Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника и является гипотенузой обеих. Чтобы найти длину, проще всего воспользоваться теоремой Пифагора, которая в нашем случае будет звучать так
Это будет основная формула, но так как не всегда в условии заданы значения сторон прямоугольника, на помощь придут другие:
И теперь на нескольких примерах решим наше задание
Пример 1
найдем длину диагонали прямоугольника, если известна его а)сторона и периметр б) сторона и площадь.
Для этого сначала найдем неизвестную сторону, затем значения обеих сторон подставим в главную формулу
Пример 2
найдем длину диагонали прямоугольника, если известны его периметр и площадь.
Для этого составим систему уравнений, решим ее и подставим значения сторон в основную формулу
Пример 3
нужно найти длину диагонали прямоугольника, если известны его а)площадь и угол между диагональю и стороной б)периметр и угол между диагональю и стороной.
Решение аналогично предыдущему примеру
Как видим, без теоремы Пифагора во всех этих случаях никак не обойтись.
Посчитать диагональ прямоугольника
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Посчитать диагональ прямоугольника
Чтобы посчитать диагональ прямоугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Посчитать чему равна диагональ (d) любого прямоугольника (в том числе и квадрата) можно зная длины его сторон (a и b).
Просто подставьте их в калькулятор и получите результат.
Чему равна диагональ прямоугольника если сторона
a = ,
а сторона
b = ?
Ответ: d =
0
Теория
Чему равна диагональ прямоугольника d если известны длина стороны a и длина стороны b?
Формула
d = √a2 + b2
Пример
Если сторона a = 10 см, а сторона b = 5 см, то:
d = √102 + 52 = √100 + 25 ≈ 11.18 см
См. также
Одна из основных фигур курса математики – прямоугольник.
Впервые о нем заговорили еще в Древнем Египте, а позже и в
Древней Греции. Именно свойства его диагоналей помогают
решить многие задания учебного курса. Подход, который
сейчас используется в геометрии разработал Евклид. Формулы,
представленные в данной статье, пригодятся как при решении
домашних упражнений, так и на ЕГЭ. Именно такие задачки
помогают набрать недостающие баллы, поэтому ими не стоит пренебрегать.
- Диагональ прямоугольника через его стороны
- Диагональ прямоугольника через площадь и известную сторону
- Диагональ прямоугольника через периметр и сторону
- Диагональ прямоугольника через диаметр описанной окружности
- Диагональ прямоугольника через радиус описанной окружности
- Диагональ прямоугольника через площадь и острый угол между диагоналями
- Диагональ прямоугольника через угол прилегающей диагонали и длину стороны прилегающей к этому углу
- Диагональ прямоугольника через угол прилегающей диагонали и длину стороны противоположной этому углу
- Что такое диагональ прямоугольника, когда требуется ее вычисление
Диагональ прямоугольника через его стороны
Если заданы хотя бы 2 стороны, то вычислить линию, соединяющую противоположные вершины, будет довольно просто. Применяется классическая теорема Пифагора. Достаточно подставить приведенные в дано числовые параметры в виде суммы квадратов под корнем:
Где a, b – это стороны, а d – прямая, которую мы ищем.
Цифр после запятой:
Результат в:
Диагональ прямоугольника через площадь и известную сторону
Когда в дано есть S и одна сторона, то узнать искомое значение можно используя следующее равенство:
Где D – это прямая, которую необходимо найти, a и b – любая заданная сторона, а S – площадь.
Цифр после запятой:
Результат в:
Диагональ прямоугольника через периметр и сторону
Когда задан периметр (сумма сторон) и, хотя бы одна сторона, отрезок, соединяющий несмежные точки высчитывают так:
Где P – сумма сторон, a и b – любая заданная сторона.
Рассчитать искомый отрезок можно и через соотношение сторон и площадь.
Цифр после запятой:
Результат в:
Диагональ прямоугольника через диаметр описанной окружности
Поиск отрезка через описанную окружность еще более прост, здесь даже не придется проводить расчеты: D = d
Где d – это обозначенный диаметр.
Различить вписанную/описанную окружность легко. Когда геометрическое тело вписано куда-то, то оно всегда будет находиться в другой фигуре. Когда окружность описана, то она находится снаружи, она как бы описывает другое геометрическое тело. Описанные фигуры задевают собой точки, а вписанные – касаются сторон.
Цифр после запятой:
Результат в:
Диагональ прямоугольника через радиус описанной окружности
Для расчета искомого отрезка через описанную окружность нужно провести вычисления, где: D = 2R
Где R – это заданный радиус.
