр состоит из четырёх правильных треугольников.

Пусть a — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

  • Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
r = frac{sqrt 3}{6} a
  • Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
R = frac{sqrt 3}{3} a
  • Периметр правильного треугольника:
P = 3a = 3 sqrt 3 R = 6 sqrt 3 r
  • Высоты, медианы и биссектрисы правильного треугольника:
h = m = l = frac{sqrt 3}{2} a
  • Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:
S={frac {{sqrt 3}}{4}}a^{2}={frac {3{sqrt 3}}{4}}R^{2}=3{sqrt 3}r^{2}={frac {{sqrt 3}}{36}}P^{2}
  • Радиус описанной окружности равен двойному радиусу вписанной окружности:
R = 2r
  • Правильными треугольниками можно замостить плоскость.
  • В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает с вписанной окружностью.

Правильный сферический треугольник[править | править код]

Для любого значения в интервале от 60 до 180 градусов существует правильный сферический треугольник с равными этому значению углами.

Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его[править | править код]

  • Задача Наполеона
  • Прямая Симсона одно из свойств
  • Теорема Вивиани
  • Теорема Морли
  • Теорема Наполеона
  • Теорема Помпею
  • Теоремы Тебо 2 и 3
  • Точки Аполлония
  • Точки Торричелли

См. также[править | править код]

  • Замечательные прямые треугольника
  • Замечательные точки треугольника
  • Равнобедренный треугольник
  • Теорема Чевы
  • Треугольник
  • Треугольник Рёло

Примечания[править | править код]

Перейти к шаблону «Символ Шлефли» 

Символ Шлефли
Многоугольники
  • {1}
  • {2}
  • {3}
  • {4}
  • {5}
  • {6}
  • {7}
  • {8}
  • {9}
  • {10}
  • {11}
  • {12}
  • {14}
  • {15}
  • {17}
  • {18}
  • {20}
  • {30}
  • {51}[de]
  • {257}
  • {65537}
  • {4294967295}
  • {∞}
Звёздчатые многоугольники
  • {5/2}
  • {6/2}
  • {7/2}
  • {7/3}
  • {8/2}
  • {8/3}
  • {9/2}
  • {9/3}
  • {9/4}
Паркеты на плоскости
  • {3,6}
  • {4,4}
  • {6,3}
Правильные многогранники
и сферические паркеты
  • {2,n}
  • {3,3}
  • {4,3}
  • {3,4}
  • {5,3}
  • {3,5}
  • {n,2}
Многогранники Кеплера — Пуансо
  • {5/2,5}
  • {5,5/2}
  • {5/2,3}
  • {3,5/2}
Соты

{4,3,4}
Четырёхмерные многогранники
  • {3,3,3}
  • {4,3,3}
  • {3,3,4}
  • {3,4,3}
  • {5,3,3}
  • {3,3,5}
Источник

Гость:

Диагональ – это отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие на одной стороне. Так что у треугольников диагоналей нет, по определению.

Гость:

У трЕугольника нет ДИАгоналей. “Диа” означает “через”=поперек. Диаметр=проходит ЧЕРЕЗ центр окружности, диагональ – линия, соединяющая противоположные вершины четырехугольника, т. тоже проходит через некий “центр” четырехугольника. Представил картину-легче запомнится.

Гость:

ДИАГОНАЛЬ ДИАГОНАЛЬ ж. черта, соединяющая два угла, проведенная с угла на угол, в плоском угольнике или в теле; искосина, долонь. поэтому конечно можно сказать, что три, но на мой взгляд это неправильно, у треугольников могут быть только иррациональные диагонали, да и то не у всех

Гость:

нет диагоналей у треугольника и не может быть

Гость:

3 и они еще и являются сторонами треугольника)))

Гость:

а 0(ноль)

Гость:

Не одной

Гость:

Вообщето 0..

Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Нахождение числа диагоналей является важнейшим навыком, который пригодится при решении геометрических задач. Это не так сложно, как кажется – просто нужно запомнить формулу. Диагональ – это отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины многоугольника.[1]
 Многоугольник – это любая фигура с как минимум тремя сторонами. При помощи несложной формулы можно найти количество диагоналей в любом многоугольнике, например, с 4 сторонами или с 4000 сторон.

  1. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 1

    1

    Запомните названия многоугольников. Сначала нужно найти число сторон многоугольника. Это можно сделать по названию любого многоугольника. Вот названия самых распространенных многоугольников:[2]

    • Четырехугольник: 4 стороны
    • Пятиугольник: 5 сторон
    • Шестиугольник: 6 сторон
    • Семиугольник: 7 сторон
    • Восьмиугольник: 8 сторон
    • Девятиугольник: 9 сторон
    • Десятиугольник: 10 сторон
    • Обратите внимание, что у треугольника диагоналей нет.[3]

  2. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 2

    2

    Нарисуйте многоугольник. Чтобы найти число диагоналей в квадрате, нарисуйте его. Самый простой способ найти число диагоналей – это нарисовать правильный многоугольник (в таком многоугольнике все стороны равны) и посчитать количество диагоналей. Запомните: неправильный многоугольник будет иметь такое же количество диагоналей, что и правильный (при одинаковом числе сторон).[4]

    • Чтобы нарисовать многоугольник, воспользуйтесь линейкой; нарисуйте замкнутую фигуру со сторонами одинаковой длины.
    • Если вы не знаете, как выглядит многоугольник, поищите картинки в интернете. Например, знак «Стоп» – это восьмиугольник.