Цифр после запятой:
Результат в:
Диагональ прямоугольника через площадь и острый угол между диагоналями
Если необходимо узнать прямую, соединяющую вершины 4-хугольника, это можно осуществить с помощью двух диагоналей. Для получения ответа к задаче понадобится sin β между ними и S (произведение длины и ширины).
Расчет проводится с равенством:
Где соответственно S – это площадь, а sin β – это острый угол, расположенный внутри фигуры (меж пересекающимися прямыми).
Если в 4-хугольнике расчертить 2 отрезка, объединяющие несмежные вершины, то они будут равны меж собой (все 4 отрезка), а точка пересечения разделит их пополам.
Пересечение всегда происходит в геометрическом центре самой фигурки. Этот же центр является центром описанной окружности.
Площадь (S):
Цифр после запятой:
Результат в:
Диагональ прямоугольника через угол прилегающей диагонали и длину стороны прилегающей к этому углу
Когда одна из сторон 4-хугольника прилегает к углу, то просчитать отрезок, соединяющий вершины тоже возможно:
Где b – это сторона, прилегающая к углу, а cos a – это тот самый угол.
Косинус угла в треугольнике с прямым углом рассчитывается по формуле – длина соседней стороны, разделенная на гипотенузу. Синус – это противолежащий катет, разделенный на гипотенузу. Либо можно поступить еще проще, подсмотрев в таблицу Брадиса.
Цифр после запятой:
Результат в:
Диагональ прямоугольника через угол прилегающей диагонали и длину стороны противоположной этому углу
Чтобы найти нужный отрезок внутри четырехугольника, должен быть задан угол, прилегающий к искомому отрезку и сторона, противоположная углу:
Где a – это сторона четырехугольника, а sin a – это прилегающий угол.
Длинная сторона 4-хугольника– это длина, а короткая – его ширина. Помните, что каждая сторона одновременно является высотой.
Цифр после запятой:
Результат в:
Что такое диагональ прямоугольника, когда требуется ее вычисление
Прямоугольник – это частный случай параллелограмма. Иначе 4-хугольник с попарно равными сторонами, параллельными друг другу, а также равными прямыми углами по 90⁰. Сумма углов четырехугольника составляет 360⁰.
Диагональ разделяет фигуру на два новых элемента – треугольники с прямым углом. Это прямая, объединяющая противоположные вершины. Имея 2 прямоугольных треугольника, отрезок уже можно рассчитать по теореме Пифагора. По теореме гипотенуза – это квадрат из суммы катетов (обозначенных сторон треугольника), возведенных в квадрат.
Линии, соединяющие противоположные точки в четырехугольнике всегда пересекаются друг с другом.
Отрезок обозначают как d или D. Если названы все точки, то его можно называть в соответствии с ними – AC или BD.
Знания о линии, проходящей через несмежные точки 4-хугольника может понадобиться в легких геометрических упражнениях, так и в более сложных многоуровневых задачках, которые появляются на ЕГЭ. Свойства данного отрезка помогают находить важные параметры прямоугольника. Зная данные обеих линий, соединяющих противоположные углы, можно рассчитать S геометрического тела.
Перед решением любой геометрической задачки рекомендуется сделать чертеж и обозначить всю заданную информацию. Так будет значительно проще сосредоточиться на искомом значении.
Если регулярно решать тесты по геометрии, то формулы легче запомнятся, а их применение будет доведено до автоматизма.
Как найти диагональ в прямоугольнике
Прямоугольник – плоская геометрическая фигура. Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые. Как же найти диагональ квадрата, если известны длины его сторон?
Инструкция
Разделим прямоугольник диагональю на два равных треугольника. В этом случае диагональ будет являться гипотенузой этих треугольников. А, как известно из теоремы Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Итак, для поиска диагонали прямоугольника необходимо:
найти сумму квадратов сторон прямоугольника а2 + b2, где а и b – длины сторон прямоугольника;
извлечь из полученного результата квадратный корень.
Пример:
Определим длину диагонали прямоугольника со сторонами 3 и 4 см.
Находим сумму квадратов сторон прямоугольника 32 + 42 = 9 + 16 = 25.
Извлечь из полученного результата квадратный корень – длина диагонали равна 5 см.
Видео по теме
Обратите внимание
Диагонали прямоугольника равны. Если найдена длина одной, то длина второй будет абсолютно такой же.
Источники:
- как найти длину диагонали в прямоугольнике
При решении задач по физико-математическим дисциплинам иногда необходимо найти диагонали прямоугольника. Формула в интернете не всегда является достоверной. Очень важно на начальных стадиях вычислений правильно идентифицировать фигуру, чтобы применить к ней нужные свойства и соотношения. Специалисты рекомендуют не приступать сразу к практике, а разобраться с теорией.