  3. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 3

    3

    Нарисуйте диагонали. Диагональ – это отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины многоугольника.[5]
     Из одной (любой) вершины многоугольника проведите диагонали к другим (несмежным) вершинам.

    • В квадрате проведите одну диагональ из нижнего левого угла в правый верхний угол, а вторую – из нижнего правого угла в левый верхний угол.
    • Нарисуйте диагонали разных цветов, чтобы быстрее посчитать их.[6]
    • Обратите внимание, что применять этот метод к многоугольникам, у которых больше 10 сторон, довольно сложно.

  4. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 4

    4

    Посчитайте диагонали. Можно считать диагонали во время того, как вы рисуете их, или после того, как они нарисованы. Отмечайте диагонали, которые уже посчитаны, чтобы не запутаться (особенно когда диагоналей много и они пересекаются).

    • У квадрата всего две диагонали – по одной на каждые две вершины.[7]
    • У шестиугольника 9 диагоналей: по три диагонали на каждые три вершины.
    • У семиугольника 14 диагоналей. Если у многоугольника больше семи сторон, посчитать диагонали довольно сложно, потому что их слишком много.

  5. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 5

    5

    Каждую диагональ считайте только один раз. Из каждой вершины выходит несколько диагоналей, но это не значит, что число диагоналей равно произведению числа вершин на число диагоналей, выходящих из каждой вершины. Поэтому аккуратно считайте диагонали.[8]

    • Например, у пятиугольника (5 сторон) только 5 диагоналей. Из каждой вершины выходит 2 диагонали; если умножить число вершин на число диагоналей, выходящих из каждой вершины, получите 10. Это неверный ответ, как если бы вы посчитали каждую диагональ дважды.

  6. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 6

    6

    Попрактикуйтесь в определении числа диагоналей на некоторых примерах. Нарисуйте разные многоугольники и посчитайте их диагонали. Этот метод применим и к неправильным многоугольникам. В случае вогнутого многоугольника некоторые диагонали лежат вне границ фигуры.[9]

    • У шестиугольника 9 диагоналей.
    • У семиугольника 14 диагоналей.

    Реклама

  1. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 7

    1

    Запишите формулу. Формула для вычисления числа диагоналей многоугольника: d = n(n-3)/2, где d – число диагоналей, n – число сторон многоугольника.[10]
     Используя распределительное свойство, эту формулу можно записать так: d = (n2 – 3n)/2. Можно пользоваться любой формой представленной формулы.

    • Эта формула для вычисления числа диагоналей многоугольника.
    • Обратите внимание, что эта формула не применима к треугольникам, потому что у треугольников диагоналей нет.[11]

  2. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 8

    2

    Определите число сторон многоугольника. Чтобы использовать приведенную формулу, нужно знать число сторон многоугольника. Число сторон можно выяснить по названию многоугольника. Ниже приведены части названий многоугольников.[12]

    • Четырех (4), пяти (5), шести (6), семи (7), восьми (8), девяти (9), десяти (10), одиннадцати (11), двенадцати (12), тринадцати (13 ), четырнадцати (14), пятнадцати (15) и так далее.
    • Если сторон слишком много, то в название многоугольника включается цифра. Например, если у многоугольника 44 стороны, он называется 44-угольником.
    • Если дан рисунок многоугольника, просто посчитайте его стороны.

  3. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 9

    3

    Подставьте число сторон в формулу. Сделайте это после того, как найдете число сторон многоугольника. Число сторон подставьте вместо n.[13]

    • Например. У двенадцатиугольника 12 сторон.
    • Запишите формулу: d = n(n-3)/2
    • Подставьте число сторон: d = (12(12 – 3))/2

  4. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 10

    4

    Решите уравнение. Для этого не забудьте про определенный порядок выполнения математических операций. Начните с вычитания, затем умножьте, а потом разделите. В итоге вы получите число диагоналей многоугольника.[14]

    • Например: (12(12 – 3))/2
    • Вычитание: (12*9)/2
    • Умножение: (108)/2
    • Деление: 54
    • У двенадцатиугольника 54 диагонали.

  5. Изображение с названием Find How Many Diagonals Are in a Polygon Step 11

    5

    Попрактикуйтесь на других примерах. Чем больше задач вы решите, тем лучше уясните процесс вычисления. Также вы наверняка запомните формулу для вычисления числа диагоналей, что пригодится на экзамене. Не забывайте, что представленная формула применима к многоугольнику, у которого больше трех сторон.

    • Шестиугольник (6 сторон): d = n(n-3)/2 = 6(6-3)/2 = 6*3/2 = 18/2 = 9 диагоналей.
    • Десятиугольник (10 сторон): d = n(n-3)/2 = 10(10-3)/2 = 10*7/2 = 70/2 = 35 диагоналей.
    • Двадцатиугольник (20 сторон): d = n(n-3)/2 = 20(20-3)/2 = 20*17/2 = 340/2 = 170 диагоналей.
    • 96-угольник (96 сторон): 96(96-3)/2 = 96*93/2 = 8928/2 = 4464 диагоналей.

    Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 175 176 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Добавить комментарий