Оглавление:
- Общая информация
- Формулы и соотношения
- Пример расчета параметров
Общая информация
Прямоугольник — геометрическая плоская фигура, состоящая из четырех попарно параллельных сторон, между которыми образованы прямые углы. Ее можно перепутать с квадратом, имеющим похожие свойства и тождества. При решении задачи очень важно правильно найти фигуру, имеющую определенные признаки определения. Некоторые учащиеся путают последние со свойствами. Эти два термина отличаются между собой.
Методика идентификации
Признак — совокупность некоторых критериев, позволяющих правильно различать фигуры. Прямоугольник возможно идентифицировать по таким правилам:
- Неравенство сторон, являющихся смежными.
- Диагонали при пересечении не образуют угол в 90 градусов.
- Диагонали не являются биссектрисами углов больших треугольников, полученных при пересечении.
- Окружность можно только описать, а не вписать.
Если для искомой фигуры применим хотя бы один из признаков, то ее возможно классифицировать как прямоугольник.
После успешной идентификации необходимо перейти к рассмотрению свойств, которые рекомендовано специалистами использовать при расчетах параметров и доказательстве утверждений (тождеств и теорем).
Важные свойства
Свойства — набор или список утверждений и тождеств, используемых при вычислениях требуемых величин, а также для доказательства теорем, а именно:
- Все углы прямые, а их алгебраическая сумма равна 360.
- Несмежные стороны параллельны и равны.
- Точка пересечения диагоналей – центр симметрии и делит их на две части. Кроме того, средняя линия проходит через нее.
- Формула диагонали (m) прямоугольника через стороны p и t: m=(рp+tt]^1/2), т. е. квадратичное значение диагонали равно сумме сторон, каждая из которых умножена на эквивалентное значение.
- Подобность малого и большого треугольников, образованных диагоналями.
- Существует только описанная окружность, диаметр которой эквивалентен диагонали прямоугольника.
- При проведении диагонали образуются два равных треугольника, являющиеся прямоугольными.
Следует отметить, что вышеописанные свойства – это требуемый минимум, которого недостаточно для выполнения вычислений и доказательства других тождеств.
Формулы и соотношения
Чтобы ориентироваться в формулах, нужно ввести некоторые обозначения. К ним принадлежат следующие:
- Диагональ – m.
- Стороны – k и l.
- Периметр – P.
- Полупериметр – р.
- Площадь – S.
- Острый угол, который образуют две диагонали – Z, а тупой – Y.
- Диаметр – D.
После этого необходимо рассмотреть основные тождества. Их рекомендуется применять при вычислениях различных параметров фигуры.
К ним относятся такие выражения:
- Периметр: P=2S/к + (2/к)k 2 =2k+2(m 2 -k 2 )^(1/2))=2k+2(D 2 -k 2 )^(1/2)).
- Площадь: S=[Pк — 2к 2 ]/2=[Pl — 2l 2 ]/2=k[m 2 -k 2 ]=[sin(Z)/2]m^2 .
- Диагонали: m=[k 2 +l 2 ]^(1/2)=(1/k)(S 2 +k 4 )^(1/2).
Кроме того, найти диагональ прямоугольника возможно, используя формулу такого вида: m=((2k+2l) 2 -4(2k(k+l)+8k 2 )^(1/2) * 0,5. Величины «(2k+2l)» можно заменить периметром Р, когда он известен.
Следует отметить, что найти длину диагонали прямоугольника возможно при известном D. Соотношение имеет следующий вид: m=2R=D.
Пример расчета параметров
У прямоугольника известна диагональ (m=10) и периметр (Р=28). Необходимо узнать длину его сторон. Решать задачу нужно по такому алгоритму:
- Диагональ находится по следующему выражению: m^2=k^2+l^2.
- Формула для вычисления периметра: P=2(k+l).
- Составить систему уравнений для нахождения сторон: 100=k^2+l^2 и 28=2(k+l).
- Выразить из второго уравнения одну из сторон: k=14-l.
- Подставить в первое: (14-l)^2+l^2=100.
- Раскрыть скобки: 196-28l+l^2+l^2=2l^2-28l+196=100.
- Уравнение имеет такой вид: l^2-14l+48=0.
- Вычислить его корни: l1=6 и l2=8.
- Подставить в четвертый пункт и посчитать стороны: l=6 и к=8.
Следует отметить, что расчет корней производится подстановкой, при которой возникают дубли решений. Среди них требуется выбрать любых две пары. Исходя из девятого пункта, можно рассчитать значение площади, зная две стороны. Используя формулы, можно находить и другие параметры. Например, высчитать значение острого угла.
Таким образом, перед решением задач по геометрии математики рекомендуют правильно идентифицировать геометрическую фигуру при помощи признаков, а затем использовать какие-либо соотношения.